2020年江苏省泰州市中考数学试卷 25页

2020 年江苏省泰州市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共有 6 小题，第小题 3 分，共 18 分．在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分） 2 的倒数是 ( ) A．2 B． 1 2 C． 2 D． 1 2  2．（3分）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是 ( ) A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 3．（3分）下列等式成立的是 ( ) A．3 4 2 7 2  B． 3 2 5  C． 13 2 3 6   D． 2( 3) 3  4．（3分）如图，电路图上有 4个开关 A、B 、C、D和 1个小灯泡，同时闭合开关 A、B 或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机 事件的是 ( ) A．只闭合 1个开关 B．只闭合 2个开关 C．只闭合 3个开关 D．闭合 4个开关 5．（3分）点 ( , )P a b 在函数 3 2y x  的图象上，则代数式 6 2 1a b  的值等于 ( ) A．5 B．3 C． 3 D． 1 6．（3分）如图，半径为10的扇形 AOB中， 90AOB  ，C为AB上一点，CD OA ，CE OB ， 垂足分别为 D、 E ．若 CDE 为 36，则图中阴影部分的面积为 ( ) A．10 B．9 C．8 D． 6 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，请把答案直接填写在答题卡相 应位置上） 7．（3分）9的平方根等于 ． 8．（3分）因式分解： 2 4x   ． 9．（3分）据新华社 2020年 5月 17日消息，全国各地和军队约 42600名医务人员支援湖北 抗击新冠肺炎疫情，将 42600用科学记数法表示为 ． 10．（3分）方程 2 2 3 0x x   的两根为 1x 、 2x ，则 1 2x x 的值为 ． 11．（3分）今年 6月 6日是第 25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取 50名学生进行了 视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这 50名学生视力的中位数所在范围是 ． 12．（3分）如图，将分别含有30、 45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角 重叠形成的角为 65，则图中角 的度数为 ． 13．（3分）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆 时针依次旋转30、60、90、、330得到 11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系， 点 A、 B 的坐标分别表示为 (5,0 ) 、 (4,300 ) ，则点C的坐标表示为 ． 14．（3分）如图，直线 a b ，垂足为 H ，点 P 在直线b上， 4PH cm ，O为直线b上一 动点，若以1cm为半径的 O 与直线 a相切，则OP的长为 ． 15．（3分）如图所示的网格由边长为 1个单位长度的小正方形组成，点 A、 B 、C在直角 坐标系中的坐标分别为 (3,6)， ( 3,3) ， (7, 2) ，则 ABC 内心的坐标为 ． 16．（3分）如图，点 P 在反比例函数 3y x  的图象上，且横坐标为 1，过点 P 作两条坐标轴 的平行线，与反比例函数 ( 0)ky k x   的图象相交于点 A、 B ，则直线 AB与 x轴所夹锐角 的正切值为 ． 三、解答题（本大题共有 10 题，共 102 分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）计算： 0 11( ) ( ) 3sin60 2     ； （2）解不等式组： 3 1 1, 4 4 2 x x x x        … 18．（8分）2020年 6月 1日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交 警社团在交警带领下，从 5月 29日起连续 6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电 动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成如下图表： 2020年 6月 2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表 骑乘摩托车 骑乘电动自行车 戴头盔人数 18 72 不戴头盔人数 2 m （1）根据以上信息，小明认为 6月 3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为 95%．你 是否同意他的观点？请说明理由； （2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？ （3）求统计表中m的值． 19．（8分）一只不透明袋子中装有 1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课 外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重 复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 ．（精确到 0.01)， 由此估出红球有 个． （2）现从该袋中摸出 2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好 摸到 1个白球，1个红球的概率． 20．（10分）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择， 路线 A为全程 25km的普通道路，路线 B 包含快速通道，全程30km，走路线 B 比走路线 A 平均速度提高 50%，时间节省 6min，求走路线 B 的平均速度． 21．（10分）如图，已知线段 a，点 A在平面直角坐标系 xOy 内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点 P ，使点 P 到两坐标轴的距离相等，且与点 A的距 离等于 a．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 2 5a  ， A点的坐标为 (3,1) ，求 P 点的坐标． 22．（10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一 艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的 A处测得在C处的龙舟俯角为 23；他登高 6m到正 上方的 B 处测得驶至 D处的龙舟俯角为 50，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确 到1m，参考数据： tan23 0.42  ， tan40 0.84  ， tan50 1.19  ， tan 67 2.36)  23．（10分）如图，在 ABC 中， 90C  ， 3AC  ， 4BC  ，P 为 BC边上的动点（与 B 、 C不重合）， / /PD AB，交 AC于点D，连接 AP，设CP x ， ADP 的面积为 S． （1）用含 x的代数式表示 AD的长； （2）求 S与 x的函数表达式，并求当 S随 x增大而减小时 x的取值范围． 24．（10分）如图，在 O 中，点 P 为AB的中点，弦 AD、PC互相垂直，垂足为M ，BC 分别与 AD、 PD相交于点 E 、 N，连接 BD、MN ． （1）求证： N为 BE 的中点． （2）若 O 的半径为 8，AB的度数为 90，求线段MN 的长． 25．（12分）如图，正方形 ABCD的边长为 6，M 为 AB的中点， MBE 为等边三角形，过 点 E 作ME 的垂线分别与边 AD、BC相交于点 F 、G，点 P 、Q分别在线段 EF 、BC上 运动，且满足 60PMQ  ，连接 PQ． （1）求证： MEP MBQ   ． （2）当点Q在线段GC上时，试判断 PF GQ 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如 果变化，请说明理由． （3）设 QMB   ，点 B 关于QM 的对称点为 B，若点 B落在 MPQ 的内部，试写出 的范围，并说明理由． 26．（14分）如图，二次函数 2 1 ( )y a x m n   ， 2 2 6 ( 0y ax n a   ， 0m  ， 0)n  的图象 分别为 1C 、 2C ， 1C 交 y轴于点 P ，点 A在 1C 上，且位于 y轴右侧，直线 PA与 2C 在 y轴 左侧的交点为 B ． （1）若 P 点的坐标为 (0, 2)， 1C 的顶点坐标为 (2, 4)，求 a的值； （2）设直线 PA与 y轴所夹的角为 ． ①当 45  ，且 A为 1C 的顶点时，求 am的值； ②若 90  ，试说明：当 a、m、 n各自取不同的值时， PA PB 的值不变； （3）若 2PA PB ，试判断点 A是否为 1C 的顶点？请说明理由． 2020 年江苏省泰州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共有 6 小题，第小题 3 分，共 18 分．在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分） 2 的倒数是 ( ) A．2 B． 1 2 C． 2 D． 1 2  【解答】解： 2 的倒数是 1 2  ． 故选： D． 2．（3分）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是 ( ) A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【解答】解：观察展开图可知，几何体是三棱柱． 故选： A． 3．（3分）下列等式成立的是 ( ) A．3 4 2 7 2  B． 3 2 5  C． 13 2 3 6   D． 2( 3) 3  【解答】解： A．3与 4 2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B ． 3 2 6  ，此选项计算错误； C． 13 3 6 3 2 6     ，此选项计算错误； D． 2( 3) 3  ，此选项计算正确； 故选： D． 4．（3分）如图，电路图上有 4个开关 A、B 、C、D和 1个小灯泡，同时闭合开关 A、B 或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机 事件的是 ( ) A．只闭合 1个开关 B．只闭合 2个开关 C．只闭合 3个开关 D．闭合 4个开关 【解答】解： A、只闭合 1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意； B 、只闭合 2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意； C、只闭合 3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； D、闭合 4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； 故选： B ． 5．（3分）点 ( , )P a b 在函数 3 2y x  的图象上，则代数式 6 2 1a b  的值等于 ( ) A．5 B．3 C． 3 D． 1 【解答】解：点 ( , )P a b 在函数 3 2y x  的图象上， 3 2b a   ， 则 3 2a b   ． 6 2 1 2(3 ) 1 4 1 3a b a b           故选：C． 6．（3分）如图，半径为10的扇形 AOB中， 90AOB  ，C为AB上一点，CD OA ，CE OB ， 垂足分别为 D、 E ．若 CDE 为 36，则图中阴影部分的面积为 ( ) A．10 B．9 C．8 D． 6 【解答】解：连接OC， 90AOB   ，CD OA ，CE OB ， 四边形CDOE是矩形， / /CD OE ， 36DEO CDE   ， 由矩形CDOE易得到 DOE CEO   ， 36COB DEO    图中阴影部分的面积 扇形OBC的面积， 236 10 10 360OBCS      扇形 图中阴影部分的面积 10 ， 故选： A． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，请把答案直接填写在答题卡相 应位置上） 7．（3分）9的平方根等于 3 ． 【解答】解： 2( 3) 9  ， 9 的平方根是 3 ． 故答案为： 3 ． 8．（3分）因式分解： 2 4x   ( 2)( 2)x x  ． 【解答】解： 2 4 ( 2)( 2)x x x    ． 故答案为： ( 2)( 2)x x  ． 9．（3分）据新华社 2020年 5月 17日消息，全国各地和军队约 42600名医务人员支援湖北 抗击新冠肺炎疫情，将 42600用科学记数法表示为 44.26 10 ． 【解答】解：将 42600用科学记数法表示为 44.26 10 ， 故答案为： 44.26 10 ． 10．（3分）方程 2 2 3 0x x   的两根为 1x 、 2x ，则 1 2x x 的值为 3 ． 【解答】解：方程 2 2 3 0x x   的两根为 1x 、 2x ， 1 2 3cx x a     ． 故答案为： 3 ． 11．（3分）今年 6月 6日是第 25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取 50名学生进行了 视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这 50 名学生视力的中位数所在范围是 4.65 4.95 ． 【解答】解：一共调查了 50名学生的视力情况， 这 50个数据的中位数是第 25、26个数据的平均数， 由频数分布直方图知第 25、26个数据都落在 4.65 4.95 之间， 这 50名学生视力的中位数所在范围是 4.65 4.95 ， 故答案为： 4.65 4.95 ． 12．（3分）如图，将分别含有30、 45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角 重叠形成的角为 65，则图中角 的度数为 140 ． 【解答】解：如图， 90ACB   ， 65DCB  ， 90 65 25ACD ACB ACD       ， 60A   ， 180 180 25 60 95DFB AFC ACD A          ， 45D   ， 45 95 140D DFB       ， 故答案为：140． 13．（3分）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆 时针依次旋转30、60、90、、330得到 11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系， 点 A、 B 的坐标分别表示为 (5,0 ) 、 (4,300 ) ，则点C的坐标表示为 (3,240 ) ． 【解答】解：如图所示：点C的坐标表示为 (3,240 ) ． 故答案为： (3,240 ) ． 14．（3分）如图，直线 a b ，垂足为 H ，点 P 在直线b上， 4PH cm ，O为直线b上一 动点，若以1cm为半径的 O 与直线 a相切，则OP的长为 3cm或 5cm ． 【解答】解：直线 a b ，O为直线 b上一动点， O 与直线 a相切时，切点为 H ， 1OH cm  ， 当点O在点 H 的左侧， O 与直线 a相切时，如图 1所示： 4 1 3( )OP PH OH cm     ； 当点O在点 H 的右侧， O 与直线 a相切时，如图 2所示： 4 1 5( )OP PH OH cm     ； O 与直线 a相切，OP的长为 3cm或 5cm， 故答案为： 3cm或 5cm． 15．（3分）如图所示的网格由边长为 1个单位长度的小正方形组成，点 A、 B 、C在直角 坐标系中的坐标分别为 (3,6)， ( 3,3) ， (7, 2) ，则 ABC 内心的坐标为 (2,3) ． 【解答】解：如图，点 I 即为 ABC 的内心． 所以 ABC 内心 I 的坐标为 (2,3)． 故答案为： (2,3)． 16．（3分）如图，点 P 在反比例函数 3y x  的图象上，且横坐标为 1，过点 P 作两条坐标轴 的平行线，与反比例函数 ( 0)ky k x   的图象相交于点 A、 B ，则直线 AB与 x轴所夹锐角 的正切值为 3 ． 【解答】解：点 P 在反比例函数 3y x  的图象上，且横坐标为 1，则点 (1,3)P ， 则点 A、 B 的坐标分别为 (1, )k ， 1( 3 k， 3)， 设直线 AB的表达式为： y mx t  ，将点 A 、 B 的坐标代入上式得 13 3 k m t km t        ，解得 3m   ， 故直线 AB与 x轴所夹锐角的正切值为 3， 故答案为 3． 三、解答题（本大题共有 10 题，共 102 分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）计算： 0 11( ) ( ) 3sin60 2     ； （2）解不等式组： 3 1 1, 4 4 2 x x x x        … 【解答】解：（1）原式 31 2 3 2     31 2 2    3 2  ； （2）解不等式 3 1 1x x … ，得： 1x… ， 解不等式 4 4 2x x   ，得： 2x  ， 则不等式组的解集为 2x  ． 18．（8分）2020年 6月 1日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某校小交 警社团在交警带领下，从 5月 29日起连续 6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电 动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成如下图表： 2020年 6月 2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表 骑乘摩托车 骑乘电动自行车 戴头盔人数 18 72 不戴头盔人数 2 m （1）根据以上信息，小明认为 6月 3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为 95%．你 是否同意他的观点？请说明理由； （2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？ （3）求统计表中m的值． 【解答】解：（1）不同意，虽然可用某地区一路口的摩托车骑乘人员佩戴头盔情况来估计该 地区的摩托车骑乘人员佩戴头盔情况，但是，只用 6月 3日的来估计，具有片面性，不能代 表该地区的真实情况，可用某地区一路口一段时间内的平均值进行估计，就比较客观、具有 代表性． （2）通过折线统计图中，摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔的百分比的变化情况，可 以得出：电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行宣传，毕竟这 5天，其佩戴的百分比增长速 度较慢，且数值减低； （3）由题意得， 72 45% 72 m   ，解得， 88m  ， 答：统计表中的m的值为 88人． 19．（8分）一只不透明袋子中装有 1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课 外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出 1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重 复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 （1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 0.33 ．（精确 到 0.01)，由此估出红球有 个． （2）现从该袋中摸出 2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好 摸到 1个白球，1个红球的概率． 【解答】解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在 0.33 附近，由此估出红球有 2个． 故答案为：0.33，2； （2）画树状图为： 由图可知，共有 9种等可能的结果数，其中恰好摸到 1个白球、1个红球的结果数为 4， 所以从该袋中摸出 2个球，恰好摸到 1个白球、1个红球的结果的概率为 4 9 ． 20．（10分）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择， 路线 A为全程 25km的普通道路，路线 B 包含快速通道，全程30km，走路线 B 比走路线 A 平均速度提高 50%，时间节省 6min，求走路线 B 的平均速度． 【解答】解：设走路线 A的平均速度为 /xkm h，则走路线 B 的平均速度为 (1 50%) /xkm h ， 依题意，得： 25 30 6 (1 50%) 60x x    ， 解得： 50x  ， 经检验， 50x  是原方程的解，且符合题意， (1 50%) 75x   ． 答：走路线 B 的平均速度为 75 /km h． 21．（10分）如图，已知线段 a，点 A在平面直角坐标系 xOy 内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点 P ，使点 P 到两坐标轴的距离相等，且与点 A的距 离等于 a．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 2 5a  ， A点的坐标为 (3,1) ，求 P 点的坐标． 【解答】解：（1）如图，点 P 即为所求； （2）由（1）可得OP是角平分线，设点 ( , )P x x ， 过点 P 作 PE x 轴于点 E ，过点 A作 AF x 轴于点 F ， AD PE 于点 D， 2 5PA a  ， A点的坐标为 (3,1)， 1PD x   ， 3AD x  ， 根据勾股定理，得 2 2 2PA PD AD  ， 2 2 2(2 5) ( 1) ( 3)x x     ， 解得 5x  ， 1x   （舍去）． 所以 P 点的坐标为 (5,5)． 22．（10分）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一 艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的 A处测得在C处的龙舟俯角为 23；他登高 6m到正 上方的 B 处测得驶至 D处的龙舟俯角为 50，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确 到1m，参考数据： tan23 0.42  ， tan40 0.84  ， tan50 1.19  ， tan 67 2.36)  【解答】解：如图，根据题意得， 23C  ， 50BDE  ， 15AE m ， 21BE m ， 在Rt ACE 中， 15tan tan 23 0.42AEC CE CE      ， 解得： 35.7CE  ， 在Rt BDE 中， 21tan tan50 1.19BEBDE DE DE       ， 解得： 17.6DE  ， 35.7 17.6 18.1 18CD CE DE m       ， 答：两次观测期间龙舟前进了18m． 23．（10分）如图，在 ABC 中， 90C  ， 3AC  ， 4BC  ，P 为 BC边上的动点（与 B 、 C不重合）， / /PD AB，交 AC于点D，连接 AP，设CP x ， ADP 的面积为 S． （1）用含 x的代数式表示 AD的长； （2）求 S与 x的函数表达式，并求当 S随 x增大而减小时 x的取值范围． 【解答】解：（1） / /PD AB ，  CP CD CB CA  ， 3AC  ， 4BC  ，CP x ，  4 3 x CD  ， 3 4 CD x  ， 33 4 AD AC CD x     ， 即 3 3 4 AD x   ； （2）根据题意得， 21 1 3 3 3( 3) ( 2) 2 2 4 8 2 S AD CP x x x        ， 当 2x… 时， S随 x的增大而减小， 0 4x  ， 当 S随 x增大而减小时 x的取值范围为 2 4x „ ． 24．（10分）如图，在 O 中，点 P 为AB的中点，弦 AD、PC互相垂直，垂足为M ，BC 分别与 AD、 PD相交于点 E 、 N，连接 BD、MN ． （1）求证： N为 BE 的中点． （2）若 O 的半径为 8，AB的度数为 90，求线段MN 的长． 【解答】（1）证明： AD PC ， 90EMC  ， 点 P 为AB的中点，  PA PB ， ADP BCP  ， CEM DEN  ， 90DNE EMC DNB     ，   PA PB ， BDP ADP   ， DEN DBN  ， DE DB  ， EN BN  ， N 为 BE的中点； （2）解：连接OA，OB， AB， AC，  AB的度数为 90， 90AOB  ， 8OA OB  ， 8 2AB  ， 由（1）同理得： AM EM ， EN BN ， MN 是 AEB 的中位线， 1 4 2 2 MN AB   ． 25．（12分）如图，正方形 ABCD的边长为 6，M 为 AB的中点， MBE 为等边三角形，过 点 E 作ME 的垂线分别与边 AD、BC相交于点 F 、G，点 P 、Q分别在线段 EF 、BC上 运动，且满足 60PMQ  ，连接 PQ． （1）求证： MEP MBQ   ． （2）当点Q在线段GC上时，试判断 PF GQ 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如 果变化，请说明理由． （3）设 QMB   ，点 B 关于QM 的对称点为 B，若点 B落在 MPQ 的内部，试写出 的范围，并说明理由． 【解答】证明：（1）正方形 ABCD的边长为 6，M 为 AB的中点， 90A ABC   ， 6AB BC  ， 3AM BM  ， MBE 是等边三角形， MB ME BE   ， 60BME PMQ    ， BMQ PME   ， 又 90ABC MEP    ， ( )MBQ MEP ASA   ； （2） PF GQ 的值不变， 理由如下：如图 1，连接MG，过点 F 作 FH BC 于H ， ME MB ，MG MG ， Rt MBG Rt MEG(HL)    ， BG GE  ， 30BMG EMG   ， BGM EGM  ， 3 3MB BG   ， 60BGM EGM   ， 3GE  ， 60FGH  ， FH BC ， 90C D   ， 四边形DCHF是矩形， 6FH CD   ， 3 6sin 2 FHFGH GF FG     ， 4 3FG  ， MBQ MEP   ， BQ PE  ， PE BQ BG GQ    ， 2 3FG EG PE FP EG BG GQ PF GQ PF          ， 2 3GQ PF   ； （3）如图 2，当点 B落在 PQ上时， MBQ MEP   ， MQ MP  ， 60QMP   ， MPQ 是等边三角形， 当点 B落在 PQ上时，点 B 关于QM 的对称点为 B， MBQ △MB Q ， 90MBQ MB Q     30QME   点 B与点 E 重合，点Q与点G重合， 30QMB QMB      ， 如图 3，当点 B落在MP上时， 同理可求： 60QMB QMB       ， 当 30 60   时，点 B落在 MPQ 的内部． 26．（14分）如图，二次函数 2 1 ( )y a x m n   ， 2 2 6 ( 0y ax n a   ， 0m  ， 0)n  的图象 分别为 1C 、 2C ， 1C 交 y轴于点 P ，点 A在 1C 上，且位于 y轴右侧，直线 PA与 2C 在 y轴 左侧的交点为 B ． （1）若 P 点的坐标为 (0, 2)， 1C 的顶点坐标为 (2, 4)，求 a的值； （2）设直线 PA与 y轴所夹的角为 ． ①当 45  ，且 A为 1C 的顶点时，求 am的值； ②若 90  ，试说明：当 a、m、 n各自取不同的值时， PA PB 的值不变； （3）若 2PA PB ，试判断点 A是否为 1C 的顶点？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意 2m  ， 4n  ， 2 1 ( 2) 4y a x    ， 把 (0, 2)代入得到 1 2 a   ． （2）①如图 1中，过点 A作 AN x 轴于 N，过点 P 作 PM AN 于M ． 2 2 2 1 ( ) 2y a x m n ax amx am n       ， 2(0, )P am n  ， ( , )A m n ， PM m  ， AN n ， 45APM   ， AM PM m   ， 2m am n n    ， 0m  ， 1am   ． ②如图 2中，由题意 AB y 中， 2(0, )P am n ， 当 2y am n  时， 2 26am n ax n   ， 解得 6 6 x m  ， 6( 6 B m  ， 2 )am n ， 6 6 PB m  ， 2AP m ，  2 2 6 6 6 PA m PB m   ． （3）如图 3中，过点 A作 AH x 轴于 H ，过点 P 作 PK AH 于 K，过点 B 作 BE KP 交 KP的延长线于 E ． 设 2( ,6 )B b ab n ， 2PA PB ， [ 2A b  ， 2( 2 ) ]a b m n   ， / /BE AK ，  1 2 BE PB AK PA   ， 2AK BE  ， 2 2 2 2( 2 ) 2( 6 )a b m n am n am n ab n          ， 整理得： 2 22 8 0m bm b   ， ( 4 )( 2 ) 0m b m b    ， 4 0m b  ， 2 0m b   ， 2m b   ， ( , )A m n ， 点 A是抛物线 1C 的顶点．