2020-2021九年级数学上册圆单元同步练习1（新人教版pdf格式） 24页

2020-2021 学年初三数学上册各单元同步练习：圆（一） 一、单选题 1．已知 O 的半径为 5，同一平面内有一点 P ，且 7OP  ，则点 与 的位置关系是（ ） A．点 在圆内 B．点 在圆上 C．点 在圆外 D．无法确定 【答案】C 【解析】【分析】点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定，比较其与半径的关系即可. 【详解】 由题意，得 ， 的半径为 5，点到圆心的距离大于半径， ∴点 在圆外 故选：C. 【点评】此题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握，即可解题. 2．已知正六边形的边长是 2，则该正六边形的边心距是（ ） A．1 B． 3 C．2 D． 3 2 【答案】B 【解析】【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可 求出． 【详解】 如图，连接 OA，作 OM⊥AB． ∵正六边形 ABCDEF 的边长为 2，∴∠AOM=30°，AM 1 2 AB 1 22=1，∴正六边形的边心距是 OM 1 3tan 3 3 AM AOM ． 故选 B． 【点评】本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算． 3．如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB＝DC，∠AOD＝80°，则∠ABC 等于( ) A．40° B．65° C．100° D．105° 【答案】B 【解析】【分析】根据在同圆中，等弧或同弧所对的圆心角相等，易推出∠AOB=∠DOC=50 °；结合等腰三 角形性质以及三角形的内角和定理，由 OA=OB，即可求出∠ABC 的度数. 【详解】 ∵在⊙O 中，BC 是直径， AB= CD， ∴∠AOB=∠DOC， ∵∠AOD=80°， ∴∠AOB=∠DOC=50°. ∵OA=OB， ∴∠ABC=∠AOB=（180°-50°）÷2=65°. 故选 B. 【点评】本题考查了弧弦圆心角的关系及等腰三角形的性质，在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． 4．如图，ABCD 为⊙O 内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（ ） A．85° B．95° C．105° D．115° 【答案】B 【解析】【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可． 【详解】 ∵ABCD 为⊙O 内接四边形，∠D=85°， ∴∠B=180°−∠D=180°−85°=95°, 故选:B. 【点评】考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 5．如图，已知 AB 是⊙O 直径，∠AOC＝130°，则∠D 等于（ ） A．65° B．25° C．15° D．35° 【答案】B 【解析】【分析】根据邻补角的定义求出∠BOC 的度数，然后根据同弦所对的圆周角等于对应圆心角的一半 即可解答． 【详解】 解：∵∠AOC＝130°， ∴∠BOC＝50°， ∴∠D＝ 1 2 ∠BOC＝25°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半是解 答本题的关键． 6．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的点，ADCD ，如果∠CAB＝40°，那么∠CAD 的度数为（ ） A．25° B．50° C．40° D．80° 【答案】A 【解析】【分析】先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得 出结论． 【详解】 如图，连接 BC，BD． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°． ∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°． ∵弧 AD=弧 CD，∴∠ABD=∠CBD 1 2 ∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°． 故选 A． 【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解答本题的关键是作出 辅助线． 7．已知⊙O 的半径为 4，直线 l 上有一点与⊙O 的圆心的距离为 4，则直线 l 与⊙O 的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切、相交均有可能 【答案】D 【解析】【分析】分别直线与⊙O 只有一个交点、有两个交点两种情况分别讨论进行求解即可. 【详解】 ∵若直线 l 与⊙O 只有一个交点，即为点 P，则直线 l 与⊙O 的位置关系为：相切； 若直线 l 与⊙O 有两个交点，其中一个为点 P，则直线 l 与⊙O 的位置关系为：相交； ∴直线 l 与⊙O 的位置关系为：相交或相切， 故选 D． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．注意掌握设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d．①直 线 l 和⊙O 相交 d＜r；②直线 l 和⊙O 相切 d=r；③直线 l 和⊙O 相离 d＞r． 8．在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心，5 为半径作圆，若点 P 的坐标是（3，4），则点 P 与⊙O 的位 置关系是（ ） A．点 P 在⊙O 外 B．点 P 在⊙O 内 C．点 P 在⊙O 上 D．点 P 在⊙O 上或在⊙O 外 【答案】C 【解析】【分析】先求出点 P 与原点 O 的距离，然后再根据点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】 ∵点 P 的坐标是(3，4)， ∴OP= 2234 =5， 而⊙O 的半径为 5， ∴OP 等于圆的半径， ∴点 P 在⊙O 上， 故选 C． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d＞r 时， 点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 d＜r 时，点在圆内． 9．若⊙A 的半径为 5，圆心 A 的坐标是（1，2），点 P 的坐标是（5，2），那么点 P 的位置为（ ） A．在⊙A 内 B．在⊙A 上 C．在⊙A 外 D．不能确定 【答案】A 【解析】【分析】先根据两点间的距离公式计算出 PA 的长，然后比较 PA 与半径的大小，再根据点与圆的关 系的判定方法进行判断． 【详解】 ∵圆心 A 的坐标是（1，2），点 P 的坐标是（5，2）， ∴AP= 22(51)(22) =4＜5， ∴点 P 在⊙A 内， 故选 A． 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d＞r 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 d＜r 时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质． 10． 如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC＝140°，则∠D 的度数是（ ） A．20° B．30° C．40° D．70° 【答案】A 【解析】【分析】根据邻补角的性质，求出∠BOC 的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出∠D 的度数即可． 【详解】 ∵∠AOC＝140°， ∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°， ∵∠BOC 与∠BDC 都对 BC ， ∴∠D＝ 1 2 ∠BOC＝20°， 故选 A． 【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 11．如图，MN 是⊙O 的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点 B 为弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上的一个动 点，则 PA+PB 的最小值为（ ） A．4 B．4 2 C．2 D．2 【答案】C 【解析】【分析】作点 B 关于 MN 的对称点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则 P 点就是所求的点，连接 OA， OC，根据圆周角定理与垂径定理得到∠AOC=90°，进而求得 AC 的长. 【详解】 解：如图，作点 B 关于 MN 的对称点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则 P 点就是所求的点，此时 PA+PB 最小， 且等于 AC 的长． 连接 OA，OC，根据题意得弧 AN 的度数是 60°， 则弧 BN 的度数是 30°， 根据垂径定理得弧 CN 的度数是 30°， 则∠AOC=90°， 又∵OA=OC= 1 2 MN=2， 则 AC=2 ． 故选 C. 【点评】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 12．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD 为 O 的直径，弦 A B C D ， 垂足为 E，CE=1 寸，AB=10 寸，求直径 CD 的长”，依题意得 CD 的长为（ ） A．12 寸 B．13 寸 C．24 寸 D．26 寸 【答案】D 【解析】【分析】连接 AO，设直径 CD 的长为 2 x 寸，则半径 OA=OC= x 寸，然后利用垂径定理得出 AE， 最后根据勾股定理进一步求解即可. 【详解】 如图，连接 AO， 设直径 CD 的长为 寸，则半径 OA=OC= 寸， ∵CD 为 的直径，弦 ，垂足为 E，AB=10 寸， ∴AE=BE= 1 2 AB=5 寸， 根据勾股定理可知， 在 Rt△ AOE 中， 2 2 2AO AE OE， ∴  22251xx   ， 解得： 13x  ， ∴ 2 2 6x  ， 即 CD 长为 26 寸. 【点评】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 二、填空题 13．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是 AB 延长线上一点，DC 切⊙O 于 C，连接 AC，若∠CAB＝30°，则∠D ＝_____度． 【答案】30 【解析】【分析】连接 OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角 性质得到∠COD=60°，然后利用互余计算∠D 的度数． 【详解】 连接 OC，如图，∵DC 切⊙O 于 C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°． ∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAB=30°，∴∠COD=∠ACO+∠CAB=60°，∴∠D=90°﹣∠COD=90°﹣60°=30°． 故答案为 30． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质． 14．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB=2，C、D 是圆周上的点，且∠CDB=30°，则 BC 的长为______. 【答案】1 【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据 AB 是⊙O 的直径，得出 ∠ACB=90°，则 BC= 1 2 AB，从而得出结论． 【详解】 解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠A=∠CDB=30°， ∴BC= AB= 1 212 ， 故答案为 1． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 15．若一个扇形的圆心角为 45°，面积为 6π，则这个扇形的半径为_______． 【答案】 43 【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长． 【详解】 设扇形的半径为 r．根据题意得： 245 360 r  6π 解得：r＝ 43． 故答案为 ． 【点评】本题考查了扇形的面积公式．熟练将公式变形是解题的关键． 16．如图，用一个半径为 30cm，面积为 300πcm2 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥 的底面半径 r 为______． 【答案】10cm 【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于 圆锥的母线长和扇形面积公式得到 1 2 •2π•r•30=300π，然后解方程即可． 【详解】 解：根据题意得 •2π•r•30=300π， 解得 r=10（cm）． 故答案为：10cm． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长． 三、解答题 17．已知如图所示，OA、OB、OC 是⊙O 的三条半径，弧 AC 和弧 BC 相等，M、N 分别是 OA、OB 的中 点． 求证：MC=NC． 【答案】证明见解析 【解析】【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由 M、N 分别是半径 OA、OB 的中点， 可得 OM=ON，利用 SAS 判定△ MOC≌△NOC，继而证得结论． 【详解】 证明：∵弧 AC 和弧 BC 相等， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OA=OB 又∵M、N 分别是 OA、OB 的中点 ∴OM=ON， 在△ MOC 和△ NOC 中， OM ON AOC BOC OC OC ，       ∴△MOC≌△NOC（SAS）， ∴MC=NC． 【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 18．如图，AB 为⊙O 的直径，过点 C 的切线 DE 交 AB 的延长线于点 D，AE⊥DC，垂足为 E．求证：AC 平分∠BAE． 【答案】证明见解析 【解析】【分析】连接 OC，根据切线的性质得到 OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到 ∠EAC=∠CAO，即 AC 平分∠BAE． 【详解】 如图：连接 OC． ∵DE 切⊙O 于点 C，∴OC⊥DE． 又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠EAC． ∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC 平分∠BAE． 【点评】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 19．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，BD 是∠ABC 的角平分线，过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥BC， 垂足分别为 E、F． （1）求证：△ AED≌△CFD； （2）若 AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求 BD 的长度． 【答案】（1）见解析；（2）6 3 . 【解析】【分析】（1）由角平分线性质定理可得 DE＝DF，由圆内接四边形性质可得∠A＋∠BCD＝180°， 然后代换可得∠A＝∠DCF，又 ∠DEA＝∠F＝90°， 所以△ AED≌△CFD；（ 2）由三角形全等可得 AE＝CF， BE＝BF，设 AE＝CF＝x，可得 x＝1；在 Rt△ BFD，根据 30°所对的直角边是斜边的一半，则 BD＝2DF， 利用勾股定理解得 BD＝6 3 . 【详解】 （1）∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°， 又∵∠DCF＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCF ∵BD 是∠ABC 的角平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∠DEA＝∠F＝90°， ∴△AED≌△CFD. （2）∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，BE＝BF， 设 AE＝CF＝x，则 BE＝10－x，BF＝8＋x， 即 10－x＝8＋x，解得 x＝1， 在 Rt△ BFD，∠DBC＝30°，设 DF＝y，则 BD＝2y， ∵BF2＋DF2＝BD2， ∴y2＋92＝（2y）2，y＝3 3 ， BD＝6 . 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，由条件灵活转移线段关系是解题关键. 20．如图，矩形 A B C D 中， 3AB  ， 4AD  ．作 DE⊥AC 于点 E，作 AF⊥BD 于点 F． （1）求 AF、AE 的长； （2）若以点 A 为圆心作圆， B 、 C 、 D 、E、F 五点中至少有 1 个点在圆内，且至少有 2 个点在圆外， 求 A 的半径 r 的取值范围． 【答案】（1） 12 5AF  ， 16 5AE  ;（2） 2.44 r 【解析】【分析】（1）先利用等面积法算出 AF= 12 5 ，再根据勾股定理得出 16 5AE  ; （2）根据题意点 F 只能在圆内，点 C、D 只能在圆外，所以⊙A 的半径 r 的取值范围为 2.44 r. 【详解】 解：如图， (1)在矩形 中， ， ． ∴DC=AB=3,AC=BD= 2234 =5, ∵DE⊥AC，AF⊥BD， ∴ 11· ·22ABDSABADBDAF△ ; ∴AF= 12 5 ， 同理，DE= , 在 Rt△ ADE 中，AE= 22A D D E = 16 5 , (2) 若以点 A 为圆心作圆， B 、 C 、 D 、E、F 五点中至少有 1 个点在圆内，则 r>2.4, 当至少有 2 个点在圆外，r<4, 故⊙A 的半径 r 的取值范围为： 2.44 r 21．如图，已知 O ． （1）用尺规作正六边形，使得 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用正六边形的性质外接圆边长等于外接圆半径； （2）连接对角线以及利用正六边形性质． 【详解】 解：（1）如图所示： , （2）如图所示： 【点评】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形和正六边形的性质，根据正六边形性质得出作法是解题 关键. 22．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图 示是其主视图），经测量，其中坑宽 AB 为 8cm，小坑的最大深度为 2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径 OA 的长为多少？ 【答案】5cm 【解析】【分析】先根据垂径定理求出 AD 的长，设 OA=rcm，则 OD=（r-2）cm，再根据勾股定理求出 r 的 值即可． 【详解】 解：作 OD⊥AB 于 D，如图所示： ∵AB=8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为 2cm， ∴AD= 1 2 AB=4cm． 设 OA=rcm，则 OD=（r-2）cm 在 Rt△ OAD 中， ∵OA2=OD2+AD2，即 r2=（r-2）2+42， 解得 r=5cm； 即铅球的半径 OA 的长为 5cm． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧是解答此题的关键． 23．如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且 PA＝PB，延长 BO 分别与 ⊙O、切线 PA 相交于 C、Q 两点． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）QD 为 PB 边上的中线，若 AQ＝4，CQ＝2，求 QD 的值． 【答案】（1）详见解析；（2）QD 的值是 73 ． 【解析】【分析】（1）要证明 PB 是⊙O 的切线，只要证明∠PBO=90°即可，根据题意可以证明△ OBP≌△OAP， 从而可以解答本题； （2）根据题意和勾股定理的知识，可以求得 QD 的值． 【详解】 （1）证明：连接 OA， 在△ OBP 和△ OAP 中， P A P B O B O A O P O P    ＝ ＝ ＝ ， ∴△OBP≌△OAP（SSS）， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB 是半径， ∴PB 是⊙O 的切线； （2）连接 OC ∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°， 设 OA＝r， 则 r2+42＝（r+2）2， 解得，r＝3， 则 OA＝3，BC＝6， 设 BP＝x，则 AP＝x， ∵PB 是圆 O 的切线， ∴∠PBQ＝90°， ∴x2+（6+2）2＝（x+4）2， 解得，x＝6， ∴BP＝6， ∴BD＝3， ∴QD＝ 22(6 2) 3 = 73 ， 即 QD 的值是 ． 【点评】本题考查切线的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的 思想解答． 24．如图， O 的直径 AB 垂直弦 CD 于 M ，且 是半径 OB 的中点， 8CDcm ，求直径 的长． 【答案】163 3 cm 【解析】【分析】连接 OC，根据垂径定理可求 CM=DM=4cm，再运用勾股定理可求半径 OC，则直径 AB 可 求． 【详解】 连接 OC．设圆的半径是 r． ∵直径 AB⊥CD，∴CM=DM= 1 2 CD=4cm． ∵M 是 OB 的中点，∴OM= r，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，∴r2=（ r）2+42，解得：r= 83 3 ，则 直径 AB=2r= 16 3 3 （cm）． 【点评】本题考查了垂径定理，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运 用勾股定理求解． 25．如图，四边形 A B C D 内接于 O ， AB 为 的直径，点C 为 BD 的中点．若 40A ，求 B 的 度数． 【答案】 70B . 【解析】【分析】连接 AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC= ∠BAD，然后根据∠B 与∠BAC 互余即可求解. 【详解】 解：连接 AC ， ∵ AB 是直径， ∴ 90A C B， ∵点 C 为 BD 的中点， 40BAD， ∴ 11402022BACBAD ， ∴在 R t A B C 中， 902070B ． 【点评】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半． 26．如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】【分析】根据圆的性质，弦的垂直平分线过圆心，所以只要找到两条弦的垂直平分线，交点即为圆 心，有圆心就可以作出圆轮． 【详解】 如图：圆 O 为所求． 【点评】本题考查了圆的基本性质，是一种求圆心的作法．作圆的方法有：①圆心半径；②三个圆上的点．