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- 2021-11-06 发布
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一、选择题
1.(2019·广元)如图,△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到
△DEC,连接 BD,则 BD2 的值是________
【答案】8+4 3
【解析】连接 AD,过点 D 作 DM⊥BC 于点 M,DN⊥AC 于点 N,易得△ACD 是等边三角形,四边形 BNDM
是正方形,设 CM=x,则 DM=MB=x+2,∵BC=2,∴CD=AC= 2 2 ,∴在 Rt△MCD 中,由勾股定理可求
得,x= 3 - 1,DM=MB= 3 +1,∴在 Rt△BDM 中,BD2=MD2+MB2=8+4 3 .
2(2019·滨州)如图,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,
连接 AC,BD 交于点 M,连接 OM.下列结论:
①
AC=BD;
②
∠AMB=40°;
③
OM 平分∠BOC;
④
MO 平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD,∴ ∠AOC=∠BOD,又 ∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,
知识点 30——直角三角形、勾股定理
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故①正确;∵△AOC≌△BOD,∴∠MAO=∠MBO,如图,设 OA 与 BD 相交于 N,又∵∠ANM=∠BNO,
∴∠AM B=∠AOB=40°,故②正确;如图,过点 O 分别作 AC 和 BD 的垂线,垂足分别是 E,F,∵△
AOC≌△BOD,AC=BD,∴OE=OF,∴MO平分∠BMC,故④正 确 ;在 △AOC 中,∵OA>OC,∴∠ACO
>∠OAC,∵△AOC≌△BOD,∴∠OAC=∠OBD,∴∠ACO>∠OBM,在 △OCM 和△OBM 中,∠ACO
>∠OBM,∠OMC=∠OM B,∴∠COM<∠BOM,故③错误,所以①②④正确.故选 B.
3.(2019·广元)如图,在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E.使得∠CDE=15°,连接 BE 并延长
BE 到 F,使 CF=CB,BF 与 CD 相交于点 H,若 AB=1,有下列结论:①BE=DE;②CE+DE=EF;③S△DEC=
1 3
4 - 12
,④ 231DH
HC =-.则其中正确的结论有( )
A.①②③ B.①②③ ④ C.①②④ D.①③④
【答案】A
【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC≌△DEC,∴BE=DE,①正确;②在 EF 上取一点 G,使 CG=CE,
∵∠CEG=∠CBE+∠BCE=60°,∴△CEG 为等边三角形,易得△DEC≌△FGC,CE+DE=EG+GF=EF,
②正确;③过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,S△DEC=S△DMC-S△DME= 1 3
4 12- ,③正确;④tan∠HBC=2- 3 ,
∴HC=2- 3 ,DH=1-HC= 3 -1,∴ 3 +1DH
HC = ,④错误.故选 A.
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4.(2019·绍兴)如图 1,长、宽均为 3,高为 8 的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水, 水
面高为 6,绕底面一棱长进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图 2 是此时的示意图,则图 2
中水面高度为 ( )
A.
5
24 B.
5
32 C.
17
3412 D.
17
3420
【答案】A
【解析】如图所示:设 DM=x,则 CM=8﹣x,
根据题意得: (8﹣x+8)×3×3=3×3×5,
解得:x=4,∴DM=6,
∵∠D=90°,由勾股定理得:BM= 2 2 2243BD DM+=+=5,
过点 B 作 BH⊥AH,∵∠HBA+∠ABM=∠ABM +∠ABM=90°,
∴∠HBA+=∠ABM,所以 Rt△ABH∽△MBD,
∴ BH BD
AB BM
= ,即 3
85
BH = ,解得 BH=
5
24 ,即水面高度为
5
24 .
5.(2019·益阳)已知 M、N 是线段 AB 上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点 A 为圆心,AN 长为半
径画弧;再以点 B 为圆心,BM 长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 AC、BC,则△ABC 一定是()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】B
【解析】如图所示,
∵AM=MN=2,NB=1,
∴AB=AM=MN+NB=2+2+1=5,AC=AN=AM+MN=2+2=4,BC=BM=BN+MN1+2=3,
∴ AB2 = 52 = 25 , AC 2 = 42 =16 , BC 2 = 32 = 9 ,
H
M
B
A
D
C
4 / 11
∴ AC 2 + BC 2 = AB2 ,
∴△ABC 是直角三角形.
6.(2019·湖州)在数学拓展课上,小明发现:若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线
平分该平行四边形的面积.如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形.P 是其中 4 个小正方形
的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点 P 的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等
的两部分,则剪痕的长度是( )
A.2 2 B. 5 C. 35
2 D. 10
【答案】D.
【解析】如答图,取左下角的小正方形的中心 O,作直线 OP,得线段 AB,则沿折痕 AB 裁剪,即可将
该图形面积两等分.过点 A 作 AC⊥BD 于点 C,则∠ACB=90°.由中心对称的性质可知,BD=EF=
AG,从而 BC=1.又 AC=3,故在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB= 2231+ = 10 .故选 D.
7. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图 1,
以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方
形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则 S 阴影=c2-a2-b2+b(a+b-c),由勾股定理可
知,c2=a2-b2,∴S 阴影=c2-a2-b2+S 重叠=S 重叠,即 S 阴影=S 重叠,故选 C.
8.(2019·重庆 B 卷)如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,AB=3,AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 与点 E,
AE=1.连接 DE,将△AED 沿直线 AE 翻折至△ABC 所在的平面,得△AEF,连接 DF.过点 D 作 DG⊥DE
交 BE 于点 G.则四边形 DFEG 的周长为( )
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A.8 B. 42 C. 22 4+ D.32 2+
【答案】D
【解析】∵∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴△ABC 是等腰直角三角形,
∴AD=BD.
∵BE⊥AC,AD⊥BD,
∴∠DAC=∠DBH,
∴△DBH≌△DAC(ASA).
∵DG⊥DE,
∴∠BDG=∠ADE,
∴△DBG≌△DAE(ASA),
∴BG=AE,DG=DE,
∴△DGE 是等腰直角三角形,
∴∠DEC=45°.
在 Rt△ABE 中,BE= 223 1 22-= ,
∴GE= 221- ,
∴DE= 22 2-
.
∵D,F 关于 AE 对称,
∴∠FEC=∠DEC=45°,
∴EF=DE=DG= 22 2-
,
DF=GE= 221- ,
∴四边形 DFEG 的周长为 2( 221- +2- 2
2
)=3 2+2 .故选 D.
F
CB
A
D
E
G
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二、填空题
1.(2019·苏州)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造.可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方
魔板”图①是由边长为 10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板”,图②是用该“七巧板”拼成的
一个“家”的图形该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长为 cm(结果保留根号).
(图①) (图②)
【答案】 52
2
【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合,由题意可知,等腰三角形①与等腰三角
形②全等,且它们的斜边长都为 1
2
×10=5cm,设正方形阴影部分的边长为 xcm,则
5
x =sin45°= 2
2
,
解得 x= 52
2
,故答案为 52
2 .
第 1题答图
2.(2019·威海)
如图,在四边形 ABCD 中,AB∥ CD,连接 AC,BD.若∠ ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ ADC= °
【答案】105°
【解析】过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E, 过点 C 作 CF⊥ AB 垂足为 F,由∠ACB=90°,AC=BC,得△
ABC 是等腰直角三角形,由三线合一得 CF 为中线,从而推出 2CF= AB,由 AB∥CD 得 DE=CF,由
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AB=BD 得 BD=2DE,在 Rt△DEB 中利用三角函数可得∠ABD=30°,再由 AB=BD 得∠BAD=∠ADB
=75°,最后由 AB∥CD 得∠BAD+∠ADC=180°求出∠ ADC=105°.
3.(2019·苏州)如图,一块舍有 45°角的直角三角板,外框的一条直角边长为 8 cm,三角板的外框 线
和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm,则图中阴影部分的面积为 cm:(结果保留根号).
(第 3 题)
【答案】10+12 2
第 3题答图
解析:如图,三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm,所以△ABC 与△DEF 有公共
内心 O,连接 AD、BE、FC 并延长相交于点 O,过 O 作 OG⊥AB 于 G,交 DE 于 H.则 GH= 2 ,S△ABC=
1
2 OG×(AB+AC+BC)= 1
2 AB×AC,∴OG= 88 8 42
8882
AB AC
AB AC BC
××= = −+− ++
,∴OH=8 52− ,
∵
∵DE∥AB,∴△ODE∽△OAB,∴ OH DE
OG AB
= ∴ 8-5 2
88-4 2
DE= ,解得 DE=6- 22,
S 阴影= S△ABC-S△DEF= ( )22118 6 2 2 10 12 222
×− − =+ .
4.(2019·江西)在平面直角坐标系中,A,B,C 三点的坐标分别为(4,0)、(4,4),(0,4),点 P 在
x 轴上,点 D 在直线 AB 上,若 DA=1,CP⊥DP 于点 P,则点 P 的坐标为 .
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【答案】(
4
2322216 +++ ,0)或(
4
2322216 +−+ ,0)
【解析】设点 P 的坐标为(x,0),
(1)当点 D 在线段 AB 上时,如图所示:
∵DA=1,∴点 D 的坐标为(
2
24 − ,
2
2 ).
∴ 222 )2
24()]2
24(4[ −+−−=CD 22 )2
2(2416)2
2( +−+= 2417 −= ,
222 )2
2()]2
24([ +−−= xPD 222 )2
2()2
24()2
24(2 +−+−−= xx
2417)28(2 −+−−= xx ,
222 4)4( +−= xPC 3282 +−= xx .
∵CP⊥DP 于点 P,∴ 222 CDPDPC =+ ,
∴ 2417)28(2 −+−− xx 3282 +−+ xx 2417 −= ,
即 032)216(2 2 =+−− xx ,
∵△= 3224)]216([ 2 ××−−− = 2322 − <0,
∴原方程无解,即符合要求的点 P 不存在.
(2)当点 D 在线段 BA 的延长线上,如图所示:
9 / 11
∵DA=1,∴点 D 的坐标为(
2
24 + ,
2
2− ).
∴ 222 )]2
2(4[)]2
24(4[ −−++−=CD 22 )2
24()2
2( ++−= 2417 += ,
222 )2
2()]2
24([ −++−= xPD 222 )2
2()2
24()2
24(2 ++++−= xx
2417)28(2 +++−= xx ,
222 4)4( +−= xPC 3282 +−= xx .
∵CP⊥DP 于点 P,∴ 222 CDPDPC =+ ,
∴ 2417)28(2 +++− xx 3282 +−+ xx 2417 += ,
即 032)216(2 2 =++− xx ,
∵△= 3224)]216([ 2 ××−+− = 2322 + >0,
∴
22
2322216
×
+±+=x 4
2322216 +±+= ,
∴点 P 的坐标为(
4
2322216 +++ ,0)或(
4
2322216 +−+ ,0).
5.(2019·株洲)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CM 是斜边 AB 上的中线,E、F 分别
为 MB、BC 的中点,若 EF=1,则 AB= .
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【答案】4
【解析】因为 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CM 是斜边 AB 上的中线,所以 AB=2CM,又因为 E、F 分别为 MB、
BC 的中点,所以 EF 为中位线,所以 CM=2EF,从而 AB=4EF=4。
6. (2019·枣庄)把两个同样大小含 45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与
另一个三角尺的直角顶点重合于点 A,且另外三个锐角顶点 B,C,D 在同一直线上,若 AB=2,则 CD=
________.
【答案】 6 - 2
【解析】在等腰直角△ABC 中,∵AB=2,∴BC= 22,过点 A 作 AM⊥BD 于点 M,则 AM=MC= 1
2
BC=
2 ,在 Rt△AMD 中,AD=BC= 22,AM= 2 ,∴MD= 6 ,∴CD=MD-MC= 6 - 2 .
7. (2019·巴中)如图,等边三角形 ABC 内有一点 P,分别连接 AP,BP,CP,若 AP=6,BP=8,CP=10,则 S△ABP+S
△BPC=________.
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【答案】16 3 +24
【解析】将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 60°到△CBP',连接 PP',所以 BP=BP',∠PBP'=60°,所以△BPP'
是等边三角形,其边长 BP 为 8,所以 S△BPP'=16 3 ,因为 PP'=8,P'C=PA=6,PC=10,所以 PP'2+P'C2=PC2,
所以△PP'C 是直角三角形,S△PP'C=24,所以 S△ABP+S△BPC=S△BPP'+S△PP'C=16 3 +24.
三、解答题
1.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点 C 在直线 m 上,分别过点 A,B 作 AE⊥直线 m 于
点 E,BD⊥直线 m 与点 D.
(1)求证:EC=BD;
(2)若设△AEC 三边分别为 a,b,c,利用此图证明勾股定理.
证明:(1)∵△ABC 是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠ACE+∠BCD=90°,
∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠CAE,
∵BD⊥CD, ∴∠AEC=∠CDB=90°,
∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC=BD.
(2)∵△AEC≌△CDB,△AEC 三边分别为 a,b,c,,
∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c,
∴S 梯形= 1
2 (AE+BD)ED= 1
2 (a+b)(a+b),
S 梯形= 1
2 ab+ 1
2 c2+ 1
2 ab,
∴ 1
2 (a+b)(a+b)= 1
2 ab+ 1
2 c2+ 1
2 ab,
整理可得 a2+b2=c2,故勾股定理得证.