北师大版数学九年级上册同步课件-1第一章-1矩形的性质与判定 20页

第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 1．回顾矩形的性质及判定方法． 2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用. (难点) 学习目标 问题1: 矩形有哪些性质？ A B CD O①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. ①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形; ②有一组邻边相等的矩形; ③有一个角是直角的菱形. 问题2: 矩形的判定方法有哪些？ 分析：在矩形ABCD中，AE⊥BD于E， BE ︰ ED=1︰3，易证得△OAB是等边三 角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB 是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由 AD=6，即可求得AE的长. 矩形的性质与判定综合运用 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交 于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长. 例1 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵BE ︰ ED=1 ︰ 3， ∴BE ︰ OB=1 ︰ 2， ∵AE⊥BD， ∴AB=OA，∴OA=AB=OB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°， ∴AE= AD=3. 点评:此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及 含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结 合思想的应用. 1 2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一 条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN， 垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 例2 证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC 边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形； （1）求证：四边形ADCE为矩形； 分析：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得 AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四 边形ADCE为矩形. 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状， 并证明； 分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合 已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形 ABDE是平行四边形. 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB. （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF= AB.1 2 1 2 1 2 点评:此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位 线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD 的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF ＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由． 例3 解：BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC； , , , AFE DCE AEF DEC AE DE         (1)分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝ ∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据 “全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即 可得BD＝CD. 解答：当△ABC满足AB＝AC时， 四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∵ AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形． 方法总结:本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明 确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． (2)分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是 直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形 三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC. DN MN 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点 C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M， 交AD于点N. (1)求证：CM＝CN； (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比 为3∶ 1，求 的值． 例3 (1)求证：CM＝CN； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ANM＝∠CMN， 由折叠知∠CNM＝∠ANM， ∴∠CNM＝∠CMN， ∴CN＝CM. (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶ 1，求 的值． 解：∵AD∥BC，S△CMN∶ S△CDN＝3∶ 1， ∴CM∶ DN＝3∶ 1， 设DN＝x，则CM＝3x， 过点N作NK⊥BC于点K， ∵DC⊥BC，∴NK∥DC， 又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x， 由(1)知CN＝CM＝3x， ∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2， 　 DN MN  22 2 22 8 2 3 ,MN MK NK x x x      2 3 2 3.MN x DN x    1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在 EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2， 则S1，S2的大小关系是(　 　) A．S1>S2　　　　　　　B．S1＝S2 C．S1