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  • 2021-11-06 发布

北师大版数学九年级上册同步课件-1第一章-1矩形的性质与判定

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第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 1.回顾矩形的性质及判定方法. 2.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用. (难点) 学习目标 问题1: 矩形有哪些性质? A B CD O①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. ①定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形; ②有一组邻边相等的矩形; ③有一个角是直角的菱形. 问题2: 矩形的判定方法有哪些? 分析:在矩形ABCD中,AE⊥BD于E, BE ︰ ED=1︰3,易证得△OAB是等边三 角形,继而求得∠BAE的度数,由△OAB 是等边三角形,求出∠ADE的度数,又由 AD=6,即可求得AE的长. 矩形的性质与判定综合运用 如图,在矩形ABCD中,AD=6,对角线AC与BD相交 于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,求AE的长. 例1 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴OB=OD,OA=OC,AC=BD, ∴OA=OB, ∵BE ︰ ED=1 ︰ 3, ∴BE ︰ OB=1 ︰ 2, ∵AE⊥BD, ∴AB=OA,∴OA=AB=OB, 即△OAB是等边三角形, ∴∠ABD=60°,∴∠ADE=90°-∠ABD=30°, ∴AE= AD=3. 点评:此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及 含30°角的直角三角形的性质.此题难度不大,注意数形结 合思想的应用. 1 2 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一 条角平分线,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN, 垂足为点E. (1)求证:四边形ADCE为矩形; (2)连接DE,交AC于点F,请判断 四边形ABDE的形状,并证明; (3)线段DF与AB有怎样的关系?请直接写出你的结论. 例2 证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC 边的中线, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, ∴∠ADC=90°, ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线, ∴∠MAN=∠CAN, ∴∠DAE=90°, ∵CE⊥AN, ∴∠AEC=90°, ∴四边形ADCE为矩形; (1)求证:四边形ADCE为矩形; 分析:在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,可得 AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,又由AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线,可得∠DAE=90°,又由CE⊥AN,即可证得:四 边形ADCE为矩形. 解:四边形ABDE是平行四边形,理由如下: 由(1)知,四边形ADCE为矩形, 则AE=CD,AC=DE. 又∵AB=AC,BD=CD, ∴AB=DE,AE=BD, ∴四边形ABDE是平行四边形; (2)连接DE,交AC于点F,请判断四边形ABDE的形状, 并证明; 分析:利用(1)中矩形的对角线相等推知:AC=DE;结合 已知条件可以推知AB∥DE,又AE=BD,则易判定四边形 ABDE是平行四边形. 解:DF∥AB,DF= AB.理由如下: ∵四边形ADCE为矩形, ∴AF=CF, ∵BD=CD, ∴DF是△ABC的中位线, ∴DF∥AB,DF= AB. (3)线段DF与AB有怎样的关系?请直接写出你的结论. 分析:由四边形ADCE为矩形,可得AF=CF,又由AD是BC边 的中线,即可得DF是△ABC的中位线,则可得DF∥AB, DF= AB.1 2 1 2 1 2 点评:此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位 线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用. 如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,E是AD 的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF =BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系?请说明理由; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说 明理由. 例3 解:BD=CD.理由如下: ∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE. ∵E是AD的中点, ∴AE=DE. 在△AEF和△DEC中, ∴△AEF≌△DEC(AAS), ∴AF=DC. ∵AF=BD, ∴BD=DC; , , , AFE DCE AEF DEC AE DE         (1)分析:根据“两直线平行,内错角相等”得出∠AFE= ∠DCE,然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等,根据 “全等三角形对应边相等”可得AF=CD,再利用等量代换即 可得BD=CD. 解答:当△ABC满足AB=AC时, 四边形AFBD是矩形.理由如下: ∵AF∥BD,AF=BD, ∴四边形AFBD是平行四边形. ∵ AB=AC,BD=DC, ∴∠ADB=90°. ∴四边形AFBD是矩形. 方法总结:本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法,明 确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键. (2)分析:先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形”证明四边形AFBD是平行四边形,再根据“有一个角是 直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB=90°.由等腰三角形 三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB=AC. DN MN 如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点 C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M, 交AD于点N. (1)求证:CM=CN; (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比 为3∶ 1,求 的值. 例3 (1)求证:CM=CN; 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠ANM=∠CMN, 由折叠知∠CNM=∠ANM, ∴∠CNM=∠CMN, ∴CN=CM. (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶ 1,求 的值. 解:∵AD∥BC,S△CMN∶ S△CDN=3∶ 1, ∴CM∶ DN=3∶ 1, 设DN=x,则CM=3x, 过点N作NK⊥BC于点K, ∵DC⊥BC,∴NK∥DC, 又∵AD∥BC,∴CK=DN=x,MK=2x, 由(1)知CN=CM=3x, ∴NK2=CN2-CK2=(3x)2-x2=8x2,   DN MN  22 2 22 8 2 3 ,MN MK NK x x x      2 3 2 3.MN x DN x    1.如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在 EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1,S2, 则S1,S2的大小关系是(   ) A.S1>S2       B.S1=S2 C.S1