2019九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 （新版）青岛版 14页

圆中辅助线添加技巧 ‎1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。‎ 说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。‎ 方法依据：（垂径定理）‎ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。‎ ‎2. 辅助线方法：连中点 说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。‎ 方法依据：（垂径定理推论）‎ ‎①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。‎ ‎②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。‎ ‎3. 与切线有关的辅助线作法： ‎ ‎（1）点已知，连半径，证垂直 说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。 ‎ ‎（2）点未知，作垂直，证半径 说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)。‎ ‎（3）见切线，连半径，得垂直 说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。‎ 方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。‎ 例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分∠APD。‎ 解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD 14‎ ‎，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。‎ 答案：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F ‎∵AC=BD ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴AB=CD ‎∴‎ ‎∴∠OPE=∠OPF ‎ ‎∴ PO平分∠APD.‎ 点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。‎ 例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D。‎ 求证：DE为⊙O的切线。‎ 解析：连接OE，根据等边对等角，由AB=AC得到∠B=∠C，再由半径OC与OE相等得到∠C=∠CEO，利用等量代换得到∠B=∠CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径，根据切线的判断方法得到DE为⊙O的切线。‎ 答案：证明：连接OE，‎ ‎∵AB=AC，∴∠B=∠C 14‎ ‎∵OC=OE，∴∠C=∠CEO， ‎ ‎∴∠B=∠CEO，∴AB∥EO，‎ ‎∵DE⊥AB，∴EO⊥DE，‎ ‎∵EO是圆O的半径，‎ ‎∴D为⊙O的切线。 ‎ 点拨：证明切线的方法有两种：有连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂线，证明垂线段长等于半径。此题属于前一种情况。‎ ‎【思路点拨】‎ 几何证明中添加辅助线，其作用主要在于沟通“条件”和“结论”。具体来说，就是把分散的条件集中。使隐蔽的条件显露。将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的最终解决。‎ 圆中的辅助线的画法比较多，具体的题应该选用怎样的辅助线，关键还是要充分地顺推已知和逆推求证，配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点。‎ 例题 （合山市模拟）如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB=‎6cm，CD=‎12cm，则图中阴影部分的面积是（　　）cm2‎ A. B. C. D. ‎ 解析：将⊙O1移动到O1与O重合，则F和F′重合，连接OB，得出阴影部分的面积是：S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S三角形AOB），求出OF′⊥AB，由垂径定理求出AF′=BF′=‎3cm，代入即可得出答案。‎ 答案：‎ 解：将⊙O1移动到O1与O重合，则F和F′重合，连接OB，AO，‎ ‎∵AB∥CD，AB=‎6cm，CD=‎12cm，AB切⊙O1于F，‎ ‎∴O‎1F⊥AB，‎ ‎∴OF′⊥AB，‎ ‎∴由垂径定理得：AF′=BF′=‎3cm，‎ 在Rt△BOF′中，BF′=‎3cm，BO=CD=‎6cm，‎ 即BF′=OB，‎ ‎∵∠BOF′=30°，由勾股定理得：OF′= cm，‎ 同理∠AOF′=30°，‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∴阴影部分的面积是S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S△AOB）‎ 14‎ ‎=π×（OB2－OF′2）－ +×6×‎ ‎=π×BF′2－6π+9‎ ‎=π×9－6π+9 ‎ ‎=（9－π）cm2。‎ 故选A。‎ 点拨：本题考查了勾股定理，垂径定理，切线性质等知识点，解此题关键是得出阴影部分的面积S=（π×OB2－π×OF′2）－（S扇形AOB－S三角形AOB）=π×BF′2－（S扇形AOB－S三角形AOB），题目的综合性较强。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. （毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ ‎2. （娄底）如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为‎6cm和‎8cm，两圆的连心线O1O2的长为‎10cm，则弦AB的长为（　　）‎ A. ‎4.8‎cm‎ B. ‎9.6cm C. ‎5.6cm D. ‎‎9.4cm ‎3. （内江）如图，半圆O的直径AB=‎10cm，弦AC=‎6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）‎ A. cm B. cm C. cm D. ‎‎4cm 14‎ ‎**4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为△ABC的外接圆，AC=‎6cm，BC=‎8cm，P为BC的中点。动点Q从点P出发，沿射线PC方向以‎2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆。设点Q运动的时间为t s。若⊙P与⊙O相切，则t的值是（　　）‎ A. t=1 B. t=‎3 ‎C. t=2或t=3 D. t=1或t=4‎ ‎**5.（日照三模）如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎6. （南京）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=‎2‎cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为　 　cm。‎ ‎7. （自贡）一个边长为‎4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　 　cm。‎ ‎*8. （高淳县一模）如图，半径为2的两个等圆⊙O1与⊙O2外切于点P，过O1作⊙O2的两条切线，切点分别为A、B，与⊙O1分别交于C、D，则弧APB与弧CPD的长度之和为　 　。‎ 14‎ ‎**9. （温州）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE= AB。⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG︰EF=︰2。当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是　 　。‎ 三、解答题 ‎10. （宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H。‎ ‎（1）求证：AC丄BH；‎ ‎（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长。‎ ‎*11. （浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=‎3cm，BC=‎10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：‎ ‎（1）圆心O到AQ的距离；‎ ‎（2）线段EF的长。‎ 14‎ ‎**12. （上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB= ，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G。‎ ‎（1）当圆C经过点A时，求CP的长；‎ ‎（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；‎ ‎（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长。‎ 14‎ 一、‎ ‎1. B 解：过O作OC⊥AB于C，‎ ‎∴AC=BC= AB=12，‎ 在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= =5。‎ 故选B。‎ ‎2. B 解：连接AO1，AO2。‎ ‎∵⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为‎6cm和‎8cm，两圆的连心线O1O2的长为‎10cm，‎ ‎∴O1O2⊥AB，‎ ‎∴AC= AB，‎ 设O‎1C=x，则O‎2C=10－x，‎ ‎∴62－x2=82－（10－x）2，‎ 解得：x=3.6，‎ ‎∴AC2=62－x2=36－3.62=23.04，‎ ‎∴AC=‎4.8cm，‎ ‎∴弦AB的长为‎9.6cm。‎ 故选B。‎ ‎3. A 解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，‎ ‎∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，‎ ‎∴△AOF≌△ODE，‎ ‎∴OE=AF= AC=3（cm），‎ 在Rt△DOE中，DE= =4（cm），‎ 14‎ 在Rt△ADE中，AD= =4（cm）。‎ ‎ 故选A。‎ ‎4. D 解：作直线OP交⊙O于M和N，‎ 根据相切两圆的连心线过切点可得M、N为切点，‎ ‎①如图1，‎ ‎∵∠ACB=90°，AC=‎6cm，BC=‎8cm，由勾股定理得：AB=‎10cm，‎ 即⊙O的半径是‎5cm，‎ ‎∵O为AB中点，P为BC中点，‎ ‎∴OP= AC=‎3cm，‎ ‎∴PM=OM－OP=‎5cm－‎3cm=‎2cm，‎ 即PQ=2；时间t=2÷2=1（s）；‎ ‎②如图2，‎ PN=ON+OP=‎5cm+‎3cm=‎8cm，‎ PQ=PN=‎8cm，‎ 时间t=8÷2=4（s）。‎ 故选D。‎ ‎5. D 解：连接OE、BC，OE与AC交于点M。‎ ‎∵E为弧AC的中点，‎ 易证OE⊥AC，‎ ‎∵∠C=90°，∠AOE=45°，‎ ‎∴OE∥BC，‎ ‎ 设OM=1，则AM=1，‎ ‎∴AC=BC=2，OA=，‎ ‎∴OE=，‎ ‎∴EM=－1，‎ ‎∵OE∥BC，‎ 14‎ ‎∴。‎ 故选D。‎ 二、‎ ‎6. 2 解：连接OB，如图，‎ ‎∵∠BCD=22°30′，‎ ‎∴∠BOD=2∠BCD=45°，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴BE=AE= AB=×2 =，△BOE为等腰直角三角形，‎ ‎∴OB=BE=2（cm）。‎ ‎7. 3 解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，‎ 且△ABC为等边三角形，边长为4，‎ 故高为2，即OC=，‎ 又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，‎ 在Rt△OFC中，可得FC=OC•cos30°=，‎ OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=3。‎ ‎8. 2π 解：连接O1O2、O‎2A、O2B ‎∵O‎1A是切线，∴O‎2A⊥O‎1A，‎ 又∵O1O2=2O‎2A，∴∠AO1O2=30°，‎ ‎∴∠AO1B=60°，∠AO2B=120°，‎ CPD的弧长=，‎ 14‎ APB的弧长=‎ ‎∴APB与CPD的弧长之和为2π。‎ ‎9. 12或4 边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，‎ 如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，‎ ‎∴EN=NF，‎ 又∵EG︰EF=︰2，‎ ‎∴EG︰EN=︰1，‎ 又∵GN=AD=8，‎ ‎∴设EN=x，则，根据勾股定理得：‎ ‎，解得：x=4，GE=，‎ 设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2‎ 得：r2=16+（8－r）2，‎ ‎∴r=5。∴OK=NB=5，‎ ‎∴EB=9，‎ 又AE= AB，‎ ‎∴AB=12。‎ 同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，AB=4。‎ 三、‎ ‎10. （1）证明：连接AD，‎ ‎∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，‎ 14‎ ‎∴∠DAC=∠EBC，‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∴∠DCA+∠DAC=90°，‎ ‎∴∠EBC+∠DCA=90°，‎ ‎∴∠BGC=180°－（∠EBC+∠DCA）=180°－90°=90°，‎ ‎∴AC⊥BH。‎ ‎（2）解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠BAD=45°，‎ ‎∴BD=AD，‎ ‎∵BD=8，∴AD=8，‎ 在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，‎ 根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，‎ ‎∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，‎ ‎∴△BCE∽△ECD，‎ ‎∴，即CE2=BC•CD=14×6=84，‎ ‎∴CE= =2。‎ ‎11. 解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，‎ ‎∵OH⊥EF，‎ ‎∴∠AHO=90°，‎ 在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，‎ ‎∴OH= AO，‎ ‎∵BC=‎10cm，‎ ‎∴BO=‎5cm。‎ ‎∵AO=AB+BO，AB=‎3cm，‎ ‎∴AO=3+5=‎8cm，‎ ‎∴OH=‎4cm，即圆心O到AQ的距离为‎4cm。‎ ‎（2）连接OE，‎ 在Rt△EOH中，‎ 14‎ ‎∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，‎ ‎∵EO=‎5cm，OH=‎4cm，‎ ‎∴EH= =‎3cm，‎ ‎∵OH过圆心O，OH⊥EF，‎ ‎∴EF=2EH=‎6cm。‎ ‎12. 解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，‎ 当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，‎ ‎∴BH=AB•cosB=4，‎ ‎∴AH=3，CH=4，‎ ‎∴AC= =5，‎ ‎∴此时CP=r=5。‎ ‎（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，‎ ‎∵CE=CP，‎ ‎∴四边形APCE是菱形，‎ 连接AC、EP，则AC⊥EP，‎ ‎∴AM=CM=，‎ 由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，‎ ‎∴CP=CE=，‎ ‎∴EF=。‎ ‎（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，‎ 14‎ ‎∵cosB=，‎ ‎∴∠B＜45°，‎ ‎∵∠BCG＜90°，‎ ‎∴∠BGC＞45°，‎ ‎∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，‎ 又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，‎ ‎∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在。‎ 即∠AEG≠∠GAE ‎∴只能∠AGE=∠AEG，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△GAE∽△GBC，‎ ‎∴，即，‎ 解得：AE=3，EN=AN－AE=1，‎ ‎∴CE=。‎ ‎∴圆C的半径为。‎ 14‎