中考数学模试卷(含答案解析)精品大全，高分必备 168页

中考数学模试卷(含答案解析)精品大全，高分必备 中考数学模试卷 一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分） 1．下列说法错误的有（ ） ① 无限小数是无理数； ② 无理数都是带根号的数； ③ 只有正数才有平方根； ④ 3 的平方根是 ； ⑤ ﹣2 是（﹣2）2 的平方根． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式 D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若直线 y＝2x+k 经过第一、二、三象限，则 k 的取值范围是（ ） A．k＞0 B．k＜0 C．k≤0 D．k≥0 5．将△ABC 纸片的一角沿 DE 向下翻折，使点 A 落在 BC 边上，且 DE∥BC，如图所示， 则下列结论不成立的是（ ） A．∠AED＝∠B B．AD：AB＝DE：BC C． D．△ADB 是等腰三角形 6．如图，已知 AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD 的值为（ ） A．20° B．30° C．40° D．70° 7．对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示，点 O 为对角线的交点，过点 O 折叠菱 形，使 B，B′两点重合，MN 是折痕．若 B'M＝1，则 CN 的长为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．二次函数 y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a≠0）的 x 与 y 的部分对应值如下表： 有下列结论： ① a＞0； ② 4a﹣2b+1＞0； ③ x＝﹣3 是关于 x 的一元二次方程 ax2+（b﹣1）x+c＝0 的一个根； ④ 当﹣3≤x≤n 时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击 10 次，他们的平均成绩一样，而他们的 方差分别是 S 甲 2＝1.8，S 乙 2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ） A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较 10．如图，将△ABC 沿角平分线 BD 所在直线翻折，顶点 A 恰好落在边 BC 的中点 E 处， AE＝BD，那么 tan∠ABD＝（ ） A． B． C． D． 11．如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB＝13，AC＝5，BC＝12， 阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落 在花圃上的概率为（ ） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若∠CAD＝ 20°，则∠ACE 的度数是（ ） A．20° B．35° C．40° D．70° 二．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 13．﹣2.5 的倒数是 ． 14．已知一个一元二次方程的一个根为 3，二次项系数是 1，则这个一元二次方程可以是 （只需写出一个方程即可） 15．不等式﹣5x+15≥0 的解集为 ． 16．半径为 2 的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒 星图型，那么这个恒星的面积等于 ． 17．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝55°，则∠1+∠2＝ ． 18．图 ① 是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图 ② ；再分别连接图 ② 中间小三 角形三边的中点，得到图 ③ ．按上面的方法继续下去，第 n 个图形中有 个三角形 （用含字母 n 的代数式表示）． 19．如图，△ABO 中，AB⊥OB，OB＝ ，AB＝1，把△ABO 绕点 O 逆时针旋转 120°后 得到△A1B1O，则点 B1 的坐标为 ． 20．如图，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，△OAB 是等腰直角三角形，斜边 OA＝2，将 △OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°得△OA′B′，则点 B′的坐标为 ． 三．解答题（共 8 小题） 21．化简： ． 22．解方程： ． 23．阅读例题，回答问题： 例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式以及 m 的值． 解：设另一个因式为 x+n，得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则 x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n． ∴ ∴ ∴另一个因式为 x﹣7，m＝21．仿照以上方法解答下面的问题： 已知二次三项式 2x2+3x+k 有一个因式是 2x﹣5，求另一个因式以及 k 的值． 24．如图 1，在△ABC 中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN 是△ABC 的外角，∠CBM，∠BCN 的平分线 BD，CD 交于点 D． （1）求∠BDC 的度数； （2）在图 1 中，过点 D 作 DE⊥BD，垂足为点 D，过点 B 作 BF∥DE 交 DC 的延长线于 点 F（如图 2），求证：BF 是∠ABC 的平分线． 25．如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B 的仰角 45°，然后 沿着坡度为 i＝1： 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角 为 60°，求山高 BC（结果保留根号）． 26．商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商场决定采 取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件． （1）若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价 x 元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元 （用含 x 的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2000 元？ 27．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增 加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每 降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．求： （1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 28．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M 是 BC 边的中点，MN⊥BC 交 AC 于点 N， 动点 P 在线段 BA 上以每秒 cm 的速度由点 B 向点 A 运动．同时，动点 Q 在线段 AC 上由点 N 向点 C 运动，且始终保持 MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设 运动的时间为 t 秒（t＞0）． （1）求证：△PBM∽△QNM． （2）若∠ABC＝60°，AB＝4 cm， ① 求动点 Q 的运动速度； ② 设△APQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的等量关系式（不必写出 t 的取值范围）． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分） 1．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得无理数，可判断 ①② ；根据平方根，可判 断 ③④⑤ ． 【解答】解： ① 无限循环小数是有理数，故 ① 错误； ② 无限不循环小数是无理数，故 ② 错误； ③ 0 的平方根是 0，故 ③ 错误； ④ 3 的平方根是± ，故 ④ 错误； ⑤ ± ，故 ⑤ 正确， 故选：D． 【点评】本题考查了无理数，注意无理数是无限不循环小数． 2．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查 得到的调查结果比较近似． 【解答】解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确； B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误； C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误； D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误； 故选：A． 【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考 查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的 意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往 选用普查． 3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【解答】解：A、只是中心对称图形，故本选项错误； B、只是中心对称，故本选项错误； C、只是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项错误； D、即是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找 对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图 形旋转 180 度后与原图形重合． 4．【分析】根据一次函数的性质求解． 【解答】解：一次函数 y＝2x+k 的图象经过第一、二、三象限， 那么 k＞0． 故选：A． 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b 的关系．解答本题注意 理解：直线 y＝kx+b 所在的位置与 k、b 的符号有直接的关系．k＞0 时，直线必经过一、 三象限；k＜0 时，直线必经过二、四象限；b＞0 时，直线与 y 轴正半轴相交；b＝0 时， 直线过原点；b＜0 时，直线与 y 轴负半轴相交． 5．【分析】根据题意可得 DE 是原三角形的中位线，利用折叠的性质解决，折叠前后图形 的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【解答】解：A．∵DE∥BC，将△ABC 纸片的一角沿 DE 向下翻折，使点 A 落在 BC 边 上， ∴∠A′DE＝∠EDA，∠EDA＝∠DAB，∠B＝∠A′DE， ∴∠EDA＝∠DAB＝∠B， ∴AD＝BD， 同理可得：AE＝EC， ∴A′B＝A′C， ∴∠AED＝∠B；故此选项正确； B．∵AD：AB＝1，DE：BC＝1：2，故此选项错误， C．∵ ＝ ；∴DE＝ BC，故此选项正确， D．△A′BC 中，A′B＝A′C，为等腰三角形；故此选项正确． 故选：B． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及等腰三角形的性质等知识，通过折叠变换 考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易 于找到图形间的关系． 6．【分析】延长 ED 交 BC 于 F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC ＝35°，根据三角形外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可． 【解答】解：延长 ED 交 BC 于 F，如图所示： ∵AB∥DE，∠ABC＝75°， ∴∠MFC＝∠B＝75°， ∵∠CDE＝145°， ∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°， ∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC 的度数，注意：两直线平行，同位角相等． 7．【分析】连接 AC、BD，如图，利用菱形的性质得 OC＝ AC＝3，OD＝ BD＝4，∠ COD＝90°，再利用勾股定理计算出 CD＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到 DN＝BM， 然后根据折叠的性质得 BM＝B'M＝1，从而有 DN＝1，于是计算 CD﹣DN 即可． 【解答】解：连接 AC、BD，如图， ∵点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点， ∴OC＝ AC＝3，OD＝ BD＝4，∠COD＝90°， 在 Rt△COD 中，CD＝ ＝5， ∵AB∥CD， ∴∠MBO＝∠NDO， 在△OBM 和△ODN 中 ， ∴△OBM≌△ODN， ∴DN＝BM， ∵过点 O 折叠菱形，使 B，B′两点重合，MN 是折痕， ∴BM＝B'M＝1， ∴DN＝1， ∴CN＝CD﹣DN＝5﹣1＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形 的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质． 8．【分析】根据表中 x 与 y 的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断 ① ，由 对称轴 x＝﹣1 可得 b＝2a，代入 4a﹣2b+1 可判断 ② ，根据直线 y＝x 过点（﹣3，﹣3）、 （n，n）可知直线 y＝x 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），即可判 断 ③ ，根据直线 y＝x 与抛物线在坐标系中位置可判断 ④ ． 【解答】解：根据表中 x 与 y 的部分对应值，画图如下： 由抛物线开口向上，得 a＞0，故 ① 正确； ∵抛物线对称轴为 x＝ ＝﹣1，即﹣ ＝﹣1， ∴b＝2a， 则 4a﹣2b+1＝4a﹣4a+1＝1＞0，故 ② 正确； ∵直线 y＝x 过点（﹣3，﹣3）、（n，n）， ∴直线 y＝x 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于点（﹣3，﹣3）、（n，n）， 即 x＝﹣3 和 x＝n 是方程 ax2+bx+c＝x，即 ax2+（b﹣1）x+c＝0 的两个实数根，故 ③ 正 确； 由图象可知当﹣3≤x≤n 时，直线 y＝x 位于抛物线 y＝ax2+bx+c 上方， ∴x≥ax2+bx+c， ∴ax2+（b﹣1）x+c≤0，故 ④ 错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程 的解，根据表中数据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、 抛物线与一元二次方程间的关系是解题的关键． 9．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【解答】解：∵S 甲 2＝1.8，S 乙 2＝0.7， ∴S 甲 2＞S 乙 2， ∴成绩比较稳定的是乙； 故选：B． 【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大， 表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这 组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 10．【分析】作 CM⊥AE 交 AE 的延长线于 M，作 DN⊥AB 于 N，DF⊥BC 于 F，AE 与 BD 交于点 K，设 DK＝a，先证明 AD：CD＝1：2，再证明△BKE≌△CME，得 BK＝CM＝ 3a，根据 tan∠ABD＝ 即可解决问题． 【解答】解：如图，作 CM⊥AE 交 AE 的延长线于 M，作 DN⊥AB 于 N，DF⊥BC 于 F， AE 与 BD 交于点 K，设 DK＝a． ∵AB＝BE＝EC， ∴BC＝2AB， ∵DB 平分∠ABC， ∴DN＝DF， ∵ ， ∴ ， ， ∵DB⊥AM，CM⊥AM， ∴DK∥CM， ∴ ，∠KBE＝∠MCE， ∴CM＝3a， 在△BKE 和△CME 中， ， ∴△BKE≌△CME， ∴BK＝CM＝3a， ∴BD＝AE＝4a， ∴AK＝KE＝2a， ∴tan∠ABD＝ ． 故选：B． 【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知 识，解题的关键是发现 AD：DC＝1：2 这个条件，学会常用辅助线的添加方法，属于中 考常考题型． 11．【分析】根据 AB＝13，AC＝5，BC＝12，得出 AB2＝BC2+AC2，根据勾股定理的逆定 理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径，求得直角三角形的面积和 圆的面积，即可得到结论． 【解答】解：∵AB＝13，AC＝5，BC＝12， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的内切圆半径＝ ＝2， ∴S△ABC＝ AC•BC＝ ×12×5＝30， S 圆＝4 π ， ∴小鸟落在花圃上的概率＝ ＝ ； 故选：B． 【点评】本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的 一半．同时也考查了勾股定理的逆定理． 12．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，根据三 角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线， ∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝ ＝70°， ∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ACE＝ ∠ACB＝35°， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和 定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 二．填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 13．【分析】根据倒数的定义作答． 【解答】解：∵﹣2.5 是﹣ ，所以它的倒数是 ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 14．【分析】以 3 和 0 为根写一个二次项系数是 1 的一元二次方程即可． 【解答】解：一元二次方程的一个根为 3，二次项系数是 1，这个一元二次方程可以为 x2 ﹣3x＝0． 故答案为 x2﹣3x＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 是一元二次方程的解．灵活应用整体代入的方法计算． 15．【分析】把 15 移到不等式右边，两边同时除以﹣5 即可． 【解答】解：﹣5x+15≥0， 移项，得：﹣5x≥﹣15， 系数化为 1 得：x≤3． 【点评】注意不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 16．【分析】恒星的面积＝边长为 4 的正方形面积﹣半径为 2 的圆的面积，依此列式计算即 可． 【解答】解：如图． 2+2＝4， 恒星的面积＝4×4﹣4 π ＝16﹣4 π ． 故答案为 16﹣4 π ． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为 4 的正方形面积 ﹣半径为 2 的圆的面积． 17．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角， 再利用三角形的内角和等于 180°列式整理即可得解． 【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1， ∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3， ∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2， 在△ABC 中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝150°﹣∠3， ∵∠3＝55°， ∴∠1+∠2＝150°﹣55°＝95°． 故答案为：95°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角 是解题的关键，也是本题的难点． 18．【分析】分别数出图 ① 、图 ② 、图 ③ 中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三 角形的个数就是 4 与几的乘积减去 3．如图 ③ 中三角形的个数为 9＝4×3﹣3．按照这个 规律即可求出第 n 各图形中有多少三角形． 【解答】解：分别数出图 ① 、图 ② 、图 ③ 中的三角形的个数， 图 ① 中三角形的个数为 1＝4×1﹣3； 图 ② 中三角形的个数为 5＝4×2﹣3； 图 ③ 中三角形的个数为 9＝4×3﹣3； … 可以发现，第几个图形中三角形的个数就是 4 与几的乘积减去 3． 按照这个规律，如果设图形的个数为 n，那么其中三角形的个数为 4n﹣3． 故答案为 4n﹣3． 【点评】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关 键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目 难度一般偏大，属于难题． 19．【分析】过 B1 作 B1C⊥y 轴于 C，由把△ABO 绕点 O 逆时针旋转 120°后得到△A1B1O， 根据旋转的性质得到∠BOB1＝120°，OB1＝OB＝ ，解直角三角形即可得到结果． 【解答】解：过 B1 作 B1C⊥y 轴于 C， ∵把△ABO 绕点 O 逆时针旋转 120°后得到△A1B1O， ∴∠BOB1＝120°，OB1＝OB＝ ， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COB1＝30°， ∴B1C＝ OB1＝ ，OC＝ ， ∴B1（﹣ ， ）． 故答案为：（﹣ ， ）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图 形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标是解题的关键． 20．【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心 O，旋转方逆时针，旋转角度 90°， 求 B′坐标． 【解答】解：由已知 OA＝2，△OAB 是等腰直角三角形，得点 B 的坐标为（1，1），根 据旋转中心 O，旋转方向逆时针，旋转角度 90°，从而得 B′点坐标为（﹣1，1）． 【点评】本题涉及图形变换﹣﹣旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转 中心 O，旋转方逆时针，旋转角度 90°，求得 B′坐标． 三．解答题（共 8 小题） 21．【分析】利用二次根式的乘法法则运算． 【解答】解：原式＝ ﹣ ﹣ ＝6﹣6 ﹣ ＝6﹣7 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行 二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 22．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2﹣2x﹣3x﹣3＝5， 移项合并得：﹣5x＝6， 解得：x＝﹣ ， 经检验 x＝﹣ 是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程 转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 23．【分析】设另一个因式为（x+n），得 2x2+5x﹣k＝（2x﹣3）（x+n）＝2x2+（2n﹣3）x ﹣3n，可知 2n﹣3＝5，k＝3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式． 【解答】解：设另一个因式为（x+n），得 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n）＝2x2+（2n﹣5） x﹣5n， 则 解得：n＝4，k＝20， 故另一个因式为（x+4），k 的值为 20． 【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌 握因式分解． 24．【分析】（1）依据三角形内角和定理可得，∠ABC+∠ACB＝120°，进而得出∠CBM+ ∠BCN＝360°﹣120°＝240°，再根据∠CBM，∠BCN 的平分线 BD，CD 交于点 D， 即可得到，∠DBC+∠BCD＝120°，即可得出∠D＝180°﹣120°＝60°； （2）依据 DE⊥BD，BF∥DE，即可得出∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，再根据∠3 ＝∠4，可得∠1＝∠2，进而得到 BF 是∠ABC 的平分线． 【解答】解：（1）∵△ABC 中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， 又∵∠ABM＝∠ACN＝180°， ∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°， 又∵∠CBM，∠BCN 的平分线 BD，CD 交于点 D， ∴∠CBD＝ ∠CBM，∠BCD＝ ∠BCN， ∴△BCD 中，∠DBC+∠BCD＝ （∠CBM+∠BCN）＝ ×240°＝120°， ∴∠D＝180°﹣120°＝60°； （2）如图 2，∵DE⊥BD，BF∥DE， ∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°， 即∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠4＝90°， 又∵∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2， ∴BF 是∠ABC 的平分线． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质与内角和定理，熟记三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 25．【分析】作 DF⊥AC 于 F．解直角三角形分别求出 BE、EC 即可解决问题； 【解答】解：作 DF⊥AC 于 F． ∵DF：AF＝1： ，AD＝200 米， ∴tan∠DAF＝ ， ∴∠DAF＝30°， ∴DF＝ AD＝ ×200＝100（米）， ∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°， ∴四边形 DECF 是矩形， ∴EC＝DF＝100（米）， ∵∠BAC＝45°，BC⊥AC， ∴∠ABC＝45°， ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC， ∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝ 15°， ∴∠ABD＝∠BAD， ∴AD＝BD＝200（米）， 在 Rt△BDE 中，sin∠BDE＝ ， ∴BE＝BD•sin∠BDE＝200× ＝100 （米）， ∴BC＝BE+EC＝100+100 （米）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 26．【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论； （2）根据“每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件”结合每件商品降价 x 元， 即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利 50 元，即可得出降价后的每件盈利 额； （3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于 x 的一元二次方程，解之即可得 出 x 的值，再根据尽快减少库存即可确定 x 的值． 【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）． 答：若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利 1692 元． （2）∵每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件， ∴设每件商品降价 x 元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利（50﹣x）元． 故答案为：2x；50﹣x． （3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000， 整理，得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵商城要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 2000 元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式） 是解题的关键． 27．【分析】（1）设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天盈利 y 元，可得每件盈利 40﹣x 元， 每天可以售出 20+2x 件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程 1200＝（40﹣x）（20+2x）即可得到 x 的值； （2）用“配方法”即可求出 y 的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 【解答】解：（1）设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天盈利 y 元， 则 y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800， 当 y＝1200 时，1200＝（40﹣x）（20+2x）， 解得 x1＝10，x2＝20， 经检验，x1＝10，x2＝20 都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以 x＝20， 答：每件衬衫应降价 20 元； （2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当 x＝15 时，y 的最大值为 1250， 答：当每件衬衫降价 15 元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是 1250 元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的 应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关 键． 28．【分析】（1）由条件可以得出∠BMP＝∠NMQ，∠B＝∠MNC，就可以得出△PBM∽ △QNM； （2） ① 根据直角三角形的性质和中垂线的性质 BM、MN 的值，再由△PBM∽△QNM 就 可以求出 Q 的运动速度； ② 先由条件表示出 AN、AP 和 AQ，再由三角形的面积公式就可以求出其解析式． 【解答】解：（1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC， ∴∠PMN+∠PMB＝90°，∠QMN+∠PMN＝90°， ∴∠PMB＝∠QMN． ∵∠B+∠C＝90°，∠C+∠MNQ＝90°， ∴∠B＝∠MNQ， ∴△PBM∽△QNM． （2）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°， ∴BC＝2AB＝8 cm．AC＝12cm， ∵MN 垂直平分 BC， ∴BM＝CM＝4 cm． ∵∠C＝30°， ∴MN＝ CM＝4cm． ① 设 Q 点的运动速度为 v（cm/s）． ∵△PBM∽△QNM． ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴v＝1， 答：Q 点的运动速度为 1cm/s． ② ∵AN＝AC﹣NC＝12﹣8＝4cm， ∴AP＝4 ﹣ t，AQ＝4+t， ∴S＝ AP•AQ＝ （4 ﹣ t）（4+t）＝﹣ t2+8 ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的综合问题，考查了相似三角形的判定与性质的运 用，三角形的面积公式的运用的运用，解答本题时求出△PBM∽△QNM 是关键． 中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．（3 分）（20XX•娄底）20XX 的倒数为（ ） A． ﹣20XX B． 20XX C． ﹣ D． 2．（3 分）（20XX•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则 a 的取值范围是（ ） A． a≥1 B． a≤1 C． a＜1 D． a＞1 3．（3 分）（20XX•娄底）下列运算正确的是（ ） A． a6÷a3=a2 B． 5a2﹣3a2=2a C． （a3）3=a9 D． （a﹣b）2=a2﹣b2 矚慫润厲钐瘗睞枥 庑赖賃軔朧。 4．（3 分）（20XX•娄底）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是 （ ） A ． B ． C ． D． 5．（3 分）（20XX•娄底）下列命题中错误的是（ ） A． 平行四边形的对角线互相平分 B． 菱形的对角线互相垂直 C． 同旁内角互补 D． 矩形的对角线相等 6．（3 分）（20XX•娄底）某中学女子足球队 15 名队员的年龄情况如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 队员（人） 2 3 6 4 这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（ ） A． 14，15 B． 14，14.5 C． 15，15 D． 15，14 7．（3 分）（20XX•娄底）已知 a2+2a=1，则代数式 2a2+4a﹣1 的值为（ ） A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ﹣2 8．（3 分）（20XX•娄底）如图，正三棱柱的主视图为（ ） A． B． C． D． 9．（3 分）（20XX•娄底）反比例函数 y=﹣ 的图象上有两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），若 x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。 A． y1＜y2＜0 B． y1＜0＜y2 C． y1＞y2＞0 D． y1＞0＞y2 10．（3 分）（20XX•娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速 上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数 F（kg）与时间 t（s） 的函数图象大致是（ ）残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東。 A ． B ． C ． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11．（3 分）（20XX•娄底）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总 里程约为 10.8 万千米，10.8 万用科学记数法表示为．酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。 12．（3 分）（20XX•娄底）从﹣1、0、 、0.3、π、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无 理数的概率为．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤。 13．（3 分）（20XX•娄底）如图，已知 AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你 添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂。 14．（3 分）（20XX•娄底）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范 围是．厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔。 15．（3 分）（20XX•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第 7 行的第一个数为． 16．（3 分）（20XX•娄底）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为． 17．（3 分）（20XX•娄底）如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD= 度．茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞。 18．（3 分）（20XX•娄底）一块直角三角板 ABC 按如图放置，顶点 A 的坐标为（0，1），直 角顶点 C 的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点 B 的坐标为．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾。 三、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．（6 分）（20XX•娄底）计算：（ ﹣1.414）0+（ ）﹣1﹣ +2cos30°． 20．（6 分）（20XX•娄底）先化简，再求值： • + ，其中 x 是从﹣1、0、 1、2 中选取的一个合适的数．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉。 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 21．（8 分）（20XX•娄底）今年 5 月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取 了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩 m 分成 A、B、C、D 四等（A 等：90≤m≤100， B 等：80≤m＜90，C 等：60≤m＜80，D 等：m＜60），并绘制出了如图的两幅不完整的统计 图：預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅。 （1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？ （2）将图乙中条形统计图补充完整； （3）如果该校今年有九年级学生 1000 人，试估计其中 D 等学生的人数． 22．（8 分）（20XX•娄底）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路 段 MN 限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN 旁设立了观测点 C，从观 测 点 C 测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200 米， 此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞。 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分） 23．（9 分）（20XX•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为 0～ 1.5 千米，超过 1.5 千米的部分按每千米另收费．铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴。 小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 4.5 千米，付车费 10.5 元．” 小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 6.5 千米，付车费 14.5 元．” 问：（1）出租车的起步价是多少元？超过 1.5千米后每千米收费多少元？ （2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了 5.5 千米，应付车费多少元？ 24．（9 分）（20XX•娄底）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以点 A 为圆心，AC 为半径， 作⊙A，交 AB 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 E 作 A B 的平行线 EF 交⊙A 于点 F，连 接 AF，BF，DF．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无。 （1）求证：△ABC≌△ABF； （2）当∠CAB 等于多少度时，四边形 ADFE 为菱形？请给予证明． 六、解答题（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分） 25．（10 分）（20XX•娄底）如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一动点（P 与 B、C 不重合）， 连接 AP，过点 B 作 BQ⊥AP 交 CD 于点 Q，将△BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到△BQC′，延 长 QC′交 BA 的延长线于点 M．贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉。 （1）试探究 AP 与 BQ 的数量关系，并证明你的结论； （2）当 AB=3，BP=2PC，求 QM 的长； （3）当 BP=m，PC=n 时，求 AM 的长． 26．（10 分）（20XX•娄底）如图，抛物线 y=ax2+bx﹣ 经过点 A（1，0）和点 B（5，0），与 y 轴交于点 C．坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣。 （1）求此抛物线的解析式； （2）以点 A 为圆心，作与直线 BC 相切的⊙A，求⊙A 的半径； （3）在直线 BC 上方的抛物线上任取一点 P，连接 PB，PC，请问：△PBC 的面积是否存在最 大值？若存在，求出这个最大值的此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．蜡變黲癟報伥铉 锚鈰赘籜葦繯。 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻。 1．（3 分）（20XX•娄底）20XX 的倒数为（ ） A． ﹣20XX B． 20XX C． ﹣ D． 考点： 倒数． 分析： 利用倒数的定义求解即可． 解答： 解：20XX 的倒数为 ． 故选：D． 点评： 本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记倒数的定义． 2．（3 分）（20XX•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则 a 的取值范围是（ ） A． a≥1 B． a≤1 C． a＜1 D． a＞1 考点： 绝对值． 分析： 根据|a|=a 时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则 a﹣1≥0，即可求得 a 的取值范围． 解答： 解：因为|a﹣1|=a﹣1，则 a﹣1≥0， 解得：a≥1， 故选 A 点评： 此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身， 一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0．綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦。 3．（3 分）（20XX•娄底）下列运算正确的是（ ） A． a6÷a3=a2 B． 5a2﹣3a2=2a C． （a3）3=a9 D． （a﹣b）2=a2﹣b2 驅踬髏彦浃绥譎饴 憂锦諑琼针。 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 专题： 计算题． 分析： A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 解答： 解：A、原式=a3，错误； B、原式=2a2，错误； C、原式=a9，正确； D、原式=a2+b2﹣2ab，错误， 故选 C． 点评： 此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公 式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩。 4．（3 分）（20XX•娄底）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是 （ ） A ． B ． C ． D． 考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 专题： 计算题． 分析： 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集， 表示在数轴上即可． 解答： 解： ， 由①得：x≤1； 由②得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1， 表示在数轴上，如图所示： ， 故选 B． 点评：此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞， ≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集 的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示 解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈。 5．（3 分）（20XX•娄底）下列命题中错误的是（ ） A． 平行四边形的对角线互相平分 B． 菱形的对角线互相垂直 C． 同旁内角互补 D． 矩形的对角线相等 考点： 命题与定理． 分析： 根据平行四边形的性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据平行线 的性质对 C 进行判断；根据矩形的性质对 D 进行判断．構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯。 解答： 解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项为真命题； B、菱形的对角线互相垂直，所以 B 选项为真命题； C、两直线平行，同旁内角互补，所以 C 选项为假命题； D、矩形的对角线相等，所以 D 选项为真命题． 故选 C． 点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和 结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如 果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．輒峄陽檉簖疖 網儂號泶蛴镧釃。 6．（3 分）（20XX•娄底）某中学女子足球队 15 名队员的年龄情况如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 队员（人） 2 3 6 4 这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（ ） A． 14，15 B． 14，14.5 C． 15，15 D． 15，14 考点： 众数；中位数． 分析： 根据众数与中位数的意义分别进行解答即可． 解答： 解：15 出现了 6 次，出现的次数最多，则众数是 15， 把这组数据从小到大排列，最中间的数是 15； 故选 C． 点评： 本题考查了众数与中位数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是 将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）， 叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出 错．尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭。 7．（3 分）（20XX•娄底）已知 a2+2a=1，则代数式 2a2+4a﹣1 的值为（ ） A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ﹣2 考点： 代数式求值． 专题： 计算题． 分析： 原式前两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 解答： 解：∵a2+2a=1， ∴原式=2（a2+2a）﹣1=2﹣1=1， 故选 B 点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关 键． 8．（3 分）（20XX•娄底）如图，正三棱柱的主视图为（ ） A． B． C． D． 考点： 简单几何体的三视图． 分析： 根据正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，即可解答． 解答： 解：正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线． 故选：B． 点评： 本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来， 看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙。 9．（3 分）（20XX•娄底）反比例函数 y=﹣ 的图象上有两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），若 x1＜0 ＜x2，则下列结论正确的是（ ）凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗。 A． y1＜y2＜0 B． y1＜0＜y2 C． y1＞y2＞0 D． y1＞0＞y2 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 先根据反比例函数 y=﹣ 中 k=﹣2＜0 可判断出此函数图象在二、四象限，再根据 x1＜0＜x2，可判断出 A、B 两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出 y1 与 y2 的大小关系．恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐。 解答： 解：∵反比例函数 y=﹣ 中 k=﹣2＜0， ∴此函数图象在二、四象限， ∵x1＜0＜x2， ∴A（x1，y1）在第二象限；点 B（x2，y2）在第四象限， ∴y1＞0＞y2， 故选 D． 点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据 k ＜0 判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗。 10．（3分）（20XX•娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速 上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数 F（kg）与时间 t（s） 的函数图象大致是（ ）硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据。 A ． B ． C ． D． 考点： 函数的图象． 分析： 开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐 渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜。 解答： 解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变． 故选：A． 点评： 本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图 象． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11．（3 分）（20XX•娄底）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总 里程约为 10.8 万千米，10.8 万用科学记数法表示为 1.08×105．氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧。 考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞。 解答： 解：10.8 万=1.08×105． 故答案为：1.08×105． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟。 12．（3 分）（20XX•娄底）从﹣1、0、 、0.3、π、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无 理数的概率为 ．谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋鸾。 考点： 概率公式． 分析： 由从﹣1、0、 、0.3、π、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有 2 种情 况，直接利用概率公式求解即可求得答案．嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳迹。 解答： 解：∵从﹣1、0、 、0.3、π、 这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有 2 种情况，即： 、π； ∴抽取到无理数的概率为： = ． 故答案为： ． 点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13．（3 分）（20XX•娄底）如图，已知 AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你 添加的条件是∠ABD=∠CBD 或 AD=CD． ．（只需写一个，不添加辅助线）熒绐譏钲鏌觶鷹緇機 库圆鍰缄。 考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 由已知 AB=BC，及公共边 BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个 S 了， 然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添 ∠ABD=∠CBD 或 AD=CD．鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣择。 解答： 解：答案不唯一． ①∠ABD=∠CBD． 在△ABD 和△CBD 中， ∵ ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）； ②AD=CD． 在△ABD 和△CBD 中， ∵ ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）． 故答案为：∠ABD=∠CBD 或 AD=CD． 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关 键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛覲僨鴛。 14．（3 分）（20XX•娄底）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m=0 有实数根，则 m 的取值 范 围是 m≤1 ．颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷涨负這。 考点： 根的判别式． 专题： 探究型． 分析： 先根据一元二次方程 x2+2x+m=0 得出 a、b、c 的值，再根据方程有实数根列出关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可．濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減栖綜。 解答： 解：由一元二次方程 x2+2x+m=0 可知 a=1，b=2，c=m， ∵方程有实数根， ∴△=22﹣4m≥0，解得 m≤1． 故答案为：m≤1． 点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于 m 的不等式是解答此题 的关键． 15．（3 分）（20XX•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第 7 行的第一个数为 22 ． 考点： 规律型：数字的变化类． 分析： 先找到数的排列规律，求出第 n﹣1 行结束的时候一共出现的数的个数，再求第 n 行的第 1 个数，即可求出第 7 行的第 1 个数．銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼鏗穎報。 解答： 解：由排列的规律可得，第 n﹣1 行结束的时候排了 1+2+3+…+n﹣1= n（n﹣1）个 数． 所以第 n 行的第 1 个数 n（n﹣1）+1． 所以 n=7 时，第 7 行的第 1 个数为 22． 故答案为：22． 点评： 此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键． 16．（3 分）（20XX•娄底）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 6 ． 考点： 多边形内角与外角． 专题： 计算题． 分析： 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题． 解答： 解：∵多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍， 则内角和是 720 度， 720÷180+2=6， ∴这个多边形是六边形． 故答案为：6． 点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 17．（3 分）（20XX•娄底）如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD= 50 度．挤貼綬电麥结鈺贖哓类芈罷鸨。 考点： 圆周角定理． 分析： 由在⊙O 中，AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB=90°，又由 圆周角定理，可求得∠B=∠ACD=40°，继而求得答案．赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈極嚕辫。 解答： 解：∵在⊙O 中，AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠B=∠ACD=40°， ∴∠BAD=90°﹣∠B=50°． 故答案为：50． 点评： 此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．塤礙籟馐决穩賽釙冊庫 麩适绲。 18．（3 分）（20XX•娄底）一块直角三角板 ABC 按如图放置，顶点 A 的坐标为（0，1），直 角顶点 C 的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点 B 的坐标为 （﹣3﹣ ，3 ） ．裊樣祕廬 廂颤谚鍘羋蔺递灿扰。 考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质． 分析： 过点 B 作 BD⊥OD 于点 D，根据△ABC 为直角三角形可证明△BCD∽△COA，设点 B 坐标为（x，y），根据相似三角形的性质即可求解．仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁絛鯛鱧。 解答： 解：过点 B 作 BD⊥OD 于点 D， ∵△ABC 为直角三角形， ∴∠BCD+∠CAO=90°， ∴△BCD∽△COA， ∴ = ， 设点 B 坐标为（x，y）， 则 = ， y=﹣3x﹣9， ∴BC= = ， AC= = ， ∵∠B=30°， ∴ = = ， 解得：x=﹣3﹣ ， 则 y=3 ． 即点 B 的坐标为（﹣3﹣ ，3 ）． 故答案为：（﹣3﹣ ，3 ）． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是作 出合适的辅助线，证明三角形的相似，进而求解．绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧恒蟬轅。 三、解答题（本大题共 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19．（6 分）（20XX•娄底）计算：（ ﹣1.414）0+（ ）﹣1﹣ +2cos30°． 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项 利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙骠弒綈。 解答： 解：原式=1+3﹣ +2× =4． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（6 分）（20XX•娄底）先化简，再求值： • + ，其中 x 是从﹣1、0、 1、2 中选取的一个合适的数．瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉貿锕戧。 考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算， 然后再约分得到原式= ，由于 x 不能取±1，2，所以把 x=0 代入计算即可．鎦诗涇艳损楼紲 鯗餳類碍穑鳓。 解答： 解：原式= • + = + = = ， 当 x=0 时，原式= =﹣ ． 点评： 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求 出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要 进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬奧伛辊。 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 21．（8 分）（20XX•娄底）今年 5 月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取 了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩 m 分成 A、B、C、D 四等（A 等：90≤m≤100， B 等：80≤m＜90，C 等：60≤m＜80，D 等：m＜60），并绘制出了如图的两幅不完整的统计 图：辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应頁諳绞。 （1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？ （2）将图乙中条形统计图补充完整； （3）如果该校今年有九年级学生 1000 人，试估计其中 D 等学生的人数． 考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析： （1）抽查人数可由 B 等所占的比例为 50%，根据总数=某等人数÷比例来计算； （2）可由总数减去 A、B、D 的人数求得 C 等的人数，再画直方图； （3）用样本估计总体，先计算出 D 等学生所占的百 分比，再乘以 1000 即可解答． 解答： 解：（1）∵B 等人数为 100 人，所占比例为 50%， ∴抽取的学生数=100÷50%=200（名）； （2）C 等的人数=200﹣100﹣40﹣10=50（人）； 如图所示： （3）D 等学生所占的百分比为： =5%， 故该校今年有九年级学生 1000 人，其中 D 等学生的人数为：1000×5%=50（人）． 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键．会画条形统计图．峴扬斕滾澗辐滠兴渙藺诈機愦。 22．（8 分）（20XX•娄底）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路 段 MN 限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN 旁设立了观测点 C，从观测 点 C 测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200 米， 此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜靈韬鰍。 考点： 勾股定理的应用． 分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出 BH，CH，AB 的长进而求出汽车的速度，进而 得出答案． 解答： 解：此车没有超速． 理由：过 C 作 CH⊥MN， ∵∠CBN=60°，BC=200 米， ∴CH=BC•sin60°=200× =100 （米）， BH=BC•cos60°=100（米）， ∵∠CAN=45°， ∴AH=CH=100 米， ∴AB=100 ﹣100≈73（m）， ∵60 千米/小时= m/s， ∴ =14.6（m/s）＜ ≈16.7（m/s）， ∴此车没有超速． 点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出 AB 的长是解题关键． 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分） 23．（9 分）（20XX•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为 0～ 1.5 千米，超过 1.5 千米的部分按每千米另收费．则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷华缙輅。 小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 4.5 千米，付车费 10.5 元．” 小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了 6.5 千米，付车费 14.5 元．” 问：（1）出租车的起步价是多少元？超过 1.5 千米后每千米收费多少元？ （2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了 5.5 千米，应付车费多少元？ 考点： 二元一次方程组的应用． 分析： （1）设出租车的起步价是 x 元，超过 1.5 千米后每千米收费 y 元．根据他们的对话 列出方程组并解答；胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻锵咏繞。 （2）5.5 千米分两段收费：1.5 千米、（5.5﹣1.5）千米．根据（1）中的单价进行计算． 解答： 解：（1）设出租车的起步价是 x 元，超过 1.5 千米后每千米收费 y 元． 依题意得， ， 解得 ． 答：出租车的起步价是 元，超过 1.5 千米后每千米收费 2 元； （2） +（5.5﹣1.5）×2=12.5（元）． 答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了 5.5 千米，应付车费 12.5 元． 点评： 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一 般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关 键．鳃躋峽祷紉诵帮废掃減萵輳慘。 24．（9 分）（20XX•娄底）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以点 A 为圆心，AC 为半径， 作⊙A，交 AB 于点 D，交 CA 的延长线于点 E，过点 E 作 AB 的平行线 EF 交⊙A 于点 F，连接 AF，BF，DF．稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜椤灣鲳。 （1）求证：△ABC≌△ABF； （2）当∠CAB 等于多少度时，四边形 ADFE 为菱形？请给予证明． 考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理． 分析： （1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用 SAS 证得两三角形全等即 可； （2）当∠CAB=60°时，四边形 ADFE 为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°， 从而得到 EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形 ADFE 是菱形．陽簍 埡鲑罷規呜旧岿錟麗鲍轸。 解答： 解：（1）证明：∵EF∥AB， ∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB， ∵∠E=∠EFA， ∴∠FAB=∠CAB， 在△ABC 和△ABF 中， ， ∴△ABC≌△ABF； （2）当∠CAB=60°时，四边形 ADFE 为菱形． 证明：∵∠CAB=60°， ∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°， ∴EF=AD=AE， ∴四边形 ADFE 是菱形． 点评： 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关 键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應釵蔼绋。 六、解答题（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分） 25．（10 分）（20XX•娄底）如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一动点（P 与 B、C 不重合）， 连接 AP，过点 B 作 BQ⊥AP 交 CD 于点 Q，将△BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到△BQC′，延 长 QC′交 BA 的延长线于点 M．钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺缔嵛恽。 （1）试探究 AP 与 BQ 的数量关系，并证明你的结论； （2）当 AB=3，BP=2PC，求 QM 的长； （3）当 BP=m，PC=n 时，求 AM 的长． 考点： 四边形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性 质． 专题： 综合题． 分析： （1）要证 AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB 即可； （2）过点 Q 作 QH⊥AB 于 H，如图．易得 QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理 可求得 AP（即 BQ）= ，BH=2．易得 DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．由折叠可得 ∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到 MQ=MB．设 QM=x，则有 MB=x，MH=x ﹣2．在 Rt△MHQ 中运用勾股定理就可解决问题；懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮揚銥鯊。 （3）过点 Q 作 QH⊥AB 于 H，如图，同（2）的方法求出 QM 的长，就可得到 AM 的长． 解答： 解：（1）AP=BQ． 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°， ∴∠ABQ+∠CBQ=90°． ∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°， ∴∠PAB=∠CBQ． 在△PBA 和△QCB 中， ， ∴△PBA≌△QCB， ∴AP=BQ； （2）过点 Q 作 QH⊥AB 于 H，如图． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴QH=BC=AB=3． ∵BP=2PC， ∴BP=2，PC=1， ∴BQ=AP= = = ， ∴BH= = =2． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴DC∥AB， ∴∠CQB=∠QBA． 由折叠可得∠C′QB=∠CQB， ∴∠QBA=∠C′QB， ∴MQ=MB． 设 QM=x，则有 MB=x，MH=x﹣2． 在 Rt△MHQ 中， 根据勾股定理可得 x2=（x﹣2）2+32， 解得 x= ． ∴QM 的长为 ； （3）过点 Q 作 QH⊥AB 于 H，如图． ∵四边形 ABCD 是正方形，BP=m，PC=n， ∴QH=BC=AB=m+n． ∴BQ2=AP2=AB2+PB2， ∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2， ∴BH=PB=m． 设 QM=x，则有 MB=QM=x，MH=x﹣m． 在 Rt△MHQ 中， 根据勾股定理可得 x2=（x﹣m）2+（m+n）2， 解得 x=m+n+ ， ∴AM=MB﹣AB=m+n+ ﹣m﹣n= ． ∴AM 的长为 ． 点评： 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性 质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．謾 饱兗争詣繚鮐癞别瀘鯽礎輪。 26．（10 分）（20XX•娄底）如图，抛物线 y=ax2+bx﹣ 经过点 A（1，0）和点 B（5，0），与 y 轴交于点 C．呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚趱為練。 （1）求此抛物线的解析式； （2）以点 A 为圆心，作与直线 BC 相切的⊙A，求⊙A 的半径； （3）在直线 BC 上方的抛物线上任取一点 P，连接 PB，PC，请问：△PBC 的面积是否存在最 大值？若存在，求出这个最大值的此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．莹谐龌蕲賞组靄 绉嚴减籩诹戀。 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）把 A、B 两点分别代入抛物线解析可求得 a 和 b，可求得抛物线解析式； （2）过 A 作 AD⊥BC 于点 D，则 AD 为⊙A 的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，利用相 似三角形的性质可求得 AD 的长，可求得半径；麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶尔摊鲟。 （3）由待定系数法可求得直线 BC 解析式，过 P 作 PQ∥y 轴，交直线 BC 于点 Q，交 x 轴于 点 E，可设出 P、Q 的坐标，可表示出△PQC 和△PQB 的面积，可表示出△PBC 的面积，再 利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得 P 点坐标．納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬颤階躜。 解答： 解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx﹣ 经过点 A（1，0）和点 B（5，0）， ∴把 A、B 两点坐标代入可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+2x﹣ ； （2）过 A 作 AD⊥BC 于点 D，如图 1， ∵⊙A 与 BC 相切， ∴AD 为⊙A 的半径， 由（1）可知 C（0，﹣ ），且 A（1，0），B（5，0）， ∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC= ， 在 Rt△OBC 中，由勾股定理可得 BC= = = ， ∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO， ∴△ABD∽△CBO， ∴ = ，即 = ，解得 AD= ， 即⊙A 的半径为 ； （3）∵C（0，﹣ ）， ∴可设直线 BC 解析式为 y=kx﹣ ， 把 B 点坐标代入可求得 k= ， ∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣ ， 过 P 作 PQ∥y 轴，交直线 BC 于点 Q，交 x 轴于点 E，如图 2， 设 P（x，﹣ x2+2x﹣ ），则 Q（x， x﹣ ）， ∴PQ=（﹣ x2+2x﹣ ）﹣（ x﹣ ）=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ= PQ•OE+ PQ•BE= PQ（OE+BE）= PQ•OB= PQ=﹣ （x﹣ ） 2+ ，風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙誑繃纸。 ∴当 x= 时，S△P BC 有最大值 ，此时 P 点坐标为（ ， ）， ∴当 P 点坐标为（ ， ）时，△PBC 的面积有最大值． 点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形 的 判定和性质、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确 定出⊙A 的半径是解题的关键，在（3）中用 P 点坐标表示出△PBC 的面积是解题的关键．本 题考查知识点较多，计算量大，综合性较强．灭嗳骇諗鋅猎輛觏馊藹狰廚怃。 中考数学试题 一 、 选 择 题 （ 共 12 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 ） 1.有 理 数 -3 的 相 反 数 是 A.3. B.-3. C. 3 1 D. 3 1 . 2.函 数 2 xy 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 A.x≥0. B.x≥-2. C.x≥2. D.x≤-2. 3.如 图 ， 数 轴 上 表 示 的 是 某 不 等 式 组 的 解 集 ， 则 这 个 不 等 式 组 可 能 是 A.x+1>0， x-3>0. B.x+1>0， 3-x>0. C.x+1<0， x-3>0. D.x+1<0， 3-x>0. 4.下 列 事 件 中 ， 为 必 然 事 件 的 是 A.购 买 一 张 彩 票 ， 中 奖 . B.打 开 电 视 ， 正 在 播 放 广 告 . C.抛 掷 一 枚 硬 币 ， 正 面 向 上 . D.一 个 袋 中 只 装 有 5 个 黑 球 ， 从 中 摸 出 一 个 球 是 黑 球 . 5.若 x 1， x2 是 一 元 二 次 方 程 x2+4x+3=0 的 两 个 根 ， 则 x1x 2 的 值 是 A.4. B.3. C.-4. D.-3. 6.据 报 道 ，2011 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 计 划 约 675 万 人 .数 6750000 用 科 学 计 数 法 表 示 为 A.675×10 4 . B.67.5×10 5. C.6.75×10 6. D.0.675×10 7. 7.如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AB∥ DC， AD=DC=CB， 若 ∠ ABD＝ 25°， 则 ∠ BAD 的 大 小 是 A.40°. B.45°. C.50°. D.60°. 8.右 图 是 某 物 体 的 直 观 图 ， 它 的 俯 视 图 是 9.在 直 角 坐 标 系 中 ， 我 们 把 横 、 纵 坐 标 都 是 整 数 的 点 叫 做 整 点 .且 规 定 ， 正 方 形 的 内 部 不 包 含 边 界 上 的 点 .观 察 如 图 所 示 的 中 心 在 原 点 、一 边 平 行 于 x 轴 的 正 方 形 ：边 长 为 1 的 正 方 形 内 部 有 1 个 整 点 ，边 长 为 2 的 正 方 形 内 部 有 1 个 整 点 ，边 长 为 3 的 正 方 形 内 部 有 9 个 整 点 ， …则 边 长 为 8 的 正 方 形 内 部 的 整 点 的 个 数 为 A.64. B.49. C.36. D.25. 10. 如 图 ， 铁 路 MN 和 公 路 PQ 在 点 O 处 交 汇 ， ∠ QON=30°.公 路 PQ 上 A 处 距 离 O 点 240 米 .如 果 火 车 行 驶 时 ，周 围 200 米 以 内 会 受 到 噪 音 的 影 响 . 那 么 火 车 在 铁 路 MN 上 沿 ON 方 向 以 72 千 米 /时 的 速 度 行 驶 时 ， A 处 受 噪 音 影 响 的 时 间 为 A.12 秒 . B.16 秒 . C.20 秒 . D.24 秒 . 11.为 广 泛 开 展 阳 光 健 身 活 动 ， 2010 年 红 星 中 学 投 入 维 修 场 地 、 安 装 设 施 、 购 置 器 材 及 其 它 项 目 的 资 金 共 38 万 元 .图 1、 图 2 分 别 反 映 的 是 2010 年 投 入 资 金 分 配 和 2008 年 以 来 购 置 器 材 投 入 资 金 的 年 增 长 率 的 具 体 数 据 . 根 据 以 上 信 息 ， 下 列 判 断 ： 1 在 2010 年 总 投 入 中 购 置 器 材 的 资 金 最 多 ； 2 ② 2009 年 购 置 器 材 投 入 资 金 比 2010 年 购 置 器 材 投 入 资 金 多 8%； 3 ③ 若 2011 年 购 置 器 材 投 入 资 金 的 年 增 长 率 与 2010 年 购 置 器 材 投 入 资 金 的 年 增 长 率 相 同 ， 则 2011 年 购 置 器 材 的 投 入 是 38×38%×（ 1+32%） 万 元 . 其 中 正 确 判 断 的 个 数 是 A.0. B.1. C.2. D.3. 12.如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， AB=BD， 点 E， F 分 别 在 AB， AD 上 ， 且 AE=DF.连 接 BF 与 DE 相 交 于 点 G， 连 接 CG 与 BD 相 交 于 点 H.下 列 结 论 ： ① △ AED≌ △ DFB； ② S 四 边 形 BCDG = 4 3 CG 2； ③ 若 AF=2DF， 则 BG=6GF.其 中 正 确 的 结 论 A. 只 有 ① ② . B.只 有 ① ③ .C.只 有 ② ③ . D.① ② ③ . 二 、 填 空 题 （ 共 4 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 12 分 ） . 13.sin30°的 值 为 _____. 14.某 次 数 学 测 验 中 ， 五 位 同 学 的 分 数 分 别 是 ： 89， 91， 105， 105， 110.这 组 数 据 的 中 位 数 是 _____， 众 数 是 _____， 平 均 数 是 _____. 15.一 个 装 有 进 水 管 和 出 水 管 的 容 器 ， 从 某 时 刻 起 只 打 开 进 水 管 进 水 ，经 过 一 段 时 间 ，再 打 开 出 水 管 放 水 .至 12 分 钟 时 ，关 停 进 水 管 .在 打 开 进 水 管 到 关 停 进 水 管 这 段 时 间 内 ， 容 器 内 的 水 量 y （ 单 位 ：升 ）与 时 间 x（ 单 位 ：分 钟 ）之 间 的 函 数 关 系 如 图 所 示 . 关 停 进 水 管 后 ， 经 过 _____分 钟 ， 容 器 中 的 水 恰 好 放 完 . 16.如 图 ， □ABCD 的 顶 点 A， B 的 坐 标 分 别 是 A（ -1， 0）， B（ 0， -2）， 顶 点 C， D 在 双 曲 线 y= x k 上 ， 边 AD 交 y 轴 于 点 E， 且 四 边 形 BCDE 的 面 积 是 △ ABE 面 积 的 5 倍 ， 则 k=_____. 三 、 解 答 题 （ 共 9 小 题 ， 共 72 分 ） 17.（ 本 题 满 分 6 分 ） 解 方 程 ： x2 +3x+1=0. 18.（ 本 题 满 分 6 分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： )4(22 xxx xx  ， 其 中 x=3. 19.（ 本 题 满 分 6 分 ）如 图 ，D，E，分 别 是 AB，AC 上 的 点 ， 且 AB=AC， AD=AE.求 证 ∠ B=∠ C. 20.（ 本 题 满 分 7 分 ） 经 过 某 十 字 路 口 的 汽 车 ， 它 可 能 继 续 直 行 ， 也 可 能 向 左 转 或 向 右 转 .如 果 这 三 种 可 能 性 大 小 相 同 ， 现 有 两 辆 汽 车 经 过 这 个 十 字 路 口 . （ 1） 试 用 树 形 图 或 列 表 法 中 的 一 种 列 举 出 这 两 辆 汽 车 行 驶 方 向 所 有 可 能 的 结 果 ； （ 2） 求 至 少 有 一 辆 汽 车 向 左 转 的 概 率 . 21.（ 本 题 满 分 7 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， △ ABC 的 顶 点 坐 标 是 A（ -7， 1）， B（ 1， 1）， C（ 1， 7） .线 段 DE 的 端 点 坐 标 是 D（ 7， -1）， E（ -1， -7） . （ 1） 试 说 明 如 何 平 移 线 段 AC， 使 其 与 线 段 ED 重 合 ； （ 2）将 △ ABC 绕 坐 标 原 点 O 逆 时 针 旋 转 ，使 AC 的 对 应 边 为 DE，请 直 接 写 出 点 B 的 对 应 点 F 的 坐 标 ； （ 3） 画 出 （ 2） 中 的 △ DEF， 并 和 △ ABC 同 时 绕 坐 标 原 点 O 逆 时 针 旋 转 90°， 画 出 旋 转 后 的 图 形 . 22.（ 本 题 满 分 8 分 ） 如 图 ， PA 为 ⊙ O 的 切 线 ， A 为 切 点 .过 A 作 OP 的 垂 线 AB， 垂 足 为 点 C， 交 ⊙ O 于 点 B.延 长 BO 与 ⊙ O 交 于 点 D， 与 PA 的 延 长 线 交 于 点 E. （ 1） 求 证 ： PB 为 ⊙ O 的 切 线 ； （ 2） 若 tan∠ ABE= 2 1 ， 求 sinE 的 值 . 23.（ 本 题 满 分 10 分 ） 星 光 中 学 课 外 活 动 小 组 准 备 围 建 一 个 矩 形 生 物 苗 圃 园 .其 中 一 边 靠 墙 ， 另 外 三 边 用 长 为 30 米 的 篱 笆 围 成 .已 知 墙 长 为 18 米（ 如 图 所 示 ），设 这 个 苗 圃 园 垂 直 于 墙 的 一 边 的 长 为 x 米 . （ 1）若 平 行 于 墙 的 一 边 的 长 为 y 米 ，直 接 写 出 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 及 其 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ； （ 2） 垂 直 于 墙 的 一 边 的 长 为 多 少 米 时 ， 这 个 苗 圃 园 的 面 积 最 大 ， 并 求 出 这 个 最 大 值 ； （ 3）当 这 个 苗 圃 园 的 面 积 不 小 于 88 平 方 米 时 ，试 结 合 函 数 图 像 ， 直 接 写 出 x 的 取 值 范 围 . 24.（ 本 题 满 分 10 分 ） （ 1） 如 图 1， 在 △ ABC 中 ， 点 D， E， Q 分 别 在 AB， AC， BC 上 ， 且 DE∥ BC， AQ 交 DE 于 点 P.求 证 ： QC PE BQ DP  . （ 2） 如 图 ，在 △ ABC 中 ，∠ BAC=90°，正 方 形 DEFG 的 四 个 顶 点 在 △ ABC 的 边 上 ， 连 接 AG， AF 分 别 交 DE 于 M， N 两 点 . ① 如 图 2， 若 AB=AC=1， 直 接 写 出 MN 的 长 ； ② 如 图 3， 求 证 MN 2=DM·EN. 25.（ 本 题 满 分 12 分 ）如 图 1，抛 物 线 y=ax 2+bx+3 经 过 A（ -3，0），B（ -1，0） 两 点 . （ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2） 设 抛 物 线 的 顶 点 为 M， 直 线 y=-2x+9 与 y 轴 交 于 点 C， 与 直 线 OM 交 于 点 D.现 将 抛 物 线 平 移 ，保 持 顶 点 在 直 线 OD 上 .若 平 移 的 抛 物 线 与 射 线 CD（ 含 端 点 C） 只 有 一 个 公 共 点 ， 求 它 的 顶 点 横 坐 标 的 值 或 取 值 范 围 ； （ 3） 如 图 2， 将 抛 物 线 平 移 ， 当 顶 点 至 原 点 时 ， 过 Q（ 0， 3） 作 不 平 行 于 x 轴 的 直 线 交 抛 物 线 于 E，F 两 点 .问 在 y 轴 的 负 半 轴 上 是 否 存 在 点 P，使 △ PEF 的 内 心 在 y 轴 上 .若 存 在 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 答案 一 、 选 择 题 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.B 11.C 12.D 二 、 填 空 题 13.1/2 14.105； 105;100 15.8 16.12 三 、 解 答 题 17.(本 题 6 分 )解 ： ∵a=1,b=3,c=1∴△=b 2 -4ac=9-4×1×1＝ 5＞ 0∴x=-3± 2 5 ∴x 1 =-3+ 2 5 ， x 2 =-3- 2 5 18.( 本 题 6 分 ) 解 ： 原 式 ＝ x(x-2)/x÷(x+2)(x-2)/x=x(x-2)/x· x/(x+2)(x-2)＝ x/(x+2) ∴当 x=3 时 ， 原 式 =3/5 19.(本 题 6 分 )解 ： 证 明 ： 在 △ABE 和 △ACD 中 ， AB＝ AC ∠A＝ ∠A AE＝ AD ∴△ABE≌△ACD ∴∠B=∠C 20.(本 题 7 分 )解 法 1： （ 1） 根 据 题 意 ， 可 以 画 出 如 下 的 “树 形 图 ”： ∴这 两 辆 汽 车 行 驶 方 向 共 有 9 种 可 能 的 结 果 （ 2）由（ 1）中 “树 形 图 ”知 ，至 少 有 一 辆 汽 车 向 左 转 的 结 果 有 5 种 ， 且 所 有 结 果 的 可 能 性 相 等 ∴P（ 至 少 有 一 辆 汽 车 向 左 转 ） ＝ 5/9 解 法 2： 根 据 题 意 ， 可 以 列 出 如 下 的 表 格 ： 以 下 同 解 法 1（ 略 ） 21.( 本 题 7 分 )（ 1） 将 线 段 AC 先 向 右 平 移 6 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 8 个 单 位 .（ 其 它 平 移 方 式 也 可 ） （ 2） F（ － 1,-1） 左 直 右 左 （ 左 ， 左 ） （ 左 ， 直 ） （ 左 ， 右 ） 直 （ 直 ， 左 ） （ 直 ， 直 ） （ 直 ， 右 ） 右 （ 右 ， 左 ） （ 右 ， 直 ） （ 右 ， 右 ） （ 3） 画 出 如 图 所 示 的 正 确 图 形 22.(本 题 8 分 )（ 1） 证 明 ： 连 接 OA ∵PA 为 ⊙O 的 切 线 ， ∴∠PAO=90° ∵OA＝ OB， OP⊥AB 于 C ∴BC＝ CA， PB＝ PA ∴△PBO≌△PAO ∴∠PBO＝ ∠PAO＝ 90° ∴PB 为 ⊙O 的 切 线 （ 2） 解 法 1： 连 接 AD， ∵BD 是 直 径 ， ∠BAD＝ 90° 由 （ 1） 知 ∠BCO＝ 90° ∴AD∥OP ∴△ADE∽△POE ∴EA/EP ＝ AD/OP 由 AD∥OC 得 AD ＝ 2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2， 设 OC＝ t,则 BC＝ 2t,AD=2t 由 △PBC∽△BOC， 得 PC＝ 2BC＝ 4t， OP＝ 5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5， 可 设 EA＝ 2m,EP=5m,则 PA=3m ∵PA=PB∴PB=3m ∴sinE=PB/EP=3/5 （ 2） 解 法 2： 连 接 AD， 则 ∠BAD＝ 90°由 （ 1） 知 ∠BCO＝ 90°∵由 AD∥OC， ∴AD ＝ 2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2, 设 OC ＝ t ， BC ＝ 2t ， AB=4t 由 △PBC∽△BOC， 得 PC＝ 2BC＝ 4t， ∴PA＝ PB＝ 2 5 t 过 A 作 AF⊥PB 于 F， 则 AF·PB=AB·PC ∴AF= 5 58 t 进 而 由 勾 股 定 理 得 PF＝ 5 56 t ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5 23.(本 题 10 分 )解 ： （ 1） y=30-2x(6≤x<15) （ 2 ） 设 矩 形 苗 圃 园 的 面 积 为 S 则 S=xy=x(30-2x)=-2x 2 +30x ∴S=-2(x-7.5) 2 +112.5 由 （ 1） 知 ， 6≤x<15∴当 x=7.5 时 ,S 最 大 值 ＝ 112.5 即 当 矩 形 苗 圃 园 垂 直 于 墙 的 边 长 为 7.5 米 时 ， 这 个 苗 圃 园 的 面 积 最 大 ， 最 大 值 为 112.5（ 3） 6≤x≤11 24. （ 本 题 10 分 ） （ 1 ） 证 明 ： 在 △ABQ 中 ， 由 于 DP∥BQ ， ∴△ADP∽△ABQ， ∴DP/BQ＝ AP/AQ. 同 理 在 △ACQ 中 ， EP/CQ＝ AP/AQ. ∴DP/BQ＝ EP/CQ.（ 2） 9 2 9. （ 3 ） 证 明 ： ∵∠B+∠C=90° ， ∠CEF+∠C=90°.∴∠B=∠CEF ， 又 ∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC.……3 分 ∴DG/CF＝ BG/EF，∴DG·EF＝ CF·BG 又 ∵DG＝ GF＝ EF， ∴GF 2 ＝ CF·BG 由 （ 1） 得 DM/BG＝ MN/GF＝ EN/CF∴（ MN/GF） 2＝ (DM/BG)·(EN/CF) ∴MN 2 ＝ DM·EN 25.（ 1） 抛 物 线 y=ax 2 +bx+3 经 过 A（ -3,0） ， B（ -1,0） 两 点 ∴9a-3b+3＝ 0 且 a-b+3＝ 0 解 得 a＝ 1 b＝ 4∴抛 物 线 的 解 析 式 为 y=x 2 +4x+3（ 2）由（ 1）配 方 得 y=(x+2) 2 -1∴ 抛 物 线 的 顶 点 M（ -2， ,1） ∴直 线 OD 的 解 析 式 为 y= 2 1 x 于 是 设 平 移 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 （ h， 2 1 h） ， ∴平 移 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=（ x-h） 2 + 2 1 h.①当 抛 物 线 经 过 点 C 时 ， ∵C（ 0， 9） ， ∴h 2 + 2 1 h=9， 解 得 h= 4 1451-  . ∴ 当 4 145-1- ≤h< 4 1451-  时 ， 平 移 的 抛 物 线 与 射 线 CD 只 有 一 个 公 共 点 . ②当 抛 物 线 与 直 线 CD 只 有 一 个 公 共 点 时 ， 由 方 程 组 y=（ x-h） 2 + 2 1 h,y=-2x+9. 得 x 2 +（ -2h+2）x+h 2 + 2 1 h-9=0，∴△=（ -2h+2） 2 -4（ h 2 + 2 1 h-9）=0， 解 得 h=4. 此 时 抛 物 线 y=（ x-4） 2 +2 与 射 线 CD 唯 一 的 公 共 点 为（ 3，3），符 合 题 意 . 综 上 ： 平 移 的 抛 物 线 与 射 线 CD 只 有 一 个 公 共 点 时 ， 顶 点 横 坐 标 的 值 或 取 值 范 围 是 h=4 或 4 145-1- ≤h< 4 1451-  . （ 3） 方 法 1 将 抛 物 线 平 移 ，当 顶 点 至 原 点 时 ，其 解 析 式 为 y=x 2 ， 设 EF 的 解 析 式 为 y=kx+3（ k≠0） . 假 设 存 在 满 足 题 设 条 件 的 点 P（ 0，t），如 图 ，过 P 作 GH∥x 轴 ，分 别 过 E，F 作 GH 的 垂 线 ，垂 足 为 G，H.∵△PEF 的 内 心 在 y 轴 上 ， ∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP ， ∴△GEP∽△HFP， ...............9 分 ∴GP/PH=GE/HF, ∴-x E /x F =(y E -t)/(y F -t)=(kx E +3-t)/(kx F +3-t) ∴2kx E ·x F =（ t-3） （ x E +x F ） 由 y=x 2 ， y=-kx+3.得 x 2 -kx-3=0. ∴x E +x F =k,x E ·x F =-3.∴2k （ -3 ） = （ t-3 ） k,∵k≠0,∴t=-3.∴y 轴 的 负 半 轴 上 存 在 点 P（ 0， -3） ， 使 △PEF 的 内 心 在 y 轴 上 . 方 法 2 设 EF 的 解 析 式 为 y=kx+3（ k≠0） ,点 E， F 的 坐 标 分 别 为（ m,m 2 ）（ n,n 2 ）由 方 法 1 知 ：mn=-3.作 点 E 关 于 y 轴 的 对 称 点 R（ -m,m 2 ） ,作 直 线 FR 交 y 轴 于 点 P， 由 对 称 性 知 ∠EPQ=∠FPQ，∴点 P 就 是 所 求 的 点 .由 F,R 的 坐 标 ， 可 得 直 线 FR 的 解 析 式 为 y=（ n-m） x+mn.当 x=0， y=mn=-3,∴P（ 0， -3） .∴y 轴 的 负 半 轴 上 存 在 点 P（ 0,-3）， 使 △PEF 的 内 心 在 y 轴 上 . 善 数 学 （满分150 分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分．不需写出解答过程，请把最后结果 填在题后括号内． 1．（2018 湖北宜昌，1，3 分） 2018 的绝对值是( ) A． 2018 B． 2018 C． 1 2018 D． 1 2018  【答案】A 【解析】 2018 0 2018 2018   ＜ ，∴ ，故选择A. 【知识点】绝对值的意义. 2．（2018 湖北宜昌，2，3 分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】D 图沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合，故选择 D. 【知识点】轴对称图形的概念. 3．（2018 湖北宜昌，3，3 分） 工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书（2018）》显 示，2017 年湖北数字经济总量 1.21 万亿元，列全国第七位、中部第一位.“1.21 万” 用科学记数法表示为（ ） A． 31.21 10 B． 312.1 10 C． 41.21 10 D． 50.121 10 【答案】C 【解析】 41.21 = =1.21 10 万 12100 ，故选择C. 【知识点】科学记数法——表示较大的数. 4．（2018 湖北宜昌，4，3 分）计算 24 ( 2) 5    （ ） A． 16 B．16 C. 20 D． 24 【答案】D 【解析】 24 ( 2) 5 4 4 5 4 20 24, D.         故选择 【知识点】有理数的计算，有理数的运算顺序. 5．（2018 湖北宜昌，5，3 分） 在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉子，这 个字是“绿”的概率为( ) A． 3 10 B． 1 10 C. 1 9 D． 1 8 【答案】B 【解析】∵在“绿水青山就是金山银山”中，共有 10 个字，只有 1 个“绿”，∴“绿”的概 率为 1 10 . 【知识点】概率. 6．（2018 湖北宜昌，6，3 分）如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左 视图是( ) A． B． C. D． 【答案】 C 【解析】左视图表示从左边看到的图形，故选择 C. 【知识点】几何体的三视图. 7．（2018 湖北宜昌，7，3 分）下列运算正确的是( ) A． 2 2 4x x x  B． 3 2 6x x x C. 4 2 22 2x x x  D． 2 2(3 ) 6x x 【答案】C 【 解 析 】 2 2 22 , Ax x x   选项错误. 3 2 5x x x  , B 选项错误. 2 2(3 ) 9 , Dx x  选项错误.故选 择 C. 【知识点】整式的运算. 8．（2018 湖北宜昌，8，3 分）1261 年，我国南宋数学家杨辉用下图中的三角形解释二项和 的惩罚规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”.请观 察图中的数字排列规律，则 ,a b ， c 的值分别为( ) (第 8 题图) A. 1, 6, 15a b c   B． 6, 15, 20a b c   C. 15, 20, 15a b c   D． 20, 15, 6a b c   【答案】B 【解析】 1 5 6 5 10 15 10 10 20 Ba b c          , , , 选项正确. 【知识点】据数字排列，找规律. 9．（2018 湖北宜昌，9，3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E, F 分别是对角线 AC 上 的两点,  EG AB , EI AD , FH AB ，FJ AD ，垂足分别为 G I, H, J， ，则图中 阴影部分的面积等于( ) (第 9 题图) A．1 B． 1 2 C. 1 3 D． 1 4 【答案】B 【解析】图形沿直线 AC 折叠，直线两旁的阴影部分可合并到△ABC 中，△ABC 的面积为正 方形 ABCD 的面积的一半，故选择 B. 【知识点】轴对称图形，翻折. 10．（2018 湖北宜昌，10，3 分）为参加学校举办的“诗意校园·致远方”朗诵艺术大赛， 八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛.这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是 90，方差是 2；小强五次成绩的平均数也是 90，方差是 14.8.下列说法正确的是( ) A.小明的成绩比小强稳定 B.小明、小强两人成绩一样稳定 C.小强的成绩比小明稳定 D.无法确定小明、小强的成绩谁更稳定 【答案】A 【解析】方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，在样本容 量相同或极为接近的时候，比较方差才可以判断其稳定性，故选择 A. 【知识点】平均数，方差与稳定性. 11．（2018 湖北宜昌，11，3 分） 如图，在平面直角坐标系中，把 ABC△ 绕原点O 旋转 180° 得到 CDA△ .点 A B C, , 的坐标分别为 ( 5, 2) , ( 2 2) (5 2)  ， ， ， ，则点 D 的坐标为 ( ) (第 11 题图) A． (2, 2) B． (2 -2), C.  (2,5) D． ( 2,5) 【答案】A 【解析】在平面直角坐标系中，把 ABC△ 绕原点 O 旋转 180°得到 CDA△ .点 B 与点 D 关于 原点对称，故选择 A. 【知识点】中心对称图形，旋转，平面直角坐标系，点的坐标. 12．（2018 湖北宜昌，12，3 分）如图，直线 AB 是 O 的切线，C 为切点， / /OD AB 交 O 于点 D ，点 E 在 O 上，连接 OC EC ED, , ，则 CED 的度数为( ) (第 12 题图) A．30° B．35° C.40° D．45° 【答案】D 【解析】∵直线 AB 是 O 的切线，C 为切点，∴∠OCB=90°，∵ / /OD AB ，∴∠COD=90°， ∴∠CED=45°，故选择 D. 【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质. 13．（201 湖北宜昌，13，3 分） 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.下列 作图中正确的是( ) A. B. C. D. (第 13 题图) 【答案】B 【解析】经过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图为:以这点为圆心画弧，再以和 直线的两个交点为圆心画弧，两弧交点和这点连接，该直线就是这条直线的垂线.故选择 B. 【知识点】尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线. 14．（2018 湖北宜昌，14，3 分）如图，要测量小河两岸相对的两点 P A, 的距离，可以在小 河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C ，测得 100PC  米， 35PCA   ，则小河宽 PA 等于 ( ) (第 14 题图) A.100sin35 米 B.100sin55 米 C.100tan35 米 D.100tan55 米 【答案】C 【解析】∵ 100PC  米， 35PCA   ，∴在 Rt△PAC 中， PA =100tan35 ，故选择 C. 【知识点】正弦，正切. 15．（2018 湖北宜昌，15，3 分） 如图，一块砖的 , ,A B C 三个面的面积比是 4: 2:1，如果 , ,A B C 面分别向下放在地上，地面所受压强为 1 2 3, ,p p p 的大小关系正确的是( ) (第 15 题图) A. 1 2 3p p p  B. 1 3 2p p p  C. 2 1 3p p p  D. 3 2 1p p p  【答案】D 【解析】物体所受的压力与受力面积之比叫做压强，∵砖不变，∴压力不变.这块砖的 , ,A B C 三个面的面积比是 4: 2:1，地面所受压强为 1 2 3, ,p p p 的大小关系由小变大.故选择 D. 【知识点】压强. 二、解答题（本大题共 9 小题，计 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（2018 湖北宜昌，16，6 分）先化简，再求值：     1 2 2x x x x    ，其中 6 4x   . 【思路分析】先化简代数式，再将 x 的值代入求值. 【解题过程】解：原式 2 24x x x    4x  当 6 4x   时，原式 6 4 4 6    . 【知识点】整式的乘法. 17．（2018 湖北宜昌，17，6 分） 解不等式组 10 2 1 3 2 0 x x x        ，并把它的解集在数轴上表示 出来. 【思路分析】解出两个不等式，求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来. 【解题过程】解：解不等式①，得 1x  解不等式②，得 2x  ∴原不等式组的解集为1 2x  不等式组的解集在数轴上表示为： (第 17 题答图) 【知识点】解不等式与不等式组，在数轴上表示不等式组的解集. 18．（2018 湖北宜昌，18，7 分）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB  ， 40A   , ABC 的 外角 CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E . (1)求 CBE 的度数； (2)过点 D 作 DF BE ,交 AC 的延长线于点 F .求 F 的度数. (第 18 题图) 【思路分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余，求出∠ABC,由补角求出∠DBC,再由外角 的平分线，求出∠CBE. (2) 由直角三角形的两个锐角互余，求出 .CEB 再根据平行线的性质，求出∠F. 【解题过程】 解：(1)在 Rt ABC 中， 90ACB   , 40A   , 50ABC ACB A       , ∴ 130CBD   , ∵ BE 是 CBD 的平分线， 1 652CBE CBD     . (2)∵ 90ACB   , 90 65 25CEB      , ∵ DF BE , ∴ 25F CEB     . 【知识点】直角三角形的两个锐角互余，角的平分线，平行线的性质. 19．（2018 湖北宜昌，19，7 分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是: “今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何.”意思是:有大 小两种盛酒的桶。已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛(斛，是古代的一种容量单 位)，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛? 请解答. 【思路分析】设未知数，列出方程组，解出方程组，写出答案. 【解题过程】解：设 1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒 x 斛， y 斛，则 5 3 5 2 x y x y      解这个方程组，得 13 24 7 24 x y     答：1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒 13 24 斛， 7 24 斛. 【知识点】用二元一次方程组解应用题. 20．（2018 湖北宜昌，20，8 分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类 社团的意愿，在全校随机抽取了 50 名学生进行问卷调查.问卷给出了五个社团供学生选 择(学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选) .对选择了社团的学生的问卷情 况进行了统计.如下表: 社团 名称 A. 酵素制作 社团 B. 回收材料 小制作社团 C. 垃圾分类 社团 D. 环保义工 社团 E. 绿植养护 社团 人数 10 15 5 10 5 (1)填空:在统计表中，这 5 个数的中位数是__________. (2)根据以上信息，补全扇形图(图 1)和条形图(图 2) ; (3)该校有 1400 名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团; (4)若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状 图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团．．．．．．的概率. (第 20 题图 1) (第 20 题图 2) 【思路分析】(1)中位数，是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中 间位置的那个数据.当变量值的项数为奇数时，处于中间位置的数即为中位数；当为偶数时， 中位数则为处于中间位置的 2 个数的平均数； (2)根据扇形图统计图和条形统计图完善两幅图； (3)用频率估计概率; (4)用树状图或列表法计算概率. 【解题过程】解：(1)填空：在统计表中，这 5 个数的中位数是 10 ； (2)扇形图（图 1）中，“没选择”10% 条形图（图 2）中，条形高度与C ， E 相同 (3)1400 20% 280  或 101400 28050   (4)树状图为： (第 20 题第 4 问答图 1) 列表为： 小雨 小诗 绿植 酵素 绿植 绿，绿 绿，酵 酵素 酵，绿 酵，酵 (第 20 题第 4 问答图 2) 所有可能的结果共有 4 种，并且这 4 种结果出现的可能性相等，其中两名同学同时选择绿植 养护社团的结果有 1 种， ∴两名同学同时选择绿植养护社团的概率为 1 4 . 【知识点】中位数，扇形统计图，条形统计图，频率与概率，树状图或列表法估计概率. 21．（2018 湖北宜昌，21，8 分）如图，在 ABC 中，AB AC . 以 AB 为直径的半圆交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E .延长 AE 至点 F ，使 EF AE ,连接 FB FC， . (1)求证:四边形 ABFC 是菱形； (2) 若 7 2AD BE ， ，求半圆和菱形 ABFC 的面积. (第 21 题图) 【思路分析】(1)先由 EF AE ，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得 到CE BE ，证明四边形 ABFC 是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形， 证明平行四边形 ABFC 是菱形. (2) 设CD x ，则 7AB AC x   ，连接 BD ，在 Rt△BDA 中， 2 2 2BD AB AD  , 在 Rt△BDA 中， 2 2 2BD BC CD  ,∴ 2 2AB AD 2 2BC CD  ,从而建立方程，求出 x 的值，并求出 BD 的值， 求出半圆和菱形 ABFC 的面积. 【解题过程】(1)证明： AB 为半圆的直径， 90AEB   , AB AC , CE BE  , 又 EF AE , ∴四边形 ABFC 是平行四边形. 又 AB AC ,（或 90AEB   ，） ∴平行四边形 ABFC 是菱形. (3) 解：连接 BD ， ∵ 7, 2AD BE CE   , 设CD x ，则 7AB AC x   ， (第 21 题第 2 问答图) ∵ AB 为半圆的直径， 90ADB   , 在 Rt△BDA 中， 2 2 2BD AB AD  , 在 Rt△BDA 中， 2 2 2BD BC CD  , 2 2 2 2AB AD CB CD    2 2 2 2(7 ) 7 4x x     1 1x  或 2 8x   （舍去） 7 7 1 8AB AC x       21= 4 =82S    半圆 2 2 2 28 7 15BD AB AD      , = =8 15=8 15S BD AC  菱形 【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公 式，菱形的面积公式. 22．（2018 湖北宜昌，22，10 分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主 要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”( 下称甲方 案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为 Q ，沿江工 厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值 n 计算，第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12. 经过三 年治理，境内长江水质明显改善. (1)求的 n 值； (2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m ,三年来 用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂 数量； (3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加一个相 同的数值 a . 在(2) 的情况下， 第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当 年因甲方案治理降低的 Q 值相等.第三年，用甲方案使Q 值降低了 39.5.求第一年用甲 方案治理降低的 Q 值及 a 的值. 【思路分析】(1)平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和 再除以这组数据的个数.解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的 总份数; (2)∵从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m ,三年 来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，∴可得方程 240 40(1 ) 40(1 ) 190m m     ，计 算出增长率 m； (3)设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x ，据题建立二元一次方程组 30 2 39.5 x a x a      ，解 出方程组，写出答案. 【解题过程】解：(1) 40 12n  0.3n  (2) 240 40(1 ) 40(1 ) 190m m     解得： 1 2 1 7,2 2m m   （舍去） ∴第二年用乙方案治理的工厂数量为 40(1 ) 40 (1 50%) 60m     （家） (3)设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x ， 第二年Q 值因乙方案治理降低了100 100 0.3 30n    ， 由题得： 30 2 39.5 x a x a      20.5x  ， 9.5a  ∴Q 值为 20.5， a 的值为 9.5. 【知识点】平均数，增长率，用二元一次方程组解决问题. 23．（2018 湖北宜昌，23，11 分） 在矩形 ABCD 中， 12AB  ，P 是边 AB 上一点，把 PBC△ 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G ，过点 B 作 BE CG ，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F . (1)如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证: AEB DEC ≌ ； (2) 如图 2，①求证: BP BF ； ②当 25AD  ，且 AE DE 时，求 cos PCB 的值； ③当 9BP  时，求  BE EF 的值. (第 23 题图 1) (第 23 题图 2) (第 23 题图 2 备用图） 【思路分析】(1)∵点 E 是 AD 的中点，∴AE=DE，再由矩形 ABCD 的性质，得出边角之间的 等量关系，用 SAS 证明 AEB DEC ≌ ； (2)①由折叠 GPC 与 BPC 中角之间的关系，再由平行，得到角之间的关系，从而 BPF BFP  得出 ，证出 BP BF . ②当 25AD  时，先由 ABE DEC ∽ ， AB DE AE CD 得出 再设 AE x ，则 25DE x  ， 12 25 12 x x   ，解得 AE DE与 的值， CE BE再求出 与 ， 由折叠得 BP PG ， BP BF PG   ,再据 BE PG , ECF GCP ∽ EF CE PG CG   设 BP BF PG y   ，由比例关系，求出 y，得到 BP.在 Rt PBC 中，求出 PC,得到∠PCB 的余切值. ③若 9BP  , EFC BPC 先证 ∽ ， EF CE BP CB   ； AEB EBC 再证 ∽ ， AB CE BE CB   AB EF BE BP   BE EF AB BP   【解题过程】(1)证明：如图 1，在矩形 ABCD 中， 90 ,A D AB DC     , 又点 E 是 AD 的中点，∴AE=DE，可证: AEB DEC ≌ ；, (2)如图 2， ①在矩形 ABCD 中， 90ABC   , BPC 沿 PC 折叠得到 GPC 90PGC PBC     , BPC GPC   BE CG BE PG  , GPF PFB   BPF BFP   BP BF  ②当 25AD  时， 90BEC   90AEB CED     , 90AEB ABE     , CED ABE   又 90A D     , ABE DEC ∽ AB DE AE CD   ∴设 AE x ，则 25DE x  ， 12 25 12 x x   ， 解得 1 9x  ， 2 16x  AE DE 9, 16AE DE   , 20, 15CE BE   , 由折叠得 BP PG ， BP BF PG   , BE PG  , ECF GCP ∽ EF CE PG CG   设 BP BF PG y   ， 15 20 25 y y   25 3y  则 25 3BP  在 Rt PBC 中， 25 10 3PC  , 25 3 10cos 1025 10 3 BCPCB PC     ③若 9BP  , 90FEC PBC     , EFC PFB BPF     , EFC BPC ∽ EF CE BP CB   又 90BEC A     , 由 AD BC 得 AEB EBC   , AEB EBC ∽ AB CE BE CB   AB EF BE BP   12 9 108BE EF AB BP      【知识点】全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解分式方程，余弦定理. 24．（2018 湖北宜昌，24，12 分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OADB 的顶点 ,A B 的 坐标分别为 ( 6,0)A  , (0, 4)B .过点 ( 6,1)C  的双曲线 ( 0)ky k x   与矩形 OADB 的边 BD 交于点 E . (1)填空： OA  _____, k  _____,点 E 的坐标为__________； (2)当1 6t  时，经过点 21 3( 1, 5 ) 2 2 M t t t    与点 21 7( 3, 3 ) 2 2 N t t t     的直线 y 轴于 点 F ，点 P 是过 ,M N 两点的抛物线 21 2 y x bx c    的顶点. ①当点 P 在双曲线 ky x  上时，求证：直线 MN 与双曲线 ky x  没有公共点； ②当抛物线 21 2 y x bx c    与矩形 OADB 有且只有三个公共点，求t 的值； ③当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时，求t 的取值范围，并求在运动过程中直线 MN 在四边形．．．OAEB 中扫过的面积. (第 24 题图) 【思路分析】(1)将点 C 的坐标代入双曲线，求出 k 值，再将 x=4 代入双曲线，进而求出 E 点坐标； (2)①设直线 1 1,MN y k x b  ，由题建立方程组，解得 1 1k b与 ，得出直线表达式，∵抛物线 21 2y x bx c    过点 ,M N ，再建立方程组解得 .b c与 得出抛物线的表达式，得到抛物 线顶点坐标，将顶点坐标代入双曲线，求出 t 的值.得出直线 MN的表达式，将直线与双曲线 联立方程组，据根的判别式，判断出直线与双曲线是否有公共点. ②当抛物线过 B 点，此时抛物线与矩形OADB 有且只有三个公共点，建立方程，求出 t 值; 当顶点 P 在线段 DB 上，此时抛物线与矩形 OADB 有且只有三个公共点，建立方程，求出 t 值; ③由点 P 的坐标， ry得到 的表达式，当1 6t  时， py 随着t 的增大而增大，此时，点 P 在 直线 1x   上向上运动.又由点 F 的坐标， Fy得到 的表达式，当1 4t  时， Fy 随着 t 的 增大而增大，点 F 在 y 轴上向上运动. 1 4t   当 1t  时，直线 : 3MN y x  与 x 轴交于 ( 3,0)G  ，与 y 轴交于  0,3H ，当 4 3t   时，直线 MN 过点 A ， 当1 4t  时，直线 MN 在四边形 AEBO 中扫过的面积为 GHOAEBOS S S  四边形 【解题过程】解：(1)填空： 6, 6OA k   ，点 E 的坐标为 3 ,42     ； (2)①设直线 1 1,MN y k x b  由题意得 2 1 1 2 1 1 1 35 ( 1)2 2 1 73 ( 3)2 2 t t k t b t t k t b               解得 2 1 1 1 11, 42 2k b t t     ∴直线 21 1: 42 2MN y x t t    ∵抛物线 21 2y x bx c    过点 ,M N 2 2 2 2 1 3 15 ( 1) ( 1)2 2 2 1 7 13 ( 3) ( 3)2 2 2 t t t b t c t t t b t c                      解得 1, 5 2b c t    ∴抛物线 21 5 22y x x t     顶点 3( 1,5 )2P t  ∵顶点 3( 1,5 )2P t  在双曲线 6y x  上 3(5 ) ( 1) 62t      3 2t  此时直线 35: 8MN y x  联立 35 8 6 y x y x       ，得 35 6 8x x   28 35 48 0x x    235 4 8 48 1225 1536 0        ∴直线 MN 与双曲线 6y x   没有公共点 ②当抛物线过 B 点，此时抛物线与矩形OADB 有且只有三个公共点， 则 64 5 2, 5t t   当顶点 P 在线段 DB 上，此时抛物线与矩形 OADB 有且只有三个公共点， 则10 3 42 t   ， 11 10t  6 5t  或 11 10t  ③点 P 的坐标为 3( 1,5 )2t  ， 35 2ry t   当1 6t  时， py 随着t 的增大而增大， 此时，当1 6t  时，随着t 的增大，点 P 在直线 1x   上向上运动. 又点 F 的坐标为 21 1(0, 4 )2 2t t   21 15( 4)2 2Fy t     当1 4t  时， Fy 随着t 的增大而增大， 此时当1 4t  时，随着t 的增大而增大，点 F 在 y 轴上向上运动. 1 4t   当 1t  时，直线 : 3MN y x  与 x 轴交于 ( 3,0)G  ，与 y 轴交于  0,3H 当 4 3t   时，直线 MN 过点 A ， 当1 4t  时，直线 MN 在四边形 AEBO 中扫过的面积为 1 3 1 216 4 3 32 2 2 2GHOAEBOS S S             四边形 【知识点】二次函数综合，点的坐标，双曲线，抛物线，根的判别式，四边形的面积. 待自己，学会放弃，得而不喜，失而不烦，弃而不悔，中考数学一模试卷 一、精心选一选（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．每小题给出的 4 个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑） 1．计算 1﹣（﹣2）的正确结果是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 2．钓鱼岛是中国的固有领土，面积约 4400000 平方米，数据 4400000 用科学记 数法表示应为（ ）2·1·c·n·j·y A．44×105 B．0.44×107 C．4.4×106 D．4.4×105 3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A．（a2）3=a5 B．a3•a=a4 C．（3ab）2=6a2b2 D．a6÷a3=a2 5．下列说法中，正确的是（ ） A．“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件 B．某种彩票中奖概率为 10%是指买 10 张一定有一张中奖 C．了解某种节能灯的使用寿命应采用全面检查 D．一组数据 3，5，4，6，7 的中位数是 5，方差是 2 6．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OM 平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°， 则∠CON 的度数为（ ） A．65° B．55° C．45° D．35° 7．如图是某几何体的三视图，这个几何体的侧面积是（ ） A．6π B．2 π C． π D．3π 8．如图，直线 l：y= x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2；…按此作法继续下去，则点 A2015 的坐标为（ ） A．（0，42015） B．（0，42014） C．（0，32015） D．（0，32014） 二、细心填一填（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．请将答案填写在 答题卷相应题号的横线上） 9．分解因式：ax2﹣9ay2= ． 10．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点； ②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD=AC，∠B=25°，则∠ACB 的度数 为 ． 11．若关于 x 的方程 kx2+（k+2）x+ =0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范 围是 ． 12．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转一定 角度后得到△A′B′C．若点 A′恰好落在 BC 的延长线上，则点 B′到 BA′的距离为 ． 13．一辆汽车开往距离出发地 180km 的目的地，出发后第一小时按原计划的速 度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，结果比原计划提前 40min 到达目的地．原计划的行驶速度是 km/h． 14．如图，直线 AB 与半径为 2 的⊙O 相切于点 C，D 是⊙O 上一点，且∠EDC=30°， 弦 EF∥AB，则 EF 的长度为 ． 15．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为 ． 16．对于二次函数 y=x2﹣2mx﹣3，有下列结论： ①它的图象与 x 轴有两个交点； ②如果当 x≤﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，则 m=﹣1； ③如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 m=1； ④如果当 x=2 时的函数值与 x=8 时的函数值相等，则 m=5． 其中一定正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、专心解一解（本大题共 8 小题，满分 72 分．请认真读题，冷静思考．解答 题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把解题过程写在答题卷相 应题号的位置）2-1-c-n-j-y 17．（1）计算：4sin60°﹣|3﹣ |+（ ）﹣2； （2）解方程：x2﹣ x﹣ =0． 18．如图，点 B（3，3）在双曲线 y= （x＞0）上，点 D 在双曲线 y=﹣ （x＜0） 上，点 A 和点 C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且点 A，B，C，D 构成的四边形 为正方形． （1）求 k 的值； （2）求点 A 的坐标． 19．如图，在▱ ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE= BC，连接 DE，CF． （1）求证：DE=CF； （2）若 AB=4，AD=6，∠B=60°，求 DE 的长． 20．某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A．足球 B．乒乓球 C．羽毛球 D．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取 了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列 问题： （1）这次被调查的学生共有 人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数 为 ； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这 四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的 概率（用树状图或列表法解答）． 21．如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作半圆⊙O，交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E，交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：EF 是⊙0 的切线． （2）如果⊙0 的半径为 5，sin∠ADE= ，求 BF 的长． 22．某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型 和 10 台 B 型电脑的利润为 3500 元． （1）求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不 超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元． ①求 y 关于 x 的函数关系式； ②该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 m（0＜m＜100）元，且限定商 店最多购进 A 型电脑 70 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信 息及（2）中条件，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案． 23．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立， 这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图 1，在等腰△ABC 中，AB=AC，AC 边上的高为 h，点 M 为底边 BC 上的任意一点，点 M 到腰 AB、AC 的距离分别为 h1、h2，连接 AM，利用 S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2． 类比探究：在图 1 中，当点 M 在 BC 的延长线上时，猜想 h、h1、h2 之间的数量 关系并证明你的结论． 拓展应用：如图 2，在平面直角坐标系中，有两条直线 l1：y= x+3，l2：y=﹣3x+3， 若 l2 上一点 M 到 l1 的距离是 1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论， 求出点 M 的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 A（﹣3，4）、B（﹣ 3，0）、C（﹣1，0）．以 D 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 B．动点 P 从点 D 出 发，沿 DC 边向点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 边向点 A 运动，点 P、 Q 运动的速度均为每秒 1 个单位，运动的时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥CD 交 BD 于点 E，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G． （1）求抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，四边形 BDGQ 的面积最大？最大值为多少？ （3）动点 P、Q 运动过程中，在矩形 ABCD 内（包括其边界）是否存在点 H，使 以 B，Q，E，H 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长； 若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一、精心选一选（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．每小题给出的 4 个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑） 1．计算 1﹣（﹣2）的正确结果是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】有理数的减法． 【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=1+2=3， 故选 D 2．钓鱼岛是中国的固有领土，面积约 4400000 平方米，数据 4400000 用科学记 数法表示应为（ ） A．44×105 B．0.44×107 C．4.4×106 D．4.4×105 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：4 400 000=4.4×106， 故选：C． 3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式． 【分析】逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简 二次根式，否则就不是． 【解答】解： 是最简二次根式，A 正确； =3，不是最简二次根式，B 不正确； =2 ，不是最简二次根式，C 不正确； 被开方数含分母，不是最简二次根式，D 不正确， 故选：A． 4．下列运算正确的是（ ） A．（a2）3=a5 B．a3•a=a4 C．（3ab）2=6a2b2 D．a6÷a3=a2 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=a6，不符合题意； B、原式=a4，符合题意； C、原式=9a2b2，不符合题意； D、原式=a3，不符合题意， 故选 B． 5．下列说法中，正确的是（ ） A．“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件 B．某种彩票中奖概率为 10%是指买 10 张一定有一张中奖 C．了解某种节能灯的使用寿命应采用全面检查 D．一组数据 3，5，4，6，7 的中位数是 5，方差是 2 【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；方差；随机事件． 【分析】根据必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，随机事件和不可能事 件对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》节目是随机事件，故本选项 错误； B、某种彩票中奖概率为 10%，买这种彩票 10 张不一定会中奖，故本选项错误； C、了解某种节能灯的使用寿命应采用抽样调查，故本选项错误； D、一组数据 3，5，4，6，7 的中位数是 5，方差是 2，故本选项正确． 故选 D． 6．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OM 平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°， 则∠CON 的度数为（ ） A．65° B．55° C．45° D．35° 【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角． 【分析】根据垂直定义可得∠MON=90°，再根据角平分线定义可得∠MOC= ∠ AOC=35°，再根据角的和差关系进而可得∠CON 的度数． 【解答】解：∵ON⊥OM， ∴∠MON=90°， ∵OM 平分∠AOC，∠AOC=70°， ∴∠MOC= ∠AOC=35°， ∴∠CON=90°﹣35°=55°， 故选：B． 7．如图是某几何体的三视图，这个几何体的侧面积是（ ） A．6π B．2 π C． π D．3π 【考点】由三视图判断几何体；圆锥的计算． 【分析】根据三视图可以判定此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可以知圆锥的 底面半径为 1，高为 3，利用勾股定理求得圆锥的母线长为 ，代入公式求得 即可． 【解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥， ∴圆锥的底面半径为 1，高为 3， ∴圆锥的母线长为 ， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×1=2π， ∴圆锥的侧面积= lr= ×2π× = π， 故选 C． 8．如图，直线 l：y= x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2；…按此作法继续下去，则点 A2015 的坐标为（ ） A．（0，42015） B．（0，42014） C．（0，32015） D．（0，32014） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标． 【分析】根据所给直线解析式可得 l 与 x 轴的夹角，进而根据所给条件依次得到 点 A1，A2 的坐标，通过相应规律得到 A2015 标即可． 【解答】解：∵直线 l 的解析式为：y= x， ∴直线 l 与 x 轴的夹角为 30°， ∵AB∥x 轴， ∴∠ABO=30°， ∵OA=1， ∴AB= ， ∵A1B⊥l， ∴∠ABA1=60°， ∴AA1=3， ∴A1（0，4）， 同理可得 A2（0，16）， …， ∴A2015 纵坐标为：42015， ∴A2015（0，42015）． 故选 A． 二、细心填一填（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．请将答案填写在 答题卷相应题号的横线上） 9．分解因式：ax2﹣9ay2= a（x+3y）（x﹣3y） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】首先提公因式 a，然后利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a（x2﹣9y2）=a（x+3y）（x﹣3y）． 故答案是：a（x+3y）（x﹣3y）． 10．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①分别以 B，C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点； ②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD=AC，∠B=25°，则∠ACB 的度数为 105° ． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】首先根据题目中的作图方法确定 MN 是线段 BC 的垂直平分线，然后利 用垂直平分线的性质解题即可． 【解答】解：由题中作图方法知道 MN 为线段 BC 的垂直平分线， ∴CD=BD， ∵∠B=25°， ∴∠DCB=∠B=25°， ∴∠ADC=50°， ∵CD=AC， ∴∠A=∠ADC=50°， ∴∠ACD=80°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°， 故答案为：105°． 11．若关于 x 的方程 kx2+（k+2）x+ =0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范 围是 k＞﹣1 且 k≠0 ． 【考点】根的判别式． 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0． 【解答】解：x 的方程 kx2+（k+2）x+ =0 有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣k2＞0， 且 k≠0， 解得 k＞﹣1 且 k≠0． 12．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转一定 角度后得到△A′B′C．若点 A′恰好落在 BC 的延长线上，则点 B′到 BA′的距离为 ． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；勾股定理． 【 分 析 】 作 A′D ⊥ CB′ 于 D ， B′E ⊥ BC 于 E ， 如 图 ， 利 用 旋 转 的 性 质 得 A′B′=A′C=AB=AC=5，B′C=BC=6，再根据等腰三角形的性质得 CD=B′D= B′C=3，则 利用勾股定理得到 A′D=4，然后利用面积法求 B′E． 【解答】解：作 A′D⊥CB′于 D，B′E⊥BC 于 E，如图， ∵△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转一定角度后得到△A′B′C， ∴A′B′=A′C=AB=AC=5，B′C=BC=6， ∴CD=B′D= B′C=3， 在 Rt△A′CD 中，A′D= =4， ∵ B′E•A′C= A′D•B′C， ∴B′E= = ， 即点 B′到 BA′的距离为 ． 故答案为 ． 13．一辆汽车开往距离出发地 180km 的目的地，出发后第一小时按原计划的速 度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，结果比原计划提前 40min 到达目的地．原计划的行驶速度是 60 km/h． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设原计划的行驶速度是 xkm/h．根据原计划的行驶时间=实际行驶时间， 列出方程即可解决问题． 【解答】解：设原计划的行驶速度是 xkm/h． 由题意： ﹣ =1+ ， 解得 x=60， 经检验：x=60 是原方程的解． ∴原计划的行驶速度是 60km/h． 故答案为 60； 14．如图，直线 AB 与半径为 2 的⊙O 相切于点 C，D 是⊙O 上一点，且∠EDC=30°， 弦 EF∥AB，则 EF 的长度为 ． 【考点】切线的性质；垂径定理． 【分析】辅助线，连接 OC 与 OE．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半，可知∠EOC 的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点 的半径，可知 OC⊥AB；又 EF∥AB，可知 OC⊥EF，最后由三角函数和垂径定理 可将 EF 的长求出． 【解答】解：连接 OE 和 OC，且 OC 与 EF 的交点为 M． ∵∠EDC=30°， ∴∠COE=60°． ∵AB 与⊙O 相切， ∴OC⊥AB， 又∵EF∥AB， ∴OC⊥EF，即△EOM 为直角三角形． 在 Rt△EOM 中，EM=sin60°×OE= ×2= ， ∵EF=2EM， ∴EF= ． 故答案为：2 ． 15．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为 或 3 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示． 连结 AC，先利用勾股定理计算出 AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，则 EB=EB′，AB=AB′=3，可计算 出 CB′=2，设 BE=x，则 EB′=x，CE=4﹣x，然后在 Rt△CEB′中运用勾股定理可计算 出 x． ②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示．此时 ABEB′为正方形． 【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示． 连结 AC， 在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=4， ∴AC= =5， ∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5﹣3=2， 设 BE=x，则 EB′=x，CE=4﹣x， 在 Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4﹣x）2，解得 x= ， ∴BE= ； ②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示． 此时 ABEB′为正方形，∴BE=AB=3． 综上所述，BE 的长为 或 3． 故答案为： 或 3． 16．对于二次函数 y=x2﹣2mx﹣3，有下列结论： ①它的图象与 x 轴有两个交点； ②如果当 x≤﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，则 m=﹣1； ③如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 m=1； ④如果当 x=2 时的函数值与 x=8 时的函数值相等，则 m=5． 其中一定正确的结论是 ①③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【考点】二次函数的性质． 【分析】①利用根的判别式△＞0 判定即可； ②根据二次函数的增减性利用对称轴列不等式求解即可； ③根据向左平移横坐标减求出平移前的点的坐标，然后代入函数解析式计算即可 求出 m 的值； ④根据二次函数的对称性求出对称轴，再求出 m 的值，然后把 x=2012 代入函数 关系式计算即可得解． 【解答】解：①∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）=4m2+12＞0， ∴它的图象与 x 轴有两个公共点，故本小题正确； ②∵当 x≤﹣1 时 y 随 x 的增大而减小， ∴对称轴直线 x=﹣ ≤﹣1， 解得 m≤﹣1，故本小题错误； ③∵将它的图象向左平移 3 个单位后过原点， ∴平移前的图象经过点（3，0）， 代入函数关系式得，32﹣2m•3﹣3=0， 解得 m=1，故本小题正确； ④∵当 x=2 时的函数值与 x=8 时的函数值相等， ∴对称轴为直线 x= =5， ∴﹣ =5， 解得 m=5，故本小题正确； 综上所述，结论正确的是①④共 2 个． 故答案为：①③④． 三、专心解一解（本大题共 8 小题，满分 72 分．请认真读题，冷静思考．解答 题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把解题过程写在答题卷相 应题号的位置） 17．（1）计算：4sin60°﹣|3﹣ |+（ ）﹣2； （2）解方程：x2﹣ x﹣ =0． 【考点】解一元二次方程﹣公式法；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角 函数值． 【分析】（1）本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函 数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算 结果； （2）利用配方法或公式法解答此题，均可得结果． 【解答】解：（1）原式=2 ﹣2 +3+4 =7； （2）方法一：移项，得 x2﹣ x= ， 配方，得（x﹣ ）2=1 由此可得 x﹣ =±1， x1=1+ ，x2=﹣1+ 方法二：a=1，b=﹣ ，c=﹣ ． △=b2﹣4ac=（﹣ ）2﹣4×1×（﹣ ）=4＞0 方程有两个不等的实数根 x= = = ±1， x1=1+ ，x2=﹣1+ 18．如图，点 B（3，3）在双曲线 y= （x＞0）上，点 D 在双曲线 y=﹣ （x＜0） 上，点 A 和点 C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且点 A，B，C，D 构成的四边形 为正方形． （1）求 k 的值； （2）求点 A 的坐标． 【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与 性质． 【分析】（1）把 B 的坐标代入求出即可； （2）设 MD=a，OM=b，求出 ab=4，过 D 作 DM⊥x 轴于 M，过 B 作 BN⊥x 轴于 N，证△ADM≌△BAN，推出 BN=AM=3，MD=AN=a，求出 a=b，求出 a 的值即可． 【解答】解：（1）∵点 B（3，3）在双曲线 y= 上， ∴k=3×3=9； （2）∵B（3，3）， ∴BN=ON=3， 设 MD=a，OM=b， ∵D 在双曲线 y=﹣ （x＜0）上， ∴ab=4， 过 D 作 DM⊥x 轴于 M，过 B 作 BN⊥x 轴于 N， 则∠DMA=∠ANB=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAB=90°，AD=AB， ∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°， ∴∠ADM=∠BAN， 在△ADM 和△BAN 中， ， ∴△ADM≌△BAN（AAS）， ∴BN=AM=3，DM=AN=a， ∴0A=3﹣a， 即 AM=b+3﹣a=3， a=b， ∵ab=4， ∴a=b=2， ∴OA=3﹣2=1， 即点 A 的坐标是（1，0）． 19．如图，在▱ ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE= BC，连接 DE，CF． （1）求证：DE=CF； （2）若 AB=4，AD=6，∠B=60°，求 DE 的长． 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知 AD∥BC，且 AD=BC； 然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形 CEDF 的对边平行且相等（DF=CE， 且 DF∥CE），得出四边形 CEDF 是平行四边形，即可得出结论； （2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通 过解直角△DCH 和在直角△DHE 中运用勾股定理来求线段 ED 的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC． 又∵F 是 AD 的中点，∴FD= AD． ∵CE= BC， ∴FD=CE． 又∵FD∥CE， ∴四边形 CEDF 是平行四边形． ∴DE=CF． （2）解：过 D 作 DG⊥CE 于点 G．如图所示： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6． ∴∠DCE=∠B=60°． 在 Rt△CDG 中，∠DGC=90°， ∴∠CDG=30°， ∴CG= CD=2． 由勾股定理，得 DG= =2 ． ∵CE= BC=3， ∴GE=1． 在 Rt△DEG 中，∠DGE=90°， ∴DE= = ． 20．某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A．足球 B．乒乓球 C．羽毛球 D．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取 了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列 问题： （1）这次被调查的学生共有 200 人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度 数为 72° ； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这 四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的 概率（用树状图或列表法解答）． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）利用扇形统计图得到 A 类的百分比为 10%，则用 A 类的频数除以 10%可得到样本容量；然后用 B 类的百分比乘以 360°得到在扇形统计图中“D”对 应的圆心角的度数； （2）先计算出 C 类的频数，然后补全统计图；、 （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的 结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）20÷ =200， 所以这次被调查的学生共有 200 人， 在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数= ×360°=72°； 故答案为 200，72°； （2）C 类人数为 200﹣80﹣20﹣40=60（人）， 完整条形统计图为： （3）画树状图如下： 由上图可知，共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有 2 种． 所以 P（恰好选中甲、乙两位同学）= = ． 21．如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作半圆⊙O，交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E，交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：EF 是⊙0 的切线． （2）如果⊙0 的半径为 5，sin∠ADE= ，求 BF 的长． 【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形． 【分析】（1）连接 OD，AB 为⊙0 的直径得∠ADB=90°，由 AB=AC，根据等腰三 角形性质得 AD 平分 BC，即 DB=DC，则 OD 为△ABC 的中位线，所以 OD∥AC， 而 DE⊥AC，则 OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在 Rt△ADB 中， 利用解直角三角形的方法可计算出 AD=8，在 Rt△ADE 中可计算出 AE= ，然后 由 OD∥AE， 得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出 BF． 【解答】（1）证明：连接 OD，如图， ∵AB 为⊙0 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD 平分 BC，即 DB=DC， ∵OA=OB， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴EF 是⊙0 的切线； （2）解：∵∠DAC=∠DAB， ∴∠ADE=∠ABD， 在 Rt△ADB 中，sin∠ADE=sin∠ABD= = ，而 AB=10， ∴AD=8， 在 Rt△ADE 中，sin∠ADE= = ， ∴AE= ， ∵OD∥AE， ∴△FDO∽△FEA， ∴ = ，即 = ， ∴BF= ． 22．某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型 和 10 台 B 型电脑的利润为 3500 元． （1）求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不 超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元． ①求 y 关于 x 的函数关系式； ②该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 m（0＜m＜100）元，且限定商 店最多购进 A 型电脑 70 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信 息及（2）中条件，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案． 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用． 【分析】（1）设每台 A 型电脑销售利润为 a 元，每台 B 型电脑的销售利润为 b 元；根据题意列出方程组求解， （2）①据题意得，y=﹣50x+15000， ②利用不等式求出 x 的范围，又因为 y=﹣50x+15000 是减函数，所以 x 取 34，y 取最大值， （3）据题意得，y=x﹣150，即 y=（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当 0 ＜m＜50 时，y 随 x 的增大而减小，②m=50 时，m﹣50=0，y=15000，③当 50＜ m＜100 时，m﹣50＞0，y 随 x 的增大而增大，分别进行求解． 【解答】解：（1）设每台 A 型电脑销售利润为 a 元，每台 B 型电脑的销售利润为 b 元；根据题意得 解得 答：每台 A 型电脑销售利润为 100 元，每台 B 型电脑的销售利润为 150 元． （2）①据题意得，y=100x+150，即 y=﹣50x+15000， ②据题意得，100﹣x≤2x，解得 x≥33 ， ∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0， ∴y 随 x 的增大而减小， ∵x 为正整数， ∴当 x=34 时，y 取最大值，则 100﹣x=66， 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y=x+150，即 y=（m﹣50）x+15000， 33 ≤x≤70 ①当 0＜m＜50 时，y 随 x 的增大而减小， ∴当 x=34 时，y 取最大值， 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大． ②m=50 时，m﹣50=0，y=15000， 即商店购进 A 型电脑数量满足 33 ≤x≤70 的整数时，均获得最大利润； ③当 50＜m＜100 时，m﹣50＞0，y 随 x 的增大而增大， ∴当 x=70 时，y 取得最大值． 即商店购进 70 台 A 型电脑和 30 台 B 型电脑的销售利润最大． 23．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立， 这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图 1，在等腰△ABC 中，AB=AC，AC 边上的高为 h，点 M 为底边 BC 上的任意一点，点 M 到腰 AB、AC 的距离分别为 h1、h2，连接 AM，利用 S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2． 类比探究：在图 1 中，当点 M 在 BC 的延长线上时，猜想 h、h1、h2 之间的数量 关系并证明你的结论． 拓展应用：如图 2，在平面直角坐标系中，有两条直线 l1：y= x+3，l2：y=﹣3x+3， 若 l2 上一点 M 到 l1 的距离是 1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论， 求出点 M 的坐标． 【考点】一次函数综合题． 【分析】类比探究：结论：h=h1﹣h2．连接 OA．利用三角形面积公式根据 S△ABC=S △ABM﹣S△ACM，代入化简即可解决问题． 拓展应用：首先证明 AB=AC，分两种情形利用（1）中结论，列出方程即可解决 问题． 【解答】解：类比探究：结论：h=h1﹣h2． 理由：连接 OA， ∵S△ABC= AC•BD= AC•h， S△ABM= AB•ME= AB•h1， S△ACM= AC•MF= AC•h2，． 又∵S△ABC=S△ABM﹣S△ACM， ∴ AC•h= AB•h1﹣ AC•h2． ∵AB=AC， ∴h=h1﹣h2． 拓展应用：在 y= x+3 中，令 x=0 得 y=3；令 y=0 得 x=﹣4， 则：A（﹣4，0），B（0，3），同理求得 C（1，0）， OA=4，OB=3，AC=5， AB= =5， 所以 AB=AC， 即△ABC 为等腰三角形． 设点 M 的坐标为（x，y）， ①当点 M 在 BC 边上时，由 h1+h2=h 得： OB=1+y，y=3﹣1=2，把它代入 y=﹣3x+3 中求得：x= ， ∴M（ ，2）； ②当点 M 在 CB 延长线上时，由 h1﹣h2=h 得： OB=y﹣1，y=3+1=4，把它代入 y=﹣3x+3 中求得：x=﹣ ， ∴M（﹣ ，4）． 综上所述点 M 的坐标为（ ，2）或（﹣ ，4）． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 A（﹣3，4）、B（﹣ 3，0）、C（﹣1，0）．以 D 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 B．动点 P 从点 D 出 发，沿 DC 边向点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 边向点 A 运动，点 P、 Q 运动的速度均为每秒 1 个单位，运动的时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥CD 交 BD 于点 E，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G． （1）求抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，四边形 BDGQ 的面积最大？最大值为多少？ （3）动点 P、Q 运动过程中，在矩形 ABCD 内（包括其边界）是否存在点 H，使 以 B，Q，E，H 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长； 若不存在，请说明理由．www-2-1-cnjy-com 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先求得点 D 的坐标，设抛物线的解析式为 y=a （x+1）2+4（a≠0）， 将点 B 的坐标代入可求得 a 的值，故此可得到抛物线的解析式； （2）由题意知，DP=BQ=t，然后证明△DPE∽△DBC，可得到 PE= t，然后可得 到点 E 的横坐标（用含 t 的式子表示），接下来可求得点 G 的坐标，然后依据 S 四 边形 BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，列出四边形的面积与 t 的函数关系式，然后依据利用 配方法求解即可； （3）首先用含 t 的式子表示出 DE 的长，当 BE 和 BQ 为菱形的邻边时，由 BE=QB 可列出关于 t 的方程，从而可求得 t 的值，然后可求得菱形的周长；当 BE 为菱 形的对角时，则 BQ=QE，过点 Q 作 QM⊥BE，则 BM=EM．然后用含 t 的式子表 示出 BE 的长，最后利用 BE+ED=BD 列方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，顶点 D 点的坐标为（﹣1，4）． 设抛物线的解析式为 y=a （x+1）2+4（a≠0）， ∵抛物线经过点 B（﹣3，0），代入 y=a （x+1）2+4 可求得 a=﹣1 ∴抛物线的解析式为 y=﹣（x+1）2+4，即 y=﹣x2﹣2x+3． （2）由题意知，DP=BQ=t， ∵PE∥BC， ∴△DPE∽△DBC． ∴ = =2， ∴PE= DP= t． ∴点 E 的横坐标为﹣1﹣ t，AF=2﹣ t． 将 x=﹣1﹣ t 代入 y=﹣（x+1）2+4，得 y=﹣ t2+4． ∴点 G 的纵坐标为﹣ t2+4， ∴GE=﹣ t2+4﹣（4﹣t）=﹣ t2+t． 如图 1 所示：连接 BG． S 四边形 BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即 S 四边形 BDGQ= BQ•AF+ EG•（AF+DF） = t（2﹣ t）﹣ t2+t． =﹣ t2+2t=﹣ （t﹣2）2+2． ∴当 t=2 时，四边形 BDGQ 的面积最大，最大值为 2． （3）存在． ∵CD=4，BC=2， ∴tan∠BDC= ，BD=2 ． ∴cos∠BDC= ． ∵BQ=DP=t， ∴DE= t． 如图 2 所示：当 BE 和 BQ 为菱形的邻边时，BE=QB． ∵BE=BD﹣DE， ∴BQ=BD﹣DE，即 t=2 ﹣ t，解得 t=20﹣8 ． ∴菱形 BQEH 的周长=80﹣32 ． 如图 3 所示：当 BE 为菱形的对角时，则 BQ=QE，过点 Q 作 QM⊥BE，则 BM=EM． ∵MB=cos∠QBM•BQ， ∴MB= t． ∴BE= t． ∵BE+DE=BD， ∴ t+ t=2 ，解得：t= ． ∴菱形 BQEH 的周长为 ． 综上所述，菱形 BQEH 的周长为 或 80﹣32 ． 中考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共 18 分） 一、选择题：本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算： （ ） A． B． C． 3 D．-3 【 考 点 】 绝对值． 【 分 析 】 根据绝对值的性质解答，当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数-a． 【 解 答 】 解： 故选 A． 【 点 评 】本题考查了绝对值的性质，如果用字母 a 表示有理数，则数 a 绝对值要由字母 a 本身的取值来确定： ①当 a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身 a； ②当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数-a； ③当 a 是零时，a 的绝对值是零． 2. 下列计算正确的是（ ） A ． B ． C ． D． 3. 已知：如图，直线 ，则 的度数为（ ） A．50° B． 60° C． 65° D． 75° 【 考 点 】 平行线性质． 【 分 析 】 根据两直线平行，同旁内角互补，得∠2+∠3=130°，再 =65° 【 解 答 】 解：∵a∥b ∴∠1+∠2+∠3=180° ∵∠1=50° ∴∠2+∠3=130° ∵∠2=∠3 ∴ =65° 故选 C． 【 点 评 】理解掌握平行线性质 ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，同旁内角互补 ③两直线平行，内错角相等． 4. 已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为（ ） A．长方体 B．正三棱柱 C. 圆锥 D．圆柱 【考点】简单几何体的三视图． 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图 ，从左边看得到的图形是左视图 ，从上面看得到的图形是俯视图 ，可知该几何体为圆柱．21 世纪 有 【解答】 解：A、从上面看得到的图形是俯视图 ，故 A 错误； B、从上面看得到的图形是俯视图 ，所以 B 错误； C、从正面看得到的视图是主视图 ，从左边看得到的图形是左视图 ，故 C 错误； D、故 D 正确； 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的 图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图． 5.某校 10 名篮球运动员的年龄情况，统计如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 人数（名） 2 4 3 1 则这 10 名篮球运动员年龄的中位数为（ ） A． 12 B．13 C. 13.5 D．14 【考点】中位数；统计表． 【分析】按大小顺序排列这组数据，最中间那个数或两个数的平均数是中位数． 【解答】解：从小到大排列此数据为：12，12，13，13，13，13，14，14，14，15 位置处 于最中间的两个数是：13，：13 所以组数据的中位数是 13． 故选 B． 【点评】此题主要考查了中位数．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶 数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间 两位数的平均数． 6.已知：如图，在 中， ，则 的度数为（ ） A． 30° B． 35° C. 45° D．70° 【 考 点 】 垂径定理；圆心角定理． 【 分 析 】 根据垂径定理，可得弧 BC=弧 AC，再利用圆心角定理得答案． 【 解 答 】 解：∵OA⊥BC ∴弧 BC=弧 AC ∵∠AOB=70° ∴∠ADC= ∠AOB=35° 故选：B． 【 点 评 】 本题考查了垂径定理，利用圆心角，垂径定理是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共 102 分） 二、填空题（每小题 3 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上） 7. 16 的算术平方根是___________． 【 考 点 】 算术平方根． 【 分 析 】 16 的算术平方根是 16 正的平方根． 【 解 答 】 解：16 的算术平方根是 4 【 点 评 】 本题考查了算术平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的 平方根也叫算术平方根． 8. 分解因式： ____________． 【 考 点 】分解因式． 【 分 析 】 先提取公因式法，再公式法． 【 解 答 】 解： 【 点 评 】 本题考查了分解因式，必须理解好完全平方公式： 9. 计算： 的结果是____________． 【 考 点 】实数的运算． 【 分 析 】 ， 【 解 答 】 解： = 【 点 评 】 本题考查了实数的运算，必须牢记公式： ， 10.自中国提出“一带一路·合作共赢”的倡议以来，一大批中外合作项目稳步推进.其中， 由中国承建的蒙内铁路（连接肯尼亚首都罗毕和东非第一大港蒙巴萨港），是首条海外中国 标准铁路，已于 2017 年 5 月 31 日正式投入运营.该铁路设计运力为 25000000 吨，将 25000000 吨用科学记数法表示，记作_________吨. 【 考 点 】 科学记数法—表示较大的数． 【 分 析 】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值≥1 时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【 解 答 】 解：25000000=2.5×107， 【 点 评 】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 11. 化简： _____________． 12. 已知：如图，在正方形 的外侧，作等边三角形 ，则 __________ 度． 【考点】正方形，等边三角形． 【分析】原式变形后，利用乘法对加法分配律，再约分化简即可得到结果． 【解答】 解： ∵在正方形 的外侧，作等边三角形 ∴AB=AD=AE，∠BAD=90°，∠DAE=∠AED=60° ∴∠BAE=150° ∴∠AEB=15° ∴ 45° 【点评】此题考查了正方形，等边三角形，熟练掌握正方形和等边三角形性质是解本题的关 键 13.已知：如图，圆锥的底面直径是 ，高为 ，则它的侧面展开图的面积是 . 【考点】圆锥 【分析】由勾股定理，确定圆锥的母线长，再由表面积=πrl 确定其表面积． 【解答】 解：如图作辅助线，由题意知：BC=12，AC=5 ∴AB=13, 即圆锥的母线长 l=13cm，底面半径 r=5cm， ∴表面积=πrl=π×5×13=65πcm2． 故答案为：65πcm2． 【点评】考查学生对圆锥体面积及体积计算，必须牢记公式表面积=πrl． 14.已知：如图，在 中， ，将 绕顶点 ， 按顺时针方向旋转到 处，此时线段 与 的交点 恰好为 的中点，则线段 . 【考点】直角三角形，勾股定理，旋转 【分析】由勾股定理，确定圆锥的母线长，再由表面积=πrl 确定其表面积． 【解答】 解：∵ ∴AB=5, ∵ 恰好为 的中点 ∴OD=2.5 ∵将 绕顶点 ，按顺时针方向旋转到 处 ∴OB1=OB=4 ∴ 1.5 故答案为：1.5． 【点评】考查学生对直角三角形性质掌握，必须牢记知识点：直角三角形斜边的中线等于斜 边的一半． 三、解答题 （共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.解不等式组： ． 【考点】解不等式组 【分析】由①得 x＜1；由②得 x≥0,∴0≤x＜1 【解答】 解： 【点评】考查解不等式组，如何确定不等式组解集，可用口诀法：同大取大，同小取小，大 小取中，矛盾无解． 16.已知：如图， .求证： ． 【考点】三角形全等 【分析】利用 SAS 证明△ABD≌△ANM,从而得 【解答】 解： 【点评】考查三角形全等，应理解并掌握全等三角形的判定定理：SSS,SAS,ASA,AAS,HL 17. 已知关于 的一元二次方程 ①有两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； （2）设方程①的两个实数根分别为 ，当 时，求 的值. 【考点】一元二次方程 【分析】（1）利用△＞0，求 的取值范围；（2）利用一元二次方程根与系数关系，求 的值. 【解答】 解： 【点评】考查一元二次方程，必须牢记知识点：（1）一元二次方程根的判别方法：①△＞02 个不相等实数根；②△=02 个相等实数根；③△＜00 个实数根；（2）韦达定理： 18.黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格 比文学类图书平均每本的价格多 5 元.已知学校用 12000 元购买的科普类图书的本数与用 9000 元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普图书和文学类图书平均每本的价 格各是多少元？ 【考点】列分式方程解应用题 【分析】利用等量关系：学校用 12000 元购买的科普类图书的本数=用 9000 元购买的文学类 图书的本数，列方程 【解答】 解： 【点评】列分式方程解应用题，解分式方程时必须验根 19. 我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、 排球等球类活动.为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 名学生（每名学生 必选且只能选择这五项活动中的一种）. 根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1） __________， ____________； （2）补全上图中的条形统计图； （3）若全校共有 2000 名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球； （4）在抽查的 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等 10 名学生喜欢羽毛球活动，学 校打算从小薇、小燕、小红、小梅这 4 名女生中，选取 2 名参加全市中学生女子羽毛球比赛， 请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、 小红、小梅分别用字母 代表） 【考点】统计图以及列表或画树状图求概率 【分析】条形统计图和扇形统计图对比找出相关联数量关系，求 m,n,补全图形，用部分估 计整体，并列表或画树状图求概率 【解答】 解： 【点评】此题主要考查了统计图以及列表或画树状图求概率，利用图表获取正确信息是解题 关键． 20.已知：如图， 为 的直径， 是 的弦， 垂直于过点的直线 ，垂 足为点 ，且 平分 . 求证：（1） 是 的切线； （2） ． 【考点】圆，相似三角形 【分析】（1）利用知识点：知半径，证垂直，证明 是 的切线； （2）证明△DME≌△EMN，再证明 【解答】 解： 【点评】本题考查切线的判定、直径的性质、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 21. 已知：如图，一次函数 与反比例函数 的图象有两个交点 和 ，过点 作 轴，垂足为点 ；过点作 作 轴，垂足为点 ，且点 的 坐标为 ，连接 . （1）求 的值； （2）求四边形 的面积. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；平面直角坐标系中面积问题． 【分析】（1）根据 利用一次函数 可求出点 m=3，根据点 A 的坐标 利用待定系数法即可求出反比例函数 的解析式； （2）思路： 求面积，方法多种，可灵活选择。 【解答】 解： 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求函数解析式以及面积问题，解题的关键是：（1）利用待定系数法求的解析式； （2）利用割补法，求四边形面积． 22.在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌 （如图所示）.已知标 语牌的高 .在地面的点 处，测得标语牌点 的仰角为 30°，在地面的点 处， 测得标语牌点 的仰角为 75°，且点 的同一直线上，求点 与点 之间的距离. （计算结果精确到 0.1 米，参考数据： ） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】作 FM⊥AE 于 M，先求 AE=10，再设 MF=x，利用 AE=EM+AM，列方程求解． 【解答】 解： 【点评】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角 形解决问题，属于中考常考题型． 23.月电科技有限公司用 160 万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的 电子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为 4 元/件，在销售 过程中发现：每年的年销售量 (万件)与销售价格 （元/件）的关系如图所示，其中 为 反比例函数图象的一部分， 为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利 润为 （万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则 亏损计作下一年的成本.） （1）请求出 （万件）与 （元/件）之间的函数关系式； （2）求出第一年这种电子产品的年利润 （万元）与 （元/件）之间的函数关系式，并求 出第一年年利润的最大值； （3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 （万元）取得最大值时进行销售，现 根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 （元）定在 8 元以上 （ ），当第二年的年利润不低于 103 万元时，请结合年利润 （万元）与销售价格 （元 /件）的函数示意图，求销售价格 （元/件）的取值范围. 【考点】反比例函数、一次函数、二次函数的综合应用 【分析】（1）利用 A（4,40），求图像 AB 反比例函数关系式；利用 B（8,20），C（28,0）求 图像 BC 一次函数关系式； （2）由等量关系：利润=每年的年销售量 × （销售价格-成本）- 研发费用，得 求最值 （3）由题意得 ，再 利用图像 求最值 【解答】 解： 【点评】本题考查反比例函数、一次函数、二次函数的综合应用，待定系数法等知识，解题 的关键是理解题意，分类讨论，借助图像，灵活运用所学知识解决问题，属于综合题． 24.已知：如图所示，在平面直角坐标系 中，四边形 是矩形， . 动点 从点 出发，沿射线 方向以每秒 2 个单位长度的速度运动；同时，动点 从点 出发，沿 轴正半轴方向以每秒 1 个单位长度的速度运动.设点 、点 的运动时间为 . （1）当 时，求经过点 三点的抛物线的解析式； （2）当 时，求 的值； （3）当线段 与线段 相交于点 ，且 时，求 的值； （4）连接 ，当点 在运动过程中，记 与矩形 重叠部分的面积为 ， 求 与的函数关系式． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用顶点式 或两点式 求抛物线的解析式； （2）利用知识点： ，求正切值 （3）利用△BMP∽△AMQ，求时间 t （4）利用点 在运动，分类讨论求关系式：①0≤t≤2 ②2＜t≤4 ③t＞4 【解答】 解： 【 点 评 】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的性质与判定、二 次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识，考查知识点较多，综合性较强，计算量大， 难度较大． 中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．（3 分） 的倒数是（ ） A．﹣2 B．2 C． D． 2．（3 分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（3 分）中共中央总书记习近平同志在十九大报告中指出：“国内生产总值从 54 万亿元增 长到 80 万亿元．”将近似数 54 万亿用科学记数法表示为（ ） A．54×1012 B．5.4×1013 C．0.54×1014 D．5×1013 4．（3 分）从 1、2、3、4 中任取两个不同的数，其乘积大于 4 的概率是（ ） A． B． C． D． 5．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．2x+3y＝5xy B．（m+3）2＝m2+9 C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5 6．（3 分）一次函数 y＝ax+b 与反比例函数 y＝ ，其中 ab＜0，a、b 为常数，它们在同 一坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 7．（3 分）将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（ ） A． B． C． D． 8．（3 分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2 的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 9．（3 分）不等式组 的解集用数轴表示正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（3 分）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1 且 x≠2 C．x≠±2 D．x＞﹣1 且 x≠2 11．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE 是△ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个 动点，则下列线段的长度等于 BP+EP 最小值的是（ ） A．BC B．CE C．AD D．AC 12．（3 分）如图所示，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与 x 轴 交点的横坐标分别为 x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论： ① 4a﹣2b+c＜0； ② 2a﹣b＜0； ③ abc＜0； ④ b2+8a＜4ac． 其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。不要求写出解答过程，请把答案直 接填在答题卷相应位置上） 13． 的平方根是 ， 的立方根是 ． 14．（3 分）分解因式 a3﹣a 的结果是 ． 15．（3 分）如图，在扇形 OAB 中，C 是 OA 的中点，CD⊥OA，CD 与 交于点 D，以 O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OB 于点 E，若 OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部 分的面积为 ．（结果保留 π ） 16．（3 分）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点 B1 在 y 轴上，顶点 C1、E1、E2、 C2、E3、E4、…在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥ B2C2∥B3C3∥…，则正方形 A2018B2018C2018D2018 的边长是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分。请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 m＝ ﹣1． 18．（8 分）如图，DB∥AC，且 DB＝ AC，E 是 AC 的中点． （1）求证：BC＝DE； （2）连接 AD、BE，若∠BAC＝∠C，求证：四边形 DBEA 是矩形． 19．（8 分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随机调查 了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）求这次调查的家长人数，并补全图 ① ； （2）求图 ② 中表示家长“赞成”的圆心角的度数； （3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是 多少？ 20．（8 分）如图所示，一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 y＝ 的图象交于 A（2，4），B（﹣ 4，n）两点． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C，连接 AC，求△ACB 的面积． 21．（8 分）宜万铁路线上，一列列和谐号动车象一条条巨龙穿梭于恩施崇山峻岭，大多地 段桥梁与隧道交替相连如图，勘测队员在山顶 P 处测得山脚下隧道入口 A 点处的俯角为 60°，隧道出口 B 点处的俯角为 30°，一列动车以 180km/h 的速度自西向东行驶，当车 头抵达入口 A 点处时，车尾 C 点处的俯角是 45°，整个车身全部进入隧洞恰好用了 4s 钟时间，求车身完全在隧道中运行的时间（结果精确到 1 秒，参考数据： ≈1.414， ≈1.732 ）． 22．（10 分）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划 对 A、B 两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建 2 所 A 类学校和 3 所 B 类学校共需资 金 7800 万元，改扩建 3 所 A 类学校和 1 所 B 类学校共需资金 5400 万元． （1）改扩建 1 所 A 类学校和 1 所 B 类学校所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建 A、B 两类学校共 10 所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承 担．若国家财政拨付资金不超过 11800 万元；地方财政投入资金不少于 4000 万元，其中 地方财政投入到 A、B 两类学校的改扩建资金分别为每所 300 万元和 500 万元．请问共有 哪几种改扩建方案？ 23．（10 分）如图，在等腰△ABC 中，AB＝BC，以 BC 为直径的 ⊙ O 与 AC 相交于点 D，过 点 D 作 DE⊥AB 交 CB 延长线于点 E，垂足为点 F． （1）判断 DE 与 ⊙ O 的位置关系，并说明理由； （2）若 ⊙ O 的半径 R＝5，tanC＝ ，求 EF 的长． 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+1 交 y 轴于点 A，交 x 轴正半 轴于点 B（4，0），与过 A 点的直线相交于另一点 D（3， ），过点 D 作 DC⊥x 轴，垂 足为 C． （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 在线段 OC 上（不与点 O、C 重合），过 P 作 PN⊥x 轴，交直线 AD 于 M，交 抛物线于点 N，连接 CM，求△PCM 面积的最大值； （3）若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP 的长为 t，是否存在 t，使以点 M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．（3 分） 的倒数是（ ） A．﹣2 B．2 C． D． 【解答】解：﹣ 的倒数是﹣2． 故选：A． 2．（3 分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（3 分）中共中央总书记习近平同志在十九大报告中指出：“国内生产总值从 54 万亿元增 长到 80 万亿元．”将近似数 54 万亿用科学记数法表示为（ ） A．54×1012 B．5.4×1013 C．0.54×1014 D．5×1013 【解答】解：54 万亿＝54 000 000 000 000＝5.4×1013． 故选：B． 4．（3 分）从 1、2、3、4 中任取两个不同的数，其乘积大于 4 的概率是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，任取两个不同的数，其乘积大于 4 的有 6 种情况， ∴从 1、2、3、4 中任取两个不同的数，其乘积大于 4 的概率是： ＝ ． 故选：C． 5．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．2x+3y＝5xy B．（m+3）2＝m2+9 C．（xy2）3＝xy6 D．a10÷a5＝a5 【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式＝m2+6m+9，不符合题意； C、原式＝x3y6，不符合题意； D、原式＝a5，符合题意， 故选：D． 6．（3 分）一次函数 y＝ax+b 与反比例函数 y＝ ，其中 ab＜0，a、b 为常数，它们在同 一坐标系中的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得 a＞0，交 y 轴负半轴，则 b＜0， 满足 ab＜0， ∴a﹣b＞0， ∴反比例函数 y＝ 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确； B、由一次函数图象过二、四象限，得 a＜0，交 y 轴正半轴，则 b＞0， 满足 ab＜0， ∴a﹣b＜0， ∴反比例函数 y＝ 的图象过二、四象限， 所以此选项不正确； C、由一次函数图象过一、三象限，得 a＞0，交 y 轴负半轴，则 b＜0， 满足 ab＜0， ∴a﹣b＞0， ∴反比例函数 y＝ 的图象过一、三象限， 所以此选项正确； D、由一次函数图象过二、四象限，得 a＜0，交 y 轴负半轴，则 b＜0， 满足 ab＞0，与已知相矛盾 所以此选项不正确； 故选：C． 7．（3 分）将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置， ∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是 ， ， ，主视图是它 们中一个， ∴主视图不可能是 ． 故选：A． 8．（3 分）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2 的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【解答】解：∵∠1＝30°， ∴∠3＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵直尺两边互相平行， ∴∠2＝∠3＝60°． 故选：A． 9．（3 分）不等式组 的解集用数轴表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解： ， 解 ① 得：x≥﹣1， 解 ② 得：x＜2． 则表示为： ． 故选：B． 10．（3 分）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1 且 x≠2 C．x≠±2 D．x＞﹣1 且 x≠2 【解答】解：根据题意得： ， 解得 x≥﹣1 且 x≠2． 故选：B． 11．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE 是△ABC 的两条中线，P 是 AD 上一个 动点，则下列线段的长度等于 BP+EP 最小值的是（ ） A．BC B．CE C．AD D．AC 【解答】解：如图连接 PC， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴PB＝PC， ∴PB+PE＝PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E 共线时，PB+PE 的值最小，最小值为 CE 的长度， 故选：B． 12．（3 分）如图所示，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与 x 轴 交点的横坐标分别为 x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论： ① 4a﹣2b+c＜0； ② 2a﹣b＜0； ③ abc＜0； ④ b2+8a＜4ac． 其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则 a＜0；抛物线的对称轴 x＝﹣ ＞﹣1， 且 c＞0； ① 由图可得：当 x＝﹣2 时，y＜0，即 4a﹣2b+c＜0，故 ① 正确； ② 已知 x＝﹣ ＞﹣1，且 a＜0，所以 2a﹣b＜0，故 ② 正确； ③ 抛物线对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b 同号，又 c＞0，故 abc＞0，所以 ③ 不正确； ④ 由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2，即： ＞ 2，由于 a＜0，所以 4ac﹣b2＜8a，即 b2+8a＞4ac，故 ④ 正确； 因此正确的结论是 ①②④ ． 故选：C． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。不要求写出解答过程，请把答案直 接填在答题卷相应位置上） 13． 的平方根是 ± ， 的立方根是 ﹣ ． 【解答】解：∵ ＝2， ∴ 的平方根是± ； ∵（﹣ ）3＝﹣ ， ∴﹣ 的立方根是﹣ ． 故答案为：± ；﹣ ． 14．（3 分）分解因式 a3﹣a 的结果是 a（a+1）（a﹣1） ． 【解答】解：a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）． 故答案为：a（a+1）（a﹣1）． 15．（3 分）如图，在扇形 OAB 中，C 是 OA 的中点，CD⊥OA，CD 与 交于点 D，以 O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OB 于点 E，若 OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部 分的面积为 π +2 ．（结果保留 π ） 【解答】解：如图，连接 OD，AD， ∵点 C 为 OA 的中点， ∴OC＝ OA＝ OD， ∵CD⊥OA， ∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°， ∴△ADO 为等边三角形， ∴CD＝2 ， ∴S 扇形 AOD＝ ＝ π ， ∴S 阴影＝S 扇形 AOB﹣S 扇形 COE﹣（S 扇形 AOD﹣S△COD） ＝ ﹣ ﹣（ π ﹣ ×2×2 ） ＝ π ﹣ π ﹣ π +2 ＝ π +2 ． 故答案为 π +2 ． 16．（3 分）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点 B1 在 y 轴上，顶点 C1、E1、E2、 C2、E3、E4、…在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥ B2C2∥B3C3∥…，则正方形 A2018B2018C2018D2018 的边长是 （ ）2017 ． 【解答】解：∵正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°， ∴D1E1＝C1D1sin30°＝ ， 则 B2C2＝ ， 同理可得：B3C3＝ ＝（ ）2， 故正方形 AnBn ∁ nDn 的边长是：（ ）n﹣1， 则正方形 A2018B2018C2018D2018 的边长为：（ ）2017， 故答案为：（ ）2017． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分。请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 m＝ ﹣1． 【解答】解：原式＝[ ﹣ ]• ＝[ ﹣ ]• ＝ • ＝ ， 当 m＝ ﹣1 时， 原式＝ ＝1 18．（8 分）如图，DB∥AC，且 DB＝ AC，E 是 AC 的中点． （1）求证：BC＝DE； （2）连接 AD、BE，若∠BAC＝∠C，求证：四边形 DBEA 是矩形． 【解答】（1）证明：∵E 是 AC 中点， ∴EC＝ AC． ∵DB＝ AC， ∴DB＝EC． 又∵DB∥EC， ∴四边形 DBCE 是平行四边形． ∴BC＝DE． （2）证明：∵DB∥AE，DB＝AE， ∴四边形 DBEA 是平行四边形． ∵∠BAC＝∠C， ∴BA＝BC，∵BC＝DE， ∴AB＝DE． ∴▭ ADBE 是矩形． 19．（8 分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随机调查 了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）求这次调查的家长人数，并补全图 ① ； （2）求图 ② 中表示家长“赞成”的圆心角的度数； （3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是 多少？ 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 家 长 人 数 为 80 ÷ 20% ＝ 400 ， 补 全 图 ① 如 下 ： （2）表示家长“赞成”的圆心角的度数为 ； （3）学生恰好持“无所谓”态度的概率是 ． 20．（8 分）如图所示，一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 y＝ 的图象交于 A（2，4），B（﹣ 4，n）两点． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C，连接 AC，求△ACB 的面积． 【解答】解：（1）将点 A（2，4）代入 y＝ ，得：m＝8， 则反比例函数解析式为 y＝ ， 当 x＝﹣4 时，y＝﹣2， 则点 B（﹣4，﹣2）， 将点 A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入 y＝kx+b， 得： ， 解得： ， 则一次函数解析式为 y＝x+2； （2）由题意知 BC＝2， 则△ACB 的面积＝ ×2×6＝6． 21．（8 分）宜万铁路线上，一列列和谐号动车象一条条巨龙穿梭于恩施崇山峻岭，大多地 段桥梁与隧道交替相连如图，勘测队员在山顶 P 处测得山脚下隧道入口 A 点处的俯角为 60°，隧道出口 B 点处的俯角为 30°，一列动车以 180km/h 的速度自西向东行驶，当车 头抵达入口 A 点处时，车尾 C 点处的俯角是 45°，整个车身全部进入隧洞恰好用了 4s 钟时间，求车身完全在隧道中运行的时间（结果精确到 1 秒，参考数据： ≈1.414， ≈1.732 ）． 【解答】解：如图作 PH⊥CB 于 H． ∵∠C＝45°，PH⊥BC， ∴PH＝CH，设 PH＝CH＝x， ∵180km/h＝ ＝50m/s， ∴AC＝50×4＝200，AH＝x﹣200， 在 Rt△APH 中，∵∠APH＝30°， ∴PH＝ AH， ∴x＝ （x﹣200）， 解得 x＝300+100 ， ∵AB＝2AP，AP＝2AH， ∴AB＝4AH＝400+400 ≈1092.4， ≈18s， 答：车身完全在隧道中运行的时间为 18s． 22．（10 分）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划 对 A、B 两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建 2 所 A 类学校和 3 所 B 类学校共需资 金 7800 万元，改扩建 3 所 A 类学校和 1 所 B 类学校共需资金 5400 万元． （1）改扩建 1 所 A 类学校和 1 所 B 类学校所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建 A、B 两类学校共 10 所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承 担．若国家财政拨付资金不超过 11800 万元；地方财政投入资金不少于 4000 万元，其中 地方财政投入到 A、B 两类学校的改扩建资金分别为每所 300 万元和 500 万元．请问共有 哪几种改扩建方案？ 【解答】解：（1）设改扩建一所 A 类和一所 B 类学校所需资金分别为 x 万元和 y 万元 由题意得 ， 解得 ， 答：改扩建一所 A 类学校和一所 B 类学校所需资金分别为 1200 万元和 1800 万元． （2）设今年改扩建 A 类学校 a 所，则改扩建 B 类学校（10﹣a）所， 由题意得： ， 解得 ， ∴3≤a≤5， ∵a 取整数， ∴a＝3，4，5． 即共有 3 种方案： 方案一：改扩建 A 类学校 3 所，B 类学校 7 所； 方案二：改扩建 A 类学校 4 所，B 类学校 6 所； 方案三：改扩建 A 类学校 5 所，B 类学校 5 所． 23．（10 分）如图，在等腰△ABC 中，AB＝BC，以 BC 为直径的 ⊙ O 与 AC 相交于点 D，过 点 D 作 DE⊥AB 交 CB 延长线于点 E，垂足为点 F． （1）判断 DE 与 ⊙ O 的位置关系，并说明理由； （2）若 ⊙ O 的半径 R＝5，tanC＝ ，求 EF 的长． 【解答】（1）证明：如图，连接 OD，BD， ∵BC 是 ⊙ O 的直径， ∴∠CDB＝∠90°， ∴BD⊥AC． ∵AB＝BC， ∴AD＝DC． ∵OC＝OB， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴DE⊥OD． ∴直线 DE 是 ⊙ O 的切线． （2）过 D 作 DH⊥BC 于 H， ∵ ⊙ O 的半径 R＝5，tanC＝ ， ∴BC＝10， 设 BD＝k，CD＝2k， ∴BC＝ k＝10， ∴k＝2 ， ∴BD＝2 ，CD＝4 ， ∴DH＝ ＝4， ∴OH＝ ＝3， ∵DE⊥OD，DH⊥OE， ∴OD2＝OH•OE， ∴OE＝ ， ∴BE＝ ， ∵DE⊥AB， ∴BF∥OD， ∴△BFE∽△ODE， ∴ ，即 ， ∴BF＝2， ∴EF＝ ＝ ． 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+1 交 y 轴于点 A，交 x 轴正半 轴于点 B（4，0），与过 A 点的直线相交于另一点 D（3， ），过点 D 作 DC⊥x 轴，垂 足为 C． （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 在线段 OC 上（不与点 O、C 重合），过 P 作 PN⊥x 轴，交直线 AD 于 M，交 抛物线于点 N，连接 CM，求△PCM 面积的最大值； （3）若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP 的长为 t，是否存在 t，使以点 M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把点 B（4，0），点 D（3， ），代入 y＝ax2+bx+1 中得， ， 解得： ， ∴抛物线的表达式为 y＝﹣ x2+ x+1； （2）设直线 AD 的解析式为 y＝kx+b， ∵A（0，1），D（3， ）， ∴ ， ∴ ， ∴直线 AD 的解析式为 y＝ x+1， 设 P（t，0）， ∴M（t， t+1）， ∴PM＝ t+1， ∵CD⊥x 轴， ∴PC＝3﹣t， ∴S△PCM＝ PC•PM＝ （3﹣t）（ t+1）， ∴S△PCM＝﹣ t2+ t+ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ， ∴△PCM 面积的最大值是 ； （3）∵OP＝t， ∴点 M，N 的横坐标为 t， 设 M（t， t+1），N（t，﹣ t2+ t+1）， ∴|MN|＝|﹣ t2+ t+1﹣ t﹣1|＝|﹣ t2+ t|，CD＝ ， 如图 1，如果以点 M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN＝CD，即﹣ t2+ t＝ ，整理得：3t2﹣9t+10＝0， ∵△＝﹣39， ∴方程﹣ t2+ t＝ 无实数根， ∴不存在 t， 如图 2，如果以点 M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN＝CD，即 t2﹣ t＝ ， ∴t＝ ，（负值舍去）， ∴当 t＝ 时，以点 M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形． 声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经书面同 意，不得复制 发布 中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出地四个 选项中，只有一个是符合题目要求地） 1．（3 分）下列各数是无理数地是（ ） A．1 B．﹣0.6 C．﹣6 D．π 2．（3 分）太阳半径约 696000 千米，则 696000 千米用科学记数法可表示为（ ） A．0.696×106 B．6.96×108 C．0.696×107 D．6.96×105 3．（3 分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形地是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）下列计算中，结果是 a7 地是（ ） A．a3﹣a4 B．a3•a4 C．a3+a4 D．a3÷a4 5．（3 分）如图，该几何体地俯视图是（ ） A． B． C． D． 6．（3 分）如图，将“笑脸”图标向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，点 P 地对应点 P'地坐标是（ ）b5E2RGbCAP A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2） 7．（3 分）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上地高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC 地平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）p1EanqFDPw A．75° B．80° C．85° D．90° 8．（3 分）如图，AB 是⊙O 地直径，点 D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4， 则 地长为（ ） A． B． C．2π D． 9．（3 分）已知一次函数 y1=x﹣3 和反比例函数 y2= 地图象在平面直角坐标系中 交于 A、B 两点，当 y1＞y2 时，x 地取值范围是（ ）DXDiTa9E3d A．x＜﹣1 或 x＞4 B．﹣1＜x＜0 或 x＞4 C．﹣1＜x＜0 或 0＜x＜4 D．x＜﹣1 或 0＜x＜4 10．（3 分）如图，在 Rt△PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形 ABCD 中 AB=2cm，BC=10cm，点 C 和点 M 重合，点 B、C（M）、N 在同一直线上，令 Rt △PMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1cm 地速度向右移动，至点 C 与点 N 重合为止，设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分地面积为 y，则 y 与 x 地大致图象是（ ）RTCrpUDGiT A． B． C． D． 二、填空题（本大题给共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）分解因式：x3y﹣xy3=． 12．（3 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC 内切圆地周长为 13．（3 分）分式方程 =1 地解为 14．（3 分）如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点地俯角分别为 60°、45°， 如果无人机距地面高度 CD 为 米，点 A、D、E 在同一水平直线上，则 A、B 两点间地距离是米．（结果保留根号）5PCzVD7HxA 15．（3 分）在一个不透明地布袋中装有标着数字 2，3，4，5 地 4 个小球，这 4 个小球地材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上 地数字之积大于 9 地概率为 jLBHrnAILg 16．（3 分）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得 3 分，负者得﹣1 分，平局两人都得 0 分，小光和小王都制订了自己地游戏策略， 并且两人都不知道对方地策略．xHAQX74J0X 小光地策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、…… 小王地策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指 2 石头、剪子、布 中任意一个） 例如，某次游戏地前 9 局比赛中，两人当时地策略和得分情况如下表 局数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 小光实际策略 石头 剪子 布 石头 剪子 布 石头 剪子 布 小王实际策略 剪子 布 剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子 小光得分 3 3 ﹣1 0 0 ﹣1 3 ﹣1 ﹣1 小王得分 ﹣1 ﹣1 3 0 0 3 ﹣1 3 3 已知在另一次游戏中，50 局比赛后，小光总得分为﹣6 分，则小王总得分为分． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出必要地文字说明、证明过程 或验算步骤） 17．（7 分）计算：（ ）﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+| ﹣2| 18．（7 分）先化简，再求值： ．其中 x=sin60°． 19．（7 分）解不等式组 ，并求出不等式组地整数解之和． 20．（8 分）已知关于 x 地方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等地实数根 x1、x2 （1）求实数 m 地取值范围； （2）若 x1﹣x2=2，求实数 m 地值． 21．（8 分）如图，已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点，⊙O 地直径 BE=2 ，∠ BCD=120°，A 为 地中点，延长 BA 到点 P，使 BA=AP，连接 PE．LDAYtRyKfE （1）求线段 BD 地长； （2）求证：直线 PE 是⊙O 地切线． 22．（8 分）随着社会地发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走地步数已经成 为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他地好友地运动情况．随机抽取了部分好 友进行调查，把他们 6 月 1 日那天行走地情况分为四个类别：A（0～5000 步） （说明：“0～5000”表示大于等于 0，小于等于 5000，下同），B（5001～10000 步），C（10001～15000 步），D（15000 步以上），统计结果如图所示：Zzz6ZB2Ltk 请依据统计结果回答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了位好友． （2）已知 A 类好友人数是 D 类好友人数地 5 倍． ①请补全条形图； ②扇形图中，“A”对应扇形地圆心角为度． ③若小陈微信朋友圈共有好友 150 人，请根据调查数据估计大约有多少位好友 6 月 1 日这天行走地步数超过 10000 步？dvzfvkwMI1 23．（8 分）某年 5 月，我国南方某省 A、B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万人被 迫转移，邻近县市 C、D 获知 A、B 两市分别急需救灾物资 200 吨和 300 吨地消 息后，决定调运物资支援灾区．已知 C 市有救灾物资 240 吨，D 市有救灾物资 260 吨，现将这些救灾物资全部调往 A、B 两市．已知从 C 市运往 A、B 两市地费 用分别为每吨 20 元和 25 元，从 D 市运往往 A、B 两市地费用别为每吨 15 元和 30 元，设从 D 市运往 B 市地救灾物资为 x 吨．rqyn14ZNXI （1）请填写下表 A（吨） B（吨） 合计（吨） C 240 D x 260 总计（吨） 200 300 500 （2）设 C、D 两市地总运费为 w 元，求 w 与 x 之间地函数关系式，并写出自变 量 x 地取值范围； （3）经过抢修，从 D 市到 B 市地路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨 减少 m 元（m＞0），其余路线运费不变．若 C、D 两市地总运费地最小值不小于 10320 元，求 m 地取值范围．EmxvxOtOco 24．（9 分）在△ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上地点（不与 A、B、C 重合）． （1）如图 1，若 EF∥BC，求证： （2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行，（1）中地结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为△ABC 地重心， ，求 地值． 25．（10 分）已知抛物线 y=a（x﹣1）2 过点（3，1），D 为抛物线地顶点． （1）求抛物线地解析式； （2）若点 B、C 均在抛物线上，其中点 B（0， ），且∠BDC=90°，求点 C 地坐 标； （3）如图，直线 y=kx+4﹣k 与抛物线交于 P、Q 两点． ①求证：∠PDQ=90°； ②求△PDQ 面积地最小值． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出地四个 选项中，只有一个是符合题目要求地）SixE2yXPq5 1．（3 分）下列各数是无理数地是（ ） A．1 B．﹣0.6 C．﹣6 D．π 【分析】依据无理数地三种常见类型进行判断即可． 【解答】解：A、1 是整数，为有理数； B、﹣0.6 是有限小数，即分数，属于有理数； C、﹣6 是整数，属于有理数； D、π是无理数； 故选：D． 【点评】本题主要考查地是无理数地定义，熟练掌握无理数地三种常见类型是解 题地关键． 2．（3 分）太阳半径约 696000 千米，则 696000 千米用科学记数法可表示为（ ） A．0.696×106 B．6.96×108 C．0.696×107 D．6.96×105 【分析】根据科学记数法地表示方法可以将题目中地数据用科学记数法表示，本 题得以解决． 【解答】解：696000 千米=696000000 米=6.96×108 米， 故选：B． 【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大地数，解答本题地关键是明确科学记数 法地表示方法． 3．（3 分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形地是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形地概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形地概念：轴对称图形地关键是寻 找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合．6ewMyirQFL 4．（3 分）下列计算中，结果是 a7 地是（ ） A．a3﹣a4 B．a3•a4 C．a3+a4 D．a3÷a4 【分析】根据同底数幂地乘、除法法则、合并同类项法则计算，判断即可． 【解答】解：A、a3 与 a4 不能合并； B、a3•a4=a7， C、a3 与 a4 不能合并； D、a3÷a4= ； 故选：B． 【点评】本题考查地是同底数幂地乘、除法、合并同类项，掌握它们地运算法则 是解题地关键． 5．（3 分）如图，该几何体地俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从几何体地上面所看到地图形即可． 【解答】解：从几何体地上面看可得 ， 故选：A． 【点评】此题主要考查了简单几何体地三视图，关键是掌握所看地位置． 6．（3 分）如图，将“笑脸”图标向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，点 P 地对应点 P'地坐标是（ ）kavU42VRUs A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2） 【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即 可解决问题； 【解答】解：由题意 P（﹣5，4），向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位， 点 P 地对应点 P'地坐标是（﹣1，2），y6v3ALoS89 故选：C． 【点评】本题考查坐标与平移，解题地关键是记住平移规律：坐标，右移加，左 移减；纵坐标，上移加，属于中考常考题型．M2ub6vSTnP 7．（3 分）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上地高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC 地平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）0YujCfmUCw A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】依据 AD 是 BC 边上地高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠ BAC=50°，AE 平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．eUts8ZQVRd 【解答】解：∵AD 是 BC 边上地高，∠ABC=60°， ∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC， ∴∠BAE=25°， ∴∠DAE=30°﹣25°=5°， ∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为 180°．解决问题地关键 是三角形外角性质以及角平分线地定义地运用．sQsAEJkW5T 8．（3 分）如图，AB 是⊙O 地直径，点 D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4， 则 地长为（ ） A． B． C．2π D． 【分析】先计算圆心角为 120°，根据弧长公式= ，可得结果． 【解答】解：连接 OD， ∵∠ABD=30°， ∴∠AOD=2∠ABD=60°， ∴∠BOD=120°， ∴ 地长= = ， 故选：D． 【点评】本题考查了弧长地计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于 基础题． 9．（3 分）已知一次函数 y1=x﹣3 和反比例函数 y2= 地图象在平面直角坐标系中 交于 A、B 两点，当 y1＞y2 时，x 地取值范围是（ ）GMsIasNXkA A．x＜﹣1 或 x＞4 B．﹣1＜x＜0 或 x＞4 C．﹣1＜x＜0 或 0＜x＜4 D．x＜﹣1 或 0＜x＜4 【分析】先求出两个函数地交点坐标，再根据函数地图象和性质得出即可． 【解答】解：解方程组 得： ， ， 即 A（4，1），B（﹣1，﹣4）， 所以当 y1＞y2 时，x 地取值范围是﹣1＜x＜0 或 x＞4， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数地交点问题，能熟记函数地性质和图 象是解此题地关键． 10．（3 分）如图，在 Rt△PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形 ABCD 中 AB=2cm，BC=10cm，点 C 和点 M 重合，点 B、C（M）、N 在同一直线上，令 Rt △PMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1cm 地速度向右移动，至点 C 与点 N 重合为止，设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分地面积为 y，则 y 与 x 地大致图象是（ ）TIrRGchYzg A． B． C． D． 【分析】在 Rt△PMN 中解题，要充分运用好垂直关系和 45 度角，因为此题也是 点地移动问题，可知矩形 ABCD 以每秒 1cm 地速度由开始向右移动到停止，和 Rt△PMN 重叠部分地形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3） 4＜x≤6；根据重叠图形确定面积地求法，作出判断即可．7EqZcWLZNX 【解答】解：∵∠P=90°，PM=PN， ∴∠PMN=∠PNM=45°， 由题意得：CM=x， 分三种情况： ①当 0≤x≤2 时，如图 1，边 CD 与 PM 交于点 E， ∵∠PMN=45°， ∴△MEC 是等腰直角三角形， 此时矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分是△EMC， ∴y=S△EMC= CM•CE= ； 故选项 B 和 D 不正确； ②如图 2，当 D 在边 PN 上时，过 P 作 PF⊥MN 于 F，交 AD 于 G， ∵∠N=45°，CD=2， ∴CN=CD=2， ∴CM=6﹣2=4， 即此时 x=4， 当 2＜x≤4 时，如图 3，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分是四边形 EMCD， 过 E 作 EF⊥MN 于 F， ∴EF=MF=2， ∴ED=CF=x﹣2， ∴y=S 梯形 EMCD= CD•（DE+CM）= =2x﹣2； ③当 4＜x≤6 时，如图 4，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分是五边形 EMCGF，过 E 作 EH⊥MN 于 H， ∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2， ∵MN=6，CM=x， ∴CG=CN=6﹣x， ∴DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4， ∴y=S 梯形 EMCD﹣S△FDG= ﹣ = ×2×（x﹣2+x）﹣ =﹣ +10x﹣18， 故选项 A 正确； 故选：A． 【点评】此题是动点问题地函数图象，有难度，主要考查等腰直角三角形地性质 和矩形地性质地应用、动点运动问题地路程表示，注意运用数形结合和分类讨论 思想地应用．lzq7IGf02E 二、填空题（本大题给共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）分解因式：x3y﹣xy3= xy（x+y）（x﹣y） ． 【分析】首先提取公因式 xy，再对余下地多项式运用平方差公式继续分解． 【解答】解：x3y﹣xy3， =xy（x2﹣y2）， =xy（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式， 要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直 到不能分解为止．zvpgeqJ1hk 12．（3 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC 内切圆地周长为 4π 【分析】先利用勾股定理计算出 AB 地长，再利用直角三角形内切圆地半径地计 算方法求出△ABC 地内切圆地半径，然后利用圆地面积公式求解．NrpoJac3v1 【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6， ∴AB= =10， ∴△ABC 地内切圆地半径= =2， ∴△ABC 内切圆地周长=π•22=4π． 故答案为 4π． 【点评】本题考查了三角形地内切圆与内心：三角形地内心到三角形三边地距离 相等；三角形地内心与三角形顶点地连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆 半径地计算方法．1nowfTG4KI 13．（3 分）分式方程 =1 地解为 x=0.5 【分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验． 【解答】解：方程两边都乘以 2（x2﹣1）得， 8x+2﹣5x﹣5=2x2﹣2， 解得 x1=1，x2=0.5， 检验：当 x=0.5 时，x﹣1=0.5﹣1=﹣0.5≠0， 当 x=1 时，x﹣1=0， 所以 x=0.5 是方程地解， 故原分式方程地解是 x=0.5． 故答案为：x=0.5 【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程地基本思想是“转化思想”，把 分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．fjnFLDa5Zo 14．（3 分）如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点地俯角分别为 60°、45°， 如果无人机距地面高度 CD 为 米，点 A、D、E 在同一水平直线上，则 A、B 两点间地距离是 100（1+ ） 米．（结果保留根号）tfnNhnE6e5 【分析】如图，利用平行线地性质得∠A=60°，∠B=45°，在 Rt△ACD 中利用正切 定 义 可 计 算 出 AD=100 ， 在 Rt △ BCD 中 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 地 性 质 得 BD=CD=100 ，然后计算 AD+BD 即可．HbmVN777sL 【解答】解：如图， ∵无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点地俯角分别为 60°、45°， ∴∠A=60°，∠B=45°， 在 Rt△ACD 中，∵tanA= ， ∴AD= =100， 在 Rt△BCD 中，BD=CD=100 ， ∴AB=AD+BD=100+100 =100（1+ ）． 答：A、B 两点间地距离为 100（1+ ）米． 故答案为 100（1+ ）． 【点评】本题考查了解直角三角形地应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解 角之间地关系，找到与已知和未知相关联地直角三角形，当图形中没有直角三角 形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．V7l4jRB8Hs 15．（3 分）在一个不透明地布袋中装有标着数字 2，3，4，5 地 4 个小球，这 4 个小球地材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上 地数字之积大于 9 地概率为 83lcPA59W9 【分析】列表或树状图得出所有等可能地情况数，找出数字之积大于 9 地情况数， 利用概率公式即可得． 【解答】解：根据题意列表得： 2 3 4 5 2 ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2） （5，2） 3 （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3） （5，3） 4 （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣ （5，4） 5 （2，5） （3，5） （4，5） ﹣﹣﹣ 由表可知所有可能结果共有 12 种，且每种结果发生地可能性相同，其中摸出地 两个小球上地数字之积大于 9 地有 8 种，mZkklkzaaP 所以两个小球上地数字之积大于 9 地概率为 = ， 故答案为： ． 【点评】此题考查地是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实 验还是不放回实验．用到地知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比．AVktR43bpw 16．（3 分）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得 3 分，负者得﹣1 分，平局两人都得 0 分，小光和小王都制订了自己地游戏策略， 并且两人都不知道对方地策略．ORjBnOwcEd 小光地策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、…… 小王地策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指 2 石头、剪子、布 中任意一个） 例如，某次游戏地前 9 局比赛中，两人当时地策略和得分情况如下表 局数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 小光实际策略 石头 剪子 布 石头 剪子 布 石头 剪子 布 小王实际策略 剪子 布 剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子 小光得分 3 3 ﹣1 0 0 ﹣1 3 ﹣1 ﹣1 小王得分 ﹣1 ﹣1 3 0 0 3 ﹣1 3 3 已知在另一次游戏中，50 局比赛后，小光总得分为﹣6 分，则小王总得分为 90 分． 【分析】观察二人地策略可知：每 6 局一循环，每个循环中第一局小光拿 3 分， 第三局小光拿﹣1 分，第五局小光拿 0 分，进而可得出五十局中可预知地小光胜 9 局、平 8 局、负 8 局，设其它二十五局中，小光胜了 x 局，负了 y 局，则平了 （25﹣x﹣y）局，根据 50 局比赛后小光总得分为﹣6 分，即可得出关于 x、y 地 二元一次方程，由 x、y、（25﹣x﹣y）均非负，可得出 x=0、y=25，再由胜一局 得 3 分、负一局得﹣1 分、平不得分，可求出小王地总得分．2MiJTy0dTT 【解答】解：由二人地策略可知：每 6 局一循环，每个循环中第一局小光拿 3 分，第三局小光拿﹣1 分，第五局小光拿 0 分．gIiSpiue7A ∵50÷6=8（组）……2（局）， ∴（3﹣1+0）×8+3=19（分）． 设其它二十五局中，小光胜了 x 局，负了 y 局，则平了（25﹣x﹣y）局， 根据题意得：19+3x﹣y=﹣6， ∴y=3x+25． ∵x、y、（25﹣x﹣y）均非负， ∴x=0，y=25， ∴小王地总得分=（﹣1+3+0）×8﹣1+25×3=90（分）． 故答案为：90． 【点评】本题考查了二元一次方程地应用以及规律型中数字地变化类，找准等量 关系，正确列出二元一次方程是解题地关键．uEh0U1Yfmh 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出必要地文字说明、证明过程 或验算步骤） 17．（7 分）计算：（ ）﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+| ﹣2| 【分析】直接利用负指数幂地性质以及特殊角地三角函数值、绝对值地性质、零 指数幂地性质进而化简得出答案． 【解答】解：原式= +1+ +2﹣ = +1+ +2﹣ =4﹣ ． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18．（7 分）先化简，再求值： ．其中 x=sin60°． 【分析】先根据分式地混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代 入计算可得． 【解答】解：原式= • = ， 当 x=sin60°= 时， 原式= = ． 【点评】本题主要考查分式地化简求值，解题地关键是熟练掌握分式地混合运算 顺序和运算法则． 19．（7 分）解不等式组 ，并求出不等式组地整数解之和． 【分析】分别求出不等式组中两不等式地解集，找出解集地公共部分确定出解集， 找出整数解即可． 【解答】解：解不等式 （x+1）≤2，得：x≤3， 解不等式 ≥ ，得：x≥0， 则不等式组地解集为 0≤x≤3， 所以不等式组地整数解之和为 0+1+2+3=6． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组地整数解，熟 练掌握运算法则是解本题地关键． 20．（8 分）已知关于 x 地方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等地实数根 x1、x2 （1）求实数 m 地取值范围； （2）若 x1﹣x2=2，求实数 m 地值． 【分析】（1）根据根地判别式得出不等式，求出不等式地解集即可； （2）根据根与系数地关系得出 x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组地解， 再根据根与系数地关系求出 m 即可．IAg9qLsgBX 【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0， 解得：m＜1， 即实数 m 地取值范围是 m＜1； （2）由根与系数地关系得：x1+x2=2， 即 ， 解得：x1=2，x2=0， 由根与系数地关系得：m=2×0=0． 【点评】本题考查了根与系数地关系和根地判别式、一元二次方程地解，能熟记 根与系数地关系地内容和根地判别式地内容是解此题地关键．WwghWvVhPE 21．（8 分）如图，已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点，⊙O 地直径 BE=2 ，∠ BCD=120°，A 为 地中点，延长 BA 到点 P，使 BA=AP，连接 PE．asfpsfpi4k （1）求线段 BD 地长； （2）求证：直线 PE 是⊙O 地切线． 【分析】（1）连接 DB，如图，利用圆内接四边形地性质得∠DEB=60°，再根据圆 周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含 30 度地直角三角形三边地关系计算 BD 地 长；ooeyYZTjj1 （2）连接 EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而 A 为 地中点，则∠ ABE=45°，再根据等腰三角形地判定方法，利用 BA=AP 得到△BEP 为等腰直角三 角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线地判定定理得到结论．BkeGuInkxI 【解答】（1）解：连接 DB，如图， ∵∠BCD+∠DEB=90°， ∴∠DEB=180°﹣120°=60°， ∵BE 为直径， ∴∠BDE=90°， 在 Rt△BDE 中，DE= BE= ×2 = ， BD= DE= × =3； （2）证明：连接 EA，如图， ∵BE 为直径， ∴∠BAE=90°， ∵A 为 地中点， ∴∠ABE=45°， ∵BA=AP， 而 EA⊥BA， ∴△BEP 为等腰直角三角形， ∴∠PEB=90°， ∴PE⊥BE， ∴直线 PE 是⊙O 地切线． 【点评】本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．若出现圆地 切线，必连过切点地半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定 理．PgdO0sRlMo 22．（8 分）随着社会地发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走地步数已经成 为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他地好友地运动情况．随机抽取了部分好 友进行调查，把他们 6 月 1 日那天行走地情况分为四个类别：A（0～5000 步） （说明：“0～5000”表示大于等于 0，小于等于 5000，下同），B（5001～10000 步），C（10001～15000 步），D（15000 步以上），统计结果如图所示：3cdXwckm15 请依据统计结果回答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 30 位好友． （2）已知 A 类好友人数是 D 类好友人数地 5 倍． ①请补全条形图； ②扇形图中，“A”对应扇形地圆心角为 120 度． ③若小陈微信朋友圈共有好友 150 人，请根据调查数据估计大约有多少位好友 6 月 1 日这天行走地步数超过 10000 步？h8c52WOngM 【分析】（1）由 B 类别人数及其所占百分比可得总人数； （2）①设 D 类人数为 a，则 A 类人数为 5a，根据总人数列方程求得 a 地值，从 而补全图形； ②用 360°乘以 A 类别人数所占比例可得； ③总人数乘以样本中 C、D 类别人数和所占比例． 【解答】解：（1）本次调查地好友人数为 6÷20%=30 人， 故答案为：30； （2）①设 D 类人数为 a，则 A 类人数为 5a， 根据题意，得：a+6+12+5a=30， 解得：a=2， 即 A 类人数为 10、D 类人数为 2， 补全图形如下： ②扇形图中，“A”对应扇形地圆心角为 360°× =120°， 故答案为：120； ③估计大约 6 月 1 日这天行走地步数超过 10000 步地好友人数为 150× =70 人． 【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图地综合运用，读懂统计图，从 统计图中得到必要地信息是解决问题地关键．条形统计图能清楚地表示出每个项 目地数据．v4bdyGious 23．（8 分）某年 5 月，我国南方某省 A、B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万人被 迫转移，邻近县市 C、D 获知 A、B 两市分别急需救灾物资 200 吨和 300 吨地消 息后，决定调运物资支援灾区．已知 C 市有救灾物资 240 吨，D 市有救灾物资 260 吨，现将这些救灾物资全部调往 A、B 两市．已知从 C 市运往 A、B 两市地费 用分别为每吨 20 元和 25 元，从 D 市运往往 A、B 两市地费用别为每吨 15 元和 30 元，设从 D 市运往 B 市地救灾物资为 x 吨．J0bm4qMpJ9 （1）请填写下表 A（吨） B（吨） 合计（吨） C x﹣60 300﹣x 240 D 260﹣x x 260 总计（吨） 200 300 500 （2）设 C、D 两市地总运费为 w 元，求 w 与 x 之间地函数关系式，并写出自变 量 x 地取值范围； （3）经过抢修，从 D 市到 B 市地路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨 减少 m 元（m＞0），其余路线运费不变．若 C、D 两市地总运费地最小值不小于 10320 元，求 m 地取值范围．XVauA9grYP 【分析】（1）根据题意可以将表格中地空缺数据补充完整； （2）根据题意可以求得 w 与 x 地函数关系式，并写出 x 地取值范围； （3）根据题意，利用分类讨论地数学思想可以解答本题． 【解答】解：（1）∵D 市运往 B 市 x 吨， ∴D 市运往 A 市（260﹣x）吨，C 市运往 B 市（300﹣x）吨，C 市运往 A 市 200 ﹣（260﹣x）=（x﹣60）吨，bR9C6TJscw 故答案为：x﹣60、300﹣x、260﹣x； （2）由题意可得， w=20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x=10x+10200， ∴w=10x+10200（60≤x≤260）； （3）由题意可得， w=10x+10200﹣mx=（10﹣m）x+10200， 当 0＜m＜10 时， x=60 时，w 取得最小值，此时 w=（10﹣m）×60+10200≥10320， 解得，0＜m≤8， 当 m＞10 时， x=260 时，w 取得最小值，此时，w=（10﹣m）×260+10200≥10320， 解得，m≤ ， ∵ ＜10， ∴m＞10 这种情况不符合题意， 由上可得，m 地取值范围是 0＜m≤8． 【点评】本题考查一次函数地应用、一元一次不等式地应用，解答本题地关键是 明确题意，利用函数和不等式地性质解答．pN9LBDdtrd 24．（9 分）在△ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上地点（不与 A、B、C 重合）． （1）如图 1，若 EF∥BC，求证： （2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行，（1）中地结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为△ABC 地重心， ，求 地值． 【分析】（1）由 EF∥BC 知△AEF∽△ABC，据此得 = ，根据 =（ ）2 即可得证； （2）分别过点 F、C 作 AB 地垂线，垂足分别为 N、H，据此知△AFN∽△ACH， 得 = ，根据 = 即可得证； （3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN，由 重心性质知 S△ABM=S△ACM、 = ，设 =a，利用（2）中结论知 = = 、 = = a ， 从 而 得 = = + a ， 结 合 = = a 可关于 a 地方程，解之求得 a 地值即可得出答案．DJ8T7nHuGT 【解答】解：（1）∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴ = ， ∴ =（ ）2= • = ； （2）若 EF 不与 BC 平行，（1）中地结论仍然成立， 分别过点 F、C 作 AB 地垂线，垂足分别为 N、H， ∵FN⊥AB、CH⊥AB， ∴FN∥CH， ∴△AFN∽△ACH， ∴ = ， ∴ = = ； （3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN， 则 MN 分别是 BC、AC 地中点， ∴MN∥AB，且 MN= AB， ∴ = = ，且 S△ABM=S△ACM， ∴ = ， 设 =a， 由（2）知： = = × = ， = = a， 则 = = + = + a， 而 = = a， ∴ + a= a， 解得：a= ， ∴ = × = ． 【点评】本题主要考查相似形地综合问题，解题地关键是熟练掌握相似三角形地 判定与性质和三角形重心地定义及其性质等知识点．QF81D7bvUA 25．（10 分）已知抛物线 y=a（x﹣1）2 过点（3，1），D 为抛物线地顶点． （1）求抛物线地解析式； （2）若点 B、C 均在抛物线上，其中点 B（0， ），且∠BDC=90°，求点 C 地坐 标； （3）如图，直线 y=kx+4﹣k 与抛物线交于 P、Q 两点． ①求证：∠PDQ=90°； ②求△PDQ 面积地最小值． 【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得 a 地值即可； （2）设点 C 地坐标为（x0，y0），其中 y0= （x0﹣1）2，作 CF⊥x 轴，证△BDO ∽△DCF 得 = ，即 = = 据此求得 x0 地值即可得；4B7a9QFw9h （3）①设点 P 地坐标为（x1，y1），点 Q 为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式， 化为关于 x 地方程可得 ，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由 PM=y1= （x1﹣1）2、QN=y2= （x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1 知 PM•QN=DM•DN=16，即 = ，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得； ix6iFA8xoX ②过点 D 作 x 轴地垂线交直线 PQ 于点 G，则 DG=4，根据 S△PDQ= DG•MN 列出 关于 k 地等式求解可得．wt6qbkCyDE 【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1， 解得：a= ， 所以抛物线解析式为 y= （x﹣1）2； （2）由（1）知点 D 坐标为（1，0）， 设点 C 地坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0）， 则 y0= （x0﹣1）2， 如图 1，过点 C 作 CF⊥x 轴， ∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°， ∵∠BDC=90°， ∴∠BDO+∠CDF=90°， ∴∠BDO=∠DCF， ∴△BDO∽△DCF， ∴ = ， ∴ = = ， 解得：x0=17，此时 y0=64， ∴点 C 地坐标为（17，64）． （3）①证明：设点 P 地坐标为（x1，y1），点 Q 为（x2，y2），（其中 x1＜1＜x2， y1＞0，y2＞0），Kp5zH46zRk 由 ，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0， ∴ ， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16， 如图 2，分别过点 P、Q 作 x 轴地垂线，垂足分别为 M、N， 则 PM=y1= （x1﹣1）2，QN=y2= （x2﹣1）2， DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1， ∴PM•QN=DM•DN=16， ∴ = ， 又∠PMD=∠DNQ=90°， ∴△PMD∽△DNQ， ∴∠MPD=∠NDQ， 而∠MPD+∠MDP=90°， ∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°； ②过点 D 作 x 轴地垂线交直线 PQ 于点 G，则点 G 地坐标为（1，4）， 所以 DG=4， ∴S△PDQ= DG•MN= ×4×|x1﹣x2|=2 =8 ， ∴当 k=0 时，S△PDQ 取得最小值 16． 【点评】本题主要考查二次函数地综合问题，解题地关键是熟练掌握待定系数法 求函数解析式、相似三角形地判定与性质及一元二次方程根与系数地关系等知识 点．Yl4HdOAA61 多一份执着和自信，添一份洒脱和从容，才是潇洒快乐的人生！