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- 2021-11-06 发布
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专题 08 一元一次方程及其应用
一、方程与整式、等式的区别
(1)从概念来看:
整式:单项式和多项式统称整式。
等式:用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如 2+3=5,m=n=n+m 等都叫做等式,而像-3a+2b,3 m2n
不含等号,所以它们不是等式,而是代数式。
方程:含有未知数的等式叫做方程。如 5x+3=11。理解方程的概念必须明确两点:①是等式;②含有未知
数。两者缺一不可。
(2)从是否含有等号来看:方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用
运算符号连接起来,不含有等号。
(3)从是否含有未知量来看:等式必含有“=”,但不一定含有未知量;方程既含有“=”,又必须含有未知
数。但整式必不含有等号,不一定含有未知量,分为单项式和多项式。
二、一元一次方程的概念
1.一元一次方程:一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中 x 是未知数,a,b 是已知数,且 a≠0)。
要点诠释:一元一次方程须满足下列三个条件:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的次数是 1 次;
(3)整式方程.
注意:方程要化为最简形式,且一次项系数不能为零。
2.方程的解:判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边,看两边是否相等.
三、一元一次方程的解法
1.方程的同解原理(等式的基本性质)
性质 1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
性质 2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。
注意:分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数,分数的值不变。
2.解一元一次方程的一般步骤:
(1)去分母。在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,依据等式基本性质 2,注意防止漏乘(尤其整数项),
注意添括号。
(2)去括号。一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,依据去括号法则、分配律,注意变号,防止漏
乘。
(3)移项。把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号),依据等式
基本性质 1,移项要变号,不移不变号。
(4)合并同类项。把方程化成 ax=b(a≠0)的形式,依据合并同类项法则,计算要仔细,不要出差错。
(5)系数化为 1。在方程两边都除以未知数的系数 a,得到方程的解 x=b/a ,依据等式基本性质 2,计算要
仔细,分子分母勿颠倒。
说明:理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:
①a≠0 时,方程有唯一解 x=b/a ;
②a=0,b=0 时,方程有无数个解;
③a=0,b≠0 时,方程无解。
四、列一元一次方程解应用题
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤:
(1)审—审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系。
(2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数.
(3)列—列出方程:设出未知数后,利用等量关系写出等式,即列方程。
(4)解—解方程:解所列的方程,求出未知数的值.
(5)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,
检验后写出答案,注意带上单位。
2.常见的一些等量关系
(1)行程问题:距离=速度·时间
(2)工程问题:工作量=工效·工时
(3)比率问题:部分=全体·比率
(4)顺逆流问题:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度
(5)商品价格问题:售价=定价·折·
10
1
,利润=售价-成本, %100
成本
成本售价
利润率
(6)周长、面积、体积问题:
C 圆=2πR,C 长方形=2(a+b),C 正方形=4a,
S 圆=πR
2
,S 长方形=ab, S 正方形=a
2
,S 环形=π(R
2
-r
2
),
V 长方体=abc,V 正方体=a
3,V 圆柱=πR2h ,V 圆锥= 3
1
πR2h.
【例题 1】(2020•重庆)解一元一次方程
(x+1)=1
x 时,去分母正确的是( )
A.3(x+1)=1﹣2x B.2(x+1)=1﹣3x
C.2(x+1)=6﹣3x D.3(x+1)=6﹣2x
【对点练习】解方程:
(1)4﹣x=3(2﹣x);
(2) .
【例题 2】(2020•杭州)以下是圆圆解方程
体
1 的解答过程.解:去分母,得 3(x+1)﹣2(x﹣3)
=1.
去括号,得 3x+1﹣2x+3=1.
移项,合并同类项,得 x=﹣3.
圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误,写出正确的解答过程.
【对点练习】(2019 湖南湘西)若关于 x的方程 3x﹣kx+2=0 的解为 2,则 k 的值为 .
【例题 3】(2020•内江)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索
比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,
绳索比竿长 5 尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短 5 尺.设绳索长 x 尺.则符合题意的方程
是( )
A.
x=(x﹣5)﹣5 B.
x=(x+5)+5
C.2x=(x﹣5)﹣5 D.2x=(x+5)+5
【对点练习】(2019•襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如下:今有人合
伙买羊,每人出 5 钱,会差 45 钱;每人出 7 钱,会差 3钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为 x
人,所列方程正确的是( )
A.5x﹣45=7x﹣3 B.5x+45=7x+3 C. = D. =
【例题 4】(2019▪湖北黄石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同
样时间段内,走路快的人能走 100 步,走路慢的人只能走 60 步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:
(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走路
慢的人先走 100 步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走 600 步时,请问谁在前面,两人相隔多少步?
(2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走 200 步,请问走路快的人走
多少步才能追上走路慢的人?
【对点练习】(2019•湖南岳阳)岳阳市整治农村“空心房”新模式,获评全国改革开放 40 年地方改革创新
40 案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地 1200 亩用于复耕和改造,其中复耕
土地面积比改造土地面积多 600 亩.
(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩?
(2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积
不超过花卉园总面积的 ,求休闲小广场总面积最多为多少亩?
一、选择题
1.(2020•金华)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为 x.则列出
方程正确的是( )
A.3×2x+5=2x B.3×20x+5=10x×2
C.3×20+x+5=20x D.3×(20+x)+5=10x+2
2.(2019▪贵州毕节)如果 3ab2m﹣1与 9abm+1是同类项,那么 m等于( )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
3.(2019•杭州)已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵,男生每人种 3 棵树,女生每人种 2 棵树,设男生有 x
人,则( )
A.2x+3(72﹣x)=30 B.3x+2(72﹣x)=30
C.2x+3(30﹣x)=72 D.3x+2(30﹣x)=72
4.(2020 湖南长沙模拟)某车间有 26 名工人,每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母,1 个螺钉需要
配 2 个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排 x 名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是
( )
A.2×1000(26﹣x)=800x B.1000(13﹣x)=800x
C.1000(26﹣x)=2×800x D.1000(26﹣x)=800x
二、填空题
5.(2020•衢州)一元一次方程 2x+1=3 的解是 x= .
6.(2020•株洲)关于 x 的方程 3x﹣8=x 的解为 x= .
7.(2020•武威)暑假期间,亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动.某款式眼镜的广告如下,请你为广告牌填
上原价.
原价: 元
暑假八折优惠,现价:160 元
8.(2019•张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八
百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是:一块矩形田地的面积为 864 平方步,只知道它
的长与宽共 60 步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多 步.
9.方程﹣ (1﹣2x)= (3x+1)的解为___________.
10.(2019 贵州黔西南州)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价,在某次电商购物节中,为促销
该商品,按标价 8 折销售,售价为 2240 元,则这种商品的进价是 元.
11.(2019▪贵州毕节)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价,在某次电商购物节中,为促销该商
品,按标价 8 折销售,售价为 2240 元,则这种商品的进价是 元.
12.(2019•湖南湘西州)若关于 x 的方程 3x﹣kx+2=0 的解为 2,则 k 的值为 .
三、解答题
13.解方程:
14.解方程
(1)4(x﹣1)﹣3(20﹣x)=5(x﹣2);
(2)x﹣ =2﹣ .
15.(2020•攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动,原来每组 6 人,后来重新编组,每组 8人,这样就
比原来减少 2 组,问这些学生共有多少人?
16.(2020•凉山州)解方程:x
1体
.
17.(2019•甘肃)中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个
问题,原文:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?译文为:今有若干人乘车,
每 3 人共乘一车,最终剩余 2 辆车,若每 2 人共乘一车,最终剩余 9 个人无车可乘,问共有多少人,多少
辆车?
18.(2019 安徽)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问题,当地政府决定修建一条高速公路.其
中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作 2 天后,乙工程队
加入,两工程队又联合工作了 1 天,这 3 天共掘进 26 米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米,按此
速度完成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天?
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