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  • 2021-11-06 发布

实际问题与一元二次方程(2)  导学案

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‎21.3 实际问题与一元二次方程(2)‎ ‎1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.‎ ‎2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.‎ ‎3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.‎ 重点:如何解决增长率与降低率问题.‎ 难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.‎ 一、自学指导.(10分钟)‎ 自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)‎ 绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.‎ 相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.‎ 分析:‎ ‎①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.‎ 依题意,得__5000(1-x)2=3000__.‎ 解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.‎ 根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.‎ ‎②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,‎ 列方程:__6000(1-y)2=3600__.‎ 解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.‎ 答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.‎ 点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.‎ 二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)‎ 某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?‎ ‎【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则 ‎11月份的营业额为__5000(1+x)__元,‎ ‎12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.‎ 由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.‎ 点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.‎ 增长率=增长数∶基准数 设基准数为a,增长率为x,‎ 则一月(或一年)后产量为a(1+x);‎ 2‎ 二月(或二年)后产量为a(1+x)2;‎ n月(或n年)后产量为a(1+x)n;‎ 如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.‎ 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.‎ 一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)‎ 某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)‎ 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.‎ 解:设这种存款方式的年利率为x,‎ 则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,‎ 整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,‎ 解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.‎ 答:所求的年利率是12.5%.‎ 二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)‎ 青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.‎ 解:设年平均增长率为x,‎ 则有7200(1+x)2=8460,‎ 解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).‎ 即年平均增长率为8%.‎ 答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.‎ 点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.‎ 学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)‎ ‎1. 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.‎ ‎2. 若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).‎ 学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)‎ 2‎

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