实际问题与一元二次方程（2）　　导学案 2页

‎21.3　实际问题与一元二次方程(2)‎ ‎1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．‎ ‎2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．‎ ‎3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．‎ 重点：如何解决增长率与降低率问题．‎ 难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)‎ 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．‎ 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．‎ 分析：‎ ‎①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．‎ 依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．‎ 解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．‎ 根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．‎ ‎②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，‎ 列方程：__6000(1－y)2＝3600__．‎ 解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．‎ 答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．‎ 点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)‎ 某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？‎ ‎【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则 ‎11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，‎ ‎12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．‎ 由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．‎ 点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．‎ 增长率＝增长数∶基准数 设基准数为a，增长率为x，‎ 则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；‎ 2‎ 二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；‎ n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；‎ 如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.‎ 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)‎ 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)‎ 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．‎ 解：设这种存款方式的年利率为x，‎ 则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，‎ 整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，‎ 解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%.‎ 答：所求的年利率是12.5%.‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)‎ 青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg，2013年平均每公顷产8460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．‎ 解：设年平均增长率为x，‎ 则有7200(1＋x)2＝8460，‎ 解得x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)．‎ 即年平均增长率为8%.‎ 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.‎ 点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)‎ ‎1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．‎ ‎2. 若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ 2‎