中考数学全程复习方略第十七讲全等三角形课件 55页

第十七讲 　 全等三角形 考点一　全等三角形的性质与判定 【 主干必备 】 1. 概念 : 能够 _______________ 的两个三角形 .  2. 性质 : 全等三角形的对应边 ___________, 对应角 ___________.  完全重合 相等 相等 3. 全等三角形的判定方法 已知条件 判定定理 三组对应边分别相等的两个三角形 __________   有两边及其夹角对应相等的两个三角形 __________   有两角及其夹边对应相等的两个三角形 __________   有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形 __________   斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形 HL SSS SAS ASA AAS 【 微点警示 】 (1) 全等性质的拓展 : 全等三角形对应中线、对应角平分线、对应高分别相等 ; 全等三角形的周长相等 , 面积相等 . (2) 全等判定的条件 : 至少有一条边相等 , 两个三角形才有可能全等 . (3) 判定方法的辨析 :“AAS” 可以判定两个三角形全等 , 但“ SSA” 不能判定两个三角形全等 . 【 核心突破 】 例 1(1) 【 原型题 】 如图 ,BC∥EF,AC∥DF, 添加一个条件 _______________________________________________, 使得△ ABC≌△DEF.  AB=DE(BC=EF 或 AC=DF 或 AD=BE 均可 , 答案不唯一 ) 【 变形题 1】 ( 变换条件 )“ 如上图 ,BC=EF,AC=DF”, 添加一个条件 _______________________________ _________, 使得△ ABC≌△DEF.  ∠C=∠F(AB=DE 或 AD=BE, 答案不 唯一 ) 【 变形题 2】 ( 变换条件、结论 ) 如上图 ,△ABC≌△DEF, 则 AC 和 DF 的关系是 _____________________.  AC=DF, 且 AC∥DF (2)(2019· 宜昌中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 , D 是 BC 边上的一点 ,AB=DB,BE 平分∠ ABC, 交 AC 边于点 E, 连接 DE. ① 求证 :△ABE≌△DBE. ② 若∠ A=100°,∠C=50°, 求∠ AEB 的度数 . 【 自主解答 】 ①∵ BE 平分∠ ABC, ∴ ∠ABE=∠DBE, 在△ ABE 和△ DBE 中 , ∴ △ABE≌△DBE(SAS). ②∵ ∠A=100 ° ,∠C=50 ° , ∴ ∠ABC=30 ° , ∵ BE 平分∠ ABC, ∴ ∠ABE=∠DBE= ∠ABC=15 ° , 在△ ABE 中 , ∠AEB=180 ° -∠A-∠ABE=180 ° -100 ° -15 ° =65 ° . 【 明 · 技法 】 判定两个三角形全等的思路 已知两边 找夹角 (SAS) 找直角 (HL) 找另一边 (SSS) 已知一 边一角 边为角的对边 找任一角 (AAS) 边为角 的邻边 找夹边的另一角 (ASA) 找夹角的另一边 (SAS) 找边的对角 (AAS) 已知两角 找夹边 (ASA) 找任意一对边 (AAS) 【 题组过关 】 1.(2019· 临沂中考 ) 如图 ,D 是 AB 上一点 ,DF 交 AC 于点 E,DE=FE,FC∥AB, 若 AB=4,CF=3, 则 BD 的长是 ( 　 　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 B 2.(2019· 北京东城区模拟 ) 如图 , 已知∠ 1=∠2,AC=AD, 要使△ ABC≌ △AED, 还需添加一个条件 , 那么在 ① AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E, 这四个关系 中可以选择的是 ( 　 　 ) A.①②③ 　　 B.①②④ 　　 C.①③④ 　　 D.②③④ C 3.(2019· 邵阳中考 ) 如图 , 已知 AD=AE, 请你添加一个条 件 , 使得△ ADC≌△AEB, 你添加的条件是 ___________ ____________________________.( 不添加任何字母和 辅助线 ) 世纪金榜导学号  AB=AC 或 ∠ADC=∠AEB 或∠ ABE=∠ACD 4.(2019· 天津模拟 ) 如图 , 已知 AD=BC,AB=CD, 若 ∠ C=40°, 则∠ A 的大小是 _________ 度 .  40 5.( 生活情境题 )(2019· 汕头潮阳区模拟 ) 生活中处处有数学 . 世纪金榜导学号 (1) 如图 1 所示 , 一扇窗户打开后 , 用窗钩 AB 将其固定 , 这里所运用的数学原理是 __________________.  (2) 如图 2 所示 , 在新修的小区中 , 有一条“ Z” 字形绿色长廊 ABCD, 其中 AB∥CD, 在 AB,BC,CD 三段绿色长廊上各修一个小凉亭 E,M,F, 且 BE=CF, 点 M 是 BC 的中点 , 在凉亭 M 与 F 之间有一池塘 , 不能直接到达 , 要想知道 M 与 F 之间的距离 , 只需要测出线段 ME 的长度 , 这样做合适吗 ? 请说明理由 . 【 解析 】 (1) 一扇窗户打开后 , 用窗钩 AB 可将其固定 , 这里所运用的几何原理是 : 三角形的稳定性 . 答案 : 三角形具有稳定性 (2) 合适 , 理由如下 : ∵ AB∥CD, ∴ ∠B=∠C, ∵ 点 M 是 BC 的中点 , ∴ MB=MC, 在△ MEB 与△ MCF 中 , ∴ △MEB≌△MFC(SAS), ∴ ME=MF, ∴ 想知道 M 与 F 之间的距离 , 只需要测出线段 ME 的长度 . 考点二　角的平分线的性质和判定 【 主干必备 】 1. 性质 : 角平分线上的点到角两边的 ___________ 相等 .  2. 判定 : 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个 角的 _______________ 上 .  距离 角平分线 【 微点警示 】 (1) 距离的含义 : 此处的距离是指过角平分线上的点向角的两边所作垂线段的长度 . (2) 推理的条件 : 无论是应用角平分线的性质还是判定 , 在写推理步骤时都要写上“垂直”这一条件 . 【 核心突破 】 例 2(2019· 湖州中考 ) 如图 , 已知 在四边形 ABCD 中 ,∠BCD=90°,BD 平 分∠ ABC,AB=6,BC=9,CD=4, 则四边 形 ABCD 的面积是 ( 　 　 ) A.24 　　　　 B.30 　　　　 C.36 　　　　 D.42 B 【 明 · 技法 】 遇角平分线常作的四种辅助线 (1) 过角平分线上一点作角两边的垂线 , 构造全等三角形 . (2) 过角平分线上一点 , 作角的一边的平行线 , 构造等腰三角形 . (3) 过角平分线上一点 , 作角平分线的垂线 , 构造等腰三角形 . (4) 遇与角平分线垂直的线段时 , 延长垂线段与角的另一边相交 , 构造等腰三角形 . 【 题组过关 】 1.( 易错警示题 ) 如图 ,OP 平分∠ AOB,PC⊥OA 于 C, 点 D 是 OB 上的动点 , 若 PC=6 cm, 则 PD 的长可以是 ( 　 　 ) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.3 cm 　 B.4 cm 　 C.5 cm 　 D.7 cm D 2.(2019· 张家界中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,∠C=90°, AC=8,DC= AD,BD 平分∠ ABC, 则点 D 到 AB 的距离等于 ( 　 　 ) A.4 　　　 B.3 　　　 C.2 　　　 D.1 C 3.(2019· 江苏模拟 ) 已知点 O 是△ ABC 的三条角平分线 的交点 , 若△ ABC 的周长为 12 cm, 面积为 36 cm 2 , 则点 O 到 AB 的距离为 ________cm.  6 4. 如图所示 , 已知 AB=AC,BD=CD,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F. 世纪金榜导学号 求证 :EA=FA. 【 证明 】 连接 AD, 在△ ACD 和△ ABD 中 , ∴ △ACD≌△ABD(SSS), ∴ ∠EAD=∠FAD, 即 AD 平分∠ EAF, ∵ DE⊥AE,DF⊥AF, ∴ ∠E=∠F=90 ° , ∵ AD=AD, ∴ △ADE≌△ADF(AAS), ∴ AE=AF. 考点三　尺规作图 【 主干必备 】 1. 定义 : 用 ___________ 和 ___________ 的作图 .  2. 五种基本的尺规作图 (1) 作一条线段等于 ___________ 线段 .  (2) 作一个角等于 ___________ 角 .  直尺 圆规 已知 已知 (3) 作已知线段的垂直 ___________ 线 .  (4) 作已知角的 _____________ 线 .  (5) 过一点作已知直线的 _________ 线 .  平分 角平分 垂 【 微点警示 】 (1) 直尺的用途 : 用来画直线 , 但不能用来度量线段长度 . (2) 圆规的用途 : 在确定圆心和半径的前提下 , 用来画弧 . 【 核心突破 】 例 3(2019· 达州中考 ) 如图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°, AC=2,BC=3. (1) 尺规作图 : 不写作法 , 保留作图痕迹 . ① 作∠ ACB 的平分线 , 交斜边 AB 于点 D; ② 过点 D 作 BC 的垂线 , 垂足为点 E. (2) 在 (1) 作出的图形中 , 求 DE 的长 . 【 思路点拨 】 (1) 利用基本作图的方法 , 先画出 CD 平分∠ ACB, 然后作 DE⊥BC 于 E. (2) 利用 CD 平分∠ ACB 得到∠ BCD=45°, 再判断△ CDE 为等腰直角三角形 , 所以 DE=CE, 然后证明△ BDE∽△BAC, 从而利用相似比计算出 DE. 【 自主解答 】 (1) 如图 ,CD,DE 为所作 . (2) ∵ CD 平分∠ ACB, ∴ ∠BCD= ∠ACB=45 ° , ∵ DE⊥BC, ∴ △CDE 为等腰直角三角形 , ∴ DE=CE, ∵ DE∥AC, ∴ △BDE∽△BAC, ∴ 即 , ∴ DE= . 【 明 · 技法 】 复杂作图技巧 1. 除第一个基本作图外 , 都是以“ SSS” 定理为基础的尺规作图 . 2. 在复杂作图中 , 基本作图的作法不必写作图过程 , 只保留作图痕迹 . 3. 在复杂作图中 , 首先要画出简图 , 把复杂作图分解为多个基本作图 , 并确定作图顺序 , 然后作图 . 【 题组过关 】 1.( 易错警示题 )(2019· 宜昌中考 ) 通过如下尺规作图 , 能确定点 D 是 BC 边中点的是 ( 　 　 ) A 2.( 生活情境题 ) 阅读下列材料 : 数学课上老师布置一道作图题 : 已知 : 如图 1, 直线 l 和 l 外一点 P. 求作 : 过点 P 的直线 m, 使得 m∥ l . 小东的作法如下 : 作法 : 如图 2, (1) 在直线 l 上任取点 A, 连接 PA; (2) 以点 A 为圆心 , 适当长为半径作弧 , 分别交线段 PA 于 点 B, 直线 l 于点 C; (3) 以点 P 为圆心 ,AB 长为半径作 , 交线段 PA 于点 D; (4) 以点 D 为圆心 ,BC 长为半径作弧 , 交 于点 E, 作直 线 PE. 所以直线 PE 就是所求作的直线 m. 老师说 :“ 小东的作法是正确的 .” 请 回答 : 小东的作图依据是 ______________________ ______ .  内错角相等两直线平 行 3.(2019· 河北模拟 ) 图 1 ～图 4 是四个基本作图的痕迹 , 关于四条弧① ,②,③,④ 有四种说法 : 世纪金榜导学号 (1) 弧①是以 O 为圆心 , 任意长为半径所画的弧 ; (2) 弧②是以 P 为圆心 , 任意长为半径所画的弧 ; (3) 弧③是以 A 为圆心 , 任意长为半径所画的弧 ; (4) 弧④是以 P 为圆心 , 任意长为半径所画的弧 ; 其中正确说法的个数为 ( 　 　 ) C A.4 　　　 B.3 　　　 C.2 　　　 D.1 4.(2019· 广东中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 , 点 D 是 AB 边上的一点 . (1) 请用尺规作图法 , 在△ ABC 内 , 求作∠ ADE. 使∠ ADE=∠B,DE 交 AC 于 E;( 不要求写作法 , 保留作图痕迹 ) (2) 在 (1) 的条件下 , 若 =2, 求 的值 . 略