2020年湖南省湘西州中考数学试卷【含答案】 10页

1 / 10 2020 年湖南省湘西州中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．请将每个小题所给四个选项 中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各数中，比−2小的数是（ ） A.0 B.−1 C.−3 D.3 2. 2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科 学记数法表示92700是（ ） A.0.927 × 105 B.9.27 × 104 C.92.7 × 103 D.927 × 102 3. 下列运算正确的是（ ） A.√(−2)2 = −2 B.(푥 − 푦)2＝푥2 − 푦2 C.√2 + √3 = √5 D.(−3푎)2＝9푎2 4. 如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向 为主视方向，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 从长度分别为1푐푚、3푐푚、5푐푚、6푐푚四条线段中随机取出三条，则能够组成三 角形的概率为（ ） A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.3 4 6. 已知∠퐴푂퐵，作∠퐴푂퐵的平分线푂푀，在射线푂푀上截取线段푂퐶，分别以푂、퐶为圆 心，大于1 2 푂퐶的长为半径画弧，两弧相交于퐸，퐹．画直线퐸퐹，分别交푂퐴于퐷，交푂퐵 于퐺．那么△ 푂퐷퐺一定是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 7. 已知正比例函数푦1的图象与反比例函数푦2的图象相交于点퐴(−2,  4)，下列说法正 确的是（ ） A.正比例函数푦1的解析式是푦1＝2푥 B.两个函数图象的另一交点坐标为(4, −2) C.正比例函数푦1与反比例函数푦2都随푥的增大而增大 D.当푥 < −2或0 < 푥 < 2时，푦2 < 푦1 8. 如图，푃퐴、푃퐵为圆푂的切线，切点分别为퐴、퐵，푃푂交퐴퐵于点퐶，푃푂的延长线交 圆푂于点퐷．下列结论不一定成立的是（ ） A.△ 퐵푃퐴为等腰三角形 B.퐴퐵与푃퐷相互垂直平分 C.点퐴、퐵都在以푃푂为直径的圆上 D.푃퐶为△ 퐵푃퐴的边퐴퐵上的中线 9. 如图，在平面直角坐标系푥푂푦中，矩形퐴퐵퐶퐷的顶点퐴在푥轴的正半轴上，矩形的 另一个顶点퐷在푦轴的正半轴上，矩形的边퐴퐵＝푎，퐵퐶＝푏，∠퐷퐴푂＝푥，则点퐶到푥轴 的距离等于（ ） A.푎cos푥 + 푏sin푥 B.푎cos푥 + 푏cos푥 C.푎sin푥 + 푏cos푥 D.푎sin푥 + 푏sin푥 10. 已知二次函数푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐图象的对称轴为푥＝1，其图象如图所示，现有下 列结论： ①푎푏푐 > 0， 2 / 10 ②푏 − 2푎 < 0， ③푎 − 푏 + 푐 > 0， ④푎 + 푏 > 푛(푎푛 + 푏)，(푛 ≠ 1)， ⑤2푐 < 3푏． 正确的是（ ） A.①③ B.②⑤ C.③④ D.④⑤ 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，请将正确答案填写在答题卡 相应的横线上） 11. − 1 3 的绝对值是________． 12. 分解因式：2푥2 − 2＝________． 13. 若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是________． 14. 不等式组{ 푥 3 ≥ −1 1 + 2푥 ≥ −1 的解集为________． 15. 如图，直线퐴퐸 // 퐵퐶，퐵퐴 ⊥ 퐴퐶，若∠퐴퐵퐶＝54∘，则∠퐸퐴퐶＝________度． 16. 从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的 产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某 单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位： 푡）的数据，这两组数据的平均数分别是푥¯ 甲 ≈ 7.5，푥¯ 乙 ≈ 7.5，方差分别是푆甲 2 ＝0.010， 푆乙 2 ＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是________． 17. 在平面直角坐标系中，푂为原点，点퐴(6,  0)，点퐵在푦轴的正半轴上，∠퐴퐵푂＝ 30∘，矩形퐶푂퐷퐸的顶点퐷，퐸，퐶分别在푂퐴，퐴퐵，푂퐵上，푂퐷＝2．将矩形퐶푂퐷퐸沿푥轴 向右平移，当矩形퐶푂퐷퐸与△ 퐴퐵푂重叠部分的面积为6√3时，则矩形퐶푂퐷퐸向右平移的 距离为________． 18. 观察下列结论： （1）如图①，在正三角形퐴퐵퐶中，点푀，푁是퐴퐵，퐵퐶上的点，且퐴푀＝퐵푁，则퐴푁＝ 퐶푀，∠푁푂퐶＝60∘； （2）如图2，在正方形퐴퐵퐶퐷中，点푀，푁是퐴퐵，퐵퐶上的点，且퐴푀＝퐵푁，则퐴푁＝ 퐷푀，∠푁푂퐷＝90∘； （3）如图③，在正五边形퐴퐵퐶퐷퐸中点푀，푁是퐴퐵，퐵퐶上的点，且퐴푀＝퐵푁，则퐴푁＝ 퐸푀，∠푁푂퐸＝108∘； … 根据以上规律，在正푛边形퐴1퐴2퐴3퐴4. . . 퐴푛中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即 点푀，푁是퐴1퐴2，퐴2퐴3上的点，且퐴1푀＝퐴2푁，퐴1푁与퐴푛푀相交于푂．也会有类似的结 论，你的结论是________1푁＝________，∠________． 3 / 10 三、解答题（本大題关 8 小题，共 78 分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出 计算、解答或证明的主要步骤） 19. 计算：2cos45∘ + (휋 − 2020)0 + |2 − √2|． 20. 化简：( 푎2 푎−1 − 푎 − 1) ÷ 2푎 푎2−1 ． 21. 如图，在正方形퐴퐵퐶퐷的外侧，作等边三角形퐴퐷퐸，连接퐵퐸，퐶퐸． （1）求证：△ 퐵퐴퐸 ≅△ 퐶퐷퐸； （2）求∠퐴퐸퐵的度数． 22. 为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对 “防溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并 将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： 푎．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50 ≤ 푥 < 60，60 ≤ 푥 < 70， 70 ≤ 푥 < 80，80 ≤ 푥 < 90，90 ≤ 푥 ≤ 100）如图所示 푏．七年级参赛学生成绩在70 ≤ 푥 < 80这一组的具体得分是： 70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79 4 / 10 푐．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 76.9 푚 80 푑．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在75分以上（含7的有________人； （2）表中푚的值为________； （3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第________名； （4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均 数76.9分的人数． 23. 某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发 XXXXXX， 市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均 日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 24. 如图，퐴퐵是⊙ 푂的直径，퐴퐶是⊙ 푂的切线，퐵퐶交⊙ 푂于点퐸． 5 / 10 （1）若퐷为퐴퐶的中点，证明：퐷퐸是⊙ 푂的切线； （2）若퐶퐴＝6，퐶퐸＝3.6，求⊙ 푂的半径푂퐴的长． 25. 问题背景：如图1，在四边形퐴퐵퐶퐷中，∠퐵퐴퐷＝90∘，∠퐵퐶퐷＝90∘，퐵퐴＝퐵퐶， ∠퐴퐵퐶＝120∘，∠푀퐵푁＝60∘，∠푀퐵푁绕퐵点旋转，它的两边分别交퐴퐷、퐷퐶于퐸、 퐹．探究图中线段퐴퐸，퐶퐹，퐸퐹之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长퐹퐶到퐺，使퐶퐺＝퐴퐸，连接퐵퐺，先证明△ 퐵퐶퐺 ≅ △ 퐵퐴퐸，再证明△ 퐵퐹퐺 ≅△ 퐵퐹퐸，可得出结论，他的结论就是________； 探究延伸1：如图2，在四边形퐴퐵퐶퐷中，∠퐵퐴퐷＝90∘，∠퐵퐶퐷＝90∘，퐵퐴＝퐵퐶，∠퐴퐵퐶 ＝2∠푀퐵푁，∠푀퐵푁绕퐵点旋转．它的两边分别交퐴퐷、퐷퐶于퐸、퐹，上述结论是否仍然 成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形퐴퐵퐶퐷中，퐵퐴＝퐵퐶，∠퐵퐴퐷 + ∠퐵퐶퐷＝180∘，∠퐴퐵퐶＝ 2∠푀퐵푁，∠푀퐵푁绕퐵点旋转．它的两边分别交퐴퐷、퐷퐶于퐸、퐹．上述结论是否仍然成 立？并说明理由； 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（푂处）北偏西30∘的퐴 处．舰艇乙在指挥中心南偏东70∘的퐵处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行 动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50∘的 方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到 达퐸、퐹处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70∘．试求此时两舰艇之间的距 离． 6 / 10 26. 已知直线푦＝푘푥 − 2与抛物线푦＝푥2 − 푏푥 + 푐(푏，푐为常数，푏 > 0)的一个交点为 퐴(−1,  0)，点푀(푚,  0)是푥轴正半轴上的动点． （1）当直线푦＝푘푥 − 2与抛物线푦＝푥2 − 푏푥 + 푐(푏，푐为常数，푏 > 0)的另一个交点为 该抛物线的顶点퐸时，求푘，푏，푐的值及抛物线顶点퐸的坐标； （2）在（1）的条件下，设该抛物线与푦轴的交点为퐶，若点푄在抛物线上，且点푄的 横坐标为푏，当푆△퐸푄푀 = 1 2 푆△퐴퐶퐸时，求푚的值； （3）点퐷在抛物线上，且点퐷的横坐标为푏 + 1 2 ，当√2퐴푀 + 2퐷푀的最小值为27√2 4 时， 求푏的值． 7 / 10 参考答案与试题解析 2020 年湖南省湘西州中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．请将每个小题所给四个选项 中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，请将正确答案填写在答题卡 相应的横线上） 11.1 3 12.2(푥 + 1)(푥 − 1) 13.6 14.푥 ≥ −1 15.36 16.乙 17.2 18.如图①，在正三角形퐴퐵퐶中，点푀，푁是퐴퐵，퐵퐶上的点，且퐴푀＝퐵푁，则퐴푁＝ 퐶푀，∠푁푂퐶 = (3−2)×180 3 = 60∘； 如图2，在正方形퐴퐵퐶퐷中，点푀，푁是퐴퐵，퐵퐶上的点，且퐴푀＝퐵푁，则퐴푁＝퐷푀， ∠푁푂퐷 = (4−2)×180 4 = 90∘； 퐴,퐴푛푀,푁푂퐴푛 = (푛−2)×180 푛 三、解答题（本大題关 8 小题，共 78 分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出 计算、解答或证明的主要步骤） 19.原式= 2 × √2 2 + 1 + 2 − √2 = √2 + 1 + 2 − √2 ＝3． 20.原式＝( 푎2 푎−1 − 푎2−1 푎−1 ) ÷ 2푎 (푎+1)(푎−1) = 1 푎 − 1 ⋅ (푎 + 1)(푎 − 1) 2푎 = 푎+1 2푎 ． 21.证明：∵ △ 퐴퐷퐸为等边三角形， ∴ 퐴퐷＝퐴퐸＝퐷퐸，∠퐸퐴퐷＝∠퐸퐷퐴＝60∘， ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷为正方形， ∴ 퐴퐵＝퐴퐷＝퐶퐷，∠퐵퐴퐷＝∠퐶퐷퐴＝90∘， ∴ ∠퐸퐴퐵＝∠퐸퐷퐶＝150∘， 在△ 퐵퐴퐸和△ 퐶퐷퐸中 { 퐴퐵 = 퐷퐶 ∠퐸퐴퐵 = ∠퐸퐷퐶 퐴퐸 = 퐷퐸 ， ∴ △ 퐵퐴퐸 ≅△ 퐶퐷퐸(푆퐴푆)； ∵ 퐴퐵＝퐴퐷，퐴퐷＝퐴퐸， ∴ 퐴퐵＝퐴퐸， ∴ ∠퐴퐵퐸＝∠퐴퐸퐵， 8 / 10 ∵ ∠퐸퐴퐵＝150∘， ∴ ∠퐴퐸퐵 = 1 2 (180∘ − 150∘)＝15∘． 22.31 77.5 24 估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500 × 4+15+8 50 = 270（人）． 23.口罩日产量的月平均增长率为10% 预计4月份平均日产量为26620个 24.证明：连接퐴퐸，푂퐸， ∵ 퐴퐵是⊙ 푂的直径，且퐸在⊙ 푂上， ∴ ∠퐴퐸퐵＝90∘， ∴ ∠퐴퐸퐶＝90∘， ∵ 퐷为퐴퐶的中点， ∴ 퐴퐷＝퐷퐸， ∴ ∠퐷퐴퐸＝∠퐴퐸퐷， ∵ 퐴퐶是⊙ 푂的切线， ∴ ∠퐶퐴퐸 + ∠퐸퐴푂＝∠퐶퐴퐵＝90∘， ∵ 푂퐴＝푂퐸， ∴ ∠푂퐴퐸＝∠푂퐸퐴， ∴ ∠퐷퐸퐴 + ∠푂퐸퐴＝90∘， 即∠퐷퐸푂＝90∘， ∴ 퐷퐸是⊙ 푂的切线； ∵ ∠퐴퐸퐶＝∠퐶퐴퐵＝90∘，∠퐶＝∠퐶， ∴ △ 퐴퐸퐶 ∽△ 퐵퐴퐶， ∴ 퐴퐶 퐵퐶 = 퐸퐶 퐴퐶 ， ∵ 퐶퐴＝6，퐶퐸＝3.6， ∴ 6 퐵퐶 = 3.6 6 ， ∴ 퐵퐶＝10， ∵ ∠퐶퐴퐵＝90∘， ∴ 퐴퐵2 + 퐴퐶2＝퐵퐶2， ∴ 퐴퐵 = √102 − 62 = 8， ∴ 푂퐴＝4， 即⊙ 푂的半径푂퐴的长是4． 25.퐸퐹＝퐴퐸 + 퐶퐹 26.∵ 直线푦＝푘푥 − 2与抛物线푦＝푥2 − 푏푥 + 푐(푏，푐为常数，푏 > 0)的一个交点为 퐴(−1,  0)， ∴ −푘 − 2＝0，1 + 푏 + 푐＝0， ∴ 푘＝−2，푐＝−푏 − 1， ∴ 直线푦＝푘푥 − 2的解析式为푦＝−2푥 − 2， ∵ 抛物线푦＝푥2 − 푏푥 + 푐的顶点坐标为퐸(푏 2 , 4푐−푏2 4 )， ∴ 퐸(푏 2 , −4푏−4−푏2 4 )， ∵ 直线푦＝−2푥 − 2与抛物线푦＝푥2 − 푏푥 + 푐(푏，푐为常数，푏 > 0)的另一个交点为 9 / 10 该抛物线的顶点퐸， ∴ −4푏−4−푏2 4 = −2 × 푏 2 − 2， 解得，푏＝2，或퐵＝−2（舍）， 当푏＝2时，푐＝−3， ∴ 퐸(1, −4)， 故푘＝−2，푏＝2，푐＝−3，퐸(1, −4)； 由（1）知，直线的解析式为푦＝−2푥 − 2，抛物线的解析式为푦＝푥2 − 2푥 − 3， ∴ 퐶(0, −3)，푄(2, −3)， 如图1，设直线푦＝−2푥 − 2与푦轴交点为푁，则푁(0, −2)， ∴ 퐶푁＝1， ∴ 푆△퐴퐶퐸 = 푆△퐴퐶푁 + 푆△퐸퐶푁 = 1 2 × 1 × 1 + 1 2 × 1 × 1 = 1， ∴ 푆△퐸푄푀 = 1 2 ， 设直线퐸푄与푥轴的交点为퐷，显然点푀不能与点퐷重合， 设直线퐸푄的解析式为푦＝푑푥 + 푛(푑 ≠ 0)， 则{2푑 + 푛 = −3 푑 + 푛 = −4 ， 解得，{ 푑 = 1 푛 = −5 ， ∴ 直线퐸푄的解析式为푦＝푥 − 5， ∴ 퐷(5,  0)， ∴ 푆△퐸푄푀 = 푆△퐸퐷푀 = 푆△푄퐷푀 = 1 2 퐷푀 × | − 4| − 1 2 퐷푀 × | − 3| = 1 2 퐷푀 = 1 2 |5 − 푚| = 1 2 ， 解得，푚＝4，或푚＝6； ∵ 点퐷(푏 + 1 2 , 푦퐷)在抛物线푦＝푥2 − 푏푥 − 푏 − 1上， ∴ 푦퐷 = (푏 + 1 2)2 − 푏(푏 + 1 2) − 푏 − 1 = − 푏 2 − 3 4 ， 可知点퐷(푏 + 1 2 , − 푏 2 − 3 4)在第四象限，且在直线푥＝푏的右侧， ∵ √2퐴푀 + 2퐷푀 = 2(√2 2 퐴푀 + 퐷푀)， ∴ 可取点푁(0,  1)，则∠푂퐴푁＝45∘， 如图2，过퐷作直线퐴푁的垂线，垂足为퐺，퐷퐺与푥轴相交于点푀， ∵ ∠퐺퐴푀＝90∘ − ∠푂퐴푁＝45∘，得√2 2 퐴푀＝퐺푀， 则此时点푀满足题意， 过퐷作퐷퐻 ⊥ 푥轴于点퐻，则点퐻(푏 + 1 2 ,  0)， 在푅푡 △ 푀퐷퐻中，可知∠퐷푀퐻＝∠푀퐷퐻＝45∘， ∴ 퐷퐻＝푀퐻，퐷푀 = √2푀퐻， 10 / 10 ∵ 点푀(푚,  0)， ∴ 0＝(− 푏 2 − 3 4)＝(푏 + 1 2) − 푚， 解得，푚 = 푏 2 − 3 4 ， ∵ √2퐴푀 + 2퐷푀 = 27√2 4 ， ∴ √2[(푏 2 − 1 4) − (−1)] + 2√2[(푏 + 1 2) − (푏 2 − 1 4)] = 27√2 4 ， 解得，퐵푏＝3， 此时，푚 = 3 2 − 1 4 = 5 4 > 0，符合题意， ∴ 푏＝3．