初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第8讲 由常量数学到变量数学 9页

1 第八讲 由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符 号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学 时期． 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述 客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性． 函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图 象概念及画法． 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点 的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探 求函数解析式是研究函数的两大重要课题． 【例题求解】 【例 1】 在平面直角坐标系内，已知点 A(2，2)，B(2，-3)，点 P 在 y 轴上，且△APB 为直 角三角形，则点 P 的个数为 ． 思路点拨 先在直角坐标平面内描出 A、B 两点，连结 AB，因题设中未指明△APB 的哪个 角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C 为直角来讨论，设点 P(0，x)，运用几何知识建立 x 的方程． 注： 点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求． 【例 2】 如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后， 继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度 h 与注水时间 t 之间的 函数关系，大致是下列图象中的( ) 思路点拨 向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高 0h ． 注： 实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市 行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势 等有关信息中获得启示． 2 【例 3】 南方 A 市欲将一批容易变质的水果运往 B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运 输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中速度(千米／时) 途中费用(元／千米) 装卸费用(元) 装卸时间(小时) 飞机 200 16 1000 2 火车 100 4 2000 4 汽车 50 8 1000 2 若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为 200 元/小时，记 A、B 两市间的距离为 x 千米． (1)如果用 Wl、W2、W3 分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)， 求出 Wl、W2、W3 与小 x 间的函数关系式． (2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小? 思路点拨 每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用 随距离变化而变化，由 Wl—W2＝0，W2 一 W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择 最佳运输方式． 【例 4】 已知在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使 AD 边在 y 轴 上，点 C 的坐标为(2 3 ，8)． (1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系； (2)写出 A、B 两点的坐标； (3)设菱形 ABCD 的对角线交点为 P．问：在 y 轴上是否存在一点 F，使得点 P 与点 F 关于菱形 ABCD 的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点 F 的坐标；如果不存在，请 说明理由． 思路点拨 (1)关键是探求点 A 是在 y 轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy 与∠CAD 的大小；(2)利用解直角三角形求 A，B 两点坐标；(3)设轴上存在点 F(0，y)，则 P 与 F 只可能关于直线 DC 对称． 注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归 纳建立函数的模型． 【例 5】 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 边上的中点，若 P 为 AB 边上的一个动点，PQ∥BC，且交 AC 于点 Q，以 PQ 为一边，在点 A 的右侧作正方形 PQMN，记 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为 3 y． (1)当 AP＝3cm 时，求的值； (2)设 AP=cm 时，求 y 与 x 的函数关系式； (3)当 y=2cm2，试确定点 P 的位置．(2001 年天津市中考题) 思路点拨 对于(2)，由于点 P 的位置不同，y 与 x 之间存在不同的 函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求 x 值． 注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示， 再代入相应的等量关系式，需要注意的是： (1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论； (2)确定自变量 的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法． 学力训练 1． 如图，在直角坐标系中，已知点 A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与 Rt△ABO 全等且以 AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 ． 2．在直角坐标系中有两点 A(4，0)，B(0，2)，如果点 C 在 x 轴上(C 与 A 不重合)，当点 C 的坐标为 时，使得由点 B、O、C 组成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个满足 条件的点的坐标)． 3．根据指令[S，A](S≥0，0°l D．m≤1 7．如图，在直角坐标系中，已知点 A(4，0)、点 B(0，3)，若有一个直角三角形与 Rt△ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标(不必写出计算过程)． 8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问 题： （1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为 y ，请写出 与 n ( n 表示第 个图形)的函数关系式； (2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了 506 块瓷砖，求此时 的值； (3)若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块 3 元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖? (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么? 9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形 ABCD，它的 4 个顶点为 A(10，0)，B (0，10)， C(一 10，0)，D(0，一 10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标 都是整数的点)． 10．如图，已知边长为 l 的正方形 OABC 在直角坐标系中，A、B 两点在第一象限内，OA 与 轴的夹角为 30°，那么点 B 的坐标是 ． 11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)， 而后它接着按图所示在与 轴、 y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动 1 个单位长度，那么在 1989 分钟后这个粒子所处位置为 ． 12．在直角坐标系中，已知 A(1，1)，在 x 轴上确定点 P，使△AOP 为等腰三角形，则符合 条件的点 P 共有( ) A．1 个 B．2 个 C． 3 个 D．4 个 13．已知点 P 的坐标是( a2 l， b2 )，这里 a 、b 是有理数，PA、PB 分别是点 P 到 轴 5 和 y 轴的垂线段，且矩形 OAPB 的面积为 2 ，则 P 点可能出现的象限有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 14．甲、乙二人同时从 A 地出发，沿同一条道路去 B 地，途中都使用两种不同的速度 Vl 与 V2(Vi