2019年福建省初中毕业和高中招生考试数学试题 20页

‎2019年福建省初中毕业和高中招生考试数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1．计算22＋(－1)0的结果是（ ）‎ A．5　　　 　 B．4　　　 　C．3　　　 　D．2‎ ‎2．北京故宫的占地面积约为720000 m2，将720000用科学记数法表示为（ ）‎ A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106‎ ‎3．下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形 ‎4．右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）‎ ‎5．已知正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的边数为（ ）‎ A．12 B．10 C．8 D．6‎ ‎6．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（ ）‎ 第6题图 A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳定 ‎7．下列运算正确的是（ ）‎ A．a·a3＝a3 B．(2a)3＝6a3‎ C．a6÷a3＝a2 D．(a2)3－(－a3)2＝0‎ ‎8．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：“有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？”已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）‎ A．x＋2x＋4x＝34685 B．x＋2x＋3x＝34685‎ C．x＋2x＋2x＝34685 D．x＋x＋x＝34685‎ ‎9．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（ ）‎ 第9题图 A．55° B．70° C．110° D．125°‎ ‎10．若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象过不同的五点A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）‎ A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．‎ ‎11．因式分解：x2－9＝________．‎ ‎12．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和2，C是线段AB的中点，则点C表示的数是________．‎ 第12题图 ‎13．某校征集校运会会徽图案，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100位学生，其中有60位学生喜欢甲图案．若该校共有学生2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有________人．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点C的坐标是________．‎ ‎15．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)‎ 第15题图 　 第16题图 ‎16．如图，菱形ABCD的顶点A在函数y＝(x＞0)的图象上，函数y＝(k＞3，x＞0)的图象关于直线AC对称，且过B，D两点．若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝________．‎ 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分8分)‎ 解方程组： ‎18．(本小题满分8分)‎ 如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且DF＝BE.‎ 求证：AF＝CE.‎ 第18题图 ‎19．(本小题满分8分)‎ 先化简，再求值：(x－1)÷(x－)，其中x＝＋1.‎ ‎20．(本小题满分8分)‎ 已知△ABC和点A′，如图．‎ ‎(1)以点A′为一个顶点作△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的面积等于△ABC面积的4倍；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)‎ ‎(2)设D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，D′，E′，F′分别是你所作的△A′B′C′三边A′B′，B′C′，C′A′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′.‎ 第20题图 ‎21．(本小题满分8分)‎ 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°.将△ABC绕点C顺时针旋转一个角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E.‎ ‎(1)若点E恰好落在边AC上，如图①，求∠ADE的大小；‎ ‎(2)若α＝60°，F为AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．‎ 第21题图 ‎22．(本小题满分10分)‎ 某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．‎ ‎(1)求该车间的日废水处理量m；‎ ‎(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．‎ ‎23．(本小题满分10分)‎ 某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表：‎ 维修次数 ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频数(台数)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；‎ ‎(2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次还是11次维修服务？‎ ‎24．(本小题满分12分)‎ 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF.‎ ‎(1)求证：∠BAC＝2∠CAD；‎ ‎(2)若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．‎ 第24题图 ‎25．(本小题满分14分)‎ 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＜0)与x轴只有一个公共点．‎ ‎(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2，0)，求a，c满足的关系式；‎ ‎(2)设A为抛物线上的一个定点，直线l：y＝kx＋1－k与抛物线交于点B，C，直线BD垂直于直线y＝－1，垂足为D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC是等腰直角三角形．‎ ‎①求点A的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎②证明：对于每个给定的实数k，都有A，C，D三点共线．‎ ‎2019年福建省中考数学试题参考答案 一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分．‎ ‎1. A　【解析】原式＝4＋1＝5，故选A.‎ ‎2. B　【解析】用科学记数法将一个绝对值大于10的数表示为a×10n的形式，其中1≤＜10，故a＝7.2，n为正整数，n的值为原数整数位数减1，因此n＝6－1＝5，故720000用科学记数法表示为7.2×105，故选B.‎ ‎3. D　【解析】等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A选项错误；等腰直角三角形是轴对称图形，而一般直角三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B选项错误；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故C选项错误；正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项正确．‎ ‎4. C　【解析】主视图是物体从前向后看得到的视图，该几何体由一个长方体和一个球体组成，主视图的上部分是圆，下部分是长方形，如选项C所示．‎ ‎5. B　【解析】∵正多边形的外角和为360°，一个外角是36°，∴＝10，则该正多边形的边数为10.‎ ‎6. D　【解析】由折线统计图可得，甲同学的5次数学成绩均高于班级平均分，且成绩波动不大，比较稳定；乙同学的5次数学成绩在班级平均分附近波动；丙同学的5次数学成绩均低于班级平均分，但波动较大，且一直呈上升状态．故应选D.‎ ‎7. D　【解析】逐项分析如下：‎ 选项 逐项分析 正误 A a·a3＝a4≠a3‎  B ‎(2a)3＝23·a3＝8a3≠6a3‎  C a6÷a3＝a3≠a2‎  D ‎(a2)3－(－a3)2＝a6－a6＝0‎ ‎√‎ ‎8. A　【解析】设他第一天读x页，∵每天阅读的字数是前一天的两倍，∴第二天阅读的字数是2x，第三天阅读的字数是4x，可列方程为x＋2x＋4x＝34685，故选A.‎ ‎9. B　【解析】如解图，连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵点C在⊙O上，∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°.在四边形OAPB中，∵∠AOB＋∠OAP＋∠APB＋∠OBP＝360°，∴∠APB＝70°.‎ 第9题解图 ‎10. D　【解析】∵抛物线y＝|a|x2＋bx＋c，|a|＞0，∴抛物线的开口向上，∵A(m，n)，C(3－m，n)，∴对称轴是直线x＝，∵0＜＜＜2，|－|＜|2－|＜|0－|，∴y2＜y3＜y1，故选D.‎ 二、填空题：每小题4分，共24分．‎ ‎11. (x＋3)(x－3)‎ ‎12. －1　【解析】∵数轴上A，B两点所表示的数分别是－4，2，则线段AB的长为6，∵C是线段AB的中点，故点C表示的数是－1.‎ ‎13. 1 200　【解析】×100%×2000＝1200人，故该校喜欢甲图案的学生约有1200人．‎ ‎14. (1，2)　【解析】∵四边形OABC为平行四边形，点O为坐标原点，点A(3，0)在x轴上，∴OA＝3，BC＝OA，∵点B坐标为(4，2)，∴点C的纵坐标为2，横坐标为4－3＝1，则第四个顶点C的坐标为(1，2)．‎ ‎15. π－1　【解析】如解图，延长OD交⊙O于点M，延长OA交⊙O于点N，∵边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，∴∠AOD＝90°且OA＝OD，∠ADO＝45°，∴OA＝OD＝AD·sin45°＝2×＝.∴S阴影＝S扇形MON－S△AOD＝－××＝π－1.‎ 第15题解图 ‎16. 6＋2　【解析】如解图，连接OC，过点B作x轴的垂线，垂足为点E，过点A作AF⊥BE于点F，∵四边形ABCD为菱形，函数y＝(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，∴直线AC的表达式是y＝x，∠CAF＝45°，∵∠BAD＝30°，∴∠BAC＝∠BAD＝15°，∴∠BAF＝30°，∵AB＝2，∴BF＝AB·sin30°＝1，‎ AF＝AB·cos30°＝，∵函数y＝(x＞0)与直线AC有交点，联立解得∴A(，)，∴B(2，＋1)，将点B的坐标代入函数y＝，得＋1＝，∴k＝2×(＋1)＝6＋2.‎ 第16题解图 三、解答题：共9小题，共86分．‎ ‎17. 解： ‎①＋②，得(x－y)＋(2x＋y)＝5＋4，即3x＝9，‎ 解得x＝3，‎ 将x＝3代入②，得2×3＋y＝4，‎ 解得y＝－2.‎ ‎∴原方程组的解为 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．‎ ‎18. 证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D＝∠B＝90°，AD＝CB.‎ 在△ADF和△CBE中，‎ ‎∴△ADF≌△CBE(SAS)，‎ ‎∴AF＝CE.‎ 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．‎ ‎19. 解：原式＝(x－1)÷ ‎ ＝(x－1)÷ ‎ ＝(x－1)÷ ‎＝(x－1)· ‎ ＝.‎ 当x＝＋1时，‎ 原式＝＝＝1＋.‎ ‎20. (1)解：如解图①，△A′B′C′为所求作的三角形；‎ 第20题解图①‎ ‎【作法提示】可通过三边作三角形，也可通过两边及其夹角作三角形．‎ ‎(2)证明：如解图②，∵D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，‎ ‎∴DE＝AC，EF＝AB，FD＝BC，‎ 同理，D′E′＝A′C′，E′F′＝A′B′，F′D′＝B′C′，‎ ‎∵△ABC∽△A′B′C′，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝＝，即＝＝，‎ ‎∴△DEF∽△D′E′F′.‎ 第20题解图②‎ 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．‎ ‎21. 解：(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，‎ ‎∴∠BAC＝60°.‎ 由旋转性质得，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB＝30°.‎ ‎∴∠ADC＝(180°－∠DCE)＝75°.‎ 又∵∠EDC＝∠BAC＝60°，‎ ‎∴∠ADE＝∠ADC－∠EDC＝15°；‎ ‎(2)在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，‎ ‎∴AB＝AC.‎ ‎∵F是AC的中点，‎ ‎∴BF＝FC＝AC，‎ ‎∴∠FBC＝∠ACB＝30°.‎ 由旋转性质得 AB＝DE，∠DEC＝∠ABC＝90°，∠BCE＝∠ACD＝60°，‎ ‎∴DE＝BF.‎ 如解图，延长BF交EC于点G，则∠BGE＝∠GBC＋∠GCB＝90°，‎ 第21题解图 ‎∴∠BGE＝∠DEC，‎ ‎∴DE∥BF，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形．‎ 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．‎ ‎22. 解：(1)∵工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，‎ 又∵＝＞8，∴m＜35.‎ 依题意得，30＋8m＋12(35－m)＝370，‎ 解得m＝20，‎ 答：该车间的日废水处理量为20吨；‎ ‎(2)设该厂一天产生的工业废水量为x吨．‎ ‎①当0＜x≤20时，依题意得，8x＋30≤10x，‎ 解得x≥15，∴15≤x≤20.‎ ‎②当x＞20时，依题意得，12(x－20)＋20×8＋30≤10x，‎ 解得x≤25，∴20＜x≤25.‎ 综上所述，15≤x≤25，‎ 答：该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间．‎ 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．‎ ‎23. 解：(1)∵“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的台数为10＋20＋30＝60，‎ ‎∴P(100台机器在三年使用期内维修次数不大于10)＝＝0.6，‎ 答：可估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为0.6；‎ ‎(2)若每台都购买10次维修服务，则有下表：‎ 某台机器使用期内维修次数 ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 该台机器的维修费用 ‎24000‎ ‎24500‎ ‎25000‎ ‎30000‎ ‎35000‎ 此时这100台机器维修费用的平均数 y1＝ ‎ ＝27300，‎ 若每台都购买11次维修服务，则有下表：‎ 某台机器使用期内维修次数 ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 该台机器的维修费用 ‎26000‎ ‎26500‎ ‎27000‎ ‎27500‎ ‎32500‎ 此时这100台机器维修费用的平均数 y2＝ ‎ ＝27500，‎ ‎∵y1＜y2，‎ ‎∴购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务．‎ 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．‎ ‎24. (1)证明：∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠AED＝90°.‎ 在Rt△AED中，∠ADE＝90°－∠CAD.‎ ‎∵AB＝AC，∴＝，‎ ‎∴∠ACB＝∠ABC＝∠ADE＝90°－∠CAD.‎ 在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，‎ ‎∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－2(90°－∠CAD)，‎ 即∠BAC＝2∠CAD；‎ ‎(2)解：∵DF＝DC，‎ ‎∴∠FCD＝∠CFD.‎ ‎∵∠BDC＝∠FCD＋∠CFD，‎ ‎∴∠BDC＝2∠CFD.‎ ‎∵∠BDC＝∠BAC，且由(1)知∠BAC＝2∠CAD，‎ ‎∴∠CFD＝∠CAD.‎ ‎∵∠CAD＝∠CBD，‎ ‎∴∠CFD＝∠CBD，‎ ‎∴CF＝CB.‎ ‎∵AC⊥BF，‎ ‎∴BE＝EF，故CA垂直平分BF.‎ ‎∴AC＝AB＝AF＝10.‎ 设AE＝x，则CE＝10－x，‎ 在Rt△ABE和Rt△BCE中，‎ AB2－AE2＝BE2＝BC2－CE2，‎ 又∵BC＝4，‎ ‎∴102－x2＝(4)2－(10－x)2，解得x＝6，‎ ‎∴AE＝6，CE＝4，‎ ‎∴BE＝＝8.‎ ‎∵∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，‎ ‎∴△ADE∽△BCE.‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝＝ .‎ ‎∴DE＝3，AD＝3.‎ 如解图，过点D作DH⊥AB，垂足为H.‎ 第24题解图 ‎∵S△ABD＝AB·DH＝BD·AE，BD＝BE＋DE＝11，‎ ‎∴10DH＝11×6，故DH＝，‎ 在Rt△ADH中，AH＝＝，‎ ‎∴tan∠BAD＝＝.‎ 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．‎ ‎25. (1)解：依题意得， ‎∴(－4a)2－4ac＝0，‎ ‎∵a≠0，∴c＝4a，‎ 即a，c满足的关系式为c＝4a；‎ ‎(2)①解：当k＝0时，直线l为y＝1，它与y轴的交点为(0，1)．‎ ‎∵直线y＝1与x轴平行，‎ ‎∴等腰直角△ABC的直角顶点只能是点A，且点A是抛物线的顶点．‎ 如解图①，过A作AM⊥BC，垂足为M，则AM＝1，‎ 第25题解图①‎ ‎∴BM＝MC＝AM＝1，‎ 故点A坐标为(1，0)，‎ ‎∴抛物线的解析式可改写为y＝a(x－1)2，‎ ‎∵抛物线过点(0，1)，‎ ‎∴1＝a(0－1)2，解得a＝1.‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2；‎ ‎②证明：如解图②，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，－1)．‎ 由得x2－(k＋2)x＋k＝0，‎ ‎∵Δ＝(k＋2)2－4k＝k2＋4＞0，‎ 由抛物线的对称性，不妨设x1＜x2，则 x1＝，x2＝，‎ ‎∴x1＜1＜x2.‎ 设直线AD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，则有 　解得 所以直线AD的解析式为y＝－x＋.‎ ‎∵y2－(－x2＋)＝(x2－1)2＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝0.‎ 即y2＝－x2＋，∴点C(x2，y2)在直线AD上．‎ 故对于每个给定的实数k，都有A、C、D三点共线．‎ 第25题解图②‎ 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考