九年级下册数学教案 1-3 三角函数的计算1 北师大版 3页

‎1.3 三角函数的计算 ‎1．熟练掌握用科学计算器求三角函数值；(重点)‎ ‎2．初步理解仰角和俯角的概念及应用．(难点)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、情境导入[来源:Zxxk.Com]‎ 如图①和图②，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)．那么木桩上升多少厘米？‎ 观察图②易知，当楔子沿水平方向前进5cm，即BN＝5 cm时，木桩上升的距离为PN.‎ 在Rt△ PBN中，∵tan10°＝，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)．‎ 那么，tan10°等于多少呢？‎ 对于不是30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，可以利用科学计算器来求．‎ 二、合作探究 探究点一：利用科学计算器解决含三角函数的计算问题 ‎【类型一】 已知角度，用计算器求三角函数值 ‎ 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：‎ ‎(1)sin47°；　　　(2)sin12°30′；‎ ‎(3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°.‎ 解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入法取近似值．‎ 解：根据题意用计算器求出：‎ ‎(1)sin47°≈0.7314；‎ ‎(2)sin12°30′≈0.2164；‎ ‎(3)cos25°18′≈0.9041；‎ ‎(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.‎ 方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序．‎ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 ‎【类型二】 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 ‎ 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：‎ ‎(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；‎ ‎(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；‎ ‎(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.‎ 解析：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入取近似值．‎ 解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；‎ ‎(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.‎ 方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．‎ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 ‎【类型三】 利用计算器比较三角函数值的大小 ‎ (1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：‎ ‎①sin30°________2sin15°cos15°；‎ ‎②sin36°________2sin18°cos18°；‎ ‎③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；‎ ‎④sin60°________2sin30°cos30°；‎ ‎⑤sin80°________2sin40°cos40°.‎ 猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα；‎ ‎(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想．‎ 解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证．‎ 解：(1)①＝　②＝　③＝　④＝　⑤＝　猜想：＝‎ ‎(2)已知0°＜α＜45°，则sin2α＝2sinαcosα.‎ 证明：S△ABC＝AB·sin2α·AC，S△ABC＝×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.‎ 方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．‎ 探究点二：利用三角函数解决实际问题 ‎【类型一】 非特殊角三角函数的实际应用 ‎ 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(1)求改直后的公路AB的长；‎ ‎(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?‎ 解析：(1)过点C作CD⊥AB于D，根据AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，根据∠CBA＝45°，求出BD、BC，最后根据AB＝AD＋BD列式计算即可；(2)根据(1)可知AC、BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．‎ 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝＝≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；‎ ‎(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．‎ 方法总结：解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．‎ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题 ‎【类型二】 仰角、俯角问题 ‎ 如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)．[来源:Zxxk.Com]‎ 解析：根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，得出答案．‎ 解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.设 EF＝x，∵tan25.6°＝≈0.5，∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝＝＝1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．[来源:学&科&网]‎ 所以，塔高DE大约是81米．‎ 方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．‎ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计 三角函数的计算 ‎1．已知角度，用计算器求三角函数值 ‎2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 ‎3．仰角、俯角的意义 本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率，提高成绩.‎