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- 2021-11-06 发布
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第二章 方程与不等式
一元二次方程
中考数学复习冲刺专项训练精讲
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0):
(1)常用的解法:配方法、因式分解法、公式法.
(2)求根公式:____________________ .
一、考点知识
2.b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式:
(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不等的实数根.
(2)当b2-4ac=0时,方程____________________.
(3)当b2-4ac<0时,方程________________.
(4)当方程有两个实数根时,b2-4ac与0大小比较:__________.
有两个相等的实数根
3.方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1,x2,
则 1 2x x
1 2x x
_______
_______
2
24 4 02
b b acx b aca
没有实数根
b2-4ac≥0
b
a
c
a
【例1】解下列方程:
(1)4x2-2x-1=0; (2)(x+4)2=2x+8.
【考点1】解一元二次方程
二、例题与变式
解:(1) 提示:用求根公式法求解.
(2)方法一:方程化为一般形式,得x2+6x+8=0.
配方得(x+3)2=1.开方得x+3=±1.
解得x1=-2, x2=-4.
方法二:用因式分解法求解.方程变形为(x+4)2=2(x+4).
移项,得(x+4)2-2(x+4)=0.
方程左边分解因式得(x+4)(x+4-2)=0.
解得x1=-2, x2=-4.
1 2
1 5 1 5 .4 4x x ,
【变式1】解下列方程:
(x+1)2-5(x+1)=0.
解:x1=-1 ,x2=4. 提示:用因式分解法求解.
【考点2】一元二次方程根的判别式
【例2】如果一元二次方程mx2-4x+1=0有两
个不等的实数根,求m的取值范围.
解:方程有两个不相等的实数根,
∴(-4)2-4m>0,即-4m>-16. 解得m<4.
又∵二次项系数m≠0. ∴m的取值范围是m<4且m≠0.
【变式2】关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m2,
m为实数.求证:该方程有两个不等的实数根.
解:方程化为一般形式x2-5x+(6-m2)=0,
根的判别式=(-5)2-4(6-m2)=1+4m2,
∵m为实数,∴1+4m2>0,
∴方程有两个不等的实数根.
【考点3】一元二次方程根与系数关系
【例3】关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0
的实数根是x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)如果x1+x2-x1x2<-1且k为整数,求k的值.
解:(1)方程有实数根,∴根的判别式=22-4(k+1)≥0,
解得 k≤0. ∴k的取值范围是k≤0
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,
得x1+x2=-2 , x1x2=k+1.
∴x1+x2-x1x2=-2-(k+1),
由已知,得-2-(k+1)<-1,解得k>-2.
由(1),得方程有两个实数根,则k≤0,∴-2<k≤0,
∵ k为整数,∴k的值为-1和0.
【变式3】已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个
根为2, 求m的值和另一个根.
解:m=1,另一根x1=-3.
方法一,把x=2代入方程,求出m的值,再利用两根和
或两根积的关系求出另一根;
方法二,利用两根积的关系求出另一个根,再利用两根
和的关系或方程根的定义求m的值.
A组
1. 一元二次方程x2-x+2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.无实数根
C.有两个不等的实数根 D.无法确定
三、过关训练
3.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1+x2的值为
________,x1x2的值为__________.
2.关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根,则k的
取值范围是__________.
B
k≤2
-1 -1
4.解方程:
(1)x2=2x;
(2)2y2+2y-1=0;
(3)(x-1)(x+2)=2(x+2).
解: x1=-2,x2=3. 提示:用因式分解法求解.
解:
提示:用求根公式法求解.
解: x1=0, x2=2 提示:用因式分解法求解.
1 2
1 3 1 3
2 2y y ,
B组
5.若a,b是方程x2-5x+2=0的两个根.求下列各式的值:
(1)ab2+a2b; (2)
(3)(a+1)(b+1); (4)a2+b2.
解:由根与系数关系得a+b=5, ab=2.
(1)ab2+a2b=ab(a+b)=2×5=10.
(2)
(3) (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=2+5+1=8.
(4)a2+b2=(a2+b2+2ab)-2ab=(a+b)2-2ab
=52-2×2=21.
1 1
a b
1 1 5
2
b a b a
a b ab ab ab
6.已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x-3=0.
(1)求证:该方程一定有两个不等的实数根;
(2)若方程的一根为2,求方程的另一根.
(1)证明:根的判别式=(k+1)2-4×(-3)
=(k+1)2+12>0,
所以方程一定有两个不等的实数根.
(2)解:设方程的另一根为x1,则2x1=-3.
解得 .
所以另一根为 .
1
3
2x
3
2
7.已知关于x的一元二次方程
mx2-(2m+1)x+m-1=0.
(1)若方程有两个实数根,求m的取值范围;
(2)若3是方程的一个根,求m的值和另一个根.
解:(1)方程根的判别式=(2m+1)2-4m(m-1)=8m+1,
∵方程有两个实数根,∴8m+1≥0,解得 ,
又∵m≠0,∴m的取值范围是 且m≠0.
(2)把x=3代入方程,得9m-3(2m+1)+m-1=0,
解得m=1.
所以把m=1代入原方程,得x2-3x=0,
设另一根为x1, 则根据根与系数关系得3x1=0.
解得x1=0.
所以m的值为1,方程的另一根为0.
1
8m
1
8m
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