【40套试卷合集】衢州市重点中学2019-2020学年数学九上期末模拟试卷含答案 10页

‎2019-2020 学年九上数学期末模拟试卷含答案 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个 ．．是符合题意的．‎ ‎1．抛物线 y ‎‎ ‎2‎ ‎( x 1) 1 的顶点坐标为 A． (1,1) B． (1, 1) C． ( 1,1) D． ( 1, 1)‎ ‎2．若相交两圆的半径分别为 4 和 7，则它们的圆心距可能是 A． 2 B． 3 C． 6 D． 11‎ ‎3．在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90 °，若 BC＝ 1， AB= 5 ，则 tanA 的值为 ‎5 2 5 1‎ A． B． C．‎ ‎5 5 2‎ ‎D． 2‎ ‎4．如图，在⊙ O 中，直径 AB⊥弦 CD 于 E，连接 BD，若∠ D=30°， BD=2，则 AE的长为 A．2 B． 3‎ C． 4 D． 5‎ ‎5．若正六边形的边长等于 4，则它的面积等于 A． 48 3 B． 24 3 C． 12 3 D． 4 3‎ ‎6．如图，以点 D 为位似中心，作△ ABC的一个位似三 角形 A1B1C1， A， B，C 的对应点分别为 A1， B1， C1， DA1 与 DA 的比值为 k，若两个三角形的顶点及点 D 均在如图所示的格点上，则 k 的值和点 C1 的坐标分 别为 A．2， (2,8) B． 4， (2,8)‎ C． 2， (2,4) D． 2， (4,4)‎ ‎7．如图，抛物线 ‎y ax2 bx c 与 x 轴交于点 ( 1,0) ，对称轴为 ‎x 1 ，则下 列结论中正确的是 A． a B．当 C． c ‎0‎ x 1 时， y 随 x 的增大而增大 ‎0‎ D． x ‎3 是一元二次方程 ‎ax2 bx c ‎0 的一个根 ‎8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，‎ ‎A(2,0)‎ ‎， B(0,2)‎ ‎，⊙ C的圆 心为点 C( 1,0) ，半径为 1．若 D 是⊙ C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则 △ ABE面积的最大值是 ‎8‎ A． 2 B．‎ ‎3‎ ‎2‎ C． 2‎ ‎2‎ ‎2‎ D． 2‎ ‎2‎ 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）‎ ‎9．如图，⊙ O 是 △ ABC的外接圆，若∠ OCB＝40 °，则∠ A= °．‎ ‎2‎ ‎10 ．将抛物线 y x 先向下平移 1 个单位长度后，再向右平移 1 个 单位长度，所得抛物线的解析式是 ．‎ ‎11 ．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ B=30°， AB=4 ．以斜 边 AB 的中点 D 为旋转中心，把 △ ABC按逆时针方向旋转 角 ‎（ 0 120 ），当点 A 的对应点与点 C重合时， B， C 两点 的对应点分别记为 E，F， EF与 AB 的交点为 G，此时 等于 ‎°， △ DEG的面积为 ．‎ ‎1 2‎ ‎12 ．已知二次函数 ‎y x x ，（ 1）它的最大值为 ；（ 2）若存在实数 m， n 使得当自变量 x 的取 ‎2‎ ‎2‎ 值范围是 m≤ x≤ n 时，函数值 y 的取值范围恰好是 3m ≤ y≤ 3n，则 m= ， n= ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）‎ ‎13 ．计算：‎ ‎cos30 3 tan 60 2sin 45 ．‎ ‎2‎ ‎14 ．已知关于 x 的方程 x ‎2x 2k ‎3 0 有两个不相等的实数根．‎ ‎（ 1）求 k 的取值范围；‎ ‎（ 2）若 k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．‎ ‎2‎ ‎15 ．已知抛物线 y x ‎4 x 5 .‎ ‎2‎ ‎（ 1）直接写出它与 x 轴、 y 轴的交点的坐标；‎ ‎2‎ ‎（ 2）用配方法将 y x ‎4x 5化成 ‎y a( x h)‎ ‎k 的形式．‎ ‎16 ．已知：如图，在菱形 ABCD中， E 为 BC 边上一点，‎ ‎∠ AED=∠ B．‎ ‎（ 1）求证： △ ABE∽△ DEA；‎ ‎（ 2）若 AB=4，求 AE DE 的值．‎ ‎17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另 三边用总长为 36 米的篱笆恰好围成（如图所示） ．设矩形 的一边 AB 的长为 x 米（要求 AB＜ AD），矩形 ABCD 的面 积为 S平方米．‎ ‎（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；‎ ‎（ 2）要想使花圃的面积最大， AB 边的长应为多少米？‎ ‎18 ．如图，在 Rt△ ABC中，‎ ‎C 90‎ ‎， AB 的垂直平分线与 BC， AB 的交点分别为 D， E．‎ ‎（ 1）若 AD=10， sin ‎ADC ‎4 ，求 AC的长和 tan B 的值；‎ ‎5‎ ‎（ 2）若 AD=1， ADC = ，参考（ 1）的计算过程直接写 出 t a n ‎2‎ ‎的值（用 s i n 和 c o s 的值表示）．‎ 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）‎ ‎19 ．如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 PABC 的边长为 1，将其沿 x 轴的正方向连续滚动，即 先以顶点 A 为旋转中心将正方形 PABC 顺时针旋转 90°得到第二个正方形，再以顶点 D 为旋转中心 将第二个正方形顺时针旋转 90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形， ，‎ 第 n 个正方形．设滚动过程中的点 P 的坐标为 ( x, y) ．‎ ‎（ 1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点 P 的坐标；‎ ‎（ 2）画出点 P( x, y) 运动的曲线（ 0≤ x ≤ 4），并直接写出该曲线与 x 轴所围成区域的面积．‎ ‎2‎ ‎20．已知函数 y x bx c（ x ≥0），满足当 x =1 时， y 1 ，‎ 且当 x = 0 与 x =4 时的函数值相等．‎ ‎（ 1）求函数 ‎y x2 bx c （ x ≥0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表） ；‎ ‎（ 2）若 f ( x) 表示自变量 x 相对应的函数值，且 f ( x)‎ ‎x bx c (x ‎0),‎ ‎‎ ‎2‎ 又已知关于 x 的方程 ‎2 ( x 0),‎ f ( x)‎ ‎x k 有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数 k 的取值范围．‎ ‎21 ．已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦，∠ BAC的平分线与 ‎⊙ O 的交点为 D， DE⊥ AC，与 AC 的延长线交于点 E．‎ ‎（ 1）求证：直线 DE 是⊙ O 的切线；‎ ‎（ 2）若 OE 与 AD 交于点 F， cos ‎‎ BAC ‎4 DF ‎，求 ‎的值．‎ ‎5 AF ‎22 ．阅读下列材料：‎ 题目：已知实数 a， x 满足 a＞ 2 且 x＞2，试判断 ax 与 a x 的大小关系，并加以说明 .‎ 思路：可用 “ 求差法 ”比较两个数的大小，先列出 ax 与 a x 的差 ‎y ax ‎(a x) ，再 说明 y 的符号即可 现给出如下利用函数解决问题的方法：‎ 简解： 可将 y 的代数式整理成 ‎y (a ‎1)x a ，要判断 y 的符号可借助函数 ‎y (a ‎1)x a 的图象和性质 解决 .‎ 参考以上解题思路解决以下问题：‎ 已知 a， b， c 都是非负数， a＜ 5，且 a2‎ ‎‎ a 2b 2c ‎‎ ‎0 ， a ‎‎ ‎2b 2c ‎‎ ‎3 0 ．‎ ‎（ 1）分别用含 a 的代数式表示 4b， 4c；‎ ‎（ 2）说明 a， b， c 之间的大小关系．‎ ‎2‎ 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）‎ ‎23 ．已知抛物线 ‎y kx ‎(k 2) x ‎2 （其中 k ‎0 ）．‎ ‎（ 1）求该抛物线与 x 轴的交点坐标及顶点坐标 (可以用含 k 的代数式表示 )；‎ ‎（ 2）若记该抛物线的顶点坐标为 P(m, n) ，直接写出 n 的最小值；‎ ‎（ 3）将该抛物线先向右平移 ‎1 个单位长度，再向上平移 ‎2‎ ‎1 个单位长度，随着 k 的变化，平移后的抛 k 物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围） ．‎ ‎24 ．已知：如图，正方形 ABCD的边长为 a， BM， DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 MAN ‎45 ，连结 MC， NC， MN ．‎ ‎（ 1）填空：与 △ ABM 相似的三角形是 △ ， B M D N= ；（用含 a 的代数式表示）‎ ‎（ 2）求 MCN 的度数；‎ ‎（ 3）猜想线段 BM， DN 和 MN 之间的等量关系并 证明你的结论．‎ ‎2 5 ． 已 知 ： 在 如 图 1 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 ， A ， C 两 点 的 坐 标 分 别 为 ‎A(2,3) ，‎ C(n, 3) （其中 n＞ 0），点 B 在 x 轴的正半轴上．动点 P 从点 O 出发，在四边形 OABC的边上依次沿 O—A—B—C 的顺序向点 C 移动，当点 P 与点 C 重合时停止运动．设点 P 移动的路径的长为 l， △ POC 的面积为 S， S与 l 的函数关系的图象如图 2 所示，其中四边形 ODEF是等腰梯形．‎ ‎（ 1）结合以上信息及图 2 填空：图 2 中的 m= ；‎ ‎（ 2）求 B， C 两点的坐标及图 2 中 OF 的长；‎ ‎（ 3）在图 1 中，当动点 P 恰为经过 O， B两点的抛物线 W 的顶点时，‎ ‎① 求此抛物线 W 的解析式；‎ ‎② 若点 Q 在直线 y 1 上方的抛物线 W 上，坐标平面内另有一点 R，满足以 B，‎ P， Q， R 四点为顶点的四边形是菱形，求点 Q 的坐标．‎ 九年级数学 参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 题 1‎ ‎32‎ 分，每小题 ‎2‎ ‎4 分）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 号 答 A 案 C C B B A D C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）‎ 题号 9 10 11 12‎ 答案 50‎ ‎‎ ‎2 3‎ y x 2x 60，‎ ‎2‎ ‎（ 1） 1‎ ‎2‎ ‎‎ ‎；（ 2） - 4， 0‎ 说明：第 10 题写成 y ‎( x 1)2‎ ‎1 不扣分；第 11 题每空各 2 分；第 12 题第（ 1）问 2 分，‎ 第（ 2）问每空各 1 分．‎ 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）‎ ‎13 ．解：原式 =‎ ‎3 3 3 2 ( 2 ) 2 3 分 ‎2 2‎ ‎3‎ ‎= 2 ． 5 分 ‎2‎ ‎14 ．解：（ 1）‎ ‎( 2)2 4(2 k ‎3) 8(2‎ ‎k) ． 1 分 ‎∵ 该方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴ 8(2‎ ‎k) ＞ 0． 2 分 解得 k 2 ． 3 分 ‎（ 2）当 k 为符合条件的最大整数时， k 1． 4 分 此时方程化为 ‎x2 2x ‎1 0 ，方程的根为 x1‎ ‎1 2 x2‎ ‎1 2 ． 5 分 ‎15 ． 解：（ 1）抛物线与 x 轴的交点的坐标为 ( 5,0)‎ ‎和 (1,0)‎ ‎． 2 分 ‎2‎ 抛物线与 y 轴的交点的坐标为 (0， 5) ． 3 分 ‎（ 2）‎ ‎y x 4x 5‎ ‎2‎ ‎( x 4x ‎( x 2 2)‎ ‎4) 9 4 分 ‎．9 5 分 ‎16 ．（ 1）证明：如图 1．‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 四边形 ABCD是菱形， AD∥ BC．‎ ‎∴‎ ‎1 2 ．‎ ‎2 分 图 1‎ 又∵ ∠ B=∠ AED，‎ ‎∴ △ ABE∽△ DEA ． 3 分 ‎（ 2）解：∵ △ ABE∽△ DEA ，‎ ‎∴ AE AB DA DE ‎． 4 分 ‎∴ AE DE AB DA ．‎ ‎∵ 四边形 ABCD是菱形， AB = 4，‎ ‎∴ AB =DA = 4．‎ ‎2‎ ‎∴ AE DE AB 16 ． 5 分 ‎18 ．解：（ 1）在 Rt△ ACD 中，‎ ‎‎ C 90‎ ‎， AD=10， sin ‎4‎ ADC ，（如图 2）‎ ‎5‎ ‎∴ AC AD ‎‎ sin ‎‎ ADC ‎4‎ ‎10 8 ． 1 分 ‎5‎ ‎3‎ C D A Dc o s ‎∵ DE 垂直平分 AB，‎ ‎A D C 1 0 ．6‎ ‎5 图 2‎ ‎∴ BD AD ‎10 ． 2 分 ‎∴ BC CD BD 16 ． 3 分 在 Rt△ ABC中， C 90 ，‎ ‎∴ tan B ‎AC 8 1‎ BC 16 2‎ ‎． 4 分 ‎（ 2） tan ‎sin ‎2 1 cos ‎．（写成 1 cos sin ‎也可） 5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）‎ ‎19 ．解：（ 1）第三个和第四个正方形的位置如图 3 所示．‎ ‎2 分 第三个正方形中的点 P 的坐标为 (3,1)． 3 分 ‎（ 2）点 ‎P( x, y) 运动的曲线（ 0≤ x ≤4）如图 3 所示．‎ ‎4 分 图 3‎ 它与 x 轴所围成区域的面积等于 1． 5 分 ‎2‎ ‎20．解：（ 1）∵ 函数 y x bx c （ x≥ 0）满足当 x =1 时， y 1 ，‎ 且当 x = 0 与 x =4 时的函数值相等，‎ ‎1 b c 1,‎ ‎∴ b ‎2.‎ ‎2‎ ‎2‎ 解得 b ‎4 ， c ‎2 ． 2 分 ‎∴ 所求的函数解析式为 ‎y x 4x ‎2 （ x≥ 0）． 3 分 它的函数图象如图 4 所示． 4 分 ‎（ 2） k 的取值范围是 2 k 2 ．（如图 ‎21 ．（ 1）证明：连接 OD．（如图 6）‎ ‎5）‎ ‎5 分 ‎∵ AD 平分∠ BAC，‎ ‎∴ ∠ 1=∠ 2．‎ ‎1 分 ‎∵ OA=OD，‎ ‎∴ ∠ 1=∠ 3．‎ ‎∴∠ 2=∠3．‎ ‎∴ OD∥ AE．‎ ‎∵ DE⊥AC，‎ ‎∴ ∠ AED=90°．‎ ‎∴ ODE ‎180‎ ‎AED ‎90 ． 2 分 ‎∴ DE⊥OD．‎ ‎∵ OD 是⊙ O 的半径，‎ ‎∴ DE 是⊙ O 的切线． 3 分 ‎（ 2）解：作 OG⊥ AE于点 G．（如图 6） 图 6‎ ‎∴ ∠ OGE=90°．‎ ‎∴ ∠ ODE=∠ DEG=∠ OGE=90°．‎ ‎∴ 四边形 OGED是矩形．‎ ‎∴ OD=GE． 4 分 在 Rt△ OAG 中，∠ OGA=90°，‎ ‎∴ GE=OD =5k．‎ ‎cos ‎BAC ‎4‎ ‎，设 AG=4k，则 OA=5k．‎ ‎5‎ ‎∴ AE=AG+GE=9k．‎ ‎∵ OD∥GE，‎ ‎∴ △ ODF∽ △EAF．‎ ‎∴ DF OD AF AE ‎5‎ ‎． 5 分 ‎9‎ ‎22 ．解：（ 1）∵‎ ‎∴‎ ‎a2 a ‎2b ‎2b 2c ‎2c a2 a,‎ ‎0 ， a ‎‎ ‎2b 2c ‎3 0 ，‎ ‎2c 2b a 3.‎ 消去 b 并整理，得 ‎4c a 2‎ ‎3 ． 1 分 ‎2‎ 消去 c 并整理，得 ‎4b a2‎ ‎2a 3 ． 2 分 ‎（2）∵‎ ‎2‎ ‎4b a ‎2a 3 ( a ‎3)( a ‎1) ( a 1) 4 ， 图 7‎ 将 4b 看成 a 的函数， 由函数 4b ‎( a 1)2 4 的性质结合它的图象 （如图 7 所示），以及 a，b 均为非负数得 a≥ 3． 又 ∵ a＜5，‎ ‎∴ 3≤ a＜5． 3 分 ‎2 2‎ ‎2‎ ‎∵ 4( b a) a ‎6a 3 (a ‎3) 12 ，‎ 将 4 (b a 看)‎ ‎成 a 的函数，由函数 ‎4(b a) (a ‎3) 12 的性质结合它的图象 ‎（如图 8 所示）可知，当 3≤ a＜ 5 时， 4(b a) 0 ．‎ ‎∴ b＜ a． 4 分 ‎2‎ ‎∵ 4 (c a ) a ‎4a 3 (a ‎1 )a(‎ ‎， a3≥)3，‎ ‎∴ 4( c a) ≥ 0．‎ ‎∴ c≥ a ．‎ ‎∴ b＜ a≤ c． 5 分 阅卷说明： “b＜ a， b＜ c， a≤ c”三者中，先得出其中任何一个结论即可 图 8‎ 得到第 4 分，全写对得到 5 分．‎ 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）‎ ‎23 ．解：（ 1）令 y ‎2‎ ‎0 ，则 kx ( k ‎2) x ‎2 0 ．‎ 整理，得 ( x ‎1)(kx ‎2) 0 ．‎ ‎2‎ 解得 x1 1 ， x2 ．‎ k ‎2‎ ‎∴ 该抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( 1,0) ， ( ,0)‎ k ‎． 2 分 ‎2‎ ‎2 2 k k 4k 4‎ 抛物线 ‎y k x ‎( k 2 )‎ ‎x 的2 顶点坐标为 ‎( , )． 3 分 ‎2k 4k ‎（ 2） |n| 的最小值为 2 ． 4 分 ‎2‎ ‎1 k 4k ‎（ 3）平移后抛物线的顶点坐标为 ‎( , ) ． 5 分 k 4k ‎1‎ x ,‎ 由 k 可得 y 1 1．‎ k 4x y 1‎ ‎4‎ ‎∴ 所求新函数的解析式为 y ‎‎ ‎1‎ ‎1． 7 分 ‎4x ‎2‎ ‎24．解：（1）与 △ ABM 相似的三角形是 △ NDA ， BM DN a ； 2 分 ‎（ 2）由（ 1） △ ABM∽△ NDA 可得 BM AB DA ND ‎．（如图 9） 3 分 ‎∵ 四边形 ABCD是正方形，‎ ‎∴ AB=DC， DA= BC，‎ ‎ABC BCD ADC BAD ‎90 ．‎ ‎∴ BM DC ．‎ BC ND ‎∵ BM， DN 分别平分正方形 ABCD的两个外角，‎ ‎∴ CBM NDC 45 ．‎ ‎∴ △ BCM∽△ DNC． 4 分 ‎∴ BCM DNC ．‎ ‎∴ MCN ‎360‎ ‎BCD BCM DCN ‎2 7 0 (D N C D C N) 2 7 0 ( 1 8 0‎ ‎C D N ‎)． 5 分 ‎（3）线段 BM， DN 和 MN 之间的等量关系是 ‎2 2 2‎ BM DN MN ．‎ ‎（只猜想答案不证明不给分）‎ 证法一：如图 9，将 △ AND 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 △ ABF，连接 MF．则 ‎△ ABF≌ △ ADN． 6 分 ‎∴ 1 3 ， AF=AN， BF=DN， AFB AND ．‎ ‎∴ MAF ‎1 2 2 3‎ ‎BAD MAN ‎45 ．‎ ‎∴ MAF MAN ．‎ 又∵ AM= AM ，‎ ‎∴ △ AMF≌ △ AMN．‎ ‎∴ MF=MN ．‎ ‎2‎ 可得 MBF ‎( AFB ‎1) 45 (‎ ‎AND ‎3) 45 90 ．‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎∴ 在 Rt△ BMF 中，‎ ‎BM 2‎ ‎BF 2‎ ‎FM ．‎ ‎2‎ ‎∴ BM ‎DN MN ． 7 分