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- 2021-11-06 发布
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2017年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个正确的.
1.(3分)下列实数中的无理数是( )
A. B.π C.0 D.
2.(3分)下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.[来源:学#科#网]
3.(3分)我国推行“一带一路”政策以来,已确定沿线有65个国家加入,共涉及总人口约达46亿人,用科学记数法表示该总人口为( )
A.4.6×109 B.46×108 C.0.46×1010 D.4.6×1010
4.(3分)如图所示的工件,其俯视图是( )
A. B. C. D.
5.(3分)某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为( )
A.48° B.40° C.30° D.24°
6.(3分)如图,若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,其按键顺序如下:
则输出结果应为( )
A. B. C. D.
7.(3分)用棋子摆出下列一组图形:
按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为( )
A.3n B.6n C.3n+6 D.3n+3
8.(3分)甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示,下列描述错误的是( )
A.两地气温的平均数相同 B.甲地气温的中位数是6℃
C.乙地气温的众数是4℃ D.乙地气温相对比较稳定
9.(3分)如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的⊙O交CD于点E,则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
10.(3分)若x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,且x1+x2=1﹣x1x2
,则m的值为( )
A.﹣1或2 B.1或﹣2 C.﹣2 D.1
11.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是( )
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
12.(3分)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,向前走20米到达A′处,测得点D的仰角为67.5°,已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,≈1.414)( )
A.34.14米 B.34.1米 C.35.7米 D.35.74米
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)30×()﹣2+|﹣2|= .
14.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则sin= .
15.(3分)运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作,
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是 .
16.(3分)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1,△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为3:2,点A,B都在格点上,则点B′的坐标是 .
17.(3分)如图,直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P,若OP=,则k的值为 .
18.(3分)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA的中点C,过点C作CD⊥OA交于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为 .
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
19.(6分)先化简,再求值:(x﹣)÷,其中x=,y=﹣1.
20.(8分)主题班会课上,王老师出示了如图所示的一幅漫画,经过同学们的一番热议,达成以下四个观点:
A.放下自我,彼此尊重;
B.放下利益,彼此平衡;
C.放下性格,彼此成就;
D.合理竞争,合作双赢.
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟,根据同学们的选择情况,小明绘制了如图两幅不完整的图表,请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
观点
频数
频率
A
a
0.2
B
12
0.24
C
8
b
D
20
0.4
(1)参加本次讨论的学生共有 人;
(2)表中a= ,b= ;
(3)将条形统计图补充完整;
(4)现准备从A,B,C,D四个观点中任选两个作为演讲主题,请用列表或画树状图的方法求选中观点D(合理竞争,合作双赢)的概率.
21.(9分)今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动,现需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元.
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:
试问去哪个商场购买足球更优惠?
22.(9分)数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况,发现该冷柜的工作过程是:当温度达到设定温度﹣20℃时,制冷停止,此后冷柜中的温度开始逐渐上升,当上升到﹣4℃时,制冷开始,温度开始逐渐下降,当冷柜自动制冷至﹣20℃时,制冷再次停止,…,按照以上方式循环进行.
同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y(℃)随时间x(min)的变化情况,制成下表:
时间x/min
…
4
8
10
16
20
21
22
23
24
28
30
36
40
42
44
…[来源:学*科*网Z*X*X*K]
温度y/℃
…
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
﹣8
﹣12
﹣16
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
a[来源:Zxxk.Com]
﹣20
…
(1)通过分析发现,冷柜中的温度y是时间x的函数.
①当4≤x<20时,写出一个符合表中数据的函数解析式 ;
②当20≤x<24时,写出一个符合表中数据的函数解析式 ;
(2)a的值为 ;
(3)如图,在直角坐标系中,已描出了上表中部分数据对应的点,请描出剩余数据对应的点,并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象.[来源:学科网]
23.(10分)【操作发现】
(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.
①求∠EAF的度数;
②DE与EF相等吗?请说明理由;
【类比探究】
(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF,请直接写出探究结果:
①∠EAF的度数;
②线段AE,ED,DB之间的数量关系.
24.(11分)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12cm,BD=16cm,动点N从点D出发,沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动,同时动点M从点B出发,沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为t(s)(t>0),以点M为圆心,MB长为半径的⊙M与射线BA,线段BD分别交于点E,F,连接EN.[来源:学科网]
(1)求BF的长(用含有t的代数式表示),并求出t的取值范围;
(2)当t为何值时,线段EN与⊙M相切?
(3)若⊙M与线段EN只有一个公共点,求t的取值范围.
25.(13分)如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值;
(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2017年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个正确的.
1.(3分)(2017•烟台)下列实数中的无理数是( )
A. B.π C.0 D.
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
【解答】解:,0,是有理数,
π是无理数,
故选:B.
【点评】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.
2.(3分)(2017•烟台)下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形,不合题意;
C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不合题意;
D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不合题意.
故选:A.
【点评】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
3.(3分)(2017•烟台)我国推行“一带一路”政策以来,已确定沿线有65个国家加入,共涉及总人口约达46亿人,用科学记数法表示该总人口为( )
A.4.6×109 B.46×108 C.0.46×1010 D.4.6×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:46亿=4600 000 000=4.6×109,
故选:A.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)(2017•烟台)如图所示的工件,其俯视图是( )
A. B. C. D.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案.
【解答】解:从上边看是一个同心圆,外圆是实线,內圆是虚线,
故选:B.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从上边看得到的图形是俯视图.
5.(3分)(2017•烟台)某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥
CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为( )
A.48° B.40° C.30° D.24°
【分析】先根据平行线的性质,由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°,然后根据三角形外角性质计算∠C的度数.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠1=∠BAE=48°,
∵∠1=∠C+∠E,
∵CF=EF,
∴∠C=∠E,
∴∠C=∠1=×48°=24°.
故选D.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
6.(3分)(2017•烟台)如图,若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,其按键顺序如下:
则输出结果应为( )
A. B. C. D.
【分析】根据2ndf键是功能转换键列式算式,然后解答即可.
【解答】解:依题意得:+=.
故选:C.
【点评】本题考查了利用计算器进行数的开方,是基础题,要注意2ndf键的功能.
7.(3分)(2017•烟台)用棋子摆出下列一组图形:
按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为( )
A.3n B.6n C.3n+6 D.3n+3
【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手,抓住随着“编号”或“序号”增加时,后一个图形与前一个图形相比,在数量上增加(或倍数)情况的变化,找出数量上的变化规律,从而推出一般性的结论.
【解答】解:∵第一个图需棋子3+3=6;
第二个图需棋子3×2+3=9;
第三个图需棋子3×3+3=12;
…
∴第n个图需棋子3n+3枚.
故选:D.
【点评】本题考查了规律型:图形的变化类:首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题.
8.(3分)(2017•烟台)甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示,下列描述错误的是( )
A.两地气温的平均数相同 B.甲地气温的中位数是6℃
C.乙地气温的众数是4℃ D.乙地气温相对比较稳定
【分析】分别计算出甲乙两地的平均数、中位数、众数和方差,然后对各选项进行判断.
【解答】解:甲乙两地的平均数都为6℃;甲地的中位数为6℃;乙地的众数为4℃和8℃;乙地气温的波动小,相对比较稳定.
故选C.
【点评】本题考查了方差:方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.也考查了平均数、众数和中位数.
9.(3分)(2017•烟台)如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的⊙O交CD于点E,则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
【分析】连接OE,由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°,AD=BC=6,得出OA=OD=3,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°,再由弧长公式即可得出答案.
【解答】解:连接OE,如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,
∴OA=OD=3,
∵OD=OE,
∴∠OED=∠D=70°,
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°,
∴的长==;
故选:B.
【点评】本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握平行四边形的性质,求出∠DOE的度数是解决问题的关键.
10.(3分)(2017•烟台)若x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,且x1+x2=1﹣x1x2,则m的值为( )
A.﹣1或2 B.1或﹣2 C.﹣2 D.1
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,再根据方程有实数根结合根的判别式,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,从而可确定m的值.
【解答】解:∵x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,
∴x1+x2=2m,x1•x2=m2﹣m﹣1.
∵x1+x2=1﹣x1x2,
∴2m=1﹣(m2﹣m﹣1),即m2+m﹣2=(m+2)(m﹣1)=0,
解得:m1=﹣2,m2=1.
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根,
∴△=(﹣2m)2﹣4(m2﹣m﹣1)=4m+4≥0,
解得:m≥﹣1.
∴m=1.
故选D.
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,根据根与系数的关系以及x1+x2=1﹣x1x2,找出关于m的一元二次方程是解题的关键.
11.(3分)(2017•烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是( )
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
【分析】由抛物线开口方向得到a>0,然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合,则可对①进行判断;利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断;利用x=1时,y<0和c<0可对③进行判断;利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a,加上x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,则可对④进行判断.
【解答】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
∴b=﹣2a<0,
∴ab<0,所以①正确;
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,所以②正确;
∵x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,
而c<0,
∴a+b+2c<0,所以③正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
∴b=﹣2a,
而x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,
∴a+2a+c>0,所以④错误.
故选C.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数有△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
12.(3分)(2017•烟台)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,向前走20米到达A′处,测得点D的仰角为67.5°,已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,≈1.414)( )
A.34.14米 B.34.1米 C.35.7米 D.35.74米
【分析】过B作BF⊥CD于F,于是得到AB=A′B′=CF=1.6米,解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:过B作BF⊥CD于F,
∴AB=A′B′=CF=1.6米,
在Rt△DFB′中,B′F=,
在Rt△DFB中,BF=DF,
∵BB′=AA′=20,
∴BF﹣B′F=DF﹣=20,
∴DF≈34.1米,
∴CD=DF+CF=35.7米,
答:楼房CD的高度约为35.7米,
故选C.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,要求学生借助俯角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)(2017•烟台)30×()﹣2+|﹣2|= 6 .
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:30×()﹣2+|﹣2|
=1×4+2
=4+2
=6.
故答案为:6.
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算.
14.(3分)(2017•烟台)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则sin= .
【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°,再根据30°的正弦值求解即可.
【解答】解:∵sinA==,
∴∠A=60°,
∴sin=sin30°=.
故答案为:.
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键.
15.(3分)(2017•烟台)运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作,
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是 x<8 .
【分析】根据运算程序,列出算式:3x﹣6,由于运行了一次就停止,所以列出不等式3x﹣6<18,通过解该不等式得到x的取值范围.
【解答】解:依题意得:3x﹣6<18,
解得x<8.
故答案是:x<8.
【点评】
本题考查了一元一次不等式组的应用,解题的关键是通过程序表达式,将程序转化问题化为不等式组,难度一般.
16.(3分)(2017•烟台)如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1,△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为3:2,点A,B都在格点上,则点B′的坐标是 (﹣2,) .
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣得到B′的坐标.
【解答】解:由题意得:△A′OB′与△AOB的相似比为2:3,
又∵B(3,﹣2)
∴B′的坐标是[3×,﹣2×],即B′的坐标是(﹣2,);
故答案为:(﹣2,).
【点评】本题考查了位似变换:先确定点的坐标,及相似比,再分别把横纵坐标与相似比相乘即可,注意原图形与位似图形是同侧还是异侧,来确定所乘以的相似比的正负.
17.(3分)(2017•烟台)如图,直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P,若OP=,则k的值为 3 .
【分析】可设点P(m,m+2),由OP=
根据勾股定理得到m的值,进一步得到P点坐标,再根据待定系数法可求k的值.
【解答】解:设点P(m,m+2),
∵OP=,
∴=,
解得m1=1,m2=﹣3(不合题意舍去),
∴点P(1,3),
∴3=,
解得k=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标,解题的关键是仔细审题,能够求得点P的坐标,难度不大.
18.(3分)(2017•烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA的中点C,过点C作CD⊥OA交于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为 36π﹣108 .
【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°,作DE⊥OB可得DE=OD=3,先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积,再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积.
【解答】解:如图,∵CD⊥OA,
∴∠DCO=∠AOB=90°,
∵OA=OD=OB=6,OC=OA=OD,
∴∠ODC=∠BOD=30°,
作DE⊥OB于点E,
则DE=OD=3,
∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9,
则剪下的纸片面积之和为12×(3π﹣9)=36π﹣108,
故答案为:36π﹣108.
【点评】本题主要考查扇形面积的计算,熟练掌握扇形的面积计算公式及折叠的性质是解题的关键.
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
19.(6分)(2017•烟台)先化简,再求值:(x﹣)÷,其中x=,y=﹣1.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(x﹣)÷
=
=
=x﹣y,
当x=,y=﹣1时,原式==1.
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
20.(8分)(2017•烟台)主题班会课上,王老师出示了如图所示的一幅漫画,经过同学们的一番热议,达成以下四个观点:
A.放下自我,彼此尊重;
B.放下利益,彼此平衡;
C.放下性格,彼此成就;
D.合理竞争,合作双赢.
要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟,根据同学们的选择情况,小明绘制了如图两幅不完整的图表,请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
观点
频数
频率
A
a
0.2
B
12
0.24
C
8
b
D
20
0.4
(1)参加本次讨论的学生共有 50 人;
(2)表中a= 10 ,b= 0.16 ;
(3)将条形统计图补充完整;
(4)现准备从A,B,C,D四个观点中任选两个作为演讲主题,请用列表或画树状图的方法求选中观点D(合理竞争,合作双赢)的概率.
【分析】(1)由B观点的人数和所占的频率即可求出总人数;
(2)由总人数即可求出a、b的值,
(3)由(2)中的数据即可将条形统计图补充完整;
(4)画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解.
【解答】解:
(1)总人数=12÷0.24=50(人),
故答案为:50;
(2)a=50×0.2=10,b==0.16,
故答案为:
(3)条形统计图补充完整如图所示:
(4)根据题意画出树状图如下:
由树形图可知:共有12中可能情况,选中观点D(合理竞争,合作双赢)的概率有6种,
所以选中观点D(合理竞争,合作双赢)的概率==.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
21.(9分)(2017•烟台)今年,我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动,现需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2015年单价为200元,2017年单价为162元.
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率;
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:
试问去哪个商场购买足球更优惠?
【分析】(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x,根据2015年及2017年该品牌足球的单价,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论;
(2)根据两商城的促销方案,分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用,比较后即可得出结论.
【解答】解:(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x,
根据题意得:200×(1﹣x)2=162,
解得:x=0.1=10%或x=﹣1.9(舍去).
答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)100×=≈90.91(个),
在A商城需要的费用为162×91=14742(元),
在B商城需要的费用为162×100×=14580(元).
14742>14580.
答:去B商场购买足球更优惠.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)根据2015年及2017年该品牌足球的单价,列出关于x的一元二次方程;(2)根据两商城的促销方案,分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用.
22.(9分)(2017•烟台)数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况,发现该冷柜的工作过程是:当温度达到设定温度﹣20℃时,制冷停止,此后冷柜中的温度开始逐渐上升,当上升到﹣4℃时,制冷开始,温度开始逐渐下降,当冷柜自动制冷至﹣20℃时,制冷再次停止,…,按照以上方式循环进行.
同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y(℃)随时间x(min)的变化情况,制成下表:
时间x/min
…
4
8
10
16
20
21
22
23
24
28
30
36
40
42
44
…
温度y/℃
…
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
﹣8
﹣12
﹣16
﹣20
﹣10
﹣8
﹣5
﹣4
a
﹣20
…
(1)通过分析发现,冷柜中的温度y是时间x的函数.
①当4≤x<20时,写出一个符合表中数据的函数解析式 y=﹣ ;
②当20≤x<24时,写出一个符合表中数据的函数解析式 y=﹣4x+76 ;
(2)a的值为 ﹣12 ;
(3)如图,在直角坐标系中,已描出了上表中部分数据对应的点,请描出剩余数据对应的点,并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象.
【分析】(1)①由x•y=﹣80,即可得出当4≤x<20时,y关于x的函数解析式;
②根据点(20,﹣4)、(21,﹣8),利用待定系数法求出y关于x的函数解析式,再代入其它点的坐标验证即可;
(2)根据表格数据,找出冷柜的工作周期为20分钟,由此即可得出a值;
(3)描点、连线,画出函数图象即可.
【解答】解:(1)①∵4×(﹣20)=﹣80,8×(﹣10)=﹣80,10×
(﹣8)=﹣80,16×(﹣5)=﹣80,20×(﹣4)=﹣80,
∴当4≤x<20时,y=﹣.
故答案为:y=﹣.
②当20≤x<24时,设y关于x的函数解析式为y=kx+b,
将(20,﹣4)、(21,﹣8)代入y=kx+b中,
,解得:,
∴此时y=﹣4x+76.
当x=22时,y=﹣4x+76=﹣12,
当x=23时,y=﹣4x+76=﹣16,
当x=24时,y=﹣4x+76=﹣20.
∴当20≤x<24时,y=﹣4x+76.
故答案为:y=﹣4x+76.
(2)观察表格,可知该冷柜的工作周期为20分钟,
∴当x=42时,与x=22时,y值相同,
∴a=﹣12.
故答案为:﹣12.
(3)描点、连线,画出函数图象,如图所示.
【点评】
本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次(反比例)函数图象上点的坐标特征以及一次(反比例)函数图象,解题的关键是:(1)①根据x、y成反比例,找出函数解析式;②利用待定系数法求出一次函数解析式;(2)根据表格数据找出冷柜的工作周期;(3)描点、连线,画出函数图象.
23.(10分)(2017•烟台)【操作发现】
(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.
①求∠EAF的度数;
②DE与EF相等吗?请说明理由;
【类比探究】
(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF,请直接写出探究结果:
①∠EAF的度数;
②线段AE,ED,DB之间的数量关系.
【分析】(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°,求出∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;
(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠
CAF=90°;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论.
【解答】解:(1)①∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°,
∵∠DCF=60°,
∴∠ACF=∠BCD,
在△ACF和△BCD中,,
∴△ACF≌△BCD(SAS),
∴∠CAF=∠B=60°,
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
②DE=EF;理由如下:
∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,
∴∠FCE=60°﹣30°=30°,
∴∠DCE=∠FCE,
在△DCE和△FCE中,,
∴△DCE≌△FCE(SAS),
∴DE=EF;
(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°,
∵∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠BCD,
在△ACF和△BCD中,,
∴△ACF≌△BCD(SAS),
∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
②AE2+DB2=DE2,理由如下:
∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,
∴∠FCE=90°﹣45°=45°,
∴∠DCE=∠FCE,
在△DCE和△FCE中,,
∴△DCE≌△FCE(SAS),
∴DE=EF,
在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,
又∵AF=DB,
∴AE2+DB2=DE2.
【点评】本题是几何变换综合题目,考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键.
24.(11分)(2017•烟台)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12cm,BD=16cm,动点N从点D出发,沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动,同时动点M从点B出发,沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为t(s)(t>0),以点M为圆心,MB长为半径的⊙M与射线BA,线段BD分别交于点E,F,连接EN.
(1)求BF的长(用含有t的代数式表示),并求出t的取值范围;
(2)当t为何值时,线段EN与⊙M相切?
(3)若⊙M与线段EN只有一个公共点,求t的取值范围.
【分析】(1)连接MF.只要证明MF∥AD,可得=,即=
,解方程即可;
(2)当线段EN与⊙M相切时,易知△BEN∽△BOA,可得=,即=,解方程即可;
(3)由题意可知:当0<t≤或<t<8时,⊙M与线段EN只有一个公共点;
【解答】解:(1)连接MF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD,OA=OC=6,OB=OD=8,
在Rt△AOB中,AB==10,
∵MB=MF,AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=∠MFB,
∴MF∥AD,
∴=,
∴=,
∴BF=t(0<t≤8).
(2)当线段EN与⊙M相切时,易知△BEN∽△BOA,
∴=,
∴=,
∴t=.
∴t=s时,线段EN与⊙M相切.
(3)由题意可知:当0<t≤时,⊙M与线段EN只有一个公共点.
当点N在⊙M内部时,也满足条件,当F与N重合时t+2t=16,解得t=(s),
∴<t<8时,⊙M与线段EN只有一个公共点,
综上所述,满足条件的t的范围为0<t≤或<t<8.
【点评】本题考查圆综合题、菱形的性质、切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.学会用构建方程的思想思考问题.属于中考压轴题.
25.(13分)(2017•烟台)如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值;
(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)由条件可求得A、B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)可先求得E点坐标,从而可求得直线OE解析式,可知∠PGH=45°,用m可表示出PG的长,从而可表示出l的长,再利用二次函数的性质可求得其最大值;
(3)分AC为边和AC为对角线,当AC为边时,过M作对称轴的垂线,垂足为F,则可证得△MFN≌△AOC,可求得M到对称轴的距离,从而可求得M点的横坐标,可求得M点的坐标;当AC为对角线时,设AC的中点为K,可求得K的横坐标,从而可求得M的横坐标,代入抛物线解析式可求得M点坐标.
【解答】解:
(1)∵矩形OBDC的边CD=1,
∴OB=1,
∵AB=4,
∴OA=3,
∴A(﹣3,0),B(1,0),
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2;
(2)在y=﹣x2﹣x+2中,令y=2可得2=﹣x2﹣x+2,解得x=0或x=﹣2,
∴E(﹣2,2),
∴直线OE解析式为y=﹣x,
由题意可得P(m,﹣m2﹣m+2),
∵PG∥y轴,
∴G(m,﹣m),
∵P在直线OE的上方,
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣(﹣m)=﹣m2﹣m+2=﹣(m+)2+,
∵直线OE解析式为y=﹣x,
∴∠PGH=∠COE=45°,
∴l=PG=[﹣(m+)2+]=﹣(m+)2+,
∴当m=﹣时,l有最大值,最大值为;
(3)①当AC为平行四边形的边时,则有MN∥AC,且MN=AC,如图,过M作对称轴的垂线,垂足为F,设AC交对称轴于点L,
则∠ALF=∠ACO=∠FNM,
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC(AAS),
∴MF=AO=3,
∴点M到对称轴的距离为3,
又y=﹣x2﹣x+2,
∴抛物线对称轴为x=﹣1,
设M点坐标为(x,y),则|x+1|=3,解得x=2或x=﹣4,
当x=2时,y=﹣,当x=﹣4时,y=,
∴M点坐标为(2,﹣)或(﹣4,﹣);
②当AC为对角线时,设AC的中点为K,
∵A(﹣3,0),C(0,2),
∴K(﹣,1),
∵点N在对称轴上,
∴点N的横坐标为﹣1,
设M点横坐标为x,
∴x+(﹣1)=2×(﹣)=﹣3,解得x=﹣2,此时y=2,
∴M(﹣2,2);
综上可知点M的坐标为(2,﹣)或(﹣4,﹣)或(﹣2,2).
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中求得A、B的坐标是解题的关键,在(2)中确定出PG与l的关系是解题的关键,在(3)中确定出M的位置是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.
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