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- 2021-11-06 发布
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第
23
课时
多边形与平行四边形
第五单元 四边形
【
考情分析
】
考点
2015
中考
相关题
2016
中考
相关题
2017
中考
相关题
2018
中考
相关题
2019
中考
相关题
2020
中考
预测
多边形的相关概念
14
题
,3
分
13
题
,3
分
★★★
平行四边形的
概念与性质
21
题
,9
分
20
题
,8
分
7
题
,3
分
★★★★★
平行四边形的判定
★★★
考点一 多边形
考点聚焦
图形
性质
多
边
形
内角和
n
边形的内角和为
①
外角和
任意多边形的外角和为
360°
对角线
(1)
n
边形共有
②
条对角线
;
(2)
从一个顶点出发的对角线把
n
边形分成
③
个三角形
不稳定性
n
边形
(
n>
3)
具有不稳定性
(
n-
2)·180°
n-
2
(
续表
)
图形
性质
正
多
边
形
边
各条边
④
内角
各个内角
⑤
,
且正
n
边形的每个内角为
⑥
外角
各个外角相等
,
且正
n
边形的每个外角为
⑦
对称性
(1)
正多边形都是
⑧
对称图形
,
其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形
;
(2)
正
n
边形有
⑨
条对称轴
相等
相等
轴
n
考点二 平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
性质
(1)
平行四边形的对边
⑩
;
(2)
平行四边形的对角
⑪
,
邻角
⑫
;
(3)
平行四边形的对角线互相
⑬
;
(4)
平行四边形是
⑭
对称图形
判定
(1)
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
;
(2)
两组对边分别
⑮
的四边形是平行四边形
;
(3)
一组对边
⑯
的四边形是平行四边形
;
(4)
两组对角分别
⑰
的四边形是平行四边形
;
(5)
对角线互相
⑱
的四边形是平行四边形
平行且相等
相等
互补
平分
中心
相等
平行且相等
相等
平分
(
续表
)
面积
S
=
ah
(
a
表示一条边长
,
h
表示此边上的高
)
相关
结论
(1)
平行四边形的两条对角线将平行四边形分成
⑲
的四个三角形
;
(2)
同底等高的平行四边形的面积相等
;
(3)
若一条直线过平行四边形的对角线的交点
,
则这条直线等分平行四边形的面积
面积相等
题组一 必会题
对点演练
1
.
一个多边形的内角和是
900°,
这个多边形的边数是
(
)
A
.
4 B
.
5 C
.
6 D
.
7
D
[
答案
]
D
[
解析
]
因为平行四边形的对角线互相平分
,
OE
⊥
BD
,
所以
OE
垂直平分
BD
,
所以
BE
=
DE
,
从而
△
ABE
的周长等于
AB
+
AD
,
即▱
ABCD
的周长的一半
,
所以
△
ABE
的周长为
14,
故选
D
.
2
.
[2019·
遂宁
]
如图
23-1,
▱
ABCD
中
,
对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,
OE
⊥
BD
交
AD
于点
E
,
连接
BE.
若▱
ABCD
的周长为
28,
则
△
ABE
的周长为
(
)
A
.
28 B
.
24
C
.
21 D
.
14
图
23-1
3
.
[2019·
达州
]
如图
23-2,
▱
ABCD
的对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,
点
E
是
AB
的中点
, △
BEO
的周长是
8,
则
△
BCD
的周长为
.
图
23-2
[
答案
]
16
[
答案
]
72
[
解析
]
如图
,
过点
B
作
BF
∥
l
1
.
∵五边形
ABCDE
是正五边形
,
∴∠
ABC
=108°
.
∵
BF
∥
l
1
,
l
1
∥
l
2
,
∴
BF
∥
l
2
,
∴∠
CBF
=180°-
∠
1,
∠
ABF
=
∠
2,
∴
180°-
∠
1+
∠
2=
∠
ABC
=108°,
∴∠
1-
∠
2=72°
.
4
.
[2018·
南京
]
如图
23-3,
五边形
ABCDE
是正五边形
,
若
l
1
∥
l
2
,
则∠
1-
∠
2=
°
.
图
23-3
【
失分点
】
对于平行四边形的性质与判定不能准确理解
;
构图时忽视多种情况的存在
,
考虑不全面
.
题组二 易错题
5
.
下列说法错误的是
(
)
A
.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
B
.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C
.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D
.
一组对边相等
,
另一组对边平行的四边形是平行四边形
D
6
.
在▱
ABCD
中
,
AE
平分∠
BAD
交
BC
于点
E
,
将
BC
分成
4 cm
和
6 cm
两部分
,
则▱
ABCD
的周长为
(
)
A
.
28 cm B
.
32 cm
C
.
28 cm
或
32 cm D
.
无法确定
[
答案
]
C
[
解析
]
∵
AE
平分∠
BAD
,
∴∠
BAE
=
∠
DAE.
∵▱
ABCD
的边
AD
∥
BC
,
∴∠
DAE
=
∠
AEB
,
∴∠
BAE
=
∠
AEB
,
∴
AB
=
BE.
①当
BE
=4 cm
时
,
AB
=4 cm,
BC
=4+6=10(cm),
∴▱
ABCD
的周长为
2(
AB
+
BC
)=2×(4+10)=28(cm),
②当
BE
=6 cm
时
,
AB
=6 cm,
BC
=6+4=10(cm),
∴▱
ABCD
的周长为
2(
AB
+
BC
)=2×(6+10)=32(cm)
.
综上所述
,
▱
ABCD
的周长为
28 cm
或
32 cm
.
故选
C
.
[
答案
]
540°
或
360°
或
180°
[
解析
]
n
边形的内角和是
(
n
-2)×180°
.
若所得多边形的边数增加
1,
则其内角和是
(4+1-2)×180°=540°;
若所得多边形的边数不变
,
则其内角和是
(4-2)×180°=360°;
若所得多边形的边数减少
1,
则其内角和是
(4-1-2)×180°=180°,
所以新多边形的内角和是
540°
或
360°
或
180°
.
7
.
[2018·
聊城
]
如果一个正方形被截掉一个角后
,
得到一个多边形
,
那么这个多边形的内角和是
.
考向一 多边形的相关概念及计算
例
1
[2018·
原创
]
(1)
七边形的内角和等于
;
(2)
正八边形的每一个内角都等于
,
每一个外角都等于
;
(3)
如果一个多边形的内角和等于
1260°,
那么这个多边形的边数是
;
(4)
如果一个多边形的每个外角都是
60°,
那么这个多边形的边数是
;
(5)
如果一个多边形的内角和等于外角和
,
那么这个多边形的边数是
.
900°
135°
45°
9
6
4
【
方法点析
】
(
1)
多边形的内角中最多只有三个锐角
;
(2)
多边形的边数每增加一条
,
内角和的度数增加
180 °;
(3)
多边形的外角和与边数
n
无关
.
|
考向精练
|
1
.
下列命题中
:
①多边形每增加一条边
,
其内角和增加
180°;
②任意一个多边形的内角和一定是
180°
的整数倍
;
③多边形的边数增加为原来的
2
倍
,
则多边形的内角和也增加为原来的
2
倍
;
④任意两个多边形的内角和之差一定是
180°
的整数倍
.
其中
,
正确的是
(
)
A
.
①②
B
.
①②④
C
.
②④
D
.
①②③④
[
答案
]
B
[
答案
]
C
[
解析
]
∵在五边形
ABCDE
中
,
∠
A
+
∠
B
+
∠
E
=300°,
∴∠
EDC
+
∠
BCD
=240°
.
又∵
DP
,
CP
分别平分
∠
EDC
,
∠
BCD
,
∴∠
PDC
+
∠
PCD
=120°,
∴在
△
CDP
中
,
∠
P
=180°-(
∠
PDC
+
∠
PCD
)=
180°-120°=60°
.
故选
C
.
2
.
[2018·
济宁
]
如图
23-4,
在五边形
ABCDE
中
,
∠
A
+
∠
B
+
∠
E
=300°,
DP
,
CP
分别平分∠
EDC
,
∠
BCD
,
则∠
P
=(
)
A
.
50° B
.
55°
C
.
60° D
.
65°
图
23-4
考向二 平行四边形的判定和性质
例
2
如图
23-5
①
,
在▱
ABCD
中
,
点
O
是对角线
AC
的中点
,
EF
过点
O
,
与
AD
,
BC
分别相交于点
E
,
F
,
GH
过点
O
,
与
AB
,
CD
分别相交于点
G
,
H
,
连接
EG
,
FG
,
FH
,
EH.
(1)
求证
:
四边形
EGFH
是平行四边形
.
(2)
如图②
,
若
EF
∥
AB
,
GH
∥
BC
,
在不添加任何辅助线的情况下
,
请直接写出图②中与四边形
AGHD
面积相等的所有平行四边形
(
四边形
AGHD
除外
)
.
图
23-5
解
:(1)
证明
:
∵四边形
ABCD
为平行四边形
,
∴
AD
∥
BC
,
∴∠
EAO
=
∠
FCO.
又∵
OA
=
OC
,
∠
AOE
=
∠
COF
,
∴
△
OAE
≌△
OCF
,
∴
OE
=
OF.
同理可知
,
OG
=
OH
,
∴四边形
EGFH
是平行四边形
.
例
2
如图
23-5
①
,
在▱
ABCD
中
,
点
O
是对角线
AC
的中点
,
EF
过点
O
,
与
AD
,
BC
分别相交于点
E
,
F
,
GH
过点
O
,
与
AB
,
CD
分别相交于点
G
,
H
,
连接
EG
,
FG
,
FH
,
EH.
(2)
如图②
,
若
EF
∥
AB
,
GH
∥
BC
,
在不添加任何辅助线的情况下
,
请直接写出图②中与四边形
AGHD
面积相等的所有平行四边形
(
四边形
AGHD
除外
)
.
图
23-5
解
: (2)
▱
GBCH
,
▱
ABFE
,
▱
EFCD
,
▱
EGFH.
|
考向精练
|
1
.
[2019·
广州
]
如图
23-6,
▱
ABCD
中
,
AB
=2,
AD
=4,
对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,
且
E
,
F
,
G
,
H
分别是
AO
,
BO
,
CO
,
DO
的中点
,
则下列说法正确的是
(
)
A
.EH
=
HG
B
.
四边形
EFGH
是平行四边形
C
.AC
⊥
BD
D
.
△
ABO
的面积是
△
EFO
的面积的
2
倍
图
23-6
[
答案
] B
2
.
[2018·
安徽
]
在▱
ABCD
中
,
E
,
F
是对角线
BD
上不同的两点
,
下列条件中
,
不能得出四边形
AECF
一定为平行四边形的是
(
)
A
.BE
=
DF
B
.AE
=
CF
C
.AF
∥
CE
D
.
∠
BAE
=
∠
DCF
[
答案
] B
[
解析
]
如图
,
连接
AC
,
与
BD
相交于
O.
在▱
ABCD
中
,
OA
=
OC
,
OB
=
OD
,
要使四边形
AECF
为平行四边形
,
只需证明
OE
=
OF
即可
.
A
.
若
BE
=
DF
,
则
OB
-
BE
=
OD
-
DF
,
即
OE
=
OF
,
故此选项不符合题意
;
B
.
若
AE
=
CF
,
无法判断
OE
=
OF
,
故此选项符合题意
;
C
.
由
AF
∥
CE
能够利用
“
角角边
”
证明
△
AOF
和
△
COE
全等
,
从而得到
OE
=
OF
,
故此选项不符合题意
;
D
.
由∠
BAE
=
∠
DCF
能够利用
“
角边角
”
证明
△
ABE
和
△
CDF
全等
,
从而得到
DF
=
BE
,
然后同
A,
故此选项不符合题意
.
故选
B
.
3
.
[2015·
鄂尔多斯
21
题
]
如图
23-7,
在▱
ABCD
中
,
E
,
F
分别为
AB
,
BC
的中点
,
连接
EC
,
AF
,
AF
与
EC
交于点
M
,
AF
的延长线与
DC
的延长线交于点
N.
(1)
求证
:
AB
=
CN.
(2)
若
AB
=2
n
,
BE
=2
MF
,
试用含
n
的式子表示线段
AN
的长
.
图
23-7
解
:(1)
证明
:
∵四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴
AB
∥
DN
,
∴∠
B
=
∠
FCN
,
∠
BAF
=
∠
N.
∵
F
是
BC
的中点
,
∴
BF
=
CF
,
∴
△
BAF
≌△
CNF
,
∴
AB
=
CN.
3
.
[2015·
鄂尔多斯
21
题
]
如图
23-7,
在▱
ABCD
中
,
E
,
F
分别为
AB
,
BC
的中点
,
连接
EC
,
AF
,
AF
与
EC
交于点
M
,
AF
的延长线与
DC
的延长线交于点
N.
(2)
若
AB
=2
n
,
BE
=2
MF
,
试用含
n
的式子表示线段
AN
的长
.
图
23-7
图
23-8
图
23-8