人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-倍长类中线 25页

常用辅助线之倍长（类）中线 简答题：‎ ‎1.在中，为边上的点，已知，，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长到，使，连结 在和中 ‎∴‎ ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎2.已知：中，是中线．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图所示，延长到，使，连结，‎ 在和中 ‎∴，‎ ‎∴‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎3.如图，中，，是中线．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长到，使，连结．‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴，‎ 在中，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎4.如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长到，使，连结 ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎5.如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长到，使，连结 ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，而 ‎∴，‎ 故．‎ ‎6.如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎ ‎ 延长到点，使得，连结 ‎∵是的中点 ‎∴‎ 在和中，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴为的角平分线 ‎7.如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长到点，使，连结．‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，而 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴为的角平分线．‎ ‎8.如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长到，使，连结，‎ ‎ 在 和 中 ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵平分，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴∥．‎ ‎9.已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长到，使，连结、．‎ 在 和 中 ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，的平分线分别交于、交于，‎ ‎∴，‎ 利用证明，‎ ‎∴，‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ ‎10.在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．‎ 答案：5‎ 解析：‎ 延长到点，使得，连结 在和 中 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴是的垂直平分线 ‎∴‎ 在中，‎ ‎∴由勾股定理得：‎ ‎∴‎ ‎11.在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且．‎ ‎（1）若，以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？‎ ‎（2）若，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎（1）直角三角形 ‎（2）延长至，使，连接、、．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴．‎ ‎∵，故，则．‎ 为斜边上的中线，故．‎ 由此可得．‎ ‎12.如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图所示，延长到，使．‎ 容易证明，从而，‎ 而，故．‎ 注意到，‎ ‎，‎ 故，又∵‎ ‎∴，‎ 因此．‎ ‎13.已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线．求证：‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长到，使，连接 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎14.如图所示，，是的中点，，，求证．‎ 答案：见解析 解析：‎ 倍长中线到，连接交于点，交于点．‎ 在 和 中 ‎ ‎ ‎∴‎ 则，，‎ 从而，‎ 而，，‎ 故 从而，故 而 故，亦即．‎ ‎15.已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．‎ 答案：见解析 解析：延长到，使，连结、．‎ 易证，∴，‎ 又∵，的平分线分别交于、交于，‎ ‎∴，‎ 利用证明，∴，‎ 在中，，∴．‎ ‎16.在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？‎ 答案：见解析 解析：延长到点，使，连结、．‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴‎ 故以线段、、为边能构成一个直角三角形．‎ ‎17.如图所示，在和中，、分别是、上的中线，且，，，求证．‎ ‎ ‎ 答案：见解析 解析：如图所示，分别延长、至、，使，．‎ ‎ ‎ 连接、，则，．‎ 因为，所以．‎ 在和中，，，，‎ 故，从而，．‎ 同理，，则，．‎ 因为，所以．‎ 在和中，，，，‎ 所以，从而，，故，则．‎ 在和中，，，，故．‎ ‎18.在梯形中，，，，，，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程．‎ ‎ ‎ 答案：见解析 解析：延长交延长线于点．‎ 是中点，，‎ ‎，，，‎ 在和中，‎ ‎，‎ 又∵，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎19.已知：如图，在中，，在中，，且在边上，连结，取的中点，连结和．将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转，结论：为等腰直角三角形，成立吗?‎ 答案：见解析 解析：延长交于点，‎ ‎∵、为等腰直角三角形，‎ ‎∴，∴‎ 又∵，又∵‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴．，∴，结论得证 ‎20.如图，在中，，在中，，且，连结 ‎，取的中点，连结和．结论：为等腰直角三角形还成立吗?‎ 答案：见解析 解析：延长交于，连结，‎ 在 和 中 ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又∵，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，，结论得证 ‎21.如图，在中，，在中，，且在线段上，连结，取的中点，连结和．证明：．‎ 答案：见解析 解析：过点作交的延长线于点，‎ 在和 中 ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 在和中 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴，，∴‎ ‎22.以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系．‎ ‎（1）如图① 当为直角三角形时，与的位置关系是 ；线段与的数量关系是 ；‎ ‎（2）将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．‎ ‎ ‎ 答案：‎ 解析：（1），;‎ ‎（2）结论仍然成立．‎ 如图，延长至，使，交于点，并连结． ‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 在与中， ‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 又，，∴且 ‎． ‎