初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第20讲 直线与圆 8页

1 第二十讲 直线与圆 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也 可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察． 讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判 定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着 以下基本图形、基本结论： 注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方 法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点． 【例题求解】 【例 1】 如图，AB 是半圆 O 的直径，CB 切⊙O 于 B，CD 切⊙O 于 D，交 BA 的延长线 于 E，若 EA=1，ED=2，则 BC 的长为 ． 思路点拨 从 C 点看，可用切线长定理，从 E 点看，可用切割线定理，而连 OD，则 OD⊥ EC，又有相似三角形，先求出⊙O 的半径． 注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证 明与计算中有广泛的应用． 【例 2】 如图，AB、AC 与⊙O 相切于 B、C，∠A=50°，点 P 是圆上异于 B、C 的一个动 点，则∠BPC 的度数是( ) A．65° B．115° C．60°和 115° D．130°和 50° (山西省中考题) 思路点拨 略 【例 3】 如图，以等腰△ABC 的一腰 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D，过 D 作 DE⊥AC 于 E， 可得结论：DE 是⊙O 的切线． 问：(1)若点 O 在 AB 上向点 B 移动，以 O 为圆心，OB 为半径的圆的交 BC 于 D，DE⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由； 2 (2)如果 AB=AC=5cm，sinA= 5 3 ，那么圆心 O 在 AB 的什么位置时，⊙O 与 AC 相切? (2001 年黑龙江省中考题) 思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图， 方能求解． 【例 4】 如图，已知 Rt△ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是 AB 边上的动点(与 点 A、B 不重合)，Q 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合)． (1)当 PQ∥AC，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 PC 的长； (2)当 PQ 与 AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段 CQ 的长 的取值范围；若不可能，请说明理由． (广州市中考题) 思路点拨 对于(2)，易发现只有点 P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以 CQ 为 直径的圆与线段 AB 的交点就是符合要求的点 P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定 CQ 的取值范围． 注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手； (2)利用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径． 一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法， 对于分层次设问的问题，需整体考虑； 【例 5】如图，在正方形 ABCD 中，AB=1， ︵ AC是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段 弧，点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作 ︵ AC所在圆的切线，交 边 DC 于点 F，G 为切点． （1）当∠DEF=45°时，求证点 G 为线段 EF 的中点； （2）设 AE=x，FC=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）将△DEF 沿直线 EF 翻折后得△D1EF，如图，当 EF= 6 5 时，讨论△AD1D 与△ED1F 是 否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由． 3 思路点拨 图中有多条⊙B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的 基础，对于(3)，由(2)求出 x 的值，确定 E 点位置，这是解题的关键． 注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、 切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互 助等思想方法，具有较强的选拔功能． 学力训练 1．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在 AB 延长线上，PM 切⊙O 于 M 点，若 OA= a ， FM= a3 ， 那么△PMB 的周长为 ． 2．PA、PB 切⊙O 于 A、B，∠APB=78°，点 C 是⊙O 上异于 A、B 的任意一点，则 ∠ACB= ． 3．如图，EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是⊙O 上两点，如果∠F=46°， ∠DCF=32°，则∠A 的度数是 ． 4．如图，以△ABC 的边 AB 为直径作⊙O 交 BC 于 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于 E， 要使 DE⊥AC，则△ABC 的边必须满足的条件是 ． 5． 1l 、 2l 表示直线，给出下列四个论断：① ∥ 2l ；② 切⊙O 于点 A；③ 切⊙O 于点 B； ④AB 是⊙O 的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些 命题，在这些命题中，正确命题的个数为( ) 1 B．2 C．3 D．4 6．如图，圆心 O 在边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上，⊙O 过 B 点且与 AD、DC 4 边均相切，则⊙O 的半径是( ) A． )12(2  B． )12(2  C． 122  D． 122  7．直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC