2019九年级数学下册 专题突破讲练 利用二次函数设计方案试题 （新版）青岛版 10页

利用二次函数设计方案 利用二次函数设计方案 这类问题常常给出问题情景与解决问题的要求，让学生设计解决问题的方案，或给出多种不同方案，让学生判断它们的优劣。‎ 这类试题不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题。解这类问题的关键是寻找相等关系，利用函数的图象和性质解决问题。‎ 方法归纳：‎ 从方法上分两类进行概括：‎ ‎（1）方案已知，要求选优；‎ ‎（2）先求方案，再选最优。‎ 总结：‎ ‎1. 能够利用二次函数解决施工方案、销售方案等实际应用问题。‎ ‎2. 能够利用二次函数进行方案设计，解决较为复杂的应用问题。‎ 例题1 今年，‎6月12日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。‎ ‎（1）小华的问题解答：__________。‎ 10‎ ‎（2）小明的问题解答：__________。‎ 解析：本题是以对话的形式给出的，首先应明确已知和所求，再根据题意建立二次函数关系模型，利用二次函数的最值进行解答。‎ 答案：解：（1）设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得（x－2）（500－×10）＝800。整理得：x2－10x＋24＝0，解之得：x1＝4，x2＝6。∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%＝4.8（元），∴x2＝6不合题意，舍去，得x＝4。答：应定价4元/个，才可获得800元的利润。‎ ‎（2）设每天利润为W元，定价为x元/个，得W＝（x－2）（500－×10）＝－100x2＋1000x－1600＝－100（x－5）2＋900。∵x≤5时W随x的增大而增大，且x≤4.8，∴当x＝4.8时，W最大＝－100×（4.8－5）2＋900＝896＞800。故800元不是最大利润，当定价为4.8元/个时，每天利润最大。‎ 点拨：本题主要考查利用二次函数模型解决实际问题的能力。要先根据题意列出函数关系式，再利用函数关系式求值。注意：数学应用题来源于实践并应用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识。‎ 例题2 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。‎ ‎（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；‎ ‎（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元。请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由。‎ 解析：本题可根据总利润＝（销售价－进价）×销售量来确立函数关系式，关键是第（3）题，求两种方案的最大利润时，不一定是二次函数顶点处的最值，可画出图形，结合二次函数的图象解答。‎ 答案：（1）w＝（x－20）[250－10（x－25）]＝－10x2＋700x－10000；‎ ‎（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250，‎ 所以，当x＝35时，w有最大值2250，‎ 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大。‎ ‎（3）方案A：由题意可得20＜x≤30，‎ 因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35，所以该抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，所以当x＝30时，w取得最大值为w＝－10（30－35）2＋2250＝2000（元）。‎ 10‎ 方案B：由题意可得，解得：45≤x≤49。‎ 在对称轴右侧，w随x的增大而减小，‎ 所以当x＝45时，w取得最大值为w＝－10（45－35）2＋2250＝1250（元）。‎ 因为2000＞1250，所以选择方案A。‎ 点拨：这是一类比较简单的方案设计问题，确切地讲，方案不需要设计，题目已经给出具体方案。解答这类问题时关键是对所给方案进行比较，找出合适的、合理的方案。从二次函数的应用这个角度讲，本题主要考查了利用二次函数的图象和性质求二次函数的最值，特别是非顶点处的最值。‎ 有些方案设计问题其本质就是求满足某种特殊要求的自变量的取值或函数值。解答这类问题时的解题策略与一般的函数应用问题相同，需要特别注意的是自变量和函数值的特殊要求，这往往表现在自变量或函数值是整数、正整数等。‎ 例 某小区有一长‎100m，宽‎80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于‎50m，不大于‎60m。预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元。‎ ‎（1）设其中一块绿化区的长边长为x m，写出工程总造价y（元）与x（m）的函数关系式（写出x的取值范围）；‎ ‎（2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。（参考数据：≈1.732）‎ 答案：解：（1）因为出口宽为（100－2x），所以一块绿化区的短边长为×[80－（100－2x）]＝（x－10），所以y＝50×4x（x－10）＋60×[100×80－4x（x－10）]＝200x2－2000x＋480000－240x2＋2400x，所以y＝－40x2＋400x＋480000（20≤x≤25）。‎ ‎（2）能。因为－40x2＋400x＋480000＝469000，所以x2－10x－275＝0，所以x＝＝5±10。所以x1＝5＋10≈22.32，x2=5－10－12.32（舍去），所以投资46.9万元能完成工程任务。‎ 因为y＝－40x2＋400x＋480000（20≤x≤25）的对称轴是x＝－＝5，又因为此抛物线开口向下，所以在20≤x≤25内y随x的增大而减小，所以当x 10‎ ‎≥22.32时投资46.9万元能够完成工程任务，x为整数的工程方案如下：‎ 方案一：一块矩形绿化区的长为‎23m，宽为‎13m；‎ 方案二：一块矩形绿化区的长为‎24m，宽为‎14m；‎ 方案三：一块矩形绿化区的长为‎25m，宽为‎15m。‎ 点拨：本题是确定函数关系式及利用函数的性质设计工程方案的问题。解题过程中应理解：①工程总造价包括绿化区造价和活动区造价两部分；②根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案。‎ 一、选择题 ‎1. 喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）‎ A. y＝－10x2＋100x＋2000 B. y＝10x2＋100x＋2000‎ C. y＝－10x2＋200x D. y＝－10x2－100x＋2000‎ ‎*2. 生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）‎ A. 1月，2月 B. 1月，2月，3月 C. 3月，12月 D. 1月，2月，3月，12月 ‎*3. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次。第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元。每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件。该工厂一天能获得的最大利润是（ ）‎ A. 1120元 B. 1144元 C. 1152元 D. 1160元 ‎**4. 某企业投资100万元引进一条新产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y万元，其情况如图所示，可以看出图中的折线近似于过原点的抛物线的一部分。则该公司第几年可以收回投资并开始赢利（ ）‎ 10‎ A. 第3年 B. 第4年 C. 第5年 D. 第6年 二、填空题 ‎*5. 李大伯第一次种植大棚菜，在塑料大棚内密植了100棵黄瓜秧，收获时，每棵黄瓜秧平均只收获‎2千克黄瓜，听说邻居每棵黄瓜秧可收获近‎5千克黄瓜，他便向县农业技术员请教，农业技术员查看了情况后说：种植太密，不通风，并告诉他如何改进。已知每少栽一棵秧苗，一棵黄瓜秧平均可多收0.1千克黄瓜，那么请你帮李伯伯计算减少__________棵黄瓜秧苗收获最多，最多收获__________千克。‎ ‎**6. 某种消费品每件60元，不收附加税时，每年大约销售80万件，若政府收附加税时，每销售100元要征税x元（叫做税率x%），则每年销售量将减少x万件，要使每年在此项经营中收取的税金不少于128万元，问税率x%的范围是__________，当税率x%＝__________时，所收取的税金最多，为__________万元。‎ ‎**7. 某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张。若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张。以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高__________元。‎ ‎**8. 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房。如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为‎12m，抛物线拱高为‎5.6m。现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽‎1.5m，高‎1.6m，相邻窗户之间的间距均为‎0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为‎0.8m。最多可安装__________扇这样的窗户。（参考数据：≈5.072）‎ 10‎ 三、解答题 ‎9. 某商场以100元一件的价格进一批服装，若将售价定为120元一件，则每天可卖120件，经过市场调查发现，售价每增加5元，则每天会少卖10件，那么商场将售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎10. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：‎ ‎（1）求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎**11. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具。‎ ‎（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把结果填写在表格中：‎ 销售单价（元）‎ x 销售量y（件）‎ ‎__________‎ 销售玩具获得利润w（元）‎ ‎__________‎ ‎（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元。‎ ‎（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？‎ ‎**12.‎ 10‎ ‎ 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担。李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯。已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500。‎ ‎（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么这个月政府为他承担的总差价为多少元？‎ ‎（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？‎ ‎（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元。如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？‎ 10‎ 一、选择题 ‎1. A 解析：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，总销量为：（200－10x）件，商品利润为：y＝（60－50＋x）（200－10x）＝（10＋x）（200－10x）＝－10x2＋100x＋2000。故选：A。‎ ‎*2. D 解析：令y＝0，则－n2＋15n－36＝0，∴n2－15n＋36＝0，解得n1＝3，n2＝12，∵a＝－1＜0，∴抛物线开口向下，∴n＝1和n＝2时，y＜0，∴该企业一年中应停产的月份是1月，2月，3月，12月。故选D。‎ ‎*3. C 解析：设生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），则y＝[10＋2（x－1）][76－4（x－1）]＝－8x2＋128x＋640＝－8（x－8）2＋1152，所以生产第8档次的产品一天能获得最大利润1152元。‎ ‎**4. B 解析：因为此抛物线过原点，所以设其解析式为y＝ax2＋bx。由题意可知，x＝1时，y＝1.5；x＝2时，y＝5，分别代入y＝ax2＋bx，得，解得a＝1，b＝，∴y＝x2＋x。设g＝33x－100－x2－x，则g＝－x2＋32x－100。当x＝3时，g＝－9＋×3－100＜0，当x＝4时，g＝－16＋130－100＝14（万元），即第4年可收回投资并开始赢利。‎ 二、填空题 ‎*5. 40，360 解析：设减少x棵黄瓜秧苗，使得黄瓜收获最多，由题意得：y＝（100－x）（×0.1＋2）＝－0.1x2＋8x＋200＝－0.1（x－40）2＋360，∴当x＝40棵时，y最多＝360千克。故答案为：40，360。‎ ‎**6. 4%≤x%≤8%，6%，144 解析：设收取的税金为y万元，则y＝（80－x）×60×＝－4x2＋48x＝－4（x－6）2＋144。解－4x2＋48x＝128，得x1＝4，x2＝8，因为抛物线开口向下，所以当4≤x≤8时，y≥128，即税金不少于128万元时税率x%的范围是4%≤x%≤8%。当x＝6时，y最大＝144，即当税率x%＝6%时收取的税金最多，为144万元。‎ 依题意有：征附加税x元（叫做税率x%），每年销售量将减少x万件，则销量变为（80－x）万件，要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于128万元，可以建立如下不等式：（80－x）×60×≥128，解得：4≤x≤8。∴4%≤x%≤8%，W＝（80－x）×60×＝－4x2+48x，当x＝－＝6时，W最大＝144。‎ 10‎ ‎**7. 6 解析：设每床每日应提高x元，每日获利为y元，则y＝（10＋x）（100－×10）＝－5（x－5）2＋1125（2＜x＜10），∵a＝－5＜0，∴函数图象开口向下，二次函数有最大值，∴为了投资少而获利大，当x＝6时，每日获利y最大。故填6元。注意本题是以每提高2元的方案进行的，虽然x＝4和x＝6都获利大，但当x＝4时租出的床位数大于x＝6时租出的床位数，投资会多一些，所以当x＝6时投资少而获利大。‎ ‎**8. 4 解析：设抛物线的表达式为y＝ax2，点B（6，－5.6）在抛物线的图象上。∴－5.6＝‎36a，解得a＝－，∴抛物线的表达式为y＝－x2。设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高‎1.6m，∴t＝－5.6+（1.6）＝－4，有－4＝－k2，解得k＝5.07（负值舍去），∴CD＝5.07×2＝‎10.14m，又设最多可安装n扇窗户，∴1.5n＋0.8（n＋1）≤10.14，解得n≤4.06。即最多可安装4扇窗户。‎ 三、解答题 ‎9. 解：设每天销售利润为y元，而售价为x元，则由题意得y＝（x－100）（120－×10）＝－2x2＋560x－36000（100