2009年北京市海淀区中考数学一模试卷 13页

‎2 2009年北京市海淀区中考数学一模试卷 一、选择题(本题共32分，每小题4分)‎ 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．‎ ‎1．的相反数是( )‎ A．－2 B．‎2 ‎C． D．‎ ‎2．2009年北京启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设，预计北京市轨道交通投资将达到51 800 000 000元人民币．将51 800 000 000用科学记数法表示正确的是( )‎ A．51.8×109 B．5.18×‎1010 ‎C．0.518×1011 D．518×108‎ ‎3．如图，已知AB∥CD，点E在CD上，BC平分∠ABE，若∠C＝25°，则∠ABE的度数是( )‎ A．12.5° B．25° C．50° D．60°‎ 第3题图 ‎4．在樱桃采摘园，五位游客每人各采摘了一袋樱桃，质量分别为(单位：千克)：5，2，3，5，5，则这组数据的平均数和中位数分别为( )‎ A．4，3 B．3，‎5 ‎C．4，5 D．5，5‎ ‎5．若两圆的半径分别为4和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是( )‎ A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 ‎6．袋子中有5个红球，3个蓝球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机取出一个球，取出蓝球的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．把代数式a3－‎4a2＋‎4a分解因式，下列结果中正确的是( )‎ A．a(a－2)2 B．a(a2－4)‎ C．a(a＋2)2 D．a(a＋2)(a－2)‎ ‎8．右图是画有一条对角线的平行四边形纸片ABCD，用此纸片可以围成一个无上下底面的 三棱柱纸筒，则所围成的三棱柱纸筒可能是( )‎ 第8题图 二、填空题(本题共16分，每小题4分)‎ ‎9．若实数x，y满足，则代数式xy－x2的值为________． ‎ ‎10．已知反比例函数的图象经过点(2，3)，则k＝________．‎ ‎11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的高为________．‎ 第11题图 ‎12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－3，0)，B(0，1)，形状相同的抛物线Cn(n＝1，2，3，4，…)的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，12，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为________；抛物线C8的顶点坐标为________．‎ 第12题图 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式组：‎ ‎15．已知：如图，点B、E、F、C在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠CED．求证：AF＝DC．‎ 第15题图 ‎16．计算：．‎ ‎17．已知直线l与直线y＝－2x＋m交于点(2，0)，且与直线y＝3x平行，求m的值及直线l的解析式．‎ ‎18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，∠ACD＝30°，AB＝12，BC＝10，求AD的长．‎ 第18题图 四、解答题(本题共20分，第19题5分，第20题6分，第21题5分，第22题4分)‎ ‎19．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C＝∠BAD，且BD⊥AB于B．‎ ‎(1)求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径为3，AB＝4，求AD的长．‎ 第19题图 ‎20．某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为94％．根据实验数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图．请你根据所给信息，解答下列问题：‎ ‎(1)D型号种子数是________粒；‎ ‎(2)请你将图②的统计图补充完整；‎ ‎(3)通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；如果所选型号进行推广的种子共有200000粒，估计能有多少粒种子会发芽．‎ 第20题图 ‎21．甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点200本图书与乙同学清点300本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点10本，求甲同学平均每分钟清点图书的数量．‎ ‎22．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图①，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．‎ ‎(1)如图②，已知平行四边形ABCD，请你在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求：画出必要的辅助线)；‎ ‎(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合)，请分别探究图③、图④中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系(S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积)：‎ ‎①如图③，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是________；‎ ‎②如图④，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是________．‎ 第22题图 五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)‎ ‎23．已知：关于x的一元一次方程kx＝x＋2①的根为正实数，二次函数y＝ax2－bx＋kc(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1．‎ ‎(1)若方程①的根为正整数，求整数k的值；‎ ‎(2)求代数式的值；‎ ‎(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－bx＋c＝0②必有两个不相等的实数根．‎ ‎24．在课外小组活动时，小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流．‎ 原问题：如图①，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连结DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．‎ 小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．‎ 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．‎ 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．‎ 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：‎ ‎(1)写出原问题中DF与EF的数量关系；‎ ‎(2)如图②，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明；‎ ‎(3)如图③，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明．‎ 第24题图 ‎25．已知抛物线经过点A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，与x轴正半轴交于点D．‎ ‎(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎(2)在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；‎ ‎(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．‎ 第25题图 答 案 ‎2．2009年北京市海淀区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．A 8．C 二、填空题 ‎9．2 10．6 11． 12．(3，2) ‎ 三、解答题 ‎13．解：‎ ‎．‎ ‎14．解：解不等式①，得x＞2．‎ 解不等式②，得x＜3．‎ 所以原不等式组的解集为2＜x＜3．‎ ‎15．证明：∵BE＝CF，‎ ‎∴BE＋EF＝CF＋EF．‎ ‎∴BF＝EC．‎ 在△ABF和△DEC中，‎ ‎∴△ABF≌△DEC．‎ ‎∴AF＝DC．‎ 第15题答图 ‎16．解：‎ ‎．‎ ‎17．解：依题意，点(2，0)在直线y＝－2x＋m上，‎ ‎∴0＝－2×2＋m．∴m＝4．‎ 由直线l与直线y＝3x平行，可设直线l的解析式为y＝3x＋n．‎ ‎∵点(2，0)在直线l上，∴0＝3×2＋n．∴n＝－6．‎ 故直线l的解析式为y＝3x－6．‎ ‎18．解：过点B作BE⊥AC于E，则∠AEB＝∠BEC＝90°．‎ ‎∵AB∥DC，‎ ‎∴∠BAE＝∠ACD＝30°．‎ 又∵AB＝12，‎ ‎，AE＝AB·cos30°＝6．‎ 在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，‎ ‎．‎ ‎∴AC＝AE＋EC＝6＋8．‎ 在Rt△ADC中，∠D＝90°，∠ACD＝30°，‎ ‎．‎ 第18题答图 四、解答题 ‎19．(1)证明：如图，连结AO并延长交⊙O于点E，连结BE，则∠ABE＝90°．‎ ‎∴∠EAB＋∠E＝90°．‎ ‎∵∠E＝∠C，∠C＝∠BAD，‎ ‎∴∠EAB＋∠BAD＝90°．‎ ‎∴AD是⊙O的切线．‎ ‎(2)解：由(1)知∠ABE＝90°．‎ ‎∵AE＝2AO＝6，AB＝4，‎ ‎．‎ ‎∴∠E＝∠C＝∠BAD，BD⊥AB于B，‎ ‎∴cos∠BAD＝cos∠E．‎ ‎，即．．‎ 第19题答图 ‎20．解：(1)400．‎ ‎(2)C型号种子的发芽数为470粒．图略．‎ ‎(3)A型号种子的发芽率为，‎ B型号种子的发芽率为，‎ D型号种子的发芽率为，C型号种子的发芽率为94％．‎ 应选D型号的种子进行推广．‎ ‎200000×95％＝190000(粒)．‎ 估计能有190000粒种子会发芽．‎ ‎21．解：设甲同学平均每分钟清点图书x本，则乙同学平均每分钟清点图书(x＋10)本，‎ 依题意，得，‎ 解得x＝20．‎ 经检验x＝20是原方程的解，且符合题意．‎ 答：甲同学平均每分钟清点图书20本．‎ ‎22．解：(1)‎ 比如：‎ 第22题答图 ‎(2)①S1＋S4＝S2＋S3或S1＋S3＝S2＋S4或S1·S3＝S2·S4或等．‎ ‎②S1·S3＝S2·S4或等．‎ 五、解答题 ‎23．(1)解：由kx＝x＋2，得(k－1)x＝2．‎ 依题意k－1≠0．‎ ‎．‎ ‎∵方程的根为正整数，k为整数，‎ ‎∴k－1＝1或k－1＝2．‎ ‎∴k1＝2，k2＝3．‎ ‎(2)解：依题意，二次函数y＝ax2－bx＋kc的图象经过点(1，0)，‎ ‎∴0＝a－b＋kc，kc＝b－a．‎ ‎．‎ ‎(3)证明：方程②的判别式为Δ＝(－b)2－‎4ac＝b2－‎4ac．‎ 由a≠0，c≠0，得ac≠0．‎ ‎(i)若ac＜0，则－‎4ac＞0．故Δ＝b2－‎4ac＞0．此时方程②有两个不相等的实数根．‎ ‎(ii)证法一：若ac＞0，由(2)知a－b＋kc＝0，故b＝a＋kc．‎ Δ＝b2－‎4ac＝(a＋kc)2－‎4ac＝a2＋2kac＋(kc)2－‎4ac＝a2－2kac＋(kc)2＋4kac－‎‎4ac ‎＝(a－kc)2＋‎4ac(k－1)．‎ ‎∵方程kx＝x＋2的根为正实数，‎ ‎∴方程(k－1)x＝2的根为正实数．‎ 由x＞0，2＞0，得k－1＞0．‎ ‎∴‎4ac(k－1)＞0．‎ ‎∵(a－kc)2≥0，‎ ‎∴Δ＝(a－kc)2＋‎4ac(k－1)＞0．此时方程②有两个不相等的实数根．‎ 证法二：若ac＞0，‎ ‎∵抛物线y＝ax2－bx＋kc与x轴有交点，‎ ‎∴Δ1＝(－b)2－4akc＝b2－4akc≥0．‎ ‎(b2－‎4ac)－(b2－4akc)＝‎4ac(k－1)．‎ 由证法一知k－1＞0，‎ ‎∴b2－‎4ac＞b2－4akc≥0．‎ ‎∴Δ＝b2－‎4ac＞0．此时方程②有两个不相等的实数根．‎ 综上，方程②必有两个不相等的实数根．‎ ‎24．解：(1)DF＝EF．‎ ‎(2)猜想：DF＝FE．‎ 证明：如图①所示，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．‎ ‎∵DA＝DB，∠ADB＝60°，∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．∴DB＝BA．‎ ‎∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝BG．‎ ‎∴△DBG≌△BAC．∴DG＝BC．‎ ‎∵BE＝EC，∠BEC＝60°，∴△EBC是等边三角形．‎ ‎∴BC＝BE，∠CBE＝60°．∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°．‎ ‎∵∠DFG＝∠EFB，∠DGF＝∠EBF，∴△DFG≌△EFB．∴DF＝EF．‎ 第24题答图 ‎(3)猜想：DF＝FE．‎ 证法一：如图②所示，过点D作DH⊥AB于H，连结HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB＝90°．‎ ‎∵DA＝DB，∴AH＝BH，∠1＝∠HDB．‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴HC＝HB．‎ ‎∵EB＝EC，HE＝HE，∴△HBE≌△HCE．∴∠2＝∠3，∠4＝∠BEH．‎ ‎∴HK⊥BC．∴∠BKE＝90°．‎ ‎∵∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，∴∠HDB＝∠BEH＝∠ABC．‎ ‎∴∠DBC＝∠DBH＋∠ABC＝∠DBH＋∠HDB＝90°，‎ ‎∠EBH＝∠EBK＋∠ABC＝∠EBK＋∠BEK＝90°．‎ ‎∴DB∥HE，DH∥BE．∴四边形DHEB是平行四边形．‎ ‎∴DF＝EF．‎ 证法二：如图③所示，分别过点D、E作DH⊥AB于H，EK⊥BC于K，连结HK，则∠DHB＝∠EKB＝∠EKC＝90°．‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴EK∥AC．‎ ‎∵DA＝DB，EB＝EC，∴AH＝BH，∠1＝∠HDB，CK＝BK，∠2＝∠BEK．‎ ‎∴HK∥AC．∴点H、K、E在同一条直线上．‎ 下同证法一．‎ ‎25．解：(1)依题意，设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋4，则 解得∴所求抛物线的解析式为．‎ 由，解得x1＝4，x2＝－3．‎ ‎∴D(4，0)．‎ ‎(2)如图①，过点C作CN⊥x轴于N，过点E、B分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点M．‎ 则∠M＝∠CNE＝90°．‎ 设E(a，0)，EB＝EC．‎ ‎∴BM2＋EM2＝CN2＋EN2．‎ ‎∴(1－a)2＋(4－0)2＝(2－0)2＋(3－a)2．‎ 解得a＝－1．‎ ‎∴E(－1，0)．‎ ‎(3)可求得直线BC的解析式为y＝－x＋5．‎ 从而直线BC与x轴的交点为H(5，0)．‎ 如图②，根据轴对称性可知，‎ 当点在BC上时，点F是BE的中点．‎ ‎∵FG∥BC，∴△EFP ∽△EBH．‎ 可证EP＝PH．‎ ‎∵E(－1，0)，H(5，0)，‎ ‎∴P(2，0)．‎ 第25题答图 ‎(i)如图③，分别过点B、C作BK⊥ED于K，CJ⊥ED于J，‎ 则S△BCE＝S△BEH－S△CEH＝EH·(BK－CJ)＝6．‎ 当－1＜x≤2时，‎ ‎∵PF∥BC，‎ ‎∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．‎ ‎，．‎ ‎∵P(x，0)，E(－1，0)，H(5，0)，‎ ‎∴EP＝x＋1，EH＝6．‎ ‎．‎ ‎(ii)如图④，当2＜x≤4时，在x轴上截取一点Q，使得PQ＝HP，过点Q作QM∥FG，分别交EB、EC于M、N．可证S＝S四边形MNGF，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC．‎ ‎，．‎ ‎∵P(x，0)，E(－1，0)，H(5，0)，‎ ‎∴EH＝6，PQ＝PH＝5－x，EP＝x＋1，EQ＝6－2(5－x)＝2x－4．‎ ‎．‎ 同(i)可得．‎ ‎．‎ 综上，，‎ ‎．‎