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  • 2021-11-06 发布

2020年湖南省常德市中考数学试卷

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2020 年湖南省常德市中考数学试卷 一、选择题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1.(3 分)4 的倒数为 ( ) A. 1 4 B.2 C.1 D. 4 2.(3 分)下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 ( ) A. B. C. D. 3.(3 分)如图,已知 / /AB DE , 1 30   , 2 35   ,则 BCE 的度数为 ( ) A. 70 B. 65 C.35 D. 5 4.(3 分)下列计算正确的是 ( ) A. 2 2 2( )a b a b   B. 2 4 6a a a  C. 10 5 2a a a  D. 2 3 5a a a 5.(3 分)下列说法正确的是 ( ) A.明天的降水概率为80% ,则明天80% 的时间下雨, 20% 的时间不下雨 B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上 C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式 D.一组数据的众数一定只有一个 6.(3 分)一个圆锥的底面半径 10r  ,高 20h  ,则这个圆锥的侧面积是 ( ) A.100 3 B. 200 3 C.100 5 D. 200 5 7.(3 分)二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示,下列结论: ① 2 4 0b ac  ;② 0abc  ;③ 4 0a b  ;④ 4 2 0a b c   . 其中正确结论的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.(3 分)如图,将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处,按顺时针方向移动这枚跳 棋 2020 次.移动规则是:第 k 次移动 k 个顶点(如第一次移动 1 个顶点,跳棋停留在 B 处, 第二次移动 2 个顶点,跳棋停留在 D 处),按这样的规则,在这 2020 次移动中,跳棋不可 能停留的顶点是 ( ) A. C 、 E B. E 、 F C.G 、 C 、 E D. E 、 C 、 F 二、填空题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分) 9.(3 分)分解因式: 2 4xy x  . 10.(3 分)若代数式 2 2 6x  在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 . 11.(3 分)计算: 9 1 82 2    . 12.(3 分)如图,若反比例函数 ( 0)ky xx   的图象经过点 A ,AB x 轴于 B ,且 AOB 的 面积为 6,则 k  . 13.(3 分)4 月 23 日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间,统计如下: 阅读时间 (x 小时) 3.5x„ 3.5 5x „ 5 6.5x „ 6.5x  人数 12 8 6 4 若该校共有 1200 名学生,试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 . 14.(3 分)今年新冠病毒疫情初期,口罩供应短缺,某地规定:每人每次限购 5 只.李红 出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩买,他将买回 5 只.已知李红家原有库存 15 只,出门 10 次购买后,家里现有口罩 35 只.请问李红出门没 有买到口罩的次数是 次. 15.(3 分)如图 1,已知四边形 ABCD 是正方形,将 DAE , DCF 分别沿 DE ,DF 向内 折叠得到图 2,此时 DA 与 DC 重合 (A 、 C 都落在 G 点),若 4GF  , 6EG  ,则 DG 的 长为 . 16.(3 分)阅读理解:对于 3 2( 1)x n x n   这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式: 3 2 3 2 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( 1)x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx                    . 理 解 运 用 : 如 果 3 2( 1) 0x n x n    , 那 么 2( )( 1) 0x n x nx    , 即 有 0x n  或 2 1 0x nx   , 因此,方程 0x n  和 2 1 0x nx   的所有解就是方程 3 2( 1) 0x n x n    的解. 解决问题:求方程 3 5 2 0x x   的解为 . 三、(本大题 2 个小题,每小题 5 分,满分 10 分) 17.(5 分)计算: 0 112 ( ) 4 4tan 453    . 18.(5 分)解不等式组 2 1 4 2 3 1 1 3 2 3 x x xx     ① ②„ . 四、(本大题 2 个小题,每小题 6 分,满分 12 分) 19.(6 分)先化简,再选一个合适的数代入求值: 27 9 9( 1 )x xx x x     . 20.(6 分)第 5 代移动通信技术简称 5G ,某地已开通 5G 业务,经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍,小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片,小明比小强所用 的时间快 140 秒,求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆? 五、(本大题 2 个小题,每小题 7 分,满分 14 分) 21.(7 分)已知一次函数 ( 0)y kx b k   的图象经过 (3,18)A 和 ( 2,8)B  两点. (1)求一次函数的解析式; (2)若一次函数 ( 0)y kx b k   的图象与反比例函数 ( 0)my mx   的图象只有一个交点, 求交点坐标. 22.(7 分)如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图,图 2 是其示意图.汽车的车厢采用液 压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方, AB 与水平线 AD 之间 的夹角是 5 ,卸货时,车厢与水平线 AD 成 60,此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45,若 2AC  米,求 BC 的长度.(结果保留一位小数) (参考数据:sin65 0.91  ,cos65 0.42  ,tan65 2.14  ,sin70 0.94  ,cos70 0.34  , tan70 2.75  , 2 1.41) 六、(本大题 2 个小题,每小题 8 分,满分 16 分) 23.(8 分)今年 2 4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者 进行了免费治疗.图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整), 图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题. (1)轻症患者的人数是多少? (2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元? (3)所有患者的平均治疗费用是多少万元? (4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的 A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中 B 、 D 两位患者的 概率. 24.(8 分)如图,已知 AB 是 O 的直径,C 是 O 上的一点,D 是 AB 上的一点,DE AB 于 D , DE 交 BC 于 F ,且 EF EC . (1)求证: EC 是 O 的切线; (2)若 4BD  , 8BC  ,圆的半径 5OB  ,求切线 EC 的长. 七、(本大题 2 个小题,每小题 10 分,满分 20 分) 25.(10 分)如图,已知抛物线 2y ax 过点 9( 3, )4A  . (1)求抛物线的解析式; (2)已知直线 l 过点 A , 3(2M , 0) 且与抛物线交于另一点 B ,与 y 轴交于点 C ,求证: 2MC MA MB  ; (3)若点 P ,D 分别是抛物线与直线 l 上的动点,以 OC 为一边且顶点为 O ,C , P ,D 的四边形是平行四边形,求所有符合条件的 P 点坐标. 26.(10 分)已知 D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点, 90ACB   , 30ABC   ,过点 D 作 Rt DEF 使 90DEF   , 30DFE   ,连接CE 并延长 CE 到 P ,使 EP CE ,连接 BE , FP , BP ,设 BC 与 DE 交于 M , PB 与 EF 交于 N . (1)如图 1,当 D , B , F 共线时,求证: ① EB EP ; ② 30EFP   ; (2)如图 2,当 D , B , F 不共线时,连接 BF ,求证: 30BFD EFP     . 2020 年湖南省常德市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1.(3 分)4 的倒数为 ( ) A. 1 4 B.2 C.1 D. 4 【分析】根据倒数的意义,乘积是 1 的两个数叫做互为倒数,求倒数的方法,是把一个数的 分子和分母互换位置即可,是带分数的化成假分数,再把分子分母互换位置,据此解答. 【解答】解:4 的倒数为 1 4 . 故选: A . 【点评】本题主要考查倒数的意义.解题的关键倒数的意义,注意求倒数的方法,把分子分 母互换位置. 2.(3 分)下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 ( ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解: A 、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意; B 、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意; C 、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确; D 、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意; 故选: C . 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称 轴,图形两部分折叠后完全可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分 完全重合. 3.(3 分)如图,已知 / /AB DE , 1 30   , 2 35   ,则 BCE 的度数为 ( ) A. 70 B. 65 C.35 D. 5 【分析】根据平行线的性质和 1 30   , 2 35   ,可以得到 BCE 的度数,本题得以解决. 【解答】解:作 / /CF AB , / /AB DE , / /CF DE , / / / /AB DE DE , 1 BCF   , 2FCE   , 1 30   , 2 35   , 30BCF   , 35FCE   , 65BCE   , 故选: B . 【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答. 4.(3 分)下列计算正确的是 ( ) A. 2 2 2( )a b a b   B. 2 4 6a a a  C. 10 5 2a a a  D. 2 3 5a a a 【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果,即可作出 判断. 【解答】解: A 、 2 2 22 ( )a ab b a b    ,原计算错误,故此选项不符合题意; B 、 2a 与 4a 不是同类项不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意; C 、 10 5 5a a a  ,原计算错误,故此选项不符合题意; D 、 2 3 5a a a ,原计算正确,故此选项符合题意; 故选: D . 【点评】此题考查了整式的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 5.(3 分)下列说法正确的是 ( ) A.明天的降水概率为80% ,则明天80% 的时间下雨, 20% 的时间不下雨 B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上 C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式 D.一组数据的众数一定只有一个 【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案. 【解答】解: A 、明天的降水概率为80% ,则明天下雨可能性较大,故本选项错误; B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次,正面朝上的概率是 1 2 ,故本选项错误; C 、了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式,故本选项正确; D 、一组数据的众数不一定只有一个,故本选项错误; 故选: C . 【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率,解题的关键是熟练 掌握众数的定义以及求随机事件的概率. 6.(3 分)一个圆锥的底面半径 10r  ,高 20h  ,则这个圆锥的侧面积是 ( ) A.100 3 B. 200 3 C.100 5 D. 200 5 【分析】先利用勾股定理计算出母线长,然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积. 【解答】解:这个圆锥的母线长 2 210 20 10 5   , 这个圆锥的侧面积 1 2 10 10 5 100 52       . 故选: C . 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底 面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 7.(3 分)二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示,下列结论: ① 2 4 0b ac  ;② 0abc  ;③ 4 0a b  ;④ 4 2 0a b c   . 其中正确结论的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【分析】先由抛物线与 x 周董交点个数判断出结论①,利用抛物线的对称轴为 2x  ,判断 出结论②,先由抛物线的开口方向判断出 0a  ,进而判断出 0b  ,再用抛物线与 y 轴的交 点的位置判断出 0c  ,判断出结论③,最后用 2x   时,抛物线在 x 轴下方,判断出结论 ④,即可得出结论. 【解答】解:由图象知,抛物线与 x 轴有两个交点, 方程 2 0ax bx c   有两个不相等的实数根, 2 4 0b ac   ,故①正确, 由图象知,抛物线的对称轴直线为 2x  , 22 b a   , 4 0a b   ,故②正确, 由图象知,抛物线开口方向向下, 0a  , 4 0a b  , 0b  ,而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上, 0c  , 0abc  ,故③正确, 由图象知,当 2x   时, 0y  , 4 2 0a b c    ,故④错误, 即正确的结论有 3 个, 故选: B . 【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系,抛物线与 y 轴的交点,抛物线的对称 轴,掌握抛物线的性质是解本题的关键. 8.(3 分)如图,将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处,按顺时针方向移动这枚跳 棋 2020 次.移动规则是:第 k 次移动 k 个顶点(如第一次移动 1 个顶点,跳棋停留在 B 处, 第二次移动 2 个顶点,跳棋停留在 D 处),按这样的规则,在这 2020 次移动中,跳棋不可 能停留的顶点是 ( ) A. C 、 E B. E 、 F C.G 、 C 、 E D. E 、 C 、 F 【分析】设顶点 A , B ,C , D , E , F ,G 分别是第 0,1,2,3,4,5,6 格,因棋子 移动了 k 次后走过的总格数是 11 2 3 ( 1)2k k k     ,然后根据题目中所给的第 k 次依 次移动 k 个顶点的规则,可得到不等式最后求得解. 【解答】解:经实验或按下方法可求得顶点 C , E 和 F 棋子不可能停到. 设顶点 A , B , C , D , E , F , G 分别是第 0,1,2,3,4,5,6 格, 因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 11 2 3 ( 1)2k k k     ,应停在第 1 ( 1) 72 k k p  格, 这时 P 是整数,且使 10 ( 1) 7 62 k k p „ „ ,分别取 1k  ,2,3,4,5,6,7 时, 1 ( 1) 7 12 k k p   ,3,6,3,1,0,0,发现第 2,4,5 格没有停棋, 若 7 2020k „ , 设 7 ( 1k t t   ,2,3) 代入可得, 1 1( 1) 7 7 ( 1)2 2k k p m t t     , 由此可知,停棋的情形与 k t 时相同, 故第 2,4,5 格没有停棋,即顶点 C , E 和 F 棋子不可能停到. 故选: D . 【点评】本题考查规律型:图形的变化类,理解题意能力,关键是知道棋子所停的规则,找 到规律,然后得到不等式求解. 二、填空题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分) 9.(3 分)分解因式: 2 4xy x  ( 2)( 2)x y y  . 【分析】原式提取 x ,再利用平方差公式分解即可. 【解答】解:原式 2( 4) ( 2)( 2)x y x y y     , 故答案为: ( 2)( 2)x y y  【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键. 10.(3 分)若代数式 2 2 6x  在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 3x  . 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 2 6 0x   ,再解即可. 【解答】解:由题意得: 2 6 0x   , 解得: 3x  , 故答案为: 3x  . 【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数 是非负数.分式分母不为零. 11.(3 分)计算: 9 1 82 2    3 2 . 【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案. 【解答】解:原式 3 2 2 2 22 2    3 2 . 故答案为: 3 2 . 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键. 12.(3 分)如图,若反比例函数 ( 0)ky xx   的图象经过点 A ,AB x 轴于 B ,且 AOB 的 面积为 6,则 k  12 . 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题. 【解答】解: AB OB , | | 62AOB kS   , 12k   , 反比例函数的图象在二四象限, 0k  , 12k   , 故答案为 12 . 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中 考常考题型. 13.(3 分)4 月 23 日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间,统计如下: 阅读时间 (x 小时) 3.5x„ 3.5 5x „ 5 6.5x „ 6.5x  人数 12 8 6 4 若该校共有 1200 名学生,试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人 . 【分析】用总人数 每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论. 【解答】解: 6 41200 40012 8 6 4     (人 ) , 答:估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人. 【点评】本题考查了频数(率 ) 分布表,用样本估计总体,正确的理解题意是解题的关键. 14.(3 分)今年新冠病毒疫情初期,口罩供应短缺,某地规定:每人每次限购 5 只.李红 出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩买,他将买回 5 只.已知李红家原有库存 15 只,出门 10 次购买后,家里现有口罩 35 只.请问李红出门没 有买到口罩的次数是 4 次. 【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是 x ,买到口罩的次数是 y ,根据买口罩的次数是 10 次和家里现有口罩 35 只,可列出关于 x 和 y 的二元一次方程组,求解即可. 【解答】解:设李红出门没有买到口罩的次数是 x ,买到口罩的次数是 y ,由题意得: 10 15 1 10 5 35 x y y        , 整理得: 10 5 30 x y y     , 解得: 4 6 x y    . 故答案为:4. 【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用,本题数量关系清晰,难度不大. 15.(3 分)如图 1,已知四边形 ABCD 是正方形,将 DAE , DCF 分别沿 DE ,DF 向内 折叠得到图 2,此时 DA 与 DC 重合 (A 、 C 都落在 G 点),若 4GF  , 6EG  ,则 DG 的 长为 12 . 【分析】设正方形 ABCD 的边长为 x ,由翻折及已知线段的长,可用含 x 的式子分别表示出 BE 、 BF 及 EF 的长;在 Rt BEF 中,由勾股定理得关于 x 的方程,解得 x 的值,即为 DG 的长. 【解答】解:设正方形 ABCD 的边长为 x ,由翻折可得: DG DA DC x   , 4GF  , 6EG  , 6AE EG   , 4CF GF  , 6BE x   , 6BF x  , 6 4 10EF    ,如图 1 所示: 在 Rt BEF 中,由勾股定理得: 2 2 2BE BF EF  , 2 2 2( 6) ( 4) 10x x     , 2 212 36 8 16 100x x x x       , 2 10 24 0x x    , ( 2)( 12) 0x x    , 1 2x   (舍 ) , 2 12x  . 12DG  . 故答案为:12. 【点评】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程,数形结合 并明确相关性质及定理是解题的关键. 16.(3 分)阅读理解:对于 3 2( 1)x n x n   这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式: 3 2 3 2 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( 1)x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx                    . 理 解 运 用 : 如 果 3 2( 1) 0x n x n    , 那 么 2( )( 1) 0x n x nx    , 即 有 0x n  或 2 1 0x nx   , 因此,方程 0x n  和 2 1 0x nx   的所有解就是方程 3 2( 1) 0x n x n    的解. 解决问题:求方程 3 5 2 0x x   的解为 2x  或 1 2x    或 1 2x    . 【分析】将原方程左边变形为 3 4 2 0x x x    ,再进一步因式分解得 ( 2)[ ( 2) 1] 0x x x    , 据此得到两个关于 x 的方程求解可得. 【解答】解: 3 5 2 0x x   , 3 4 2 0x x x     , 2( 4) ( 2) 0x x x     , ( 2)( 2) ( 2) 0x x x x      , 则 ( 2)[ ( 2) 1] 0x x x    ,即 2( 2)( 2 1) 0x x x    , 2 0x   或 2 2 1 0x x   , 解得 2x  或 1 2x    , 故答案为: 2x  或 1 2x    或 1 2x    . 【点评】本题主要考查因式分解的应用,因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多 项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是:根据题目的特点,先通过因式 分解将式子变形,然后再进行整体代入. 三、(本大题 2 个小题,每小题 5 分,满分 10 分) 17.(5 分)计算: 0 112 ( ) 4 4tan 453    . 【分析】先计算 02 、 4 、 11( )3  、 tan45 ,再按运算顺序求值即可. 【解答】解:原式 1 3 2 4 1     1 6 4   3 . 【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点,熟练掌握负整 数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键. 18.(5 分)解不等式组 2 1 4 2 3 1 1 3 2 3 x x xx     ① ②„ . 【分析】首先分别解出两个不等式的解集,再根据解集的规律确定不等式组的解集. 【解答】解: 2 1 4 2 3 1 1 3 2 3 x x xx     ① ②„ , 由①得: 5x  , 由②得: 1x … , 不等式组的解集为: 1 5x „ . 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组,关键是掌握解集的确定方法:同大取大;同 小取小;大小小大中间找;大大小小找不到. 四、(本大题 2 个小题,每小题 6 分,满分 12 分) 19.(6 分)先化简,再选一个合适的数代入求值: 27 9 9( 1 )x xx x x     . 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后选取一个使得原分式有意义的 值代入化简后的式子即可解答本题. 【解答】解: 27 9 9( 1 )x xx x x     ( 1) (7 9) ( 3)( 3) x x x x x x x      2 7 9 ( 3)( 3) x x x x x      2( 3) ( 3)( 3) x x x    3 3 x x   , 当 2x  时,原式 2 3 1 2 3 5    . 【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法. 20.(6 分)第 5 代移动通信技术简称 5G ,某地已开通 5G 业务,经测试 5G 下载速度是 4G 下载速度的 15 倍,小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片,小明比小强所用 的时间快 140 秒,求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆? 【分析】首先设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆,则该地 5G 的下载速度是每秒15x 兆,根据 题意可得等量关系: 4G 下载 600 兆所用时间 5G 下载 600 兆所用时间 140 秒.然后根据 等量关系,列出分式方程,再解即可. 【解答】解:设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆,则该地 5G 的下载速度是每秒15x 兆, 由题意得: 600 600 14015x x   , 解得: 4x  , 经检验: 4x  是原分式方程的解,且符合题意, 15 4 60  , 答:该地 4G 的下载速度是每秒 4 兆,则该地 5G 的下载速度是每秒 60 兆. 【点评】此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系, 设出未知数列出方程. 五、(本大题 2 个小题,每小题 7 分,满分 14 分) 21.(7 分)已知一次函数 ( 0)y kx b k   的图象经过 (3,18)A 和 ( 2,8)B  两点. (1)求一次函数的解析式; (2)若一次函数 ( 0)y kx b k   的图象与反比例函数 ( 0)my mx   的图象只有一个交点, 求交点坐标. 【分析】(1)直接把 (3,18) , ( 2,8) 代入一次函数 y kx b  中可得关于 k 、b 的方程组,再 解方程组可得 k 、 b 的值,进而求出一次函数的解析式; (2)联立一次函数解析式和反比例函数解析式,根据题意得到△ 0 ,解方程即可得到结 论. 【解答】解:(1)把 (3,18) , ( 2,8) 代入一次函数 ( 0)y kx b k   ,得 3 18 2 8 k b k b      , 解得 2, 12 k b    , 一次函数的解析式为 2 12y x  ; (2)一次函数 ( 0)y kx b k   的图象与反比例函数 ( 0)my mx   的图象只有一个交点,  2 12y x my x    只有一组解, 即 22 12 0x x m   有两个相等的实数根, △ 212 4 2 ( ) 0m      , 18m   . 把 18m   代入求得该方程的解为: 3x   , 把 3x   代入 2 12y x  得: 6y  , 即所求的交点坐标为 ( 3,6) . 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数与反比例函数的交点问题,一 次函数图象上点的坐标特征,一元二次方程根的判别式,熟练掌握待定系数法是解题的关键. 22.(7 分)如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图,图 2 是其示意图.汽车的车厢采用液 压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方, AB 与水平线 AD 之间 的夹角是 5 ,卸货时,车厢与水平线 AD 成 60,此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45,若 2AC  米,求 BC 的长度.(结果保留一位小数) (参考数据:sin65 0.91  ,cos65 0.42  ,tan65 2.14  ,sin70 0.94  ,cos70 0.34  , tan70 2.75  , 2 1.41) 【分析】直接过点 C 作CF AB 于点 F ,利用锐角三角函数关系得出CF 的长,进而得出 BC 的长. 【解答】方法一:解:如图 1,过点 C 作CF AB 于点 F , 在 Rt ACF 中, sin sin(60 5 ) sin65 CFCAB AC         , sin65 2 0.91 1.82CF AC      , 在 Rt BCF 中, 45ABC   , CF BF  , 2 1.41 1.82 2.5662 2.6BC CF      , 答:所求 BC 的长度约为 2.6 米. 方法二:解:如图 2,过点 A 作 AE BC 于点 E , 在 Rt ACE 中, 180 65 45 70C         , cos cos70 CEC AC     , 即 cos70 2 0.34 0.68CE AC      , sin sin70 AEC AC    , 即 sin70 2 0.94 1.88AE AC      , 又在 Rt AEB 中, 45ABC  , AE BE  , 0.68 1.88 2.56 2.6BC BE CE       , 答:所求 BC 的长度约为 2.6 米. 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确掌握锐角三角函数关系是解题关键. 六、(本大题 2 个小题,每小题 8 分,满分 16 分) 23.(8 分)今年 2 4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者 进行了免费治疗.图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整), 图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题. (1)轻症患者的人数是多少? (2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元? (3)所有患者的平均治疗费用是多少万元? (4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的 A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中 B 、 D 两位患者的 概率. 【分析】(1)因为总人数已知,由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数; (2)求出该市危重症患者所占的百分比,即可求出其共花费的钱数; (3)用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可; (4)首先根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中 B 、D 两位同 学的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:(1)轻症患者的人数 200 80% 160   (人 ) ; (2)该市为治疗危重症患者共花费钱数 200 (1 80% 15%) 10 100      (万元); (3)所有患者的平均治疗费用 1.5 160 3 (200 15%) 100 2.15200       (万元); (4)列表得: A B C D E A ( , )B A ( , )C A ( , )D A ( , )E A B ( , )A B ( , )C B ( , )D B ( , )E B C ( , )A C ( , )B C ( , )D C ( , )E C D ( , )A D ( , )B D ( , )C D ( , )E D E ( , )A E ( , )B E ( , )C E ( , )D E 由列表格,可知:共有 20 种等可能的结果,恰好选中 B 、 D 两位同学的有 2 种情况, P (恰好选中 B 、 2 1) 20 10D   . 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用.注意树状图法与 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法 适合两步或两步以上完成的事件;注意概率  所求情况数与总情况数之比. 24.(8 分)如图,已知 AB 是 O 的直径,C 是 O 上的一点,D 是 AB 上的一点,DE AB 于 D , DE 交 BC 于 F ,且 EF EC . (1)求证: EC 是 O 的切线; (2)若 4BD  , 8BC  ,圆的半径 5OB  ,求切线 EC 的长. 【分析】(1)连接OC ,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得 90OCB ECF     , 可证 EC 是 O 的切线; (2)由勾股定理可求 6AC  ,由锐角三角函数可求 5BF  ,可求 3CF  ,通过证明 OAC ECF ∽ ,可得 EC CF OA AC  ,可求解. 【解答】解:(1)连接 OC , OC OB , OBC OCB   , DE AB , 90OBC DFB     , EF EC , ECF EFC DFB     , 90OCB ECF     , OC CE  , EC 是 O 的切线; (2) AB 是 O 的直径, 90ACB   , 5OB  , 10AB  , 2 2 100 64 6AC AB BC      , cos BD BCABC BF AB    ,  8 4 10 BF  , 5BF  , 3CF BC BF    , 90ABC A     , 90ABC BFD     , BFD A   , A BFD ECF EFC       , OA OC , OCA A BFD ECF EFC         , OAC ECF ∽ ,  EC CF OA AC  , 5 3 5 6 2 OA CFEC AC     . 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,切线的判定和性质,锐角三 角函数等知识,证明 OAC ECF ∽ 是本题的关键. 七、(本大题 2 个小题,每小题 10 分,满分 20 分) 25.(10 分)如图,已知抛物线 2y ax 过点 9( 3, )4A  . (1)求抛物线的解析式; (2)已知直线 l 过点 A , 3(2M , 0) 且与抛物线交于另一点 B ,与 y 轴交于点 C ,求证: 2MC MA MB  ; (3)若点 P ,D 分别是抛物线与直线 l 上的动点,以 OC 为一边且顶点为 O ,C , P ,D 的四边形是平行四边形,求所有符合条件的 P 点坐标. 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题. (2)构建方程组确定点 B 的坐标,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. (3)如图 2 中,设 21( , )4P t t ,根据 PD CD 构建方程求出 t 即可解决问题. 【解答】解:(1)把点 9( 3, )4A  代入 2y ax , 得到 9 94 a , 1 4a  , 抛物线的解析式为 21 4y x . (2)设直线 l 的解析式为 y kx b  ,则有 9 34 30 2 k b k b        , 解得 1 2 3 4 k b      , 直线 l 的解析式为 1 3 2 4y x   , 令 0x  ,得到 3 4y  , 3(0, )4C , 由 21 4 1 3 2 4 y x y x       ,解得 1 1 4 x y   或 3 9 4 x y    , 1(1, )4B , 如图 1 中,过点 A 作 1AA x 轴于 1A ,过 B 作 1BB x 轴于 1B ,则 1 1/ / / /BB OC AA ,  1 3 1 12 3 3 2 MBBM MC MO     , 1 3 12 3 3( 3)2 MC MO MA MA      ,  BM MC MC MA  , 即 2MC MA MB  . (3)如图 2 中,设 21( , )4P t t OC 为一边且顶点为 O , C , P , D 的四边形是平行四边形, / /PD OC , PD OC , 1 3( , )2 4D t t   , 21 1 3 3| ( ) |4 2 4 4t t     , 整理得: 2 2 6 0t t   或 2 2 0t t  , 解得 1 7t    或 1 7  或 2 或 0(舍弃), ( 1 7P   , 72 )2  或 ( 1 7  , 72 )2  或 ( 2,1) . 【点评】本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法,平行四边形的判定和性质等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型. 26.(10 分)已知 D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点, 90ACB   , 30ABC   ,过点 D 作 Rt DEF 使 90DEF   , 30DFE   ,连接CE 并延长 CE 到 P ,使 EP CE ,连接 BE , FP , BP ,设 BC 与 DE 交于 M , PB 与 EF 交于 N . (1)如图 1,当 D , B , F 共线时,求证: ① EB EP ; ② 30EFP   ; (2)如图 2,当 D , B , F 不共线时,连接 BF ,求证: 30BFD EFP     . 【分析】(1)①证明 CBP 是直角三角形,根据直角三角形斜边中线可得结论; ②根据同位角相等可得 / /BC EF ,由平行线的性质得 BP EF ,可得 EF 是线段 BP 的垂直 平分线,根据等腰三角形三线合一的性质可得 30PFE BFE     ; (2)如图 2,延长 DE 到 Q ,使 EQ DE ,连接 CD ,PQ ,FQ ,证明 ( )QEP DEC SAS   , 则 PQ DC DB  , 由 QE DE , 90DEF   , 知 EF 是 DQ 的 垂 直 平 分 线 , 证 明 ( )FQP FDB SAS   ,再由 EF 是 DQ 的垂直平分线,可得结论. 【解答】证明(1)① 90ACB   , 30ABC   , 90 30 60A      , 同理 60EDF  , 60A EDF    , / /AC DE , 90DMB ACB     , D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点, / /AC DM ,  1 2 BM BD BC AB   , 即 M 是 BC 的中点, EP CE ,即 E 是 PC 的中点, / /ED BP , 90CBP DMB     , CBP 是直角三角形, 1 2BE PC EP   ; ② 30ABC DFE     , / /BC EF , 由①知: 90CBP   , BP EF  , EB EP , EF 是线段 BP 的垂直平分线, PF BF  , 30PFE BFE    ; (2)如图 2,延长 DE 到 Q ,使 EQ DE ,连接CD , PQ , FQ , EC EP , DEC QEP   , ( )QEP DEC SAS   , 则 PQ DC DB  , QE DE , 90DEF   EF 是 DQ 的垂直平分线, QF DF  , CD AD , 60CDA A     , 120CDB   , 120 120 (60 ) 60 60FDB FDC EDC EDC EQP FQP                     , ( )FQP FDB SAS   , QFP BFD   , EF 是 DQ 的垂直平分线, 30QFE EFD     , 30QFP EFP     , 30BFD EFP     . 【点评】本题是三角形的综合题,考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性 质和判定等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,难度适中,属于中考常考题型.