- 1.73 MB
- 2021-11-06 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2020 年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分)
1.(3 分)4 的倒数为 ( )
A. 1
4 B.2 C.1 D. 4
2.(3 分)下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 ( )
A. B.
C. D.
3.(3 分)如图,已知 / /AB DE , 1 30 , 2 35 ,则 BCE 的度数为 ( )
A. 70 B. 65 C.35 D. 5
4.(3 分)下列计算正确的是 ( )
A. 2 2 2( )a b a b B. 2 4 6a a a C. 10 5 2a a a D. 2 3 5a a a
5.(3 分)下列说法正确的是 ( )
A.明天的降水概率为80% ,则明天80% 的时间下雨, 20% 的时间不下雨
B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上
C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式
D.一组数据的众数一定只有一个
6.(3 分)一个圆锥的底面半径 10r ,高 20h ,则这个圆锥的侧面积是 ( )
A.100 3 B. 200 3 C.100 5 D. 200 5
7.(3 分)二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示,下列结论:
① 2 4 0b ac ;② 0abc ;③ 4 0a b ;④ 4 2 0a b c .
其中正确结论的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
8.(3 分)如图,将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处,按顺时针方向移动这枚跳
棋 2020 次.移动规则是:第 k 次移动 k 个顶点(如第一次移动 1 个顶点,跳棋停留在 B 处,
第二次移动 2 个顶点,跳棋停留在 D 处),按这样的规则,在这 2020 次移动中,跳棋不可
能停留的顶点是 ( )
A. C 、 E B. E 、 F C.G 、 C 、 E D. E 、 C 、 F
二、填空题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分)
9.(3 分)分解因式: 2 4xy x .
10.(3 分)若代数式 2
2 6x
在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 .
11.(3 分)计算: 9 1 82 2
.
12.(3 分)如图,若反比例函数 ( 0)ky xx
的图象经过点 A ,AB x 轴于 B ,且 AOB 的
面积为 6,则 k .
13.(3 分)4 月 23 日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了 30
名学生每周课外阅读的时间,统计如下:
阅读时间 (x 小时) 3.5x 3.5 5x 5 6.5x 6.5x
人数 12 8 6 4
若该校共有 1200 名学生,试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 .
14.(3 分)今年新冠病毒疫情初期,口罩供应短缺,某地规定:每人每次限购 5 只.李红
出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩买,他将买回 5
只.已知李红家原有库存 15 只,出门 10 次购买后,家里现有口罩 35 只.请问李红出门没
有买到口罩的次数是 次.
15.(3 分)如图 1,已知四边形 ABCD 是正方形,将 DAE , DCF 分别沿 DE ,DF 向内
折叠得到图 2,此时 DA 与 DC 重合 (A 、 C 都落在 G 点),若 4GF , 6EG ,则 DG 的
长为 .
16.(3 分)阅读理解:对于 3 2( 1)x n x n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式:
3 2 3 2 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( 1)x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx
.
理 解 运 用 : 如 果 3 2( 1) 0x n x n , 那 么 2( )( 1) 0x n x nx , 即 有 0x n 或
2 1 0x nx ,
因此,方程 0x n 和 2 1 0x nx 的所有解就是方程 3 2( 1) 0x n x n 的解.
解决问题:求方程 3 5 2 0x x 的解为 .
三、(本大题 2 个小题,每小题 5 分,满分 10 分)
17.(5 分)计算: 0 112 ( ) 4 4tan 453
.
18.(5 分)解不等式组
2 1 4
2 3 1 1
3 2 3
x x
xx
①
②
.
四、(本大题 2 个小题,每小题 6 分,满分 12 分)
19.(6 分)先化简,再选一个合适的数代入求值:
27 9 9( 1 )x xx x x
.
20.(6 分)第 5 代移动通信技术简称 5G ,某地已开通 5G 业务,经测试 5G 下载速度是 4G
下载速度的 15 倍,小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片,小明比小强所用
的时间快 140 秒,求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆?
五、(本大题 2 个小题,每小题 7 分,满分 14 分)
21.(7 分)已知一次函数 ( 0)y kx b k 的图象经过 (3,18)A 和 ( 2,8)B 两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)若一次函数 ( 0)y kx b k 的图象与反比例函数 ( 0)my mx
的图象只有一个交点,
求交点坐标.
22.(7 分)如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图,图 2 是其示意图.汽车的车厢采用液
压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方, AB 与水平线 AD 之间
的夹角是 5 ,卸货时,车厢与水平线 AD 成 60,此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45,若
2AC 米,求 BC 的长度.(结果保留一位小数)
(参考数据:sin65 0.91 ,cos65 0.42 ,tan65 2.14 ,sin70 0.94 ,cos70 0.34 ,
tan70 2.75 , 2 1.41)
六、(本大题 2 个小题,每小题 8 分,满分 16 分)
23.(8 分)今年 2 4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者
进行了免费治疗.图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整),
图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题.
(1)轻症患者的人数是多少?
(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元?
(3)所有患者的平均治疗费用是多少万元?
(4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的 A 、B 、C 、D 、E
五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中 B 、 D 两位患者的
概率.
24.(8 分)如图,已知 AB 是 O 的直径,C 是 O 上的一点,D 是 AB 上的一点,DE AB
于 D , DE 交 BC 于 F ,且 EF EC .
(1)求证: EC 是 O 的切线;
(2)若 4BD , 8BC ,圆的半径 5OB ,求切线 EC 的长.
七、(本大题 2 个小题,每小题 10 分,满分 20 分)
25.(10 分)如图,已知抛物线 2y ax 过点 9( 3, )4A .
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知直线 l 过点 A , 3(2M , 0) 且与抛物线交于另一点 B ,与 y 轴交于点 C ,求证:
2MC MA MB ;
(3)若点 P ,D 分别是抛物线与直线 l 上的动点,以 OC 为一边且顶点为 O ,C , P ,D
的四边形是平行四边形,求所有符合条件的 P 点坐标.
26.(10 分)已知 D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点, 90ACB , 30ABC ,过点 D 作
Rt DEF 使 90DEF , 30DFE ,连接CE 并延长 CE 到 P ,使 EP CE ,连接 BE ,
FP , BP ,设 BC 与 DE 交于 M , PB 与 EF 交于 N .
(1)如图 1,当 D , B , F 共线时,求证:
① EB EP ;
② 30EFP ;
(2)如图 2,当 D , B , F 不共线时,连接 BF ,求证: 30BFD EFP .
2020 年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分)
1.(3 分)4 的倒数为 ( )
A. 1
4 B.2 C.1 D. 4
【分析】根据倒数的意义,乘积是 1 的两个数叫做互为倒数,求倒数的方法,是把一个数的
分子和分母互换位置即可,是带分数的化成假分数,再把分子分母互换位置,据此解答.
【解答】解:4 的倒数为 1
4
.
故选: A .
【点评】本题主要考查倒数的意义.解题的关键倒数的意义,注意求倒数的方法,把分子分
母互换位置.
2.(3 分)下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是 ( )
A. B.
C. D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【解答】解: A 、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意;
B 、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意;
C 、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确;
D 、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意;
故选: C .
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称
轴,图形两部分折叠后完全可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分
完全重合.
3.(3 分)如图,已知 / /AB DE , 1 30 , 2 35 ,则 BCE 的度数为 ( )
A. 70 B. 65 C.35 D. 5
【分析】根据平行线的性质和 1 30 , 2 35 ,可以得到 BCE 的度数,本题得以解决.
【解答】解:作 / /CF AB ,
/ /AB DE ,
/ /CF DE ,
/ / / /AB DE DE ,
1 BCF , 2FCE ,
1 30 , 2 35 ,
30BCF , 35FCE ,
65BCE ,
故选: B .
【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答.
4.(3 分)下列计算正确的是 ( )
A. 2 2 2( )a b a b B. 2 4 6a a a C. 10 5 2a a a D. 2 3 5a a a
【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果,即可作出
判断.
【解答】解: A 、 2 2 22 ( )a ab b a b ,原计算错误,故此选项不符合题意;
B 、 2a 与 4a 不是同类项不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意;
C 、 10 5 5a a a ,原计算错误,故此选项不符合题意;
D 、 2 3 5a a a ,原计算正确,故此选项符合题意;
故选: D .
【点评】此题考查了整式的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
5.(3 分)下列说法正确的是 ( )
A.明天的降水概率为80% ,则明天80% 的时间下雨, 20% 的时间不下雨
B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上
C.了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式
D.一组数据的众数一定只有一个
【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案.
【解答】解: A 、明天的降水概率为80% ,则明天下雨可能性较大,故本选项错误;
B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次,正面朝上的概率是 1
2
,故本选项错误;
C 、了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式,故本选项正确;
D 、一组数据的众数不一定只有一个,故本选项错误;
故选: C .
【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率,解题的关键是熟练
掌握众数的定义以及求随机事件的概率.
6.(3 分)一个圆锥的底面半径 10r ,高 20h ,则这个圆锥的侧面积是 ( )
A.100 3 B. 200 3 C.100 5 D. 200 5
【分析】先利用勾股定理计算出母线长,然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积.
【解答】解:这个圆锥的母线长 2 210 20 10 5 ,
这个圆锥的侧面积 1 2 10 10 5 100 52
.
故选: C .
【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
7.(3 分)二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示,下列结论:
① 2 4 0b ac ;② 0abc ;③ 4 0a b ;④ 4 2 0a b c .
其中正确结论的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【分析】先由抛物线与 x 周董交点个数判断出结论①,利用抛物线的对称轴为 2x ,判断
出结论②,先由抛物线的开口方向判断出 0a ,进而判断出 0b ,再用抛物线与 y 轴的交
点的位置判断出 0c ,判断出结论③,最后用 2x 时,抛物线在 x 轴下方,判断出结论
④,即可得出结论.
【解答】解:由图象知,抛物线与 x 轴有两个交点,
方程 2 0ax bx c 有两个不相等的实数根,
2 4 0b ac ,故①正确,
由图象知,抛物线的对称轴直线为 2x ,
22
b
a
,
4 0a b ,故②正确,
由图象知,抛物线开口方向向下,
0a ,
4 0a b ,
0b ,而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,
0c ,
0abc ,故③正确,
由图象知,当 2x 时, 0y ,
4 2 0a b c ,故④错误,
即正确的结论有 3 个,
故选: B .
【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系,抛物线与 y 轴的交点,抛物线的对称
轴,掌握抛物线的性质是解本题的关键.
8.(3 分)如图,将一枚跳棋放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处,按顺时针方向移动这枚跳
棋 2020 次.移动规则是:第 k 次移动 k 个顶点(如第一次移动 1 个顶点,跳棋停留在 B 处,
第二次移动 2 个顶点,跳棋停留在 D 处),按这样的规则,在这 2020 次移动中,跳棋不可
能停留的顶点是 ( )
A. C 、 E B. E 、 F C.G 、 C 、 E D. E 、 C 、 F
【分析】设顶点 A , B ,C , D , E , F ,G 分别是第 0,1,2,3,4,5,6 格,因棋子
移动了 k 次后走过的总格数是 11 2 3 ( 1)2k k k ,然后根据题目中所给的第 k 次依
次移动 k 个顶点的规则,可得到不等式最后求得解.
【解答】解:经实验或按下方法可求得顶点 C , E 和 F 棋子不可能停到.
设顶点 A , B , C , D , E , F , G 分别是第 0,1,2,3,4,5,6 格,
因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 11 2 3 ( 1)2k k k ,应停在第 1 ( 1) 72 k k p 格,
这时 P 是整数,且使 10 ( 1) 7 62 k k p ,分别取 1k ,2,3,4,5,6,7 时,
1 ( 1) 7 12 k k p ,3,6,3,1,0,0,发现第 2,4,5 格没有停棋,
若 7 2020k ,
设 7 ( 1k t t ,2,3) 代入可得, 1 1( 1) 7 7 ( 1)2 2k k p m t t ,
由此可知,停棋的情形与 k t 时相同,
故第 2,4,5 格没有停棋,即顶点 C , E 和 F 棋子不可能停到.
故选: D .
【点评】本题考查规律型:图形的变化类,理解题意能力,关键是知道棋子所停的规则,找
到规律,然后得到不等式求解.
二、填空题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分)
9.(3 分)分解因式: 2 4xy x ( 2)( 2)x y y .
【分析】原式提取 x ,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式 2( 4) ( 2)( 2)x y x y y ,
故答案为: ( 2)( 2)x y y
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键.
10.(3 分)若代数式 2
2 6x
在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 3x .
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 2 6 0x ,再解即可.
【解答】解:由题意得: 2 6 0x ,
解得: 3x ,
故答案为: 3x .
【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数
是非负数.分式分母不为零.
11.(3 分)计算: 9 1 82 2
3 2 .
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案.
【解答】解:原式 3 2 2 2 22 2
3 2 .
故答案为: 3 2 .
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.
12.(3 分)如图,若反比例函数 ( 0)ky xx
的图象经过点 A ,AB x 轴于 B ,且 AOB 的
面积为 6,则 k 12 .
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题.
【解答】解: AB OB ,
| | 62AOB
kS ,
12k ,
反比例函数的图象在二四象限,
0k ,
12k ,
故答案为 12 .
【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中
考常考题型.
13.(3 分)4 月 23 日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了 30
名学生每周课外阅读的时间,统计如下:
阅读时间 (x 小时) 3.5x 3.5 5x 5 6.5x 6.5x
人数 12 8 6 4
若该校共有 1200 名学生,试估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400
人 .
【分析】用总人数 每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论.
【解答】解: 6 41200 40012 8 6 4
(人 ) ,
答:估计全校每周课外阅读时间在 5 小时以上的学生人数为 400 人.
【点评】本题考查了频数(率 ) 分布表,用样本估计总体,正确的理解题意是解题的关键.
14.(3 分)今年新冠病毒疫情初期,口罩供应短缺,某地规定:每人每次限购 5 只.李红
出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩买,他将买回 5
只.已知李红家原有库存 15 只,出门 10 次购买后,家里现有口罩 35 只.请问李红出门没
有买到口罩的次数是 4 次.
【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是 x ,买到口罩的次数是 y ,根据买口罩的次数是
10 次和家里现有口罩 35 只,可列出关于 x 和 y 的二元一次方程组,求解即可.
【解答】解:设李红出门没有买到口罩的次数是 x ,买到口罩的次数是 y ,由题意得:
10
15 1 10 5 35
x y
y
,
整理得: 10
5 30
x y
y
,
解得: 4
6
x
y
.
故答案为:4.
【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用,本题数量关系清晰,难度不大.
15.(3 分)如图 1,已知四边形 ABCD 是正方形,将 DAE , DCF 分别沿 DE ,DF 向内
折叠得到图 2,此时 DA 与 DC 重合 (A 、 C 都落在 G 点),若 4GF , 6EG ,则 DG 的
长为 12 .
【分析】设正方形 ABCD 的边长为 x ,由翻折及已知线段的长,可用含 x 的式子分别表示出
BE 、 BF 及 EF 的长;在 Rt BEF 中,由勾股定理得关于 x 的方程,解得 x 的值,即为 DG
的长.
【解答】解:设正方形 ABCD 的边长为 x ,由翻折可得:
DG DA DC x ,
4GF , 6EG ,
6AE EG , 4CF GF ,
6BE x , 6BF x , 6 4 10EF ,如图 1 所示:
在 Rt BEF 中,由勾股定理得:
2 2 2BE BF EF ,
2 2 2( 6) ( 4) 10x x ,
2 212 36 8 16 100x x x x ,
2 10 24 0x x ,
( 2)( 12) 0x x ,
1 2x (舍 ) , 2 12x .
12DG .
故答案为:12.
【点评】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程,数形结合
并明确相关性质及定理是解题的关键.
16.(3 分)阅读理解:对于 3 2( 1)x n x n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式:
3 2 3 2 2 2 2( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( 1)x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx
.
理 解 运 用 : 如 果 3 2( 1) 0x n x n , 那 么 2( )( 1) 0x n x nx , 即 有 0x n 或
2 1 0x nx ,
因此,方程 0x n 和 2 1 0x nx 的所有解就是方程 3 2( 1) 0x n x n 的解.
解决问题:求方程 3 5 2 0x x 的解为 2x 或 1 2x 或 1 2x .
【分析】将原方程左边变形为 3 4 2 0x x x ,再进一步因式分解得 ( 2)[ ( 2) 1] 0x x x ,
据此得到两个关于 x 的方程求解可得.
【解答】解: 3 5 2 0x x ,
3 4 2 0x x x ,
2( 4) ( 2) 0x x x ,
( 2)( 2) ( 2) 0x x x x ,
则 ( 2)[ ( 2) 1] 0x x x ,即 2( 2)( 2 1) 0x x x ,
2 0x 或 2 2 1 0x x ,
解得 2x 或 1 2x ,
故答案为: 2x 或 1 2x 或 1 2x .
【点评】本题主要考查因式分解的应用,因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多
项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是:根据题目的特点,先通过因式
分解将式子变形,然后再进行整体代入.
三、(本大题 2 个小题,每小题 5 分,满分 10 分)
17.(5 分)计算: 0 112 ( ) 4 4tan 453
.
【分析】先计算 02 、 4 、 11( )3
、 tan45 ,再按运算顺序求值即可.
【解答】解:原式 1 3 2 4 1
1 6 4
3 .
【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点,熟练掌握负整
数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键.
18.(5 分)解不等式组
2 1 4
2 3 1 1
3 2 3
x x
xx
①
②
.
【分析】首先分别解出两个不等式的解集,再根据解集的规律确定不等式组的解集.
【解答】解:
2 1 4
2 3 1 1
3 2 3
x x
xx
①
②
,
由①得: 5x ,
由②得: 1x
,
不等式组的解集为: 1 5x .
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组,关键是掌握解集的确定方法:同大取大;同
小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
四、(本大题 2 个小题,每小题 6 分,满分 12 分)
19.(6 分)先化简,再选一个合适的数代入求值:
27 9 9( 1 )x xx x x
.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后选取一个使得原分式有意义的
值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:
27 9 9( 1 )x xx x x
( 1) (7 9)
( 3)( 3)
x x x x
x x x
2 7 9
( 3)( 3)
x x x
x x
2( 3)
( 3)( 3)
x
x x
3
3
x
x
,
当 2x 时,原式 2 3 1
2 3 5
.
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
20.(6 分)第 5 代移动通信技术简称 5G ,某地已开通 5G 业务,经测试 5G 下载速度是 4G
下载速度的 15 倍,小明和小强分别用 5G 与 4G 下载一部 600 兆的公益片,小明比小强所用
的时间快 140 秒,求该地 4G 与 5G 的下载速度分别是每秒多少兆?
【分析】首先设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆,则该地 5G 的下载速度是每秒15x 兆,根据
题意可得等量关系: 4G 下载 600 兆所用时间 5G 下载 600 兆所用时间 140 秒.然后根据
等量关系,列出分式方程,再解即可.
【解答】解:设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆,则该地 5G 的下载速度是每秒15x 兆,
由题意得: 600 600 14015x x
,
解得: 4x ,
经检验: 4x 是原分式方程的解,且符合题意,
15 4 60 ,
答:该地 4G 的下载速度是每秒 4 兆,则该地 5G 的下载速度是每秒 60 兆.
【点评】此题主要考查了分式方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,
设出未知数列出方程.
五、(本大题 2 个小题,每小题 7 分,满分 14 分)
21.(7 分)已知一次函数 ( 0)y kx b k 的图象经过 (3,18)A 和 ( 2,8)B 两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)若一次函数 ( 0)y kx b k 的图象与反比例函数 ( 0)my mx
的图象只有一个交点,
求交点坐标.
【分析】(1)直接把 (3,18) , ( 2,8) 代入一次函数 y kx b 中可得关于 k 、b 的方程组,再
解方程组可得 k 、 b 的值,进而求出一次函数的解析式;
(2)联立一次函数解析式和反比例函数解析式,根据题意得到△ 0 ,解方程即可得到结
论.
【解答】解:(1)把 (3,18) , ( 2,8) 代入一次函数 ( 0)y kx b k ,得
3 18
2 8
k b
k b
,
解得 2,
12
k
b
,
一次函数的解析式为 2 12y x ;
(2)一次函数 ( 0)y kx b k 的图象与反比例函数 ( 0)my mx
的图象只有一个交点,
2 12y x
my x
只有一组解,
即 22 12 0x x m 有两个相等的实数根,
△ 212 4 2 ( ) 0m ,
18m .
把 18m 代入求得该方程的解为: 3x ,
把 3x 代入 2 12y x 得: 6y ,
即所求的交点坐标为 ( 3,6) .
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数与反比例函数的交点问题,一
次函数图象上点的坐标特征,一元二次方程根的判别式,熟练掌握待定系数法是解题的关键.
22.(7 分)如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图,图 2 是其示意图.汽车的车厢采用液
压机构、车厢的支撑顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方, AB 与水平线 AD 之间
的夹角是 5 ,卸货时,车厢与水平线 AD 成 60,此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45,若
2AC 米,求 BC 的长度.(结果保留一位小数)
(参考数据:sin65 0.91 ,cos65 0.42 ,tan65 2.14 ,sin70 0.94 ,cos70 0.34 ,
tan70 2.75 , 2 1.41)
【分析】直接过点 C 作CF AB 于点 F ,利用锐角三角函数关系得出CF 的长,进而得出 BC
的长.
【解答】方法一:解:如图 1,过点 C 作CF AB 于点 F ,
在 Rt ACF 中,
sin sin(60 5 ) sin65 CFCAB AC
,
sin65 2 0.91 1.82CF AC ,
在 Rt BCF 中,
45ABC ,
CF BF ,
2 1.41 1.82 2.5662 2.6BC CF ,
答:所求 BC 的长度约为 2.6 米.
方法二:解:如图 2,过点 A 作 AE BC 于点 E ,
在 Rt ACE 中, 180 65 45 70C ,
cos cos70 CEC AC
,
即 cos70 2 0.34 0.68CE AC ,
sin sin70 AEC AC
,
即 sin70 2 0.94 1.88AE AC ,
又在 Rt AEB 中, 45ABC ,
AE BE ,
0.68 1.88 2.56 2.6BC BE CE ,
答:所求 BC 的长度约为 2.6 米.
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确掌握锐角三角函数关系是解题关键.
六、(本大题 2 个小题,每小题 8 分,满分 16 分)
23.(8 分)今年 2 4 月某市出现了 200 名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者
进行了免费治疗.图 1 是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整),
图 2 是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题.
(1)轻症患者的人数是多少?
(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元?
(3)所有患者的平均治疗费用是多少万元?
(4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的 A 、B 、C 、D 、E
五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中 B 、 D 两位患者的
概率.
【分析】(1)因为总人数已知,由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数;
(2)求出该市危重症患者所占的百分比,即可求出其共花费的钱数;
(3)用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可;
(4)首先根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中 B 、D 两位同
学的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:(1)轻症患者的人数 200 80% 160 (人 ) ;
(2)该市为治疗危重症患者共花费钱数 200 (1 80% 15%) 10 100 (万元);
(3)所有患者的平均治疗费用 1.5 160 3 (200 15%) 100 2.15200
(万元);
(4)列表得:
A B C D E
A ( , )B A ( , )C A ( , )D A ( , )E A
B ( , )A B ( , )C B ( , )D B ( , )E B
C ( , )A C ( , )B C ( , )D C ( , )E C
D ( , )A D ( , )B D ( , )C D ( , )E D
E ( , )A E ( , )B E ( , )C E ( , )D E
由列表格,可知:共有 20 种等可能的结果,恰好选中 B 、 D 两位同学的有 2 种情况,
P (恰好选中 B 、 2 1) 20 10D .
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用.注意树状图法与
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法
适合两步或两步以上完成的事件;注意概率 所求情况数与总情况数之比.
24.(8 分)如图,已知 AB 是 O 的直径,C 是 O 上的一点,D 是 AB 上的一点,DE AB
于 D , DE 交 BC 于 F ,且 EF EC .
(1)求证: EC 是 O 的切线;
(2)若 4BD , 8BC ,圆的半径 5OB ,求切线 EC 的长.
【分析】(1)连接OC ,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得 90OCB ECF ,
可证 EC 是 O 的切线;
(2)由勾股定理可求 6AC ,由锐角三角函数可求 5BF ,可求 3CF ,通过证明
OAC ECF ∽ ,可得 EC CF
OA AC
,可求解.
【解答】解:(1)连接 OC ,
OC OB ,
OBC OCB ,
DE AB ,
90OBC DFB ,
EF EC ,
ECF EFC DFB ,
90OCB ECF ,
OC CE ,
EC 是 O 的切线;
(2) AB 是 O 的直径,
90ACB ,
5OB ,
10AB ,
2 2 100 64 6AC AB BC ,
cos BD BCABC BF AB
,
8 4
10 BF
,
5BF ,
3CF BC BF ,
90ABC A , 90ABC BFD ,
BFD A ,
A BFD ECF EFC ,
OA OC ,
OCA A BFD ECF EFC ,
OAC ECF ∽ ,
EC CF
OA AC
,
5 3 5
6 2
OA CFEC AC
.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,切线的判定和性质,锐角三
角函数等知识,证明 OAC ECF ∽ 是本题的关键.
七、(本大题 2 个小题,每小题 10 分,满分 20 分)
25.(10 分)如图,已知抛物线 2y ax 过点 9( 3, )4A .
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知直线 l 过点 A , 3(2M , 0) 且与抛物线交于另一点 B ,与 y 轴交于点 C ,求证:
2MC MA MB ;
(3)若点 P ,D 分别是抛物线与直线 l 上的动点,以 OC 为一边且顶点为 O ,C , P ,D
的四边形是平行四边形,求所有符合条件的 P 点坐标.
【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题.
(2)构建方程组确定点 B 的坐标,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
(3)如图 2 中,设 21( , )4P t t ,根据 PD CD 构建方程求出 t 即可解决问题.
【解答】解:(1)把点 9( 3, )4A 代入 2y ax ,
得到 9 94 a ,
1
4a ,
抛物线的解析式为 21
4y x .
(2)设直线 l 的解析式为 y kx b ,则有
9 34
30 2
k b
k b
,
解得
1
2
3
4
k
b
,
直线 l 的解析式为 1 3
2 4y x ,
令 0x ,得到 3
4y ,
3(0, )4C ,
由
21
4
1 3
2 4
y x
y x
,解得
1
1
4
x
y
或
3
9
4
x
y
,
1(1, )4B ,
如图 1 中,过点 A 作 1AA x 轴于 1A ,过 B 作 1BB x 轴于 1B ,则 1 1/ / / /BB OC AA ,
1
3 1 12
3 3
2
MBBM
MC MO
,
1
3
12
3 3( 3)2
MC MO
MA MA
,
BM MC
MC MA
,
即 2MC MA MB .
(3)如图 2 中,设 21( , )4P t t
OC 为一边且顶点为 O , C , P , D 的四边形是平行四边形,
/ /PD OC , PD OC ,
1 3( , )2 4D t t ,
21 1 3 3| ( ) |4 2 4 4t t ,
整理得: 2 2 6 0t t 或 2 2 0t t ,
解得 1 7t 或 1 7 或 2 或 0(舍弃),
( 1 7P , 72 )2
或 ( 1 7 , 72 )2
或 ( 2,1) .
【点评】本题属于二次函数综合题,考查了待定系数法,平行四边形的判定和性质等知识,
解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
26.(10 分)已知 D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点, 90ACB , 30ABC ,过点 D 作
Rt DEF 使 90DEF , 30DFE ,连接CE 并延长 CE 到 P ,使 EP CE ,连接 BE ,
FP , BP ,设 BC 与 DE 交于 M , PB 与 EF 交于 N .
(1)如图 1,当 D , B , F 共线时,求证:
① EB EP ;
② 30EFP ;
(2)如图 2,当 D , B , F 不共线时,连接 BF ,求证: 30BFD EFP .
【分析】(1)①证明 CBP 是直角三角形,根据直角三角形斜边中线可得结论;
②根据同位角相等可得 / /BC EF ,由平行线的性质得 BP EF ,可得 EF 是线段 BP 的垂直
平分线,根据等腰三角形三线合一的性质可得 30PFE BFE ;
(2)如图 2,延长 DE 到 Q ,使 EQ DE ,连接 CD ,PQ ,FQ ,证明 ( )QEP DEC SAS ,
则 PQ DC DB , 由 QE DE , 90DEF , 知 EF 是 DQ 的 垂 直 平 分 线 , 证 明
( )FQP FDB SAS ,再由 EF 是 DQ 的垂直平分线,可得结论.
【解答】证明(1)① 90ACB , 30ABC ,
90 30 60A ,
同理 60EDF ,
60A EDF ,
/ /AC DE ,
90DMB ACB ,
D 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点, / /AC DM ,
1
2
BM BD
BC AB
,
即 M 是 BC 的中点,
EP CE ,即 E 是 PC 的中点,
/ /ED BP ,
90CBP DMB ,
CBP 是直角三角形,
1
2BE PC EP ;
② 30ABC DFE ,
/ /BC EF ,
由①知: 90CBP ,
BP EF ,
EB EP ,
EF 是线段 BP 的垂直平分线,
PF BF ,
30PFE BFE ;
(2)如图 2,延长 DE 到 Q ,使 EQ DE ,连接CD , PQ , FQ ,
EC EP , DEC QEP ,
( )QEP DEC SAS ,
则 PQ DC DB ,
QE DE , 90DEF
EF 是 DQ 的垂直平分线,
QF DF ,
CD AD ,
60CDA A ,
120CDB ,
120 120 (60 ) 60 60FDB FDC EDC EDC EQP FQP ,
( )FQP FDB SAS ,
QFP BFD ,
EF 是 DQ 的垂直平分线,
30QFE EFD ,
30QFP EFP ,
30BFD EFP .
【点评】本题是三角形的综合题,考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性
质和判定等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,难度适中,属于中考常考题型.
相关文档
- 河北省2020年中考道德与法治真题试2021-11-067页
- 2019四川省广安市中考数学试题(解析2021-11-0625页
- 沪科版九年级上册数学知识点整理2021-11-0610页
- 2019四川省攀枝花中考数学试卷(解析2021-11-0616页
- 新课标2020中考生物复习第六单元生2021-11-067页
- 2020年江西省中考地理试样卷(五)2021-11-067页
- 2010年中考数学压轴题(七)及解答2021-11-0633页
- 2019年吉林省长春市中考数学试卷2021-11-0630页
- 包头专版2020中考化学复习方案第152021-11-069页
- 2019年安徽省合肥市包河区中考数学2021-11-0618页