2009年北京市东城区中考数学一模试卷 12页

‎6 2009年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题(8个小题，每小题4分，共32分)‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．计算｜－2009｜的结果是( )‎ A．－2009 B． C．2009 D．‎ ‎2．函数的自变量x的取值范围是( )‎ A．x≠－2 B．x≥－‎2 ‎C．x＞－2 D．x＜－2‎ ‎3．我国2008年国内生产总值超过300 000亿元，比上一年增长9％．将数据300000亿元用科学记数法表示为( )‎ A．3×105亿元 B．30×104亿元 C．0.3×106亿元 D．3×104亿元 ‎4．下列运算正确的是( )‎ A．a2＋a4＝a6 B．a2·a4＝a‎6 ‎C．(a4)2＝a6 D．a6÷a2＝a3‎ ‎5．若一个正n边形的一个外角为36°，则n等于 A．4 B．‎6 ‎C．8 D．10‎ ‎6．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的(⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的( )‎ 第6题图 A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 ‎7．在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，除了需要了解自己的成绩外，还需要了解全部成绩的( )‎ A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 ‎8．在正方体的表面上画有如图①中所示的粗线，图②是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中，画法正确的是( )‎ 第8题图 二、填空题(4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝________．‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图 第11题图 ‎10．在实数范围内分解因式：x2y－6xy＋9y＝________．‎ ‎11．如图，AB、CD是水平放置的轮盘(俯视图)上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为________．‎ ‎12．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．‎ 三、解答题(5个小题，每小题5分，共25分)‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式组 ‎15．解方程：．‎ ‎16．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：E是AC的中点．‎ 第16题图 ‎17．已知：x－2y＝0，求的值．‎ 四、解答题(2个小题，每小题5分，共10分)‎ ‎18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠D＝120°，CD＝‎4‎cm，求AB的长．‎ 第18题图 ‎19．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．每年的‎4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为350人，表(1)是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问题：‎ ‎(1)求该校九年级的人数占全校总人数的百分率．‎ ‎(2)求出表(1)中A、B的值．‎ ‎(3)该校学生平均每人读多少本课外书?‎ 图书种类 频数 频率 科普常识 B ‎0.2‎ 名人传记 ‎500‎ ‎0.25‎ 漫画丛书 ‎800‎ A 其他 ‎300‎ ‎0.15‎ 第19题图 五、解答题(3个小题，每小题5分，共15分)‎ ‎20．某商场用36万元购进A，B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：‎ A B 进价(元／件)‎ ‎1200‎ ‎1000‎ 售价(元／件)‎ ‎1380‎ ‎1200‎ ‎(注：获利＝售价－进价)‎ 求该商场购进A，B两种商品各多少件．‎ ‎21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连结PC，交AD于点E．‎ ‎(1)求证：AD是圆O的切线；‎ ‎(2)若PC是圆O的切线，BC＝8，求DE的长．‎ 第21题图 ‎22．如图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∶OC＝2∶1．‎ ‎(1)设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；‎ ‎(2)若直线y＝2x＋m平分矩形OABC面积，求m的值．‎ 第22题图 六、解答题(3个小题，共22分)‎ ‎23．(本题满分7分)已知：关于x的一元二次方程x2－2(‎2m－3)x＋‎4m2‎－‎14m＋8＝0．‎ ‎(1)若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．‎ ‎24．(本题满分7分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．‎ ‎(1)求点B的坐标；‎ ‎(2)求抛物线的解析式；‎ ‎(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第24题图 ‎25．(本题满分8分)请阅读下列材料：‎ 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图①，若弦AB、CD交于点P则PA·PB＝PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题．‎ 已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP＝1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．(如图②)‎ ‎(1)若AC恰经过圆心O，请你在图③中画出符合题意的图形，并计算：的值；‎ ‎(2)若OP⊥AC，请你在图④中画出符合题意的图形，并计算：的值；‎ ‎(3)若AC是过点P的任一弦(图②)，请你结合(1)(2)的结论，猜想：的值，并给出证明．‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ 第25题图 答 案 ‎6．2009年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1.C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 二、填空题 ‎9．20° 10．y(x－3)2 11． 12．‎ 三、解答题 ‎13．原式＝4－2－1＋1＝2‎ ‎14．解：‎ 解不等式①得x＜－1‎ 解不等式②得x≥－4‎ ‎∴原不等式组的解集为－4≤x＜－1．‎ ‎15．解：方程两边都乘以x(x－1)，‎ 得x2＋2(x－1)＝x(x－1)，‎ 解这个方程，得x＝．‎ 经检验，x＝是原方程的根．‎ ‎∴原方程的根是x＝．‎ ‎16．证明：∵FC∥AB，∴∠ADF＝∠F．‎ 又∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，∴△ADE≌△CEF(SAS)．∴AE＝CE．‎ 即E是AC的中点．‎ ‎17．解：‎ ‎.‎ ‎∵x＝2y，‎ ‎∴原式．‎ 四、解答题 ‎18．解：过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点E、F．‎ ‎∴∠AEB＝∠DFC＝90°．‎ ‎∵AD∥BC，∠D＝120°，‎ ‎∴∠C＝60°‎ 在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝60°，CD＝4．‎ ‎．‎ 易证：四边形AEFD为矩形．∴AE＝DF＝6．‎ 在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，‎ ‎．‎ 第18题答图 ‎19．解：(1)1－25％－35％＝40％‎ ‎(2)A＝1－0.2－0.25－0.15＝0.4‎ ‎500÷0.25＝2000‎ B＝2000－500－800－300＝400‎ ‎∴A的值为0.4，B的值400‎ ‎(3)350÷35％＝1000‎ ‎2000÷1000＝2‎ ‎∴该校学生平均每人读2本课外书．‎ 五、解答题 ‎20．解：(1)设购进A种商品x件，B种商品y件．‎ 根据题意，得 化简，得 解得 答：该商场购进A，B两种商品分别为200件和120件．‎ ‎21．(1)证明：∵AB＝AC，点D是边BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BD．‎ 又∵BD是圆O直径，‎ ‎∴AD是圆O的切线．‎ ‎(2)解：连结OP，由BC＝8，得CD＝4，OC＝6，OP＝2．‎ ‎∵PC是圆O的切线，O为圆心，‎ ‎∴∠OPC＝90°．‎ 由勾股定理，得PC＝4．‎ 在△OPC中，．‎ 在△DEC中，∵，‎ ‎．‎ 第21题答图 ‎22．解：(1)由题意，设B(‎2a，a)(a≠0)，则a＝,∴a＝±2．‎ ‎∵B在第一象限，‎ ‎∴a＝2，B(4，2)，‎ ‎∴矩形OABC对角线的交点E为(2，1)．‎ ‎(2)∵直线y＝2x＋m平分矩形OABC必过点(2，1)，‎ ‎∴1＝2×2＋m．∴m＝－3．‎ 第22题答图 六、解答题 ‎23．(1)证明：Δ＝[－2(‎2m－3)]2－4(‎4m2‎－‎14m＋8)＝‎8m＋4．‎ ‎∵m＞0，∴‎8m＋4＞0．‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ ‎(2)．‎ ‎∵方程有两个整数根，必须使为整数且m为整数．‎ 又∵12＜m＜40，∴25＜‎2m＋1＜81．‎ ‎．‎ 令，．‎ 令，．‎ 令，．‎ ‎∴m＝24‎ ‎24．解：(1)过点B作BD⊥x，垂足为D，‎ ‎∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，‎ ‎∴∠BCD＝∠CAO．‎ 又∵∠BDC＝∠COA＝90°；CB＝AC，‎ ‎∴△BCD≌△CAO，‎ ‎∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，‎ ‎∴点B的坐标为(－3，1)．‎ ‎(2)抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B(－3，1)，‎ 则得到1＝‎9a－‎3a－2，‎ 解得，∴抛物线解析式为．‎ 第24题答图 ‎(3)方法一：‎ ‎①若以AC为直角边，点C为直角顶点，‎ 则可以设直线BC交抛物线于点P1，‎ 由题意，直线BC的解析式为：，‎ 解得(舍)‎ ‎∴P1(1，－1)．‎ 过点P1作P‎1M⊥x轴于点M，‎ 在Rt△P1MC中，‎ ‎∴CP1＝AC．‎ ‎∴△ACP1为等腰直角三角形．‎ ‎②若以AC为直角边，点A为直角顶点；‎ 则过点A作AF∥BC，交抛物线于点P2，‎ 由题意，直线AF的解析式为，‎ 解得(舍)‎ ‎∴P2(2，1)．‎ 过点P2作P2N⊥y轴于点N，‎ 在Rt△AP2N中，，‎ ‎∴AP2＝AC，‎ ‎∴△ACP2为等腰直角三角形．‎ 综上所述，在抛物线上存在点P1(1，－1)P2(2，1)，使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形．‎ 方法二：‎ ‎①若以AC为直角边，点C为直角顶点，‎ 则延长BC至点P1，使得P‎1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P‎1M⊥x轴．‎ ‎∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，‎ ‎∴△MP‎1C≌△DBC，‎ ‎∴CM＝CD＝2，∴P‎1M＝BD＝1，可求得点P1(1，－1)；‎ 经检验点P1(1，－1)在抛物线上，使得△ACP1是等腰直角三角形．‎ ‎②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，‎ 得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，‎ ‎∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P2(2，1)，‎ 经检验点P2(2，1)也在抛物线上，使得△ACP2也是等腰直角三角形．‎ ‎25．解：(1)AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，如图①所示，‎ 第25题答图 ‎∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C，∴Q与A重合，R与C重合，OP＝1，AC＝4，‎ ‎．‎ ‎(2)连结OA，如图②所示，‎ OP⊥AC于点P，且OP＝1，OA＝2，‎ ‎∴∠OAP＝30°，‎ ‎∴AP＝．‎ OA⊥直线m，PQ⊥直线m，‎ ‎∴OA∥PQ，∠PQA＝90°，‎ ‎∴∠APQ＝∠OAP＝30°，‎ ‎∴在Rt△AQP中，．‎ 同理，，‎ ‎．‎ ‎(3)猜想 证明：过点A作直径交⊙O于点E，连结CE，如图③所示，∴ECA＝90°．‎ AE⊥直线m，PQ⊥直线m，‎ ‎∴AE∥PQ且∠PQA＝90°．‎ ‎∴∠EAC＝∠APQ．‎ ‎∴△AEC∽△PAQ．‎ 同理可得：∴‎ ‎①＋②，得 ‎，‎ ‎．‎ 过点P作直径交O于点M，N 由阅读材料可知：AP·PC＝PM·PN＝3．‎