福建专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练30正方形及特殊平行四边形的综合 11页

课时训练(三十)　正方形及特殊平行四边形的综合 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·攀枝花]下列说法错误的是 (　　)‎ A.平行四边形的对边相等 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 ‎2.下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是 (　　)‎ A.∠ABC=90°且AB=AD B.AB=BC且AC⊥BD C.AC⊥BD且AC=BD D.AC=BD且AB=BC ‎3.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了 (　　)‎ A.1次 B.2次 ‎ C.3次 D.4次 ‎4.[2019·雅安]如图K30-1,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是 (　　)‎ 图K30-1‎ A.平行四边形 B.矩形 ‎ C.菱形 D.正方形 ‎5.[2017·黔东南州]如图K30-2,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为 (　　)‎ 图K30-2‎ A.60° B.67.5° ‎ C.75° D.54°‎ ‎6.[2019·包头]如图K30-3,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是 (　　)‎ 11‎ 图K30-3‎ A.‎3‎‎+1‎‎4‎ ‎ B.‎‎3‎‎2‎ C.‎3‎-1 ‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎7.[2019·镇江]将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图K30-4),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD=　　　　.(结果保留根号) ‎ 图K30-4‎ ‎8.[2018·深圳]如图K30-5,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是　　　　. ‎ 图K30-5‎ ‎9.[2018·武汉]以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是　　　　. ‎ ‎10.[2019·菏泽]如图K30-6,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是　　　　. ‎ 图K30-6‎ ‎11.[2019·凉山州]如图K30-7,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.‎ 11‎ 图K30-7‎ ‎12.[2019·甘肃]如图K30-8,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AG⊥ED交DE于点F,交CD于点G.‎ ‎(1)求证:△ADG≌△DCE;‎ ‎(2)连接BF,求证:AB=FB.‎ 图K30-8‎ 11‎ ‎|能力提升|‎ ‎13.如图K30-9,在正方形ABCD中,AB=4.若以CD为底边向其形外作等腰直角三角形DCE,连接BE,则BE的长为 (　　)‎ 图K30-9‎ A.4‎5‎ B.2‎2‎ C.2‎10‎ D.2‎‎3‎ ‎14.[2019·扬州]如图K30-10,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=　　　　. ‎ 图K30-10‎ ‎|思维拓展|‎ ‎15.[2019·宿迁]如图K30-11,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值为　　　　. ‎ 图K30-11‎ ‎16.[2018-2019学年九(上)厦门期末教学质量检测]已知动点P在边长为1的正方形ABCD的内部,点P到边AD,AB的距离分别为m,n.‎ ‎(1)以A为原点,以边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图K30-12①所示,当点P在对角线AC上,且m=‎1‎‎4‎时,求点P的坐标.‎ ‎(2)如图②,当m,n满足什么条件时,点P在△DAB的内部?请说明理由.‎ 图K30-12‎ 11‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.B ‎2.B　[解析]A.▱ABCD中,若∠ABC=90°,则▱ABCD是矩形,再由AB=AD可得是正方形,故此选项错误;‎ B.▱ABCD中,若AB=BC,则▱ABCD是菱形,再由AC⊥BD仍可得是菱形,不能判定为正方形,故此选项正确;‎ C.▱ABCD中,若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形,再由AC=BD可得是正方形,故此选项错误;‎ D.▱ABCD中,若AC=BD,则▱ABCD是矩形,再由AB=BC可得是正方形,故此选项错误.故选B.‎ ‎3.B ‎4.C　[解析]∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,‎ ‎∴EF=GH=‎1‎‎2‎AB,EH=FG=‎1‎‎2‎CD,∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形,故选C.‎ ‎5.A　[解析]连接BF,‎ ‎∵E为AB中点,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE,‎ ‎∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF为等边三角形,∴∠FBA=60°,BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠DBC=45°,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.‎ ‎6.C　[解析]连接EF.∵AE=AF,∠EAF=60°,∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠D=∠C=90°,AB=AD,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF,∴EC=CF.‎ 设CF=x,则EC=x,AE=EF=EC‎2‎+FC‎2‎=‎2‎x,BE=1-x.‎ 在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,∴1+(1-x)2=(‎2‎x)2,解得x=‎3‎-1(舍负).故选C.‎ ‎7.‎2‎-1　[解析]∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴CD=1,∠CDA=90°,‎ ‎∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置,使得点D落在对角线CF上,‎ ‎∴CF=‎2‎,∠CFE=45°,∴△DFH为等腰直角三角形,∴DH=DF=CF-CD=‎2‎-1.‎ 故答案为‎2‎-1.‎ ‎8.8　[解析]∵四边形ACDF是正方形,‎ ‎∴AC=AF,∠CAF=90°,∴∠CAE+∠BAF=90°,‎ 又∠CAE+∠ECA=90°,‎ ‎∴∠ECA=∠BAF,则在△ACE和△FAB中,‎ 11‎ ‎∵‎‎∠AEC=∠ABF=90°,‎‎∠ECA=∠BAF,‎AC=AF,‎ ‎∴△ACE≌△FAB(AAS),∴AB=CE=4,‎ ‎∴阴影部分的面积=‎1‎‎2‎AB·CE=‎1‎‎2‎×4×4=8.‎ ‎9.30°或150°　[解析]如图①,‎ ‎∵△ADE是等边三角形,‎ ‎∴DE=DA,∠DEA=∠1=60°.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴DC=DA,∠2=90°.‎ ‎∴∠CDE=150°,DE=DC,‎ ‎∴∠3=‎1‎‎2‎(180°-150°)=15°.‎ 同理可求得∠4=15°.‎ ‎∴∠BEC=30°.‎ 如图②,‎ ‎∵△ADE是等边三角形,‎ ‎∴DE=DA,∠1=∠2=60°,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴DC=DA,∠CDA=90°.‎ ‎∴DE=DC,∠3=30°,‎ ‎∴∠4=‎1‎‎2‎(180°-30°)=75°.‎ 同理可求得∠5=75°.‎ ‎∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.‎ 故答案为30°或150°.‎ 11‎ ‎10.8‎5‎　[解析]如图,连接BD交AC于点O,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC,‎ ‎∵AE=CF=2,‎ ‎∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,‎ ‎∴四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,‎ ‎∴四边形BEDF为菱形,‎ ‎∴DE=DF=BE=BF,‎ ‎∵AC=BD=8,OE=OF=‎8-4‎‎2‎=2,∴由勾股定理得:DE=OD‎2‎+OE‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎5‎,‎ ‎∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2‎5‎=8‎5‎,故答案为:8‎5‎.‎ ‎11.证明:在正方形ABCD中,AC⊥BD,‎ ‎∴∠AOF=∠BOE=90°.‎ ‎∵AM⊥BE,∴∠AME=90°,‎ ‎∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°,‎ ‎∴∠FAO=∠EBO.‎ 在正方形ABCD中,‎ AC=BD,OA=‎1‎‎2‎AC,OB=‎1‎‎2‎BD,‎ ‎∴OA=OB,‎ ‎∴△AOF≌△BOE(ASA),∴OE=OF.‎ ‎12.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ADG=∠C=90°,AD=DC,‎ 又∵AG⊥DE,∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF,∴∠DAG=∠CDE,‎ ‎∴△ADG≌△DCE(ASA).‎ ‎ (2)如图,延长DE交AB的延长线于H,‎ 11‎ ‎∵E是BC的中点,∴BE=CE.‎ 又∵∠C=∠HBE=90°,∠DEC=∠HEB,∴△DCE≌△HBE(ASA),‎ ‎∴BH=DC=AB,即B是AH的中点.‎ 又∵∠AFH=90°,‎ ‎∴Rt△AFH中,BF=‎1‎‎2‎AH=AB.‎ ‎13.C　[解析]如图,连接BD,‎ 因为四边形ABCD为正方形,所以∠BDC=45°,AD=AB=4,∠A=90°,‎ 在Rt△ABD中,由勾股定理得,BD=AB‎2‎+AD‎2‎=4‎2‎,‎ 因为△DCE是等腰直角三角形,所以∠CDE=45°,DE=EC=DC‎2‎‎2‎=2‎2‎,‎ 所以∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°,在Rt△BDE中,由勾股定理得,BE=BD‎2‎+DE‎2‎=2‎10‎.‎ ‎14.‎13‎‎2‎　[解析]连接CF,‎ ‎∵正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=5,‎ ‎∴GF=GB=5,BC=7,‎ ‎∴GC=GB+BC=5+7=12,‎ ‎∴CF=GF‎2‎+GC‎2‎=‎5‎‎2‎‎+1‎‎2‎‎2‎=13.‎ ‎∵M,N分别是DC,DF的中点,‎ ‎∴MN=‎1‎‎2‎CF=‎13‎‎2‎.‎ 故答案为‎13‎‎2‎.‎ ‎15.‎5‎‎2‎　[解析]由题意可知,点F是主动点,点G是从动点,点F在线段AB上运动,点G也一定在直线上运动.‎ 11‎ 将△EFB绕点E按顺时针方向旋转60°,使EF与EG重合,得到△EGH,则△EFB≌△EGH.‎ 从而可知△EBH为等边三角形,点G在垂直于HE的直线HN上.‎ 作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值,‎ 作EP⊥CM,可知四边形HEPM为矩形,‎ 则CM=MP+CP=HE+‎1‎‎2‎EC=1+‎3‎‎2‎=‎5‎‎2‎.‎ 故答案为‎5‎‎2‎.‎ ‎16.解:(1)解法一:过点P作PF⊥y轴于F,‎ ‎∵点P到边AD的距离为m.‎ ‎∴PF=m=‎1‎‎4‎.‎ ‎∴点P的横坐标为‎1‎‎4‎.‎ 由题得,C(1,1),可得直线AC的解析式为:y=x.‎ 当x=‎1‎‎4‎时,y=‎1‎‎4‎.‎ 所以P‎1‎‎4‎,‎1‎‎4‎.‎ 解法二:如图,过点P作PE⊥x轴于E,作PF⊥y轴于F,‎ ‎∵点P到边AD,AB的距离分别为m,n,‎ ‎∴PE=n,PF=m.‎ ‎∴P(m,n).‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC平分∠DAB,‎ ‎∵点P在对角线AC上,‎ ‎∴m=n=‎1‎‎4‎,∴P‎1‎‎4‎,‎1‎‎4‎.‎ 11‎ ‎(2)解法一:如图,以A为原点,以边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.‎ 则由(1)得P(m,n).‎ 若点P在△DAB的内部,点P需满足的条件是:‎ ‎①在x轴上方,且在直线BD的下方;‎ ‎②在y轴右侧,且在直线BD的左侧.‎ 设直线BD的解析式为:y=kx+b,‎ 把点B(1,0),D(0,1)分别代入,‎ 可得直线BD的解析式为:y=-x+1.‎ 当x=m时,y=-m+1.‎ 由点P在直线BD的下方,可得n<-m+1.‎ 由点P在x轴上方,可得n>0.‎ 即00,n>0.‎ 解法二:如图,过点P作PE'⊥AB于E',作PF'⊥AD于F',‎ ‎∵点P到边AD,AB的距离分别为m,n,‎ ‎∴PE'=n,PF'=m.‎ 在正方形ABCD中,∠ADB=‎1‎‎2‎∠ADC=45°,∠A=90°.‎ ‎∴∠A=∠PE'A=∠PF'A=90°.‎ ‎∴四边形PE'AF'为矩形.‎ ‎∴PE'=F'A=n.‎ 若点P在△DAB的内部,‎ 则延长F'P交对角线BD于点M.‎ 11‎ 在Rt△DF'M中,∠DMF'=90°-∠F'DM=45°.‎ ‎∴∠DMF'=∠F'DM.‎ ‎∴DF'=F'M.‎ ‎∵PF'0,n>0,‎ ‎∴m,n需满足的条件是m+n<1且m>0,n>0.‎ 11‎