中考数学三轮真题集训冲刺知识点17正比例函数与一次函数图像性质及其应用pdf含解析 34页

1 / 34 一、选择题 1．（2019·德州）若函数 y k x = 与 y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，则函数 y＝kx＋b 的大致图象为（ ） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图像的性质，由反比例函数数和二次函数图象得 出 k、b 的范围，再判断一次函数的图像．由于双曲线过二、四象限，因此 k＜0，又由于抛物线开口向 上，因此 a＞0，又由于对称轴在 y 轴右侧，根据“左同右异”可知 a，b 异号，所以 b＜0．所以直线应 该呈下降趋势，与 y 轴交于负半轴，故选 C． 2．（2019·德州）在下列函数图象上任取不同两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使 ＜0 成 立的是（ ） A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） C．y＝﹣ （x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0） 【答案】D 【解析】A．∵k＝3＞0，∴ y 随 x 的增大而增大，即当 x1＞x2 时 ，必 有 y1＞y2，∴当 x＜0 时， O y x O y x O y x O y x O y x O y x 知识点 17——正比例函数与一次函数图像、性质及其应用 2 / 34 ＞0，故 A 选项不符合；B．∵对称轴为直线 x＝1，∴当 0＜x＜1 时 y 随 x 的增大而增大，当 x＞1 时 y 随 x 的增大而减小，∴当 0＜x＜1 时：当 x1＞x2 时，必有 y1＞y2，此时 ＞0，故 B 选项不符合； C．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，即当 x1＞x2 时 ，必 有 y1＞y2，此时 ＞0，故 C 选项不符合； D．∵对称轴为直线 x＝2，∴ 当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小，即当 x1＞x2 时 ，必 有 y1＜y2，此时 ＜0，故 D 选项符合；故选 D． 3．（2019·苏州）若一次函数 y =kx+b（k、b 为常数，且 k≠0）的图像过点 A（0，-l），B(1，1)．则不 等式 kx+b>1 的解集为（ ） A．x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1 【答案】D 【解析】本题考查了一 次函 数 及 其 应 用 ，如 图 所 示 ： 不 等 式 kx+b＞1 的 解 为 x＞1．故 选 D． 第 7 题答图 4．（2019·杭州）已知一次函数 y1=ax+b 和 y2=bx+a（a≠b），函数 y1 和 y2 的图象可能是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】根据直线①判断出 a、b 的符号，然后根据 a、b 的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判 断．A、由①可知：a＞0，b＞0，∴直线②经过一、二、三象限，故 A 正确；B、由①可知：a＜0，b＞0， x y 1O x y 1O x y 1 O x y 1 O 3 / 34 ∴直线②经过一、二、三象限，故 B 错误；C、由①可知：a＜0，b＞0，∴直线②经过一、二、四象限， 交点不对，故 C 错误；D、由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故 D 错误．故选 A． 5．（2019·威海） 甲、乙施工队分別从两端修一段长度为 380 米的公路.在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天， 之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务.下表是根据每天工程进度绘制而成的. 施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/米 35 70 105 140 160 215 270 325 380 下列说法错误的是（ ） A．甲队每天修路 20 米 B．乙队第一天修路 15 米 C．乙队技术改进后每天修路 35 米 D．前七天甲、乙两队修路长度相等 【答案】D 【解析】从表格当中观察自变量与函数的变化关系，从第 1 天到第 4 天可以看出每天的变化规律相同， 从第 5 天发生了改变，这说明正是乙队停工的那一天，从而推出甲队每天修路 20 米，故 A 正确；根据 两队的合作从而算得乙队第一天修路 15 米，故 B 正确； 通过第 6 天累计完成的施工量，能算出乙队技 术改进后每天修路 35 米，故 C 正确；因甲队每天修路 20 米，故前 7 天甲队一共修了 140 米，第 7 天 两队累计完成施工量为 270 米，从而算出乙队前 7 天一共修了 130 米，所以前 7 天甲乙两队修路长度不 等，故 D 错误． 6．（2019·青岛）已知反比例函数 y= ab x 的图象如图所示，则二次函数 y=ax2-2x 和一次函数 y=bx＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察反比例函数可知 a，b 同 号 ，若 a，b 同为正，则- 2 2a − >0,所以二次函数 y=ax2-2x 开口向上， 与 x 轴交于原点,对称轴在 x 轴正半轴,一次函数经过第一、二、三象限；若 a，b 同为负，则- 2 2a − <0,所 以二次函数 y=ax2-2x 开口向上，与 x 轴交于原点,开口向下，对称轴在 x 轴负半轴,一次函数经过第二、 三、四象限,根据以上规则判定只有 C 正确,故选 C. 7．（2019·江西）已知正比例函数 y1 的图象与反比例函数 y2 的图象相交于点 A(2，4)，下列说法正确的 4 / 34 是（ ） A.反比例函数 2y 的解析式是 xy 8 2 −= B.两个函数图象的另一交点坐标为(2，-4) C.当 x＜-2 或 0＜x＜2 时， 1y ＜ 2y D.正比例函数 1y 与反比例函数 2y 都随 x 的增大而增大 【答案】C 【解析】设正比例函数解析式为 1y =ax，反比例函数解析式为 x by =2 ， ∵正比例函数 1y 的图象与反比例函数 2y 的图象相交于点 A(2，4)， ∴2a=4， 24 b= ，∴ a=2，b=8，∴ 正比例函数解析式为 1y =2x，反比例函数解析式为 xy 8 2 = .故 A 错误； 由    = = xy xy 8 2 得    = = 4 2 y x 或    −= −= 4 2 y x ，∴两个函数图象的另一交点坐标为(-2，-4) ，故 B 错误； 由函数图象可知：当 x＜-2 时， 1y ＜ 2y ；当 0＜x＜2 时， 1y ＜ 2y .∴C 正确. ∵正比例函数 y1 随 x 的增大而增大；在每个象限内，反比例函数 y2 都随 x 的增大而减小.∴D 错误. 8．（2019·益阳）下列函数中，y 总随 x 的增大面减小的是（ ） A.y=4x B.y=-4x C.y=x-4 D. y = x2 【答案】B 【解析】∵y 总随 x 的增大面减小，∴y=-4x.故选 B. 9．（2019·娄底）如图（4），直线 y = x + b 和 y = kx + 2 与 x 轴分别交于点 A（－2，0），点 B（3， 5 / 34 0）， 则 0 20 xb kx +>  +> 的解集为（ ） A. x<－2 B． x>3 C． x<－2 或 x>3 D． －2的解集为 x>﹣2；在 x 轴 上 3 的 左边，对应于每一个 x 的值，函数值 2y kx= + 都落在 x 轴的上方，即不等式 kx+2＞0 的解集为 x＜3； 再根据“大小小大取中间”即可得出不等式组 0 20 xb kx +>  +> 的解集． 观察函数图象得到 不等式 0xb+>的解集为 x＞﹣2， 不等式 kx+2＞0 的解集为 x＜3； 所以不等式组 0 20 xb kx +>  +> 的解集为－2＜x＜3． 故选 A． 10．（2019·黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是林凌从家 跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家、图中x表示时间，y表示林茂 离家的距离.依据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A.体育场离林茂家2.5km B.体育场离文具店1km C.林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min D.林茂从文具店回家的平均速度是60m/min 6 / 34 【答案】C 【解析】选项A，林茂从家到体育场离林茂家2.5km，正确； 选项B，林茂从体育场到文具店的距离是2.5-1.5＝1km，正确； 选项C，林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 − =− 2500 1200 200 45 30 3 m/min，错误； 选项D，林茂从文具店回家的平均速度是 − 1500 90 65 ＝60m/min，正确. 11．（2019·陇南）如图 ① ，在矩形 ABCD 中，AB＜AD，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 由点 A 出发，沿 AB→BC→CD 向点 D 运动．设点 P 的运动路程为 x，△AOP 的面积为 y，y 与 x 的函数关 系 图象如图 ② 所示，则 AD 边的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】解：由图可得，AB+BC=7，设 BC=x，则 AB=7-x，∵△AOB 的面积是 3，点 O 为 AC 的中点， ∴ (7 ) 2 2 xx−⋅ =3，解得，x=3 或 x=4，∵AB＜BC，∴BC=4，∴AD=4，故选：B． 12. (2019·聊城)某快递公司每天上午 9：00——10：00 为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓 库用来派发快件,该时段内甲,乙两仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分)之间的函数图象如图所示,那么 当两仓库快递件数相同时,此刻的时间为（ ） A.9：15 B.9：20 C.9：25 D.9：30 E DC BA y/km x/min15 30 45 65 90 1.5 2.5 0 7 / 34 【答案】B 【解析】由图可知,两仓库的快件数量 y(件)与时间 x(分)都是一次函数关系,故用待定系数法求出 y 甲＝ 6x+40,y 乙＝－4x+240,令 y 甲＝y 乙,得 x＝20,则两仓库快递件数相同时的时间为 9：20. 13. (2019·聊城)如图,在 Rt△ABO 中,∠OBA＝90°,A(4,4),点 C 在边 AB 上,且 AC CB ＝ 1 3 ,点 D 为 OB 的中 点,点 P 为边 OA 上的动点,当点 P 在 OA 上移动时,使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为 A.(2,2) B.( 5 2 , 5 2 ) C.( 8 3 , 8 3 ) D.(3,3) 【答案】C 【解析】由题可知：A(4,4),D(2,0),C(4,3),点 D 关于 AO 的对称点 D'(0,2),设 lD'C：y＝kx+b,将 D'(0,2),C(4,3) 代入,可得 y＝ 1 4 x+2,与 y＝x 联立,得,x＝ 8 3 ,y＝ 8 3 ,∴P( 8 3 , 8 3 )故选 C. 14. （2019·潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D．使 运动的路程为 x，△ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） 8 / 34 【答案】D 【解析】当点 P 在 BC 段时 0≤x≤3，此时△ADP 的面积不变， 1 32 32y = ×× = ，当点 P 在 CD 段时 3 ＜ x ＜ 4 （当点 P 运动到点 D 时不构成三角形）， 1 3 153 (3 2 )2 22y xx= ×× + − =− + ，所以 3 (0 3) 3 15 (3 4)22 x y xx ≤≤= − + << ，故答案选 D． 15. (2019·枣庄) 如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A,B 两点,P 是线段 AB 上任意一点(不包 括 端点),过点 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为 8,则该直线的函数表达 式是（ ） A.y＝－x+4 B.y＝x+4 C.y＝x+8 D.y＝－x+8 【答案】A 【解析】由题可知,矩形 ONPM 中,ON+NP+PM+MO＝8,∴OM+ON＝4,设 P(x,y),则 x+y＝4,即 y＝－x+4, 故选 A. 9 / 34 16. （2019·自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系 如 图所示，则该容器是下列四个中的（ ） 【答案】D. 【解析】解：∵由图象可知，高度 h 随时间 t 的变换规律是先快后慢. ∴D 选项的底面积由小变大，水面高度随时间变换符合先快后慢. 故选 D. 17.（2019·衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E发，沿E→A→D→C移 动至终点C.设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是 （ ） .A .B .C .D 10 / 34 【答案】C 【解析】当点 P 在线段 AE 上时，即当 00 的解集 为 . 【答案】x<2 【解析】把（-6，0）代入 y=kx+b 得-6k+b=0， 变形得 b=6k，所 以 30kx b->化为 3kx-6k>0，3kx>6k，因 为 k＜0，所 以 x<2．故答案为 x<2． 4. （2019·滨州）如图，直线 y＝kx+b（k＜0）经过点 A（3，1），当 kx+b＜ 1 3 x 时，x 的取值范围为 ____________． 【答案】x＞3 【解析】当 x=3 时， 1 3 x= 1 3 ×3=1，∴点 A 在一次函数 y= 1 3 x 的图象上，且一次函数 y= 1 3 x 的图象经 y x C 16题图① E D B AO y x C 16题图② E B F D AO x y -6 O 14 / 34 过第一、三象限，当 x＞3 时，一次函数 y= 1 3 x 的图象在 y=kx+b 的图象上方，即 kx+b＜ 1 3 x． 5. (2019·泰安)在平面直角坐标系中,直线 l:y＝x+1 与 y 轴交于点 A1,如图所示,依次作正方形 OA1B1C1, 正方形 C1A2B2C2,正方形 C2A3B3C3,正方形 C3A4B4C4,……,点 A1,A2,A3,A4,……在直线上,点 C1,C2,C3,C4,……在 x 轴正半轴上,则前 n 个正方形对角线长的和是________. 【答案】2n 2 － 2 【解析】∵点 A1 是 y＝x+1 与 y 轴的交点,∴A1(0,1),∵OA1B1C1 是正方形,∴C1(1,0),A1C1＝ 2 ,∴ A2(1,2),C1A2＝2,A2C2＝2 2 ,∴A3C2＝4,A3C3＝4 2 ,按照此规律,AnCn＝2n－1 2 ,∴前 n 个正方形对角线 长的和为: 2 +2 2 +4 2 +…+2n－1 2 ＝ 2 (1+2+4+…+2n－1)＝ 2 (1+1+2+4+…+2n－1－1)＝ 2 (2n－1) ＝2n 2 － 2 . 6. （2019·潍坊）当直线 y = (2 − 2k)x + k −3经过第二、三、四象限时，则 k 的取值范围是 ． 【答案】1＜k＜3 【解析】∵直线经过第二、三、四象限，所以 2 2 0, 30 k k −<  −< ，解得：1＜k＜3． 7. （2019·乐山）如图①，在四边形 ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B = 30° ，线l ⊥ AB .当直线 l 沿射线 BC 方向，从点 B 开始向右平移时，直线l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点 E 、 F .设直线 l 向右平移的 距离为 x ，线段 EF 的长为 y ，且 y 与 x 的函数关系如图②所示，则四边形 ABCD 的周长是 . l F E D C A B 15 / 34 图① 图② 【答案】10+ 23 【解析】过 A 作 AG∥l 交 BC 于 G, 过 C 作 CH∥l 交 AD 于 H， 由图像可知，BG=4,CG=AH=1，DH =7-5=2， ∵ °=∠ 30B ， ABl ⊥ .，∴AG = 1 2 BG=2，cosB= 3 2 AB BG = ，AB=2 3 ， ∵AG∥l,CH∥l ， ∴CH∥AG，又∠AGB=90°-∠B=60°，∴∠HCG=∠AGB=60°， 又 AD ∥ BC ，∴∠DHC=∠HCB=60°,又 CH=DH=2，所以△CHD 是等边三角形， ∴CD=DH=2，四边形 ABCD 的周长=AB+BG+GC+AH+DH+DC=2 3 +4+1+1+2+2=10+2 3 . 8.（2019·攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点 A1，A2，A3，… 和点 B1，B2，B3，…分别在直线 y＝kx＋b（k＞0）和 x 轴上。已知 A1（0，1），点 B1（1，0），则 C5 的坐标是 . 【答案】（47,16） 【解析】如图， x y A4 C3 B3 A3 C2A2 B2 C1 B1 A1 O 16 / 34 C1（2，1），C2（5，2），C 3（11，4），C 4（23，8），… ∵C1 的横坐标：2＝21, 纵坐标：1＝20, C2 的横坐标：5＝22＋20, 纵坐标：2＝21, C3 的横坐标：11＝23＋21＋20, 纵坐标：4＝22, C4 的横坐标：23＝24＋22＋21＋20, 纵坐标：8＝23, …依此类推，C5 的横坐标：25＋23＋22＋21＋20＝47, 纵坐标：16＝24, ∴C5（47,16）. 9.（2019·天津）直线 y=2x-1 与 x 轴交点坐标为_______. 【答案】（ 2 1 ，0） 【解析】直线与 x 轴的交点即当 y=0 时，x 的值为 2 1 ，所以答案为（ 2 1 ，0） 【知识点】一次函数与二元一次方程，坐标轴的点的坐标的特点. 10.（2019·金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五 十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之”，如图是两匹马行走路程 ts 关于行走时间 t 的函数图 象，则两图象交点 P 的坐标是__________. 【答案】（32，4800）． x y A4 C3 B3 A3 C2A2 B2 C1 B1 A1 O t（ 日） s(里) P 12O 17 / 34 【解析】设良马 t 日追之,根据题意，得 240 , 150( 12 , st st =  = + ）解得 20, 4800. t s =  = 故答案为（32，4800）． 11.（2019·重庆 B 卷）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小 明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原 速 的 5/4 快步赶往学校，并在从家出发后 23 分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）.两人 之间 相距到达路程 y（米）与小明从家出发到学校的步行时间 x（分钟）之间的函数关系如图所示，则 小明家 到学校的路程为 米. 【答案】2080 米 【解析】小明被爸爸追上以前的速度为 x 米/分钟， 爸爸的速度为 y 米/分钟， 由题意得：11x = 5y 解得 x=80 5× 5 4 x+5y=1380 y=176 ∴小明家到学校的路程为： 11×80+（23-11）× 5 4 ×80 =880+1200 = 2080（米） 12．（2019 山东省德州市，23，12）下表中给出 A，B，C 三种手机通话的收费方式． 收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min） A 30 25 0.1 B 50 50 0.1 C 100 不限时 （1）设月通话时间为 x 小时，则方案 A，B，C 的收费金额 y1，y2，y3 都是 x 的函数，请分别求出这 三个函数解析式． （2）填空： 若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ； 17题图 0 11 16 23 1380 x/分钟 y/米 18 / 34 若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ； 若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ； （3）小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间． 【解题过程】（1）∵0.1 元/min＝6 元/h， ∴由题意可得， y1＝ ， y2＝ ， y3＝100（x≥0）； （2）作出函数图象如图： 结合图象可得： 若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为：0≤x≤ ， 若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为： ≤x≤ ， 若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为：x＞ ． 故答案为：0≤x≤ ， ≤x≤ ，x＞ ． 19 / 34 （3）∵小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长， ∴结合图象可得：小张选择的是方式 A，小王选择的是方式 B， 将 y＝80 分别代入 y2＝ ，可得 6x﹣250＝80， 解得：x＝55， ∴小王该月的通话时间为 55 小时． 13．（2019·淮安）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速 行驶，途中快车体息 1.5 小时，慢车没有休息.设慢车行驶的时间为 x 小时，快车行校的路程为 y1 千米， 慢车行驶的路程为 y2 千米.下图中折线 OAEC 表示 y1 与 x 之间的函数关系，线段 OD 表示 y2 与 x 之间 的函数关系. 请解答下判问题： (1)求快车和慢车的速度； (2)求图中线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式； (3)线段 OD 与线段 EC 相交于点 F，直接写出点 F 的坐标，并解释点 F 的实际意义. 第 13题图 【解题过程】（1）∵180÷2=90，180÷3=60， ∴快车的速度为 90km/h，慢车的速度 60km/h； （2）∵途中快车体息 1.5 小时， ∴点 E（3.5，180）. ∵（360-180）÷90=2， ∴点 C（5.5，360）. 设 EC 的解析式为 y1 = kx + b ， 20 / 34 则    =+ =+ 3605.5 1805.3 bk bk ，∴    −= = 135 90 b k ， ∴ 135901 −= xy . （3）∵慢车的速度为 60km/h， ∴OD 的解析式为 y=60x. 由    −= = 13590 60 xy xy 得，    = = 270 2 9 y x ， ∴点 F 的坐标为（ 2702 9， ）. ∴点 F 的实际意义：慢车行驶的时间为 2 9 小时，第二次背快车追上，此时两车的行程均为 270km. 14.（2019·重庆 A 卷）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现 甲 的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发 2 分钟时，甲也发现自己手机 落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回 公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分 钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是 米． 【答案】6000． 【解析】由图像可知甲 8 分钟行驶 4000 米，甲速为 500 米/分，而甲乙两人 2 分钟行驶的路程和为甲 10 分钟行驶的路程，故乙速为(500×10－500×2)÷4＝1000 米/分，于是 4000＋4×500＝6000 米，即为乙 回到公司时，甲距公司的路程，因此答案为 6000． 三、解答题 1．(2019·泰州)小李经营一家水果店,某日到水果批发市场批发一种水果,经了解,一次性批发这种水果 不得少于 100kg,超过 300kg 时,所有这种水果的批发单价均 3 元/kg,图中拆线表示批发单价 y(元/kg)与质 量 x(kg)的函数关系. ⑴求图中线段 AB 所在直线的函数表达式; ⑵小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是多少? 21 / 34 第 1题图 【解题过程】(1)由图可得,点 A(100,5),B(300,3),设线段 AB 表达式为 y＝kx+b,则 5 100 3 300 kb kb = +  = + ,解之得: 0.01 6 k b = −  = ,所以 y＝－0.01x+6(100≤x≤300); (2)设批发 xkg,则单价为(0.01x+6)元,根据题意可列方程:(－0.01x+6)x＝800,解之得:x1＝200,x2＝400(舍 去),所以小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量为 200kg. 2．（2019 年浙江省绍兴市，第 18 题，8 分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余 电量 y（千瓦时）关于已行驶路程 x（千米）的函数图象. （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶的路程，当 0 ≤ x ≤150 时，求 1 千 瓦时的电量汽车能行驶的路程； （2）当150 ≤ x ≤ 200 时求 y 关于 x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电 量. 【解题过程】 x y (kg) (元/kg) B A5 3 300100O 22 / 34 3．（2019山东省青岛市，22，10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天 的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获 得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【解题过程】解：（1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为： y kx b= + ， 将点 (30,100)、 (45,70) 代入一次函数表达式得： 100 30 70 45 kb kb = +  = + ， 解得： 2 160 k b = −  = ， 故函数的表达式为： 2 160yx=−+ ； （2）由题意得： 2( 30)( 2 160) 2( 55) 1250wx x x=− −+ =−− + ， 20−< ，故当 55x < 时， w 随 x 的增大而增大，而30 50x剟 ， ∴当 50x = 时， w 由最大值，此时， 1200w = ， 故销售单价定为 50 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 1200 元； （3）由题意得： ( 30)( 2 160) 800xx− −+ … ， 解得： 70x„ ， ∴每天的销售量 2 160 20yx=−+ … ， ∴每天的销售量最少应为 20 件． 23 / 34 4．（2019 江西省，17，6 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为( 2 3− ，0）， （ 2 3 ，1），连接 AB，以 AB 为边向上作等边三角形 ABC. (1)求点 C 的坐标； (2)求线段 BC 所在直线的解析式. 【解题过程】（1）如图所示，作 BD⊥x 轴于点 D， ∵点 A、B 的坐标分别为( 2 3− ，0），（ 2 3 ，1）， ∴AD= 2 3 )2 3(−− = 3 ，BD=1， ∴ 21)3( 2222 =+=+= BDADAB , 3 3 3 1tan ===∠ AD BDBAD , ∴∠BAD=30°. ∵△ABC 是等边三角形， 24 / 34 ∴∠BAC=60°，AC=AB=2， ∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=30°+60°=90°， ∴点 C 的坐标为( 2 3− ，2）； （2）设线段 BC 所在直线的解析式为 y=kx+b， ∵点 C、B 的坐标分别为( 2 3− ，2），（ 2 3 ，1）, ∴       =+ =+− 12 3 22 3 bk bk ，解得       = −= 2 3 3 3 b k ， ∴线段 BC 所在直线的解析式为： 2 3 3y = − 3 x + . 5．（2019·山西）某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡 200 元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次游泳再付费 30 元. 方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费 40 元. 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次,选择方式一的总费用为 y1(元),选择方式二的总费用为 y2(元). (1)请分别写出 y1,y2 与 x 之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时,选择方式一比方式二省钱. 【解题过程】(1)y1＝30x+200,y2＝40x (2)由 y120,当 x>20 时,选择方式一比方式二省钱. 6．（2019·常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用为 y 元，选择这 两种卡消费时，y 与 x 的函数关系如图 5 所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于 x 的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算． x（ 次） y(元） 300 0 5 图5 C B A 乙 甲 100 20 25 / 34 【解题过程】（1）设 y 甲＝kx，把（5，100）代入得 100＝5k，∴k＝20，∴y 甲＝20x；设 y 乙＝k1x+b1，把 （0，100）和（20，300）分别代入得 1 11 100 20 300 b kb =  += ，解得 1 1 100 10 b k =  = ，∴y 乙＝10x+100，与 y 甲＝ 20x 联立解得 B（10，200），∴当 0＜x＜10 时，y 甲＜y 乙，即选择甲种消费卡合算；当 x＞10 时，y 甲＞y 乙，即选择乙种消费卡合算． 7. （2019·重庆 A 卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研 究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出 了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义    − ≥= )0( )0( ＜aa aaa ． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数 bkxy +−= 3 中 ，当 x＝2 时，y＝－4； 当 x＝0 时，y＝－1． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条 性质； （3）已知函数 y＝ 1 2 x－3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 32 13 −≤+− xbkx 的解集． 【思路分析】（1）利用待定系数法，将 x＝2 时，y＝－4；x＝0 时，y＝－1 代入函数关系式，得到 关于 k、b 的二元一次方程组，解之即可．（2）利用绝对值意义将所求带有绝对值的函数转化为分段 函数，即可在所给网格的平面直角系中画出该函数的图像，并结合图像较易从增减性上写出该函数 的性质；（3）利用数形结合思想，由两个函数图像的交点的横坐标分别为 1 和 4，分段函数图像在 第 7题图 26 / 34 直线 y＝ 1 2 x－3 下方的自变量 x 的取值范围即为所求不等式的解集体． 【解题过程】（1）由题意得 23 4 31 kb b  −+=− −+=− ，解得 3 2 4 k b  =  = − ，故该函数解析式为 y＝ 3 32 x − －4． （2）当 x≥2 时，该函数为 y＝ 3 2 x－7；当 x≤2 时，该函数为 y＝－ 3 2 x－1，其图像如下 图所示： 性质：当 x≥2 时，y 随 x 的增大而增大；当 x≤2 时，y 随 x 的增大而减小． （3）不等式 32 13 −≤+− xbkx 的解集为 1≤x≤4． 【知识点】一次函数的图像与性质；分类函数；绝对值；待定系数法；不等式的解集；数形结合思想． 8. （2019·重庆 B 卷）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展 开探索画函数 y = −2 x 的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如下图所示；经 历同样的过程画函数 y = −2 x + 2和 y = −2 x + 2 的图象如右图所示. (1)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数 相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化.写出点 A，B 的坐标和函数 y = −2 x + 2 的对称轴； (2)探索思考：平移函数 y = −2 x 的图象可以得到函数 y = −2 x + 2和 y = −2 x + 2 的图象，分别写出 平移的方向和距离； 第 7 题答图 27 / 34 (3)拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数 2 31yx=−−+的图象.若点( 1x ， 1y )和( 2x ， 2y )在 该函数图象上，且 2x ＞ 1x ＞3，比较 1y 、 2y 的大小. 【思路分析】（1）A 点的坐标是 x =0 时函数 22yx=−+的值，代入即可求出；B 点的坐标是 y =0 时函 数 22yx=−+的值，代入即可求得；观察函数 22yx=−+的图象即可得到对称轴； （2）根据函数 2yx= − 顶点坐标 O（0，0）和函数 22yx=−+的顶点坐标 A；根据函数 2yx= − 顶 点坐标 O（0，0）和函数 22yx=−+的顶点坐标 B； （3）根据函数图象的性质可推断出 1y , 2y . 也可用特值法求解：∵ 2x 1x ∴ 1x 可以取 4， 2x 可以 2 31yx=−−+ 1y =-1， 2y =-3，∴ 1y ＞ 2y . 【解题过程】解：（1）当 x =0， 2 2 2022yx=−+=−×+=，∴ 当 y =0 时， 2 20x− +=，∴ x =-2，∴ 2x = − 1 2 3 4 5 6 87 3 2 1 -1-2 -3 -4-5-6 -8 -9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y y=-2x+2 y=-2x y=-2x+2 x y … … -3 -2 -1 0 1 2 3 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 … … O A B 28 / 34 ∴ 22yx=−+ 2x = − ； （2） 22yx=−+是由 2yx= − 向上平移 2 个单位长度得到的， 22yx=−+是由 2yx= − 向左平 移 2 个单位长度得到的. （3）∵ 2 31yx=−−+是由 2yx= − 向右平移 3 个单位长度，向上平移 1 个单位长度得到的， ∴其顶点坐标为（3，1），对称轴为 3x = ，在对称轴的右侧，函数图象呈下降趋势， ∴ y 随 x 的增大而减小，∵ 2x > 1x >3,∴ 1y ＞ 2y . 【知识点】新函数的应用；函数的性质；函数图象的画法； 9. (2019·台州)如图 1,某商场在一楼到二楼之间设有上,下行自动扶梯和步行楼梯.甲,乙两人从二楼同时 下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度 h(单位:m)与下行时间 x(单位:s)之间具有函数关 系 h＝－ 3 10 x+6,乙离一楼地面的高度 y(单位:m)与下行时间 x(单位:s)的函数关系如图 2 所示. (1)求 y 关于 x 的函数关系式; (2)请通过计算说明甲,乙两人谁先到达一楼地面. 【思路分析】(1)用待定系数法得到解析式;(2)令函数值为零,求出两人到达一层的时间,比较可得结论. 【解题过程】(1)设 y＝kx+b,将(0,6),(15,3)代入 6 3 15 b kb =  = + ,k＝ 1 5 − ,b＝6,∴y＝ 1 5 − x+6. (2)对于甲:令 h＝0,解得,z＝20,对于乙:令 y＝0,解得,x＝30,∵20<30,∴甲比乙先到达一楼地面. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式,解一元一次方程 10. (2019·浙江宁波,24,10 分) 某风景区内的公路如图 1 所示,景区内有免费的班车,从入口除法,沿该公 路 开往草甸,途中停靠塔林(上下车时间忽略不计),第一班车上午 8 点发车,以后每隔 10 分钟有一班 车从入口处发车,小聪周末到该风景区游玩,上午 7:40 到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景 区 入口处除法,沿该公路步行 25 分钟后到达塔林,离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数关系如 图 2 所示. (1)求第一班车离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式; (2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间; (3)小聪在塔林游玩 40 分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草 29 / 34 甸,比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度 不变) 【思路分析】(1)利用待定系数法,将两点坐标代入解析式,即可求解析式;(2)将 1500 代入解析式,即可求出 所需时间;(3)根据题意列出不等式,求得小聪坐的车,然后分别算出坐车和步行到草甸的时间,即可求出二 者相差的时间. 【解题过程】(1)由题意可设,函数表达式为 y＝kx+b(b≠0),把(20,0),(38,2700)代入,可得 0 20  2700 38 kb kb = +  = + ,解 得 150  3000 k b =  = − ,∴第一班车离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式为 y＝150x－3000(20≤x≤38); (2)把 y＝1500 代入 y＝150x－3000,解得 x＝30,30－20＝10(分),∴第一班车到塔林所需时间为 10 分钟; (3)设小聪坐上第 n 班车,30－25+10(n－1)≥40,解得 n≥4.5,∴小聪最早坐上第 5 班车,等班车时间为 5 分 钟,坐班车所需时间:1200÷150＝8(分),步行所需时间:1200÷(1500÷25)＝20(分),20－(8+5)＝7(分),∴小 聪坐班车到草甸比他游玩结束后立即步行到草甸提早了 7 分钟. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式,一元一次方程,不等式的应用 11.（2019·湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400 米．甲从小区步行去学 校，出发 10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米达到还车点后， 立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快 5 米．设甲步行的时间为 x（分）， 图 1 中线段 OA 和折线 B—C—D 分别表示甲、乙离开小区的路程 y（米）与甲步行时间 x（分）的 函数关系的图象；图 2 表示甲、乙两人之间的距离 s（米）与甲步行时间 x（分）的函数关系的图象 （不完整）． （1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； （2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； （3）在图 2 中，画出当“25≤x≤30”时 s 关于 x 的函数的大致图像．（温馨提示：请画在答题卷相 对应的图上） 30 / 34 解：（1）∵2400÷30＝80（米/分 ）， 80×10＝800（ 米 ）， ∴甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程为 800 米． （2）∵80×18÷8＝180（米/分 ）， 180×15－80×25＝700（米）， ∴乙骑自行车的速度为 180 米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是 700 米． （3）当“25≤x≤30”时 s 关于 x 的函数的大致图像如下． 12.（2019·天津市，23，10 分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买的数 量 是多少，价格均为 6 元/kg,在乙批发店，一次购买数量不超过 50kg 时，价格为 7 元/kg;一次性购买 超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg;超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg。设小王在同一批发店 一次性 购买苹果的数量为 xkg(x>0) (1) 根据题意填表： （2）设在甲批发店花费 y1 元，在乙批发店花费 y2 元，分别求 y1，y2 关于 x 的函数解析式； （1）根据题意填空： ①若小王在甲批发店和在乙批发店一次性购买苹果的数量相同，且花费相同，则它在同一个批发店一次 购买苹果的数量为 kg； 图 1 图 2 第 11 题图 31 / 34 ② 若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg 则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了 360 元，则他在他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多. 解：（1）180,210,900,850 （2）y1=6x(x>0);当 050 时，y2= 7 50+5× （x-50)=5x+100 （3）①100；②乙；③甲 13. （2019·乐山市，21，10）如图，已知过点 B(1,0) 的直线l1 与直线l2 ：y = 2x + 4 相交于点 P(−1,a). （1）求直线l1 的解析式；（2）求四边形 PAOC 的面积 【思路分析】 （1） 先用待定系数法求 a 的值，.再设 l1 解析式为 y=kx+b，把两点坐标代入函数解析 式进行计算求出 k、b 的值，即可得解； （2）求出 C、A 的坐标，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【解题过程】 解 ：（ 1） 上，：在直线点 42),1( 2 +=− xylaP a=+−×∴ 4)1(2 ，即 2=a ， 则 P 的坐标为 )2,1(− ， 设直线 1l 的解析式为： bkxy += )0( ≠k ，那么    =+− =+ 2 0 bk bk ， 解得：    = −= 1 1 b k . 1l∴ 的解析式为： 1+−= xy . （2）直线 1l 与 y 轴相交于点C ， ∴ C 的坐标为 )1,0( ， 又直线 2l 与 x 轴相交于点 A ， A∴ 点的坐标为 )0,2(− ，则 3=AB ， 而 BOCPABPAOC SSS ∆∆ −=四边形 ， ∴ PAOCS四边形 2 5112 1232 1 =××−××= . x yl2 l1 P A O C B 32 / 34 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；立两函数解析式求交点坐标；三角形的面积 14.（2019·济宁市，19，分值 8）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于 小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离 y（km）与小王 的 行驶时间 x （h）之间的函数关系．请你根据图像进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． 【思路分析】出发时两车相距 30km，一个小时后两车相遇，速度和等于路程和÷速度和；之后在小李到 达甲地前，两车的距离变大，速度和不变，之后小李到达甲地后，只有小王运动，此时的相对速度为小 李本人的速度，即小王用了 3 小时到达了乙地． 【解题过程】 （1）从 AB 可以看出：两人从相距 30 千米的两地相遇用了一个小时时间，则 V 小王＋V 小李＝30 千米/时， 小王用了 3 个小时走完了 30 千米的全程， ∴V 小王的速度＝10 千米/时，∴V 小李＝20 千米/时； （2）C 点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了 30÷20＝1.5 小时，此时小王和小李的距离是（1.5－1） ×30＝15∴C 点坐标是（1.5，15）． 设 BC 解析式为 y＝kx＋b，则将点 B(1,0),C (1.5,15)分别代入解析式得 0 1.5 15 kb kb +=  += ,解得： 30 30 k b =  = − ， ∴BC 解析式为 y＝30x－30．（ 1≤x≤1.5） 【知识点】路程、速度和时间的关系；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的几何意义； 15.（2019·滨州，22，12 分）有甲、乙两种客车，2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人， 1 辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人． （1）请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？ （2）某学校组织 240 名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共 6 辆，一次将全部师生送到指定 地点．若每辆甲种客车的租金为 400 元，每辆乙种客车的租金为 280 元，请给出最节省费用的租车方案， 并求出最低费用． 【思路分析】（1）可设辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 a 人，b 人，根据等量关系 2 辆甲种 A D B C 3 1 0 30 y/km x/h 33 / 34 客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人，1 辆甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人，列出方 程组求解即可；（2）设租用甲种客车 x 辆，租车费用为 y 元，建立一次函数模型解决问题． 【解题过程】 解 ：（ 1）设辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 a 人，b 人， 2 3 =180 2 =105 + ，a b a + b ，………………………………………………………………………3 分 解得 =45 =30. a b ， 答：1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 45 人和 30 人．………………5 分 （2）设租用甲种客车 x 辆，租车费用为 y 元， 根据题意，得 y=400x+280（6－x）=120x+1680．………………………………8 分 由 45x+30（6－x）≥240，得 x≥4．………………………………………………10 分 ∵120＞0，�y 随 x 的增大而增大，�当 x 为最小值 4 时，y 值最小． 即租用甲种客车 4 辆，乙种客车 2 辆，费用最低，………………………………11 分 此时，最低费用 y=120×4+1680=2160（元）．……………………………………12 分 【知识点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的解法；一次函数的应用 16.（2019·无锡市，25，8）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发 沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离 y(km) 与出发时间之间的函数关系式如图 1 中 线段 AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路汽骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 x(km) 与出发时间 t(h) 之间的函数关系式如图 2 中折线段CD − DE − EF 所示. （1）小丽和小明骑车的速度各是多少？ （2）求 E 点坐标，并解释点的实际意义. 【思路分析】本题考查一次函数的应用，（1）根据速度等于路程除以时间来求即可；（2）根 34 / 34 据速度与路程时间关系求 E 的坐标. 【解题过程】解： （1） V 小丽=36÷2.25=16 km / h, V 小明=36÷1-16=20m / h； （2）36÷20=1.8；16 ×1.8= 28.8 (km)，E(1.8，28.8)，点 E 的实际意义为两人出发 1.8h 后小明到了达 甲地，此时小丽离开甲地的距离为 28.8km. 【知识点】一次函数图像的应用