2019九年级数学上册 专题突破讲练 三招教你求阴影面积试题 （新版）青岛版 12页

1 三招教你求阴影面积 在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影面积的题目，而其阴影部分图形大多 又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措．求不规则图形面积主要是通过转化， 将不规则图形转化为规则的图形，再进行计算． 以下三招可以助你一臂之力！ 第一招：直接法 将不规则图形直接转化为规则的图形的求和或求差，先求出涉及适合该图形的面积计算 公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．这是求面积的常用方法．不规则 阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，其中： 1. 扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇 形． 2. 扇形面积公式：若设⊙O 半径为 R，则圆心角为 n°的扇形的面积公式为： 又因为 n°的圆心角所对的弧长为 ： ，所以 ． 说明：公式中 n 表示 1°圆心角的倍数，它是不带单位的； 例如：如图，扇形 AOB 的圆心角为直角，若 OA＝4cm，以 AB 为直径作半圆，求阴影部分的 面积． 解析：图中阴影部分面积为：以 AB 为直径的半圆面积减去弓形 AmB 面积；而弓形面积 等于扇形 AOB 面积减去△AOB 面积． 解：∵ OA＝4cm，∠O＝90°，OB＝4cm，∴ （cm2）， 2 360 n RS π=扇形 180 n Rπ 2 1=360 2 n RS lR π=扇形 ππ 4360 490S 2 AOB =×=扇形 2 又 ，所以 ， 而 ， 故 ． 第二招：割补法 1. 把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积． 例如：如图（1），在以 AB 为直径的半圆上，过点 B 做半圆的切线 BC，已知 AB=BC= ， 连结 AC，交半圆于 D，则阴影部分图形的面积是______． 解析：图中两块阴影部分图形都是不规则图形，但因 ，所以可进行割 补转化． 解：连接 DB，因为 AB=BC， ，如图（2），所以 AD=DB=DC，所以 把弓形 AD 割补到弓形 DB 处，则图（1）中阴影部分图形的面积等于图（2）中Rt△BDC 的面 积． 因此 ． 2. 当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整体， 然后利用相关图形的面积公式整体求出． 例如：如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E 相外离，它们的半径都是 1，顺次连接五个圆 心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？ 解析：由题意知，五个扇形（阴影部分）的半径都是 1，是等圆，可把五个扇形割补到 同一个圆中． 解：因为，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540° )cm(24AB = )cm(42 22S 2 2 ππ =⋅= ）（ 半圆 22 AOB cm)84(S),cm(8S −==∆ π弓形所以 28cm8)4(4SSS =−−=−= ππ弓形半圆阴 a AD DBS S=弓形 弓形 BD AC⊥ AD DBS S=弓形 弓形 21 1 1 2 2 4S a a a= ⋅ =阴 3 所以 ． 第三招：等积变形 把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求 出阴影部分图形的面积．例如： 如图，A 是半径为 2 的⊙O 外一点，OA＝4，AB 是⊙O 的切线，点 B 是切点，弦 BC∥OA， 连结 AC，求图中阴影部分的面积． 解析：图中阴影部分可看作弓形 BC 面积与三角形 ABC 面积的和，而△ABC 不是 Rt△， 所以考虑借助 OA∥BC 将△ABC 移形，连接 OC、OB，则 S△OCB＝S△ACB．则阴影部分面积为扇 形 AOB 面积． 解：连接 OB、OC，如图， 因为 BC∥OA，所以△ABC 与△OBC 在 BC 上的高相等，所以 ， 所以 ，又∵AB 是⊙O 的切线，所以 OB⊥AB，而 OB＝2，OA＝4，所以∠AOB＝ 60°，由 BC∥OA 得∠OBC＝60°，所以△OBC 为等边三角形，∠BOC＝60°， ． 例题 如图，AB、CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 O1、O2、O3、O4 分别 OA、OB、 OC、OD 的中点，若⊙O 的半径是 2，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 4π +4 D. 4π－4 S BOC扇形 ×= 2 =60 360 2 3 2π π 2540 1 3 360 2S π π× ×= =阴 OBCABC SS ∆∆ = 扇形阴 SS = 4 解析：如图将 AD、DB、BC、CA、OE、O3E 连接起来，得到一个对角线为 4 的正方形，由 割补法：将每个小圆外面两个弓形图形放进正方形空白处，阴影面积正好是正方形面积． 解：连接 AD，DB，BC，CA， ．故选 A． 答案：A 点拨：求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常可通过变换等， 把不规则图形转化为规则的图形，使复杂问题简单化，这种解题方法也体现了整体思想、转 化思想．割补法是转化法的一种． 求旋转问题中的阴影面积 满分训练 （江苏中考）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC 绕顶点 C 按顺时针方向旋转 45°至△A1B1C 的位置，则线段 AB 扫过区域（图中阴影部分） 的面积为 cm2． 解析：阴影部分的图形是不规则的图形，求面积时应想到利用图形的割补或利用特殊图 形的面积的和或差来求． 1= 4 4 82ABCDS S = × × =阴影面积 5 解：∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29．∴S 阴影＝S 扇形 BCB1＋S△A1B1C－S△ABC－ S 扇形 ACA1 ．∵△ABC 旋转得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S 阴影＝S 扇形 BCB1－S 扇形 ACA1＝ － ＝ （cm2），故答案为 ． 答案： 点拨：扇形面积的计算公式：S＝ ，S＝ lR，求阴影面积（或不规则图形面积） 时常用图形割补的方法（图形变换），或用几个特殊图形的面积的和或差来求．利用旋转变 换将所求面积转化为两个扇形的面积之差是解题关键。 （答题时间：30 分钟） 1.（德州中考）如图，扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB90，以 AB 为直径画半圆，则图中 的阴影部分的面积为（ ） A.  B.  C. D.  2. 如图，点 E 是 BC 的中点，AB 是⊙O 的直径，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分 的面积之和为（ ） A. 1 B. C. D. 2 *3. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两 个端点，交直角边 AC 于点 E． B，E 是半圆弧的三等分点，弧 BE 的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 45 29 360 π  245 2 360 π  25 8 π 25 8 π 25 8 π 2 360 n Rπ 1 2 4 1 2 1 2 1 4 1 2 1 3 2 3 3 3 2π 9 π 9 3π 2 3 2 33 π− 3 2 2 33 π− 6 *4. 在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以 AB、AC 为直径作半圆，过点 B、A、C 作弧 ， 如图所示，若 AB=4，AC=2， ，则 S3－S4 的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等⊙A、⊙B 外切，那么图中两个扇 形（即阴影部分）的面积之和为 ． 6. 如图，△ABC 的三个顶点都在 5×5 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个单位长度） 的格点上，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点 A′、C′仍落在格点上， 则图中阴影部分的面积约是 （π≈3．14，结果精确到 0．1） *7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2． 将△ABC 绕顶点 A 顺时针方 向 旋 转 至 △AB′C′ 的 位 置 ， B 、 A 、 C′ 三 点 共 线 ， 则 线 段 BC 扫 过 的 区 域 面 积 为 ． BAC 1 2 4S S π− = 4 29π 4 23π 4 11π 4 5π 7 8. 如图，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分面积的和是 ．（结果保留 ） **9. 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， AC 是 弦 ， 直 线 EF 经 过 点 C ， AD⊥EF 于 点 D ， ∠DAC=∠BAC． （1）求证 EF 是⊙O 的切线；（2）求证 AC2=AD·AB （3）若⊙O 的半径为 2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积． 10. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为 BC 上的一点，以 CE 为直径作⊙O，AB 与⊙O 相 切于点 D，连接 CD，若 BE=OE=2． （1）求证：∠A=2∠DCB；⑵求图中阴影部分的面积（结果保留 π 和根号）． **11. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为 D， AD 交⊙O 于 E，连接 CE． （1）判断 CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 E 是 的中点，⊙O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积． **12. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为 AB 延长线上的点，∠APD=30° （1）求证：DP 是⊙O 的切线；⑵若⊙O 的半径为 3cm，求图中阴影部分的面积． D B E F O C A π AC 8 13. 如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB＝8，点 C 为半圆上的一点．将此半圆沿 BC 所在的 直线折叠，若⌒BC恰好过圆心 O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π） PBO D A C 9 1. C 解析：因为扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB90，所以 AB= ，△AOB 的面积为 ， 扇形 AOB 的面积为 ，所以弓形的面积为 ，又因为半圆的面积为 ，所以阴影 部分的面积为： －（ ）= ．故选 C． 2. C 解析：连接 AE、OD，∵AB 是直径，∴AE⊥BC．∵点 E 是 BC 的中点，∴AB=AC．在△AEB 与△AEC 中，AE=AE，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴Rt△AEB≌Rt△AEC，∴AB=AC（SAS）∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BED=120°，∴∠BAD=60°（圆内接四边形的对角互补），∴△ABC 是等 边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形， ∴AD=OA=2，∴点 D 是 AC 的中点，∴DE=2（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 一半），∵∠BAE=30°，∴BE= AB=2，∴DE=BE，∴ = ，∴ = ．又∵DE 是△ABC 的中位线，∴△CDE 是边长为 2 的等边三角形，∴ = = = ． 故 选 C． 3. D 解析：如下图所示：连接 OB、OE、BE、BD．设半圆的半径为 R． ∵B、E 是半圆弧的三等分点，∴∠DOB＝∠BOE＝∠EOA＝60°． ∵弧 BE 的长为 ，∴ ，解得 R＝2．∴S 扇形 OBE＝ ＝ × ×2＝ ． ∵AD 是半圆 O 的直径，∴∠ABD＝90°．在 Rt△ABD 中，∠BAD＝ ∠DOB＝30°， ∴AB＝AD·cos∠BAD＝4× ＝ ．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝ ∠BOE＝ 30°， ∴BC＝ AB＝ ， AC＝AB·cos∠BAC＝ × ＝3．∴S△ABC＝ AC·BC＝ ×3× ＝ ．∵OB＝OE，∠BOE＝60°，∴△BOE 是等边三角形， ∴∠BEO＝60°＝∠EOA，∴BE∥AD，∴S△ABE＝S△OBE， ∴S 阴影＝S△ABC－S△ABE－S 弓形 OBE＝S△ABC－S△OBE－S 弓形 OBE＝S△ABC－S 扇形 OBE E O C A B D 2 2 1 4360 90 ππ= 2 1-4 π 4 π 4 π 2 1-4 π 2 1 2 1 BES弓形 DES弓形 阴影S CDES△ 阴影S CDES△ 224 3 × 3 3 2π 3 2 180 60 ππ =• R lR2 1 2 1 3 2π 3 2π 2 1 2 3 32 2 1 2 1 3 32 2 3 2 1 2 1 3 2 33 10 ＝ ． 故选 D． 4. D 解析：∵S1+S3= πAB2=2π ①，S2+S4= πAC2= π ②，∴①－②得：（S1－ S2）+（S3－S4）= ，∵ ， ∴S3－S4= － = ．故选 D． 5. 解析：∵∠C=90°，AC=8，BC=6∴AB=10∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°，由等圆可知 ⊙A、⊙B 的半径为 5，根据扇形的面积计算公式，可得阴影部分的面积等于 + = = = 6. 7.2 解析：依题意，得扇形的半径＝ ＝ ，圆心角∠ABA′＝90°，∴图 中阴影部分的面积＝扇形的面积－直角三角形的面积＝ － ×2×3＝ π×13－3≈ ×3．14×13－3＝10．205－3≈7．2． 7. 解 析 ： ＝ ＝ ＝ ． 8. 解析：图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等，由平行线内错角相等和正方形 的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为 ，所以，图中阴影部分面积的 和为 = ． 9. 解析：⑴证明：连接 OC， ∵AD⊥EF ， ∴∠ADC=90° ， ∴∠ACD+∠CAD=90° ， ∵OC=OA ， ∴∠ACO=∠CAO ， ∵∠DAC=∠BAC ， ∴∠CAD=∠ACO ， ∵∠ACD+∠CAD=90° ， ∴∠ACD+∠ACO =90° 即 ∠OCD=90°，∴EF 是⊙O 的切线. ⑵ 证 明 ： 连 接 BC ． ∵CD 是 ⊙O 的 切 线 ， ∴∠OCD=90° ， 即 ∠ACD+∠ACO=90° ． ①∵OC=OA ， ∴∠ ACO=∠CAO ， ∴∠AOC=180° － 2∠ACO ， 即 D B E F O C A 3 2 2 33 π− 1 8 1 8 1 2 3 2 π 1 2 4S S π− = 3 2 π 4 π 5 4 π π 4 25 ° ∠ 360 52πA ° ∠ 360 52πB ° ∠+∠ 360 5)( 2πBA ° ° 360 590 2π π 4 25 2 22 3+ 13 ( )2 90 13 360 π× × 1 2 1 4 1 4 5 12 π AB C ABCBAB CACS S S S S′ ′′ ′∆ ∆= + − −阴影 扇形 扇形 BAB CACS S′ ′−扇形 扇形 2 2150 2 ( 3) 360 π  −  5 12 π 8 3π °513 360 1135 ⋅⋅π 8 3π 1 2 11 ∠AOC+∠ACO=90°．②，由①②得：∠ACD－ ∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；∵∠AOC=2∠B， ∴∠B=∠ACD， ∵AB 是 直 径 ， ∴∠ACB=∠ADC=90° ． 在 Rt△ACD 与 △RtACB 中 ， ∵∠B=∠ACD ∠ACB=∠ADC，∴△ACD∽△ABC，∴ ，即 AC2=AB·AD． ⑶∵CD 是 ⊙O 的 切 线 ， ∴∠OCD=90° ， 即 ∠ACD+∠ACO=90° ， ∵∠ACD=30° ， ∴∠OCA=60°，∵OC=OA，∴△ACO 是等边三角形，∴AC= OC=2，∠AOC=60°， 在 Rt△ADC 中 ， ∵∠ACD=30° ， ∴AD=1 ， CD= ， S 阴 影 = S 梯 形 OCDA － S 扇 形 OCA= ． 10. 解析：（1）证明：连接 OD． ∵AB 与⊙O 相切于点 D，∴∠ODB=90°，∴∠B+∠DOB=90°， ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DOB， ∵OC=OD，∴∠DOB=2∠DCB，∴∠A=2∠DCB; （2）在 Rt△ODB 中，∵OD=OE，OE=BE，∴cos∠B= = ，∴∠DOB=60°． ∵BD=OB·sin60°=2 ．∴S 扇形 OD E= = π，S阴影=S△DOB－S 扇形 ODE=2 － π． 11. 解析：（1）CD 与圆 O 相切，理由为： ∵AC 为∠DAB 的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD 与圆 O 相切； （2）连接 EB， 由 AB 为直径，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD，F 为 EB 的中点，∴OF 为△ABE 的中位线， 1 2 AC AD AB AC = 3 21 60 2 3 3 2(1 2) 32 360 2 3 π π⋅ ⋅+ × − = − OB OD 2 1 3 360 60 2OD⋅π 3 2 3 3 2 12 ∴OF= AE= ，即 CF=DE= ，在 Rt△OBF 中，根据勾股定理得：EF=FB=DC= ，则 S 阴影 =S△DEC= × × = ． 12. 解析：⑴连接 OD、DB， ∵∠ACD=60°∴∠ABD=60°．又∵OB=OD，∴△OBD 为等边三角形，∴∠BOD=60°． 又∵∠APD=30°，∴∠ODP=90°，∴OD⊥DP，又∵点 D 在⊙O 上，∴DP 是⊙O 的切 线． ⑵由⑴知△ODP 为 Rt△，∠APD=30°，∴tan30°= ，∴DP= ． ∴S 阴影=S△ODP-S 扇形= OD•DP－ = ×3× - = - 答：阴影部分的面积为 cm． 13. 解析：如下图 ，连接 OC，过点 O 作 OG⊥BC 于点 G，交半圆周于点 D． 易知直线 BC、OD 是两条弧 BOC 与 BDC 所围成的图形的对称轴，故 OG＝ OC，从而∠OCG ＝30°，∠COG＝∠GOB＝60°，∠AOC＝6 0°．由对称性易知，弧 OFB 与半径 OB 组成的弓 形面积等于弧 OEC 与半径 OC 组成的弓形面积，因此，S 阴影部分＝S 扇形 OAC＝ ＝ ． PBO D A C 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 8 3 3OD DP DP = 3 3 2 1 360 2Rnπ 2 1 3 3 360 3··60 2π 2 39 2 3π 9 3 3-2 2 π 8 3 π 1 2 260 4 360 π ⋅ 8 3 π