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- 2021-11-06 发布
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一、选择题
1.(2019·杭州)如图,一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC⊥OB,点 A,B,C,D,O 在同一平面内),
已知 AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点 A 到 OC 的距离等于( )
A.asinx+bsinx B.acosx+bcosx C.asinx+bcosx D.acosx+bsinx
2
÷
sin
2
0
=
【答案】D
【解析】作 AE⊥OC 于点 E,作 AF⊥OB 于点 F,∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,∵∠ABC=∠AEC,
∠BCO=x,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x,∵AB=a,AD=b,∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx,故选 D.
2.(2019·威海)如图,一个人从山脚下的 A 点出发,沿山坡小路 AB 走到山顶 B 点.已知坡角为 20°,
山高 BC=2 千米.用科学计算器计算小路 AB 的长度,下列按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2 × sin 2 0 =
2 ÷ cos 2 0 =
2 × tan 2 0 =
【答案】A
【解析】.根据锐角三角函数的定义,得 sinA= BC
AB
,所以 AB= 2
sin 20 sin 20
BC = .故按键顺序为
2 ÷ sin 2 0 =
3.(2019·怀化)已知∠α 为锐角,且 sinα= 1
2
,则∠α=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】A.
【解析】∵∠α 为锐角,且 sinα= 1
2
,
∴∠α=30°.
故选 A.
4.(2019·达州)矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知 B( 2 3 ,2),点 A 在 x 轴
上,点 C 在 y 轴上,P 是对角线 OB 上一动点(不与原点重合),连接 PC,过点 P 作 PD⊥PC 交 x 轴
20°
2
知识点 36——锐角三角函数
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于点 D,下列结论:①OA=BC= 32 ;②当点 D 运动到 OA 的中点处时,PC 2 +PD 2 =7;③在运动过
程中,∠CDP 是一个定值;④当△ODP 为等腰三角形时,点 D 的坐标为(
3
32 ,0),其中正确结论的个
数是()
A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个
【答案】D
【解析】已知 B( 32 ,2), 所 以 OA=BC= 32 ,故①正确;当点 D 运动到 OA 的中点处时,OD= 3 ,
而 OC=2,所以 OC 2 =7,在直角三角形 CPD 中,PC 2 +PD 2 =7,故②正确;过点 P 作 PD⊥PC 交
x 轴于点 D,所以在运动过程中,∠CDP 是一个定值,故③正确;当△ODP 为等腰三角形时,OC
⊥BD,∠CDO=60°所以 3=
OD
OC ,即 OD=
3
32 ,所以点 D 的坐标为(
3
32 ,0).
5. (2019· 凉山) 如 图 , 在
△
A B C 中 , CA = CB = 4,cosC=
1
4 , 则 sinB 的值为()
A. 10
2
B. 15
3
C. 6
4
D. 10
4
【答案】D
【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,∵cosC= 1
4
,AC=4,∴CD=1,∴BD=3,AD= 224 1 15−= ,在 Rt△ABD
中,AB= 22( 15) 3 2 6+= ,∴sinB= 15 10
426
AD
AB
= = ,故选 D.
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6. (2019·天津)2sin60°的值等于( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)2
【答案】C
【解析】常用特殊角三角函数值 sin60°= 32
1 ,再乘以 2,可得答案 C.
7.(2019·金华)如图,矩形 ABCD 的对角线交于点 O,已知 AB=m,∠BAC=∠α,下列结论错误的
是 ( )
A. ∠BDC=∠α B.BC= m·tanα C.AO=
2sin
m
α D.BD=
cos
m
α
【答案】C.
【解析】由锐角三角函数的定义,得 sinα=
2
BC
OA
,∴AO=
2sin
BC
α
,故选 C.
二、填空题
1.(2019·德州)如图,一架长为 6 米的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上,这时测得∠ABO=70°,
如果梯子的底端 B 外移到 D,则梯子顶端 A 下移到 C,这时又测得∠CDO=50°,那么 AC 的长度约
为 米.(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
DB C
A
α
m O
D
B C
A
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【答案】1.02
【解析】∵∠ABO=70°,AB=6m,∴sin70°= = ≈0.94,解得:AO=5.64(m),∵∠CDO=
50°,DC=6m,∴sin50°= ≈0.77,解得:CO=4.62(m),则 AC=5.64﹣4.62=1.02(m),答:
AC 的长度约为 1.02 米.故答案为:1.02.
2.(2019·杭州)在直角三角形 ABC 中,若 2AB=AC 则 cosC=___________.
【答案】 或
【解析】若∠B=90°,设 AB=x,则 AC=2x,所以 BC= = x,所以 cosC= = = ;
若∠A=90°,设 AB=x,则 AC=2x,所以 BC= = x,所以 cosC= = = ;综上所
述,cosC 的值为 或 .故答案为 或 .
3. (2019·聊城)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,DE 为△ABC 的中位线,延长 BC 至 F,使 CF
= 1
2
BC,连接 FE 并延长交 AB 于点 M,若 BC=a,则△FMB 的周长为________.
【答案】 9
2
a
【解析】∵BC=a,∴CF= 1
2
BC= 1
2
a,∴BF= 3
2
a∵DE 为△ABC 的中位线,∴DE∥BF,DE= 1
2
a,∴△MED
∽△MFB,∴ MD ED
MB FB
= ,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠A=30°,AB=2a,BD=a,∴MD=
1
2
a,MB= 3
2
a,∵MB=FB,∠B=60°,△BMF 是等边三角形,周长= 9
2
a.
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4.(2019·淄博)如图,以 A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABC 中,将 B 角折起,使点 B 落在 AC
边上的点 D(不与点 A,C 重合)处,折痕是 EF.
如图 1,当 CD= 1
2 AC 时, 1
3tan ;4
α =
如图 2,当 CD= 1
3 AC 时, 2
5tan ;12
α =
如图 3,当 CD= 1
4 AC 时, 3
7tan ;24
α =
……
依次类推,当 CD= 1
1 ACn +
(n 为正整数)时, tan nα =
……
【答案】 21.2 ( 1)
n
nn
+
+
【解析】当 n=1 时, 1
33tan ;4 14
α = = ×
当 n=2 时, 2
55tan ;12 2 6
α = = ×
当 n=3 时, 3
77tan ;24 3 8
α = = ×
……
∴ 21 21tan .(2 2) 2 ( 1)n
nn
n n nn
α ++= =++
5.(2019·乐山)如图,在△ ABC 中, ∠B = 30° , AC = 2 ,
5
3cos =C .则 AB 边的长为( ).
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【答案】 16
5
【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,∴∠ADB=∠ADC=90°在 Rt△ADC 中,∵∠ADC=90°,
5
3cos =C ,AC=2,∴ DC= 3
5
×2= 6
5
,
2
222682 55AD AC CD = −=−=
,在 Rt△ADB 中 ,∠ ADB
=90°,∠B=30°.
∵sin B= 1
2
AD
AB
= , AB =2AD= 16
5
.
6.(2019·眉山)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=5,BC=12,将△ABC 绕点 A 逆时针
旋转得到△ADE,使得点 D 落在 AC 上,则 tan∠ECD 的值为_________.
【答案】 3
2
【解析】在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=5,BC=12,∴AC= 225 12+ =13,∵△ABC 绕点 A 旋转到
△ADE,∴ED=BC=12,AD=AB=12,∠ADE=90°,∴CD=AC-AD=13-5=8,∴tan∠ECD= ED
DC
=12
8
=
3
2
,故答案为: 3
2
.
30°
A
B C
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7.(2019·自贡)如图,在由 10 个完全相同的正三角形构成的网络图中,∠α、∠β 如图所示,则 cos(α+β)= .
【答案】
【解析】连接 BC,
∵网络图是由 10 个完全相同的正三角形构成,
∴AD=DE=CE=BE,∠ADE=∠BEC=1200,
∴△ADE≌△BEC,
∴∠EBC=α.
∵∠BEC=1200,BE=CE,
∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300,
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900,
设小正三角形的边长为 a,
则 AC=2a,BC=
√
3a,
在 Rt△ACB 中,AB=
√