南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷 18页

南通市2013届高三第一次调研测试数学I 参考答案与评分标准 ‎（考试时间：120分钟 满分：160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎1．已知全集U=R，集合，则 ▲ ．‎ ‎ 答案：．‎ ‎2．已知复数z=(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限．‎ ‎ 答案：三．‎ ‎3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ． ‎ ‎ 答案：48.‎ ‎4．定义在R上的函数，对任意x∈R都有，当 时，，‎ 则 ▲ ．‎ 答案：．‎ ‎5．已知命题：“正数a的平方不等于‎0”‎，命题：“若a不是正数，则它的平方等于‎0”‎，‎ 则是的 ▲ ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）‎ 开始 结束 Y n←1‎ 输入x 输出x n←n+1‎ x←2x+1‎ n≤3‎ N ‎（第8题）‎ 答案：否命题．‎ ‎6．已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，‎ 且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．‎ 答案：．‎ ‎7．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，‎ 则a5与a7的等比中项为 ▲ ．‎ 答案：．‎ ‎8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，‎ 则输出的x不小于55的概率为 ▲ ．‎ 答案：．‎ ‎9．在△ABC中，若AB=1，AC=，，则= ▲ ．‎ 答案：．‎ ‎10．已知，若，且，则的最大值为 ▲ ．‎ ‎ 答案：－2．‎ ‎11．曲线在点(1，f(1))处的切线方程为 ▲ ．‎ ‎ 答案：．‎ ‎(第12题)‎ O ‎12．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为‎3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为 ▲ cm．‎ ‎ 答案：－1.5．‎ ‎13．已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎ 答案：．‎ ‎14．设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小时，点 P的坐标为 ▲ ．‎ ‎ 答案：(2，3)．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(本题满分14分)‎ A B C D E F A1‎ B1‎ C1‎ ‎(第15题)‎ 如图，在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA‎1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：‎ ‎（1）平面ABC；‎ ‎（2）平面AEF⊥平面A1AD．‎ 解：（1）连结．‎ A B C D E F A1‎ B1‎ C1‎ ‎(第15题)‎ 因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，‎ 所以分别是的中点．‎ 所以． ………………………………………………………3分 又平面中，平面中，‎ 故平面． ………………………………………………6分 ‎（2）因为三棱柱为正三棱柱，‎ 所以平面，所以．‎ 故由，得． ………………………………………8分 又因为是棱的中点，且为正三角形，所以．‎ 故由，得． …………………………………………………………………10分 而，平面，所以平面．…………………………………12分 又平面，故平面平面．………………………………………………………14分 ‎16.（本题满分14分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．‎ 解：(1)因为，即，‎ 所以，‎ 即 ，‎ 得 ． ……………………………………………………………………………4分 所以，或(不成立)．‎ 即 , 得 ． …………………………………………………………………7分 ‎(2)由．‎ 因， …………………………………………………………8分 故 ‎=． ………………………………………11分 ‎，故．……………………………14分 ‎17.（本题满分14分）‎ A B C D ‎（第17题）‎ P 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为‎4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形的面积最大时制冷效果最好．‎ ‎（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？‎ ‎（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？‎ 解：（1）由题意，，．因，故． ……………………………2分 设，则．‎ 因△≌△，故．‎ 由 ，得 ，．……………………5分 ‎（2）记△的面积为，则 ‎ ………………………………………………………………………………………6分 ‎，‎ 当且仅当∈(1，2)时，S1取得最大值．…………………………………………………………8分 故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好． ………………………………………9分 ‎（3）记△的面积为，则 ‎，．……………………………………………10分 于是，．……………………………………………………11分 关于的函数在上递增，在上递减．‎ 所以当时，取得最大值． ……………………………………………………13分 故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好． ………………………………………14分 ‎18.（本题满分16分）‎ 已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．‎ ‎（1）求a1；‎ ‎（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；‎ ‎（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中10或a<．‎ ‎ 由PA=PB，CA=CB，得PC⊥l，于是，进而可求出x0的取值范围．‎ 第14题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用基本不等式解决问题．讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养．‎ ‎ 法一 ．‎ 当且仅当，即时m取得最小，此时点的坐标为．‎ 法二 ．‎ 当且仅当时取得最小值．下略．‎ 第15题 本题主要考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力．讲评时应注意强调规范化的表达．注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等．‎ 第16题 ‎ ‎ 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等．讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin(A+B)=sinC，面积公式及等积变换等．‎ ‎ (2)法一：由．‎ 因，‎ 故 ‎=．‎ ‎，故．‎ 法二：由正弦定理得：．‎ 由余弦定理得：，故． ‎ 因为，所以．‎ 又，故，得．‎ 因此，．‎ 第17题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心．‎ ‎ 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应谨慎决断最值的取值情况．‎ 第18题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算，考查创新能力．两个基本数列属C能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点．‎ ‎ 第(3)问中，若数列{an}为等差数列，则数列{}(k>0且k≠1)为等比数列；反之若数列{an}为等比数列，则数列{}(a>0且a≠1)为等差数列．‎ ‎ 第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m，p，q(其中m