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  • 2021-11-06 发布

用列举法求概率  教案2

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‎25.2 列举法求概率 教学目标: ‎ 知识与技能目标:学习用列表法、画树形图法计算概率,并通过比较概率大小作出合理的决策。‎ 过程与方法目标,经历实验、列表、统计、运算、设计等活动,学生在具体情境中分析事件,计算其发生的概率。渗透数形结合,分类讨论,由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力。‎ 情感与态度目标,通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极思维的学习习惯。‎ 教学重点:习运用列表法或树形图法计算事件的概率。‎ 教学难点:能根据不同情况选择恰当的方法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题。‎ 教学过程 ‎1.创设情景,发现新知 ‎ 教材是通过P151—P152的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。‎ 例5(教材P151):同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:‎ ‎(1) 两个骰子的点数相同;(2) 两个骰子的点数的和是9;(3) 至少有一个骰子的点数为2。‎ 这个例题难度较大,事件可能出现的结果有36种。若首先就拿这个例题给学生讲解,大多数学生理解起来会比较困难。所以在这里,我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏(前一课已有例2作基础)。‎ ‎(1)创设情景 引例:为活跃联欢晚会的气氛,组织者设计了以下转盘游戏:A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形,转盘A上的数字分别是1,6,8,转盘B上的数字分别是4,5,7(两个转盘除表面数字不同外,其他完全相同)。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针,使之产生旋转,指针停止后所指数字较大的一方为获胜者,负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上,则重转一次)。作为游戏者,你会选择哪个装置呢?并请说明理由。‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎8‎ A ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ B 图2 联欢晚会游戏转盘 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【设计意图】 选用这个引例,是基于以下考虑:以贴近学生生活的联欢晚会为背景,创设转盘游戏引入,能在最短时间内激发学生的兴趣,引起学生高度的注意力,进入情境。‎ ‎(2)学生分组讨论,探索交流 在这个环节里,首先要求学生分组讨论,探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题,即:‎ ‎“停止转动后,哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢?”‎ 由于事件的随机性,我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画,同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘, 即涉及2个因素,与前一课所讲授单转盘概率问题(教材P148例2)相比,可能产生的结果数目增多了,列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢?‎ 实际上,可以将这个游戏分两步进行。 于是,指导学生构造表格 ‎(3)指导学生构造表格 5‎ A B ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎8‎ 首先考虑转动A盘:指针可能指向1,6,8三个数字中的任意一个,可能出现的结果就会有3个。接着考虑转动B盘:当A盘指针指向1时,B盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个,这是列举法的简单情况。当A盘指针指向6或8时,B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。一共会产生9种不同的结果。‎ ‎【设计意图】 这样既分散了难点,又激发了学生兴趣,渗透了转化的数学思想。‎ ‎(4)学生独立填写表格,通过观察与计算,得出结论(即列表法)‎ A B ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎(1,4)‎ ‎(1,5)‎ ‎(1,7)‎ ‎6‎ ‎(6,4)‎ ‎(6,5)‎ ‎(6,7)‎ ‎8‎ ‎(8,4)‎ ‎(8,5)‎ ‎(8,7)‎ 从表中可以发现:A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。‎ ‎∴P(A数较大)= , P(B数较大)=. ∴P(A数较大)> P(B数较大) ‎ ‎∴选择A装置的获胜可能性较大。‎ 在学生填写表格过程中,注意向学生强调数对的有序性。‎ 由于游戏是分两步进行的,我们也可用其他的方法来列举。即先转动A盘,可能出现1,6,8三种结果;第二步考虑转动B盘,可能出现4,5,7三种结果。‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎8‎ 开始 A装置 ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ B装置 ‎(5)解法二:‎ ‎ ‎ ‎  ‎ 由图知:可能的结果为: (1,4),(1,5),(1,7),‎ ‎              (6,4),(6,5),(6,7),‎ ‎              (8,4),(8,5),(8,7)。共计9种。‎ ‎∴P(A数较大)= , P(B数较大)=. ‎ ‎ ∴P(A数较大)> P(B数较大) ‎ ‎∴选择A装置的获胜可能性较大。‎ 然后,引导学生对所画图形进行观察:若将图形倒置,你会联想到什么?这个图形很像一棵树,所以称为树形图(在幻灯片上放映)。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。‎ ‎【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。‎ ‎2.自主分析,再探新知 通过引例的分析,学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解,为了帮助学生熟练掌握这两种方法,我选用了下列两道例题(本节教材P151—P152的例5和例6)。‎ 例1:同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:‎ ‎(1) 两个骰子的点数相同;‎ ‎(2) 两个骰子的点数的和是9;‎ ‎(3) 至少有一个骰子的点数为2。‎ 5‎ 例1是教材上一道“掷骰子”的问题,有了引例作基础,学生不难发现:引例涉及两个转盘,这里涉及两个骰子,实质都是涉及两个因素。于是,学生通过类比列出下列表。‎ ‎ 第2个 第1个 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎(1,5)‎ ‎(1,6)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎(2,5)‎ ‎(2,6)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎(3,5)‎ ‎(3,6)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ ‎(4,5)‎ ‎(4,6)‎ ‎5‎ ‎(5,1)‎ ‎(5,2)‎ ‎(5,3)‎ ‎(5,4)‎ ‎(5,5)‎ ‎(5,6)‎ ‎6‎ ‎(6,1)‎ ‎(6,2)‎ ‎(6,3)‎ ‎(6,4)‎ ‎(6,5)‎ ‎(6,6)‎ ‎ 由上表可以看出,同时掷两个骰子,可能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现:‎ ‎(1)满足两个骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6个,即(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),所以P(A)==。‎ ‎[满足条件的结果在表格的对角线上]‎ ‎(2)满足两个骰子的点数的和是9(记为事件B)的结果有4个,即(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),所以P(B)==。‎ ‎[满足条件的结果在(3,6)和(6,3)所在的斜线上]‎ ‎(3)至少有一个骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11个,所以P(C)=。‎ ‎[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上]‎ 接着,引导学生进行题后小结:‎ 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤如下:‎ ‎①列表 ; ‎ ‎②通过表格计数,确定公式P(A)=中m和n的值;‎ ‎③利用公式P(A)=计算事件的概率。‎ 分析到这里,我会问学生:“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”,还可以使用列表法来做吗?”由此引出下一个例题。‎ 例2: 甲口袋中装有2个相同的球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中3个相同的球,它们分别写有字母C、D和E;丙口袋中2个相同的球,它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个球。‎ ‎(1)取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少?‎ ‎(2)取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少?‎ 例2与前面两题比较,有所不同:要从三个袋子里摸球,即涉及到3个因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便,可以尝试树形图法。‎ 本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。‎ A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I 甲 乙 丙 5‎ 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个,即:‎ A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C H B D H B D I B E H B E I B C I ‎(幻灯片上用颜色区分)‎ 这些结果出现的可能性相等。‎ ‎(1)只有一个元音字母的结果(黄色)有5个,即ACH,ADH,BCI,BDI,BEH,所以;‎ 有两个元音的结果(白色)有4个,即ACI,ADI,AEH,BEI,所以;‎ 全部为元音字母的结果(绿色)只有1个,即AEI ,所以。‎ ‎(2)全是辅音字母的结果(红色)共有2个,即BCH,BDH,所以。‎ 通过例2的解答,很容易得出题后小结:‎ 当一次试验要涉及3个或更多的因素时,通常采用“画树形图”。运用树形图法 求概率的步骤如下:(幻灯片)‎ ‎①画树形图 ; ‎ ‎②列出结果,确定公式P(A)=中m和n的值;‎ ‎③利用公式P(A)=计算事件概率。‎ 接着我向学生提问:到现在为止,我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况? 列表法和画树形图法求概率有什么优越性?什么时候使用“列表法”方便,什么时候使用“树形图法”更好呢?‎ ‎【设计意图】 通过对上述问题的思考,可以加深学生对新方法的理解,更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息,有利于学生根据实际情况选择正确的方法。‎ ‎3.应用新知,深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况,提高应用所学知识解决问题的能力,在此我选择了教材P154课后练习作为随堂练习。‎ ‎(1)经过某十字路口的汽车,它可能继续前行,也可能向左或向右,如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口,求下列事件的概率:‎ ‎①三辆车全部继续前行;‎ ‎②两辆车向右转,一辆车向左转;‎ ‎③至少有两辆车向左转。‎ ‎[随堂练习(1)是一道与实际生活相关的交通问题,可用树形图法来解决。]‎ ‎(2)在6张卡片上分别写有1——6的整数,随机地抽取一张后放回,再随机地抽取一张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少?‎ 5‎ 通过解答随堂练习(2),学生会发现列出的表格和例1的表格完全一样。不同的是:变换了实际背景,设置的问题也不一样。这时,我提出:我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢?‎ 为了进一步拓展思维,我向学生提出了这样一个问题,供学生课后思考:‎ 在前面的引例中,转盘的游戏规则是不公平的,你能把它改成一个公平的游戏吗?‎ ‎【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质,做到举一反三,融会贯通。‎ ‎4.归纳总结,形成能力 我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内交流,派小组代表发言。‎ ‎【设计意图】 通过这个环节,可以提高学生概括能力、表达能力,有助于学生全面地了解自己的学习过程,感受自己的成长与进步,增强自信,也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。‎ ‎5.布置作业,巩固提高 考虑到学生的个体差异,为促使每一个学生得到不同的发展,同时促进学生对自己的学习进行反思,在第五个环节“布置作业,巩固提高”里作如下安排:‎ ‎(1)必做题:书本P154/ 3,P155/ 4,5‎ ‎(2)选做题:‎ ‎①请设计一个游戏,并用列举法计算游戏者获胜的概率。‎ ‎②研究性课题:通过调查学校周围道路的交通状况,为交通部门提出合理的建议等。‎ ‎【设计意图】 通过教学实践作业和社会实践活动,引导学生灵活运用所学知识,让学生把动脑、动口、动手三者结合起来,启发学生的创造性思维,培养协作精神和科学的态度。 ‎ 5‎

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