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- 2021-11-07 发布
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1
专题 02 代数式与整式
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 代数式
概念:用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代
数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
【注意】
1.代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2.代数式中不含有=、<、>、≠等
3.对于用字母表示的数,如果没有特别说明,就应理解为它可以表示任何一个数。
代数式的分类:
2
列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系,其次应抓住题中的一些关键词语,如和、差、积、商、平方、倒
数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语,反复咀嚼,认真推敲,列好一般的代数式就不太难了.
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
(2)数字通常写在字母前面.
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数.
(4)除法常写成分数的形式.
代数式的值
一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值.
1.(2019·河北中考模拟)今年苹果的价格比去年便宜了 20%,己知去年苹果的价格是每千克 元,则今年苹
果每千克的价格是( )
A. B. C. D.
【详解】
由题意可得,今年每千克的价格是(1-20%)a 元,
故选 D.
2.(2014·江西中考真题)如图 1,将一个边长为 a 的正方形纸片剪去两个小矩形,得到一个“ ”的图案,
如图 2 所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图 3 所示,则新矩形的周长可表示为( )
A.2a﹣3b B.4a﹣8b C.2a﹣4b D.4a﹣10b
【详解】
根据题意得:2(a﹣b+a﹣3b)=2(2a﹣4b)=4a﹣8b,
a
20%
a
1 20%
a
− 20%a ( )1 20% a−
3
故选 B
3.(2017·河南中考模拟)两位数,十位数字是 x,个位数字比十位数字的 2 倍少 3,这个两位数是( )
A.x(2x﹣3) B.x(2x+3) C.12x﹣3 D.12x+3
【详解】
∵十位数字是 x,个位数字比十位数字的 2 倍少 3,
∴个位数字为 2x−3,
∴这个 2 位数为 10x+2x−3=12x−3.
故选 C
4.(2019·柳州市第十四中学中考模拟)小华有 x 元,小林的钱数是小华的一半还多 2 元,小林的钱数是( )
A. B. C. D.
【详解】
小华存款的一半为 元,则小林的存款数为( +2)元,故选 A.
5.(2018·黑龙江中考真题)我们知道,用字母表示的代数式是具有一般意义的,请仔细分析下列赋予 3a 实
际意义的例子中不正确的是
A.若葡萄的价格是 3 元 千克,则 3a 表示买 a 千克葡萄的金额
B.若 a 表示一个等边三角形的边长,则 3a 表示这个等边三角形的周长
C.将一个小木块放在水平桌面上,若 3 表示小木块与桌面的接触面积,a 表示桌面受到的压强,则 3a 表示小
木块对桌面的压力
D.若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则 3a 表示这个两位数
【详解】
A. 若葡萄的价格是 3 元/千克,则 3a 表示买 a 千克葡萄的金额,故正确;
B. 若 a 表示一个等边三角形的边长,则 3a 表示这个等边三角形的周长,故正确;
C. 将一个小木块放在水平桌面上,若 3 表示小木块与桌面的接触面积,a 表示桌面受到的压强,则 3a 表示小
木块对桌面的压力,故正确;
D. 若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则 30+a 表示这个两位数,故不正确;
故选 D.
6.(2016·河南中考模拟)某商店举办促销活动,促销的方法是将原价 x 元的衣服以 元出售,则下
1 22 x + 1 ( 2)2 x + 1 22 x − 1 ( 2)2 x −
1
2 x 1
2 x
( )
/
4 105 x −
4
列说法中,能正确表达该商店促销方法的是( )
A.原价减去 10 元后再打 8 折 B.原价打 8 折后再减去 10 元
C.原价减去 10 元后再打 2 折 D.原价打 2 折后再减去 10 元
【详解】
将原价 x 元的衣服以( )元出售,是把原价打 8 折后再减去 10 元.故选 B.
7.(2017·河南省郑州一中汝州实验中学中考模拟)用代数式表示“m 的3 倍与n 的差的平方”,正确的是( )
A.3m﹣n2 B.(m﹣3n)2 C.(3m﹣n)2 D.3(m﹣n)2
【详解】
m 的 3 倍与 n 的差的平方表示为:(3m﹣n)2.
故选 C.
8.(2018·安徽中考模拟)在下列各式中,不是代数式的是( )
A.7 B.3>
2 C.
D. x2+y2
【详解】
根据代数式的定义分析可知,A、C、D 中的式子都是代数式,B 中的式子是不等式,不是代数式.故选 B.
考查题型一 求代数式的值的方法
1.(2019·浙江中考模拟)已知|a|=3,b2=16,且|a+b|≠a+b,则代数式 a﹣b 的值为( )
A.1 或 7 B.1 或﹣7 C.﹣1 或﹣7 D.±1 或±7
【详解】
解:∵|a|=3,b2=16,
∴a= 3,b= 4,
又∵|a+b|≠a+b,
∴a+b 的结果不可以是正数,即 或
∴a﹣b=1 或 7
故选 A.
2.(2018·山东中考模拟)若 x=﹣ ,y=4,则代数式 3x+y﹣3 的值为( )
4 105 x −
2
x
2
3
± ±
3
4
a
b
= −
= −
3
4
a
b
=
= −
1
3
5
A.﹣6 B.0 C.2 D.6
【详解】
试题解析:∵x=﹣ ,y=4,
∴代数式 3x+y﹣3=3×(﹣ )+4﹣3=0.
故选 B.
3.(2019·浙江中考模拟)若点 A(m,n)和点 B(5,﹣7)关于 x 轴对称,则 m+n 的值是( )
A.2 B.﹣2 C.12 D.﹣12
【详解】
∵点 A(m,n)和点 B(5,-7)关于 x 轴对称,
∴m=5,n=7,
则 m+n 的值是:12.
故选:C.
4.(2016·重庆中考真题)若 m=-2,则代数式 m2-2m-1 的值是( )
A.9 B.7 C.-1 D.-9
【详解】
将 m=-2 代入代数式可得:原式= -2×(-2)-1=4+4-1=7.
考查题型二 列代数式在探索规律问题中的应用方法
1.(2018·重庆市合川区南屏中学中考模拟)如图,下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成,其
中,第(1)个图形中面积为 1 的正方形有 2 个,第(2)个图形中面积为 1 的正方形有 5 个,第(3)个图形
中面积为 1 的正方形有 9 个,…,按此规律.则第(6)个图形中面积为 1 的正方形的个数为( )
A.20 B.27 C.35 D.40
【详解】
第(1)个图形中面积为 1 的正方形有 2 个,
第(2)个图形中面积为 1 的图象有 2+3=5 个,
第(3)个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4=9 个,
1
3
1
3
6
…,
按此规律,
第 n 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4+…+(n+1)= 个,
则第(6)个图形中面积为 1 的正方形的个数为 2+3+4+5+6+7=27 个.
故选 B.
2.(2019·云南中考模拟)一组按规律排列的多项式:a+b,a2-b3,a3+b5,a4-b7,…,其中第 10 个式子是( )
A. B. C. D.
【详解】
解:多项式的第一项依次是 a,a2,a3,a4,…,an,
第二项依次是 b,﹣b3,b5,﹣b7,…,(﹣1)n+1b2n﹣1,
所以第 10 个式子即当 n=10 时,
代入到得到 an+(﹣1)n+1b2n﹣1=a10﹣b19.
故选 B.
3.(2011·江苏中考模拟)观察下列图形及图形所对应的算式,根据你发现的规律计算 1+8+16+24+……+8n(n
是正整数)的结果为 ( )
A. B. C. D.
【详解】
图(1):1+8=9=(2×1+1)2;
图(2):1+8+16=25=(2×2+1)2;
图(3):1+8+16+24=49=(3×2+1)2;
…;
那么图(n):1+8+16+24+…+8n=(2n+1)2.
故选 B.
( 3)
2
n n +
10 19a b+ 10 19a b− 10 17a b− 10 21a b−
2(2 1)n − 2(2 1)n + 2( 2)n + 2n
7
4.(2018·湖北中考模拟)如图,是一组按照某种规律摆放成的图案,则图 5 中三角形的个数是( )
A.8 B.9 C.16 D.17
【详解】
由图可知:第一个图案有三角形 1 个;
第二图案有三角形 4 个;
第三个图案有三角形 4+4=8 个;
第四个图案有三角形 4+4+4=12 个;
第五个图案有三角形 4+4+4+4=16 个。
故选 C。
5.(2019·尉氏县十八里镇实验中学中考模拟)(3 分 )如图,是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的
排列规律,第 9 行从左至右第 5 个数是( )
A.2 B. C.5 D.
【详解】
根据三角形数列的特点,归纳出每 n 行第一个数的通用公式是 ,所以,第 9 行从左至右第 5 个
数是 = .
故选:B
知识点二 单项式
概念:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算,或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫
单项式(单项式中“只含乘除,不含加减”).
【注意】:
1)圆周率 是常数,所以1
휋也是常数;
10 41 2 51
( )1 12
n n − +
( )9 9 1 1 (5 1)2
− + + − 41
π
8
2)当一个单项式的系数是 1 或-1 时,“1”通常省略不写;
3)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数.
单项式的系数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;
单项式的次数:系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数.
【注意】:
1)一个单项式只含有字母因数,它的系数就是 1 或者-1。
2)一个单项式是一个常数时,它的系数就是它本身。
3)负数作系数时,需带上前面的符号。
4)若系数是 1 或-1 时,“1”通常省略不写。
1.(2015·福建中考真题)已知一个单项式的系数是 2,次数是 3,则这个单项式可以是( )
A. B. C. D.
【详解】
此题规定了单项式的系数和次数,但没规定单项式中含几个字母.
A. 系数是﹣2,错误;
B. 系数是 3,错误;
C. 次数是 4,错误;
D. 符合系数是 2,次数是 3,正确;
故选 D.
2.(2019·广西中考模拟)单项式 的系数是( )
A. B.π C.2 D.
【详解】
单项式 的系数是: .
故选 D.
3.(2015·内蒙古中考真题)下列说法中,正确的是( )
A.-3
4푥2的系数是3
4 B.3
2휋푎2的系数是3
2
22xy− 23x 32xy 32x
22xy−
23x
32xy
32x
2
2
πr
1
2 2
π
2
2
πr
2
π
9
C.3a푏2的系数是 3a D.2
5x푦2的系数是2
5
【详解】
A、﹣3
4푥2的系数是﹣3
4,故本选项错误;B、3
2휋푎2的系数是3
2휋,故本选项错误;C、3a푏2的系数是 3,故本选项错
误;D、2
5x푦2的系数2
5,故本选项正确.
4.(2018·贵州中考模拟)下面关于单项式- a3bc2 的系数与次数叙述正确的是( )
A.系数是 ,次数是 6 B.系数是- ,次数是 5
C.系数是 ,次数是 5 D.系数是- ,次数是 6
【详解】
单项式的系数为: ;次数为:3+1+2=6.故选 D.
5.(2017·重庆中考模拟)在式子-4,0,x-2y, , , 中,单项式有( )
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
【详解】
根据单项式的定义:数或字母的积组成的式子叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式,可知:在式子
-4,0,x-2y, , , 中,单项式有-4,0, , 共 4 个.
故选 B.
考查题型三 利用单项式概念确定字母取值
1.(2017·河北中考模拟)如果单项式 3anb2c 是 5 次单项式,那么 n=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【详解】根据单项式的次数的概念可得:n+2+1=5,解得,n=2,
故选 A.
知识点三 多项式
概念:几个单项式的和叫多项式.
多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,
次数最高项的次数叫多项式的次数;
【注意】
1.ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式(若 a、b、c、p、q 是常数).
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
−
23
4 x y− 4
m 3
xy
23
4 x y− 4
m 3
xy 23
4 x y−
3
xy
10
2.多项式通常以它的次数和项数来命名,称几次(最高次项的次数)几项(多项式项数)式。
1.(2018·上海中考模拟)下列说法正确的是( )
A.2a2b 与–2b2a 的和为 0
B. 的系数是 ,次数是 4 次
C.2x2y–3y2–1 是 3 次 3 项式
D. x2y3 与– 是同类项
【详解】
A、2a2b 与-2b2a 不是同类项,不能合并,此选项错误;
B、 πa2b 的系数是 π,次数是 3 次,此选项错误;
C、2x2y-3y2-1 是 3 次 3 项式,此选项正确;
D、 x2y3 与﹣ 相同字母的次数不同,不是同类项,此选项错误;
故选 C.
2.(2017·浙江中考模拟)下列说法中正确的是( )
A.3x3-2x2+1 是五次三项式 B.3m2- 是二次二项式
C.x2-x-34 是四次三项式 D.2x2-2x+3 中一次项系数为-2
【详解】
选项 A,3x3-2x2+1 是三次三项式,选项 A 错误;选项 B,3m2- 不是整式,选项 B 错误;选项 C,x2-x-34 是二
次三项式,选项 C 错误;选项 D,2x2-2x+3 的一次项系数为-2,正确,
3.(2015·江苏中考模拟)下列代数式中,次数为 4 的单项式是 ( )
A.푥4 + 푦4 B.x푦2 C.4xy D.푥3푦
【详解】
单项式的次数是等于单项式中各字母的指数之和.A 为多项式;B 的次数为 3 次;C 的次数为 2 次;D 的次数为 4
次.
故选 D.
考查题型四 利用多项式概念确定字母取值
1.(2017·重庆中考模拟)若多项式 5x2y|m| (m+1)y2﹣3 是三次三项式,则 m 等于( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
22
3 a bπ 2
3
3 3 21
3 x y
2
3
2
3
3 3 21
3 x y
2
n
2
n
1
4
−
11
【详解】
根据三次三项式的定义,可得 2+|m|=3,- (m+1)≠0,
联立方程组,得
解得 m=1.
故选 C.
知识点四 整式的加减
同类项概念:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
同类项与系数无关,与字母的排列顺序也无关。
合并同类项法则:系数相加,字母与字母的指数不变.
步骤:①找 ②移 ③合
去(添)括号法则:去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,
括号里的各项都要变号.
注意:
1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
3、括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而
忘记改变其余的符号.
4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项.
5、遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
整式加减法法则:几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同
类项.
注意:多项式相加(减)时,必须用括号把多项式括起来,才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按
这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.
考查题型五 同类项概念的理解
1.(2019·湖南中考真题)下列各式中,与 是同类项的是( )
A. B. C. D.
1
4
2 3
1 0
m
m
+
+ ≠
=
2 33x y
52x 3 23x y 2 31
2 x y− 51
3 y−
12
【详解】
解:A. 与 不是同类项,故本选项错误;
B.3x3y2 与 不是同类项,故本选项错误;
C. 与 是同类项,故本选项正确;
D. 与 不是同类项,故本选项错误;
故选:C.
2.(2016·云南中考真题)单项式 xm﹣1y3 与 4xyn 的和是单项式,则 nm 的值是( )
A.3 B.6 C.8 D.9
【详解】
已知得出两单项式是同类项,可得 m﹣1=1,n=3,解得 m=2,n=3,所以 nm=32=9,故答案选 D.
3.(2018·山东中考真题)若单项式 am﹣1b2 与 的和仍是单项式,则 nm 的值是( )
A.3 B.6 C.8 D.9
【详解】
∵单项式 am-1b2 与 a2bn 的和仍是单项式,
∴单项式 am-1b2 与 a2bn 是同类项,
∴m-1=2,n=2,
∴m=3,n=2,
∴nm=8.
故选:C.
4.(2019·辽宁中考模拟)若 是同类项,则
A. B.2 C.1 D.
【详解】
由题意得: , ,m+n=1.
故选 C.
5.(2013·四川中考真题)如果单项式 ― xa+1y3与1
2yb푥2是同类项,那么a、b的值分别为( )
52x 2 33x y
2 33x y
2 31
2 x y− 2 33x y
51
3 y− 2 33x y
21
2
na b
1
2
1
2
m 2 n 113a b ab2
与+ − m n (+ = )
2− 1−
2 1
1 1
m
n
+ =
= -
1
2
m
n
= −
=
13
A.a = 2,b = 3 B.a = 1,b = 2 C.a = 1,b = 3 D.a = 2,b = 2
【详解】
所含字母相同,并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。因此,
∵ ― xa+1y3与1
2yb푥2是同类项,
∴{a + 1 = 2
b = 3 ⇒{a = 1
b = 3 。故选 C。
考查题型六 去括号(实质:移项、合并同类项)
1.(2018·湖南中考模拟)下列去括号正确的是 ( )
A.a-(b-c)=a-b-c B.x2-[-(-x+y)]=x2-x+y
C.m-2(p-q)=m-2p+q D.a+(b-c-2d)=a+b-c+2d
【详解】
A. a-(b-c)=a-b+c,故错误;
B. x2-[-(-x+y)]= x2-[x-y]=x2-x+y,正确;
C. m-2(p-q)=m-2p+2q,故错误;
D. a+(b-c-2d)=a+b-c-2d,故错误;
故选 B.
2.(2017·安徽中考模拟)已知 a-b=-3,c+d=2,则(b+c)-(a-d)的值为( )
A.1 B.5 C.-5 D.-1
【详解】
.故选 B.
3.(2017·安徽中考模拟)下列各题去括号错误的是( )
A. B.m+(-n+a-b)=m-n+a-b
C. (4x-6y+3)=-2x+3y+3 D.
【详解】
选项 A, = ;
选项 B, ;
( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5b c a d b c a d a b c d+ − − = + − + = − − + + = + =
1 13 32 2x y x y − − = − +
1
2
− 1 1 2 1 1 2
2 3 7 2 3 7a b c a b c + − − + = + + −
13 2x y − −
13 2x y− +
( )m n a b m n a b+ − + − = − + −
14
选项 C, ;
选项 D, .
综上,只有选项 C 错误,故选 C.
4.(2017·四川中考真题)下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【详解】试题分析:A、 与 不能合并,所以 A 选项错误;B、原式=6×2=12,所以 B 选项错误;
C、原式= ,所以 C 选项准确;D、原式=2 ,所以 D 选项错误.
故选 C.
考查题型七 整体代换
1.(2018·重庆中考模拟)若 时,则代数式 的值为( )
A.17 B.11 C. D.10
【详解】
因为 3-2x+10y=3+2(5y-x),又 5y-x=7,
所以 3-2x+10y=3+2×7=17.
故选 A.
2.(2015·湖南中考真题)已知 a2+2a=1,则代数式 2a2+4a﹣1 的值为( ).
A.0 B.1 C.﹣1 D.﹣2
【详解】
所求代数式前两项提取 2,变形为 2(a2+2a)-1,将已知等式代入得:2×1-1=1,故选 B.
3.(2018·安徽中考模拟)已知 a-2b=-2,则 4-2a+4b 的值是( )
A.0 B.2 C.4 D.8
【详解】
∵a-2b=-2,
∴-a+2b=2,
∴-2a+4b=4,
∴4-2a+4b=4+4=8,
( )1 34 6 3 2 32 2x y x y− − + = − + −
1 1 2 1 1 2
2 3 7 2 3 7a b c a b c + − − + = + + −
5 7y x− = 3 2 10x y− +
11−
15
故选 D.
4.(2013·江苏中考真题)已知 ,则 的值为
A.1 B. C. D.
【详解】
解:∵ ,
∴ .
故选 D.
5.(2019·浙江中考模拟)已知 a2+2a-3=0,则代数式 2a2+4a-3 的值是( )
A.-3 B.0 C.3 D.6
【详解】
解:当 a2+2a=3 时
原式=2(a2+2a)﹣3=6﹣3=3
故选 C.
1x 3x
− = 21 34 x x2 2
− +
3
2
5
2
7
2
2 21x 3 x 1 3x x 3x 1x
− = ⇒ − = ⇒ − =
( )2 21 3 1 1 74 x x 4 x 3x 4 12 2 2 2 2
− + = − − = − × =