2010年辽宁省铁岭市中考数学试卷 21页

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2010•铁岭）2的算术平方根是（　　）‎ ‎ A、‎2‎ B、﹣‎‎2‎ ‎ C、±‎2‎ D、2‎ 考点：算术平方根。‎ 分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a是算术平方根，利用此定义进行分析即可判定．‎ 解答：解：∵‎2‎2的平方为2，‎ ‎∴2的算术平方根为‎2‎．‎ 故选A．‎ 点评：此题主要考查学生对算术平方根的概念的理解及运用，注意算术平方根与平方根的区别，弄清概念是解决本题的关键．‎ ‎2、（2010•铁岭）如图所示，下列选项中，正六棱柱的左视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单几何体的三视图。‎ 分析：找到从左面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从左面看可得到左右相邻的2个长方形，故选B．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；本题需注意左视图中只能看到正六棱柱的两个面．‎ ‎3、（2010•铁岭）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（　　）‎ ‎ A、4 B、﹣4‎ ‎ C、±2 D、±4‎ 考点：因式分解-运用公式法。‎ 分析：利用完全平方公式利用（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．‎ 解答：解：∵x2+mx+4=（x±2）2，‎ 即x2+mx+4=x2±4x+2，‎ ‎∴m=±4．‎ 故选D．‎ 点评：本题要熟记有关完全平方的几个变形公式，本题考查对完全平方公式的变形应用能力．‎ ‎4、（2010•铁岭）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（　　）‎ ‎ A、‎5‎米 B、‎3‎米 ‎ C、（‎5‎+1）米 D、3米 考点：勾股定理的应用。‎ 分析：在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．‎ 解答：解：Rt△ABC中，AC=1米，AB=2米；‎ 由勾股定理，得：BC=AC‎2‎‎+‎AB‎2‎=‎5‎米；‎ ‎∴树的高度为：AC+BC=（‎5‎+1）米；‎ 故选C．‎ 点评：正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．‎ ‎5、（2010•铁岭）⊙O1的半径是2cm，⊙O2的半径是5cm，圆心距是4cm，则两圆的位置关系是（　　）‎ ‎ A、相交 B、外切 ‎ C、外离 D、内切 考点：圆与圆的位置关系。‎ 分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．‎ ‎（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．‎ 解答：解：根据题意，得 圆心距P=4，R+r=5+2=7，R﹣r=5﹣2=3‎ ‎∴R﹣r＜P＜R+r，‎ ‎∴两圆的位置关系是相交．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了由两圆的半径及圆心距之间的数量关系来判断两圆的位置关系．‎ ‎6、（2010•铁岭）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）‎ ‎ A、八边形 B、十二边形 ‎ C、十边形 D、九边形 考点：多边形内角与外角。‎ 分析：多边形的内角和与边数相关，随着边数的不同而不同，而外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．‎ 解答：解：多边形外角和=360°，‎ 设这个多边形是n边形，根据题意得 ‎（n﹣2）•180°=360°×4，‎ 解得n=10．‎ 故选C．‎ 点评：此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．‎ ‎7、（2010•铁岭）若（2，k）是双曲线y=‎‎1‎x上的一点，则函数y=（k﹣1）x的图象经过（　　）‎ ‎ A、一、三象限 B、二、四象限 ‎ C、一、二象限 D、三、四象限 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质。‎ 分析：先把（2，k）代入双曲线y=‎‎1‎x求出k的值，再把k的值代入函数y=（k﹣1）x求出此函数的解析式，再根据正比例函数的特点解答即可．‎ 解答：解：把（2，k）代入双曲线y=‎‎1‎x得，k=‎1‎‎2‎，‎ 把k=‎1‎‎2‎代入函数y=（k﹣1）x得，y=﹣‎1‎‎2‎x，‎ 故此函数的图象过二、四象限．‎ 故选B．‎ 点评：此题利用的规律：在直线y=kx中，当k＞0时，函数图象过一、三象限；当k＜0时，函数图象过二、四象限．‎ ‎8、（2010•铁岭）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（　　）‎ ‎ A、abc＞0 B、b＞a+c ‎ C、2a﹣b=0 D、b2﹣4ac＜0‎ 考点：二次函数图象与系数的关系。‎ 分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解答：解：抛物线的开口向下，则a＜0；…①‎ 抛物线的对称轴为x=1，则﹣b‎2a=1，b=﹣2a；…②‎ 抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；…③‎ 抛物线与x轴有两个不同的交点，则：△=b2﹣4ac＞0；（故D错误）‎ 由②知：b＞0，b+2a=0；（故C错误）‎ 又由①③得：abc＜0；（故A错误）‎ 由图知：当x=﹣1时，y＜0；即a﹣b+c＜0，b＞a+c；（故B正确）‎ 故选B．‎ 点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9、（2010•铁岭）地球到太阳的距离为150000000km，将150000000km用科学记数法表示为 km．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：150 000 000=1.5×108km．‎ 点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．‎ 规律总结：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；‎ ‎（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．‎ ‎10、（2010•铁岭）李红同学为了在中考体育加试中取得好成绩，每天自己在家里练习做一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她一个星期做的次数：30、28、24、30、25、30、22．则李红同学一个星期做仰卧起坐的次数的中位数和众数分别是 ．‎ 考点：中位数；众数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：直接根据中位数和众数的定义求解．‎ 解答：解：数据按从小到大排列为22，24，25，28，30，30，30，所以中位数是28，‎ 数据30出现3次，出现次数最多，所以众数是30．‎ 故填28，30．‎ 点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而出错，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎11、（2010•铁岭）在平面直角坐标系中，点P（a﹣1，a）是第二象限内的点，则a的取值范围是 ．‎ 考点：点的坐标。‎ 分析：已知点P（a﹣1，a）是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，即可求解．‎ 解答：解：∵点P（a﹣1，a）是第二象限内的点，‎ ‎∴a﹣1＜0且a＞0，解得：0＜a＜1．故答案填：0＜a＜1．‎ 点评：本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，第二象限（﹣，+）．‎ ‎12、（2010•铁岭）如图所示，王老师想在一张等腰梯形的硬纸板ABCD上剪下两个扇形，做成两个圆锥形教具．已知AB=AD=30cm，BC=60cm，则她剪下后剩余纸板的周长是 cm（结果保留π）．‎ 考点：圆锥的计算；等腰梯形的性质。‎ 分析：剩余纸板的周长=AD+2弧DE的长度．‎ 解答：解：易得两个扇形的半径均为30cm．‎ 连接DE，易得四边形ABED是菱形，那么DE=AB，‎ ‎∴△DEC为等边三角形．‎ ‎∴∠C=60°，‎ ‎∴剩余纸板的周长=30+2×‎60π×30‎‎180‎=（30+20π）cm．‎ 点评：关键是得到所求量的等量关系，难点是判断出弧所在的圆心角的度数及半径．‎ ‎13、（2010•铁岭）将红、黄、蓝三种除颜色不同外，其余都相同的球，放在不透明的纸箱里，其中红球4个，蓝球3个，黄球若干个．若每次只摸一球（摸出后放回），摸出红球的概率是‎2‎‎5‎，则黄球有 个．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：摸出红球的概率是‎2‎‎5‎，即红球的个数是球的个数的‎2‎‎5‎，即可求得球的总个数，减去红球和蓝球的个数即可得到黄球的个数．‎ 解答：解：球的总个数是：4÷‎2‎‎5‎=10．‎ 黄球的个数：10﹣4﹣3=3（个）．‎ 点评：本题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=‎mn ‎．求出球的总个数是解决本题的关键．‎ ‎14、（2010•铁岭）如图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是 cm．‎ 考点：平行四边形的性质。‎ 分析：利用平行四边形的对角线互相平分这一性质，确定已知条件中两三角形周长的差也是平行四边形两邻边边长的差，进而确定平行四边形的边长．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC，OB=OD，‎ ‎∵△AOD的周长=OA+OD+AD，△AOB的周长=OA+OB+AB，‎ 又∵△AOD与△AOB的周长差是5cm，‎ ‎∴AD=AB+5，‎ 设AB=x，AD=5+x，‎ 则2（x+5+x）=18，‎ 解得x=2，即AB=2cm．‎ 故答案为2．‎ 点评：本题是应用平行四边形性质的典型题目，解决此题运用了平行四边形的对边相等和角平分线互相平分这两条性质，题目难度不大．‎ ‎15、（2010•铁岭）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为 ．‎ 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：因为ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠A=90°，则有∠ABF=∠DAE，又因为DE⊥a、BF⊥a，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF=DE=4，BF=AE=3，则EF的长可求．‎ 解答：解：∵ABCD是正方形 ‎∴AB=AD，∠B=∠A=90°‎ ‎∵∠B+∠ABF=∠A+∠DAE ‎∴∠ABF=∠DAE 在△AFB和△AED中 ‎∠ABF=∠DAE，∠AFB=∠AED，AB=AD ‎∴△AFB≌△AED ‎∴AF=DE=4，BF=AE=3‎ ‎∴EF=AF+AE=4+3=7．‎ 故答案为：7．‎ 点评：此题把全等三角形的判定和正方形的性质结命求解．考查学生综合运用数学知识的能力．‎ ‎16、（2010•铁岭）有一组数：‎1‎‎2‎‎，‎3‎‎5‎，‎5‎‎10‎，‎7‎‎17‎，‎‎9‎‎26‎…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n为正整数）个数为 ．‎ 考点：规律型：数字的变化类。‎ 专题：规律型。‎ 分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．‎ 解答：解：‎ ‎1‎‎2‎‎=‎2×1﹣1‎‎1‎‎2‎‎+1‎；‎ ‎3‎‎5‎‎=‎‎2×2﹣1‎‎2‎‎2‎‎+1‎‎；‎ ‎5‎‎10‎‎=‎‎2×3﹣1‎‎3‎‎2‎‎+1‎‎；‎ ‎7‎‎17‎‎=‎‎2×4﹣1‎‎4‎‎2‎‎+1‎‎；‎ ‎9‎‎26‎‎=‎‎2×5﹣1‎‎5‎‎2+1‎‎；‎ ‎…；‎ ‎∴第n（n为正整数）个数为‎2n﹣1‎n‎2‎‎+1‎．‎ 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．‎ 三、解答题（共10小题，满分102分）‎ ‎17、（2010•铁岭）（1）︳﹣3‎3‎|﹣2cos30°﹣‎12‎﹣2﹣2+（3﹣π）0‎ ‎（2）先化简，再求值．‎（1﹣‎1‎x+3‎）÷‎x‎2‎‎﹣4‎x+3‎，其中x=3‎ 考点：特殊角的三角函数值；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂。‎ 分析：（1）利用绝对值和特殊角的三角函数及负指数幂和0指数幂进行计算．‎ ‎（2）先计算括号里的，再把分子分母分解因式，约分即可．‎ 解答：（1）解：原式=3‎3‎﹣‎3‎﹣2‎3‎﹣‎1‎‎4‎+1 （3分）‎ ‎=‎3‎‎4‎；（5分）‎ ‎（2）解：‎‎（1﹣‎1‎x+3‎）÷‎x‎2‎‎﹣4‎x+3‎ ‎=‎（x+3‎x+3‎﹣‎1‎x+3‎）÷‎x‎2‎‎﹣4‎x+3‎（1分）‎ ‎=x+2‎x+3‎‎×‎x+3‎‎（x+2）（x﹣2）‎（3分）‎ ‎=‎1‎x﹣2‎． （4分）‎ 当x=3时，原式=1． （5分）‎ 点评：本题主要考查了实数的运算及分式的化简求值．‎ ‎18、（2010•铁岭）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°．‎ ‎（1）尺规作图：在AC上求作一点P，使BP+PC=AB；（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在已作的图形中，连接PB，以点P为圆心，PB长为半径画弧交AC的延长线于点E，若BC=2cm，求扇形PBE的面积．‎ 考点：扇形面积的计算。‎ 专题：作图题。‎ 分析：（1）由于△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由此可以得到∠ABC=∠ACB=72°，所以作∠ABC的平分线BP之后可以得到△ABP，△BPC它们都是等腰三角形，由此即可得到满足BP+PC=AB的P的点；‎ ‎（2）根据（1）的结论知道BC=BP=AB，并且∠BPC=72°，然后利用扇形的面积公式即可求出扇形PBE的面积．‎ 解答：解：（1）如图射线BD交AC于P，P即为所求；‎ ‎（2）如图，根据作图得BP平分∠ABP=∠CBP，‎ 而在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=72°，‎ ‎∴△PAB是等腰三角形，△BCP是等腰三角形，‎ ‎∴AP=BP=BC=PE=2，∠BPC=72°，‎ ‎∴S扇形PBE=‎72×π×‎‎2‎‎2‎‎360‎=‎4‎‎5‎π．‎ 点评：此题主要考查了等腰三角形的特殊性质，特殊也考查了扇形面积的计算．‎ ‎19、（2010•铁岭）如图所示，甲乙两人准备了可以自由转动的转盘A、B，每个转盘被分成几个面积相等的扇形，并在每个扇形内标上数字．‎ ‎（1）只转动A转盘，指针所指的数字是2的概率是多少？‎ ‎（2）如果同时转动A、B两个转盘，将指针所指的数字相加，则和是非负数的概率是多少？并用树状图或表格说明理由．（如果指针指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：（1）看2的个数占表格中数的总个数的多少即可；‎ ‎（2）列举出所有情况，看和是非负数的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：（1）数的总个数为4，2有2个，指针指向2的概率是‎2‎‎4‎=‎1‎‎2‎；‎ ‎（2）‎ 或表格法：（8分）‎ 因为共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中和是非负数的结果有5种，所以和是非负数的概率是‎5‎‎12‎．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验；非负数指正数和0．‎ ‎20、（2010•铁岭）红星中学开展了“绿化家乡，植树造林”活动，并对该校的甲、乙、丙、丁四个班级种树情况进行了考察，并将收集的数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．‎ 请根据图中提供的信息，完成下列问题：‎ ‎（1）这四个班共种 棵树；‎ ‎（2）请你补全两幅统计图；‎ ‎（3）若四个班种树的平均成活率是90%，全校共种树2000棵，请你估计这些树中，成活的树约有多少棵．‎ 考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）观察图表，乙班植树20棵，所占比为20%，即可求出这四个班种树总棵数；‎ ‎（2）因为丁班植树50棵，所以所占百分比为50÷200=25%，则丙班所占比例为1﹣35%﹣20%﹣25%=20%，故丙班植树40棵；‎ ‎（3）用总棵数×平均成活率即可得到成活的树的棵数．‎ 解答：（1）40÷0.2=200（棵）；‎ ‎（2）如图：‎ ‎（3）90%×2000=1800（棵）‎ ‎∴成活1800棵树．‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎21、（2010•铁岭）如图，张明站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，他测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若张明的眼睛与地面的距离是1.8米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：‎3‎‎=1.73‎，结果保留两位有效数字）‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．‎ 解答：解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．‎ i=BEAE=‎4‎‎3‎，AB=10‎‎，‎ ‎∴BE=8，AE=6．‎ ‎∵DG=1.5，BG=1，‎ ‎∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，‎ AH=AE+EH=6+1=7．‎ 在Rt△CDH中，‎ ‎∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=DHCH，‎ ‎∴CH=9.5‎3‎．‎ 又∵CH=CA+7，‎ 即9.5‎3‎=CA+7，‎ ‎∴CA=9.15≈9.2（米）．‎ 答：CA的长约是9.2米．‎ 点评：构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．‎ ‎22、（2010•铁岭）某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票．‎ 考点：一元二次方程的应用。‎ 专题：其他问题。‎ 分析：先计算购买票是否超过25张，超过25张时，建立方程求解．设购买x张，则每张票价为150﹣2（x﹣25），团体票价为x×[150﹣2（x﹣25）]．解方程即可．‎ 解答：解：∵150×25=3750＜4800，‎ ‎∴购买的团体票超过25张，‎ 设共购买了x张团体票，‎ 由题意列方程得x×[150﹣2（x﹣25）]=4800，‎ x2﹣100x+2400=0，‎ 解得x1=60，x2=40，‎ 当x1=60时，不符题意，舍去，‎ x2=40符合题意，∴x=40，‎ 答：共购买了40张团体票．‎ 点评：本题考查一元二次方程的应用，通过建立方程可求解．‎ ‎23、（2010•铁岭）如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径，将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C的对应点N仍在⊙O上，BN交AD与点M．若∠AMB=60°，⊙O的半径是3cm．‎ ‎（1）求点O到线段ND的距离；‎ ‎（2）过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由．‎ 考点：切线的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）过点O作OG⊥ND于点G，OG∥BN，由矩形ABCD，可知∠N=∠C=90°=∠OGD，再解直角三角形OGD，求出OG．（2）先判断是相切然后再证明，连接OA交BN与H，由翻折得∠DBC=∠DBN，求出∠GOD，再证明△ABO是正三角形，最后证明OA⊥EF．‎ 解答：（1）解：过点O作OG⊥ND于点G ‎∴∠OGD=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠C=90°，‎ 由翻折得 ‎∠N=∠C=90°=∠OGD，‎ ‎∴OG∥BN，‎ ‎∵∠NBD=30°，‎ ‎∴∠GOD=30°，‎ 在Rt△OGD中，cos30°=OGOD，OD=3，‎ ‎∴OG=‎3‎‎3‎‎2‎（cm）‎ ‎（2）相切．‎ 证明：连接OA交BN与H，‎ ‎∵∠DBN=30°，‎ 由翻折得∠DBC=∠DBN=30°．‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABO=60°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴△ABO是等边三角形．‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∴∠BHO=90°，‎ 又∵EF∥BN，‎ ‎∴∠FAH=90°，‎ ‎∴OA⊥EF．‎ ‎∴EF与⊙O相切．‎ 点评：本题考查到切线的判定、折叠问题和矩形的性质，正确的添加辅助线是关键，只有作好辅助线才能使解题更加轻便．‎ ‎24、（2010•铁岭）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶．他距乙地的距离与时间的关系如图中折线所示，小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发一段时间，他距乙地的距离与时间的关系如图中线段AB所示．‎ ‎（1）小李到达甲地后，再经过 小时小张到达乙地；小张骑自行车的速度是 千米/小时．‎ ‎（2）小张出发几小时与小李相距15千米？‎ ‎（3）若小李想在小张休息期间与他相遇，则他出发的时间x应在什么范围？（直接写出答案）‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）由图象看出所需时间和速度．（2）列出两函数解析式求出交点．（3）若在休息期间相遇直线AB必须与在4≤x≤5的线段相交，列出解析式解出取值范围．‎ 解答：解：（1）由图象可以看出小李到达甲地需两小时，小张需要9小时，而小李比小张晚走一小时，故小李到达甲地后，再经过1小时小张到达乙地，由v=st知，小张骑自行车的速度是15千米/小时．‎ ‎（2）设EF的解析式是y1=k1x+b1，AB的解析式是y2=k2x+b2．‎ 根据题意得‎&60=5k‎1‎+‎b‎1‎‎&0=9k‎1‎+‎b‎1‎‎&0=6k‎2‎+‎b‎2‎‎&120=8k‎2‎+‎b‎2‎，‎ 解得‎&k‎1‎=﹣15‎‎&b‎1‎=135‎‎&k‎2‎=60‎‎&b‎2‎=﹣360‎ ‎∴y1=﹣15x+135，y2=60x﹣360，‎ 当y1=y2时，即﹣15x+135=（60x﹣360），∴x‎1‎‎=‎‎33‎‎5‎．‎ ‎（3）解得：3≤x≤4‎ 点评：本题主要考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟悉函数解析式．‎ ‎25、（2010•铁岭）如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．‎ ‎（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？‎ ‎（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．‎ 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；轴对称的性质。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：（1）根据“AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A”可以得到∠DOB+∠BDO=90°，∠AOE+∠AED=90°，又OP是∠MON的平分线、∠BDO与∠ADE是对顶角，所以∠AED=∠ADE，所以AD=AE；‎ ‎（2）根据轴对称的性质AD=DF，AE=AF，又AD=AE，所以四边形ADFE是菱形；‎ ‎（3）∠MON=45°，则∠ACO=45°所以△EFC是等腰直角三角形，EF=FC，再证明△OAE与△OFE全等可以得到OA=OF，结合菱形的四条边都相等，即可得到OC=AC+AD．‎ 解答：（1）AE=AD（2分）‎ ‎（2）菱形（3分）‎ ‎（法一）：连接DF、EF ‎∵点F与点A关于直线OP对称，‎ E、D在OP上，‎ ‎∴AE=FE，AD=FD．（5分）‎ 由（1）得AE=AD ‎∴AE=FE=AD=FD ‎∴四边形ADFE是菱形（7分）‎ ‎（法二）：连接AF交DE于点G，连接DF，EF．‎ 点F与点A关于直线OP对称可知：AF⊥DE，AE=FE，（3分）‎ ‎∴AG=FG，‎ 又∵AE=AD ‎∴DG=EG ‎∴四边形ADFE是平行四边形（6分）‎ ‎∵AF⊥DE ‎∴平行四边形ADFE是菱形（7分）‎ ‎（3）OC=AC+AD（8分）‎ ‎（法一）：证明：连接EF．‎ ‎∵点F与点A关于直线OP对称，‎ ‎∴AO=OF ‎∵AC⊥OM，∠MON=45°‎ ‎∴∠OAC=90°‎ ‎∴∠ACO=∠MON=45°‎ ‎∴OF=AO=AC（10分）‎ 由（2）知四边形ADFE是菱形 ‎∴EF∥ABAD=EF ‎∵AB⊥ON ‎∴∠ABC=90°‎ ‎∴∠EFC=∠ABC=90°‎ ‎∵∠ACO=45°‎ ‎∴∠ACO=∠CEF ‎∴FC=EF=AD 又∵OC=OF+FC ‎∴OC=AC+AD（12分）‎ ‎（法2）证明：连接EF．‎ ‎∵AC⊥OM，∠MON=45°‎ ‎∴∠OAC=90°‎ ‎∴∠ACO=∠MON=45°‎ ‎∴AO=AC 由（2）知四边形ADFE是菱形 ‎∴EF∥ABAD=EF ‎∵AB⊥ON ‎∴∠ABC=90°‎ ‎∴∠EFC=∠ABC=90°‎ ‎∵∠ACO=45°‎ ‎∴∠FEC=∠ACO=45°（9分）‎ ‎∴FC=FE=AD ‎∵∠AOE=∠FOE ‎∵OE=OE，∠OAC=∠OFE=90°‎ ‎∵△OAE≌△OFE（11分）‎ ‎∴OA=OF ‎∴OF=AC 又∵OF+FC=OC ‎∴AC+AD=OC（12分）‎ ‎（法3）证明：延长EA到G点，使AG=AE ‎∵∠OAE=90°‎ ‎∴OA⊥GE ‎∴OG=OE ‎∴∠AOG=∠EOA ‎∵∠AOC=45°，OP平分∠AOC ‎∴∠AOE=22.5°‎ ‎∴∠AOG=22.5°∠G=67.5°‎ ‎∴∠COG=∠G=67.5°‎ ‎∴CG=OC（10分）‎ 由（1）得AD=AE ‎∵AD=AE=AG ‎∴AC+AD=OC（12分）‎ 点评：（1）利用角平分线的性质和等角的余角相等求出角相等，再根据等角对等边的性质解答；‎ ‎（2）考查轴对称的性质和四条边都相等的四边形是菱形的判定方法；‎ ‎（3）利用菱形的性质和等腰直角三角形的性质证明．‎ ‎26、（2010•铁岭）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．‎ ‎（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；‎ ‎①求S与t的函数关系式；‎ ‎②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）因为抛物线过A、B、C三点，所以此三点的坐标使抛物线的解析式成立．‎ ‎（2）①此题要分作两种情况进行讨论：‎ 一、当P点位于原点左侧，线段OA上；此时0≤t＜1，可用t表示出OP、BP的长，欲求△BPF的面积，关键要求出BP边上的高，可过F作FD⊥x轴于D；由于∠CPF=90°，易证得△OPC∽△DFP，根据已知条件可知PF=PE=2PC，即两个相似三角形的相似比为2，那么DF=2OP，由此可得到DF的长，以BP为底，DF为高，即可求得△BPF的面积表达式，也就得到了关于S、t的函数关系式；‎ 二、当P点位于原点右侧，线段BP上；此时1＜t＜6，可仿照一的方法进行求解；‎ ‎②根据①得到的S、t的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的性质求得S的最大值及对应的t值，然后进行比较即可得到结果．‎ ‎（3）当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：‎ ‎①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t﹣1，由勾股定理易求得CP=t2﹣2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6﹣t，联立两式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t=‎1+‎‎5‎‎2‎；‎ ‎②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此时t=2．‎ 解答：解：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得：‎&a﹣b+c=0‎‎&25a+5b+c=0‎‎&c=2‎，‎ 解得‎&a=﹣‎‎2‎‎5‎‎&b=‎‎8‎‎5‎‎&c=2‎；‎ ‎∴y=﹣‎2‎‎5‎x‎2‎+‎8‎‎5‎x+2‎；（3分）‎ ‎（法二）设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）（x+1），‎ 把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a，‎ ‎∴a=﹣‎‎2‎‎5‎；‎ ‎∴y=﹣‎2‎‎5‎（x+1）（x﹣5）‎，‎ 即y=﹣‎2‎‎5‎x‎2‎+‎8‎‎5‎x+2‎；（3分）‎ ‎（2）①过点F作FD⊥x轴于D，‎ 当点P在原点左侧时，BP=6﹣t，OP=1﹣t；‎ 在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，‎ ‎∵∠FPD+∠CPO=90°，‎ ‎∴∠PCO=∠FPD；‎ ‎∵∠POC=∠FDP，‎ ‎∴△CPO∽△PFD，（5分）‎ ‎∴FDPO‎=‎PFPC；‎ ‎∵PF=PE=2PC，‎ ‎∴FD=2PO=2（1﹣t）；（6分）‎ ‎∴S△PBF=‎1‎‎2‎BP×DF=t2﹣7t+6（0≤t＜1）；（8分）‎ 当点P在原点右侧时，OP=t，BP=5﹣t；‎ ‎∵△CPO∽△PFD，（9分）‎ ‎∴FD=2t；‎ ‎∴S△PBF=‎1‎‎2‎BP×DF=﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；（11分）‎ ‎②当0≤t＜1时，S=t2﹣7t+6；‎ 此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：‎ 当t=0时，Smax=1﹣7×0+6=7；‎ 当1＜t＜6时，S=﹣t2+7t﹣6；‎ 由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；‎ 综上所述，当t=0时，面积最大，且最大值为7．‎ ‎（3）能；（12分）‎ t=2或t=‎1+‎‎5‎‎2‎时，△PFB是直角三角形．（14分）‎ 说明：以上答案为参考答案，其他方法相应给分．‎ 点评：此题考查了二次函数解析式的确定、以及三角形面积的求法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点；在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ MMCH；Linaliu；yangjigang；张伟东；zhjh；py168；lanchong；lzhzkkxx；haoyujun；CJX；shenzigang；路斐斐；ln_86；zhehe；nhx600；郭静慧；tiankong；mama258；hbxglhl；mengcl。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日