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  • 2021-11-10 发布

2019九年级数学下册 专题突破讲练 建立适当的坐标系解决实际问题试题 (新版)青岛版

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建立适当的坐标系解决实际问题 一、建立坐标系解决实际问题的一般步骤 ‎1. 恰当地建立直角坐标系;‎ ‎2. 将已知条件转化为点的坐标;‎ ‎3. 合理地设出所求函数关系式;‎ ‎4. 代入已知条件或点的坐标,求出关系式;‎ ‎5. 利用关系式求解问题。‎ 方法归纳:(1)恰当地建立直角坐标系是准确、简捷地求解问题的关键;‎ ‎(2)将已知条件转化为点的坐标时,应注意距离与坐标的关系;‎ ‎(3)设函数关系式应根据题设合理选择三种函数式中的一种;‎ ‎(4)求解问题应能将点的坐标正确地转化为距离或高度。‎ 总结:‎ ‎1. 能分析实际问题中数量关系,建立二次函数模型。‎ ‎2. 能够建立坐标系,确定二次函数关系式,并解决实际问题。‎ 例题1 如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB之间按相同间隔‎0.2米用5根立柱加固,拱高OC为‎0.36米,则立柱EF的长为( )‎ A. ‎0.4‎米‎ B. ‎0.16米 C. ‎0.2米 D. ‎‎0.24米 解析:由于按相同的间距‎0.2m用5根立柱加固,则AB=0.2×6=1.2,以C为坐标系的原点,OC所在直线为y轴建立坐标系,由此得到抛物线过B(0.6,0.36)、C(0,0)、A(-0.6,0.36),据此求出其解析式。把x=-0.4代入后求出y,令EF=0.36-y即可。‎ 答案:如图,以C为坐标系的原点,OC所在直线为y轴建立坐标系,设抛物线解析式为y=ax2,由题意知,图象过B(0.6,0.36),代入得:0.36=‎0.36a,∴a=1,即y=x2。∵F点横坐标为-0.4,∴当x=-0.4时,y=0.16,∴EF=0.36-0.16=‎0.2米。故选C。‎ 13‎ 点拨:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题。主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用,建立恰当的坐标系是解题关键。‎ 例题2 一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图所示,已知球出手时离地面m,与篮筐中心的水平距离是‎7m,当球运行的水平距离是‎4m时,达到最大高度‎4m,设篮球运行的路线为抛物线,篮筐距地面‎3m。‎ 求:(1)问此球能否投中?‎ ‎(2)此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为‎3.19m,他如何做才可能盖帽成功?‎ 解析:(1)先建立恰当的平面直角坐标系,求出篮球运行的抛物线的关系式,再利用函数关系式计算一下球运行至篮筐正上方时,高度是否为‎3m,是,则投中,否,则不中。(2)由篮球比赛规则可知,对方球员乙盖帽必须在球上升的过程中封盖,也就是在AB之间当球的飞行高度不超过‎3.19m时可能封盖成功,这里涉及球员乙的起跳位置问题。‎ 答案:(1)以地面为x轴,起跳点为原点建立如图所示的平面直角坐标系。‎ 13‎ 由题意知,抛物线顶点坐标为(4,4),经过(0,)。‎ 设抛物线的关系式为y=a(x-4)2+4,‎ 把x=0,y=代入,得=a(0-4)2+4,‎ ‎∴a=-。‎ ‎∴y=-(x-4)2+4,即y=-x2+x+。‎ 当x=7时,y=-(7-4)2+4=3,‎ 而篮筐中心距地面刚好是‎3m,∴此球能够投中。‎ ‎(2)当y=3.19时,-(x-4)2+4=3.19,解得x1=1.3,x2=6.7。‎ 由于篮球比赛规则规定盖帽必须在球上升过程中,‎ 当x=1.3时上升,当x=6.7时下降。‎ 所以,球员乙必须在球员甲前‎1.3m之内跳起封盖才可能成功。‎ 点拨:本例通过建立平面直角坐标系求出二次函数的关系式,再利用二次函数的有关性质来解决实际问题,将实际问题转化为数学模型是关键,而利用数学知识去解决实际问题时还要注意符合实际意义。‎ 有些实际问题中并没有明确给出它符合哪一种函数,这时应根据题目提供的数据画出图象,根据图象判断函数的种类。若所给数据符合二次函数特征,可选取三组数据(即三点)求出二次函数的关系,但必须将其他点代入验证,这一步不可少,只有验证无误后方可认定是二次函数,以防错误判断。‎ 例 行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”。为了测定某型号汽车的刹车性能(车速不能超过‎140km/h 13‎ ‎),对这种汽车进行测试,测得数据如下:‎ 刹车时 车速(km/h)‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 刹车距离 ‎(m)‎ ‎0‎ ‎0.3‎ ‎1.0‎ ‎2.1‎ ‎3.6‎ ‎5.5‎ ‎7.8‎ ‎(1)以车速为x轴,以刹车距离为y轴,在坐标系中描出这些数据所表示的点,并用平滑的曲线联结这些点,得到函数的大致图象;‎ ‎(2)观察图象,估计函数的类型;‎ ‎(3)如果该函数解析式为y=0.002x2+0.01x,若该型号汽车在国道上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为‎46.5m,请推测刹车时的速度,在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶?‎ 解:(1)描点,画图如下:‎ ‎(2)依据图象,设抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,将表中前三对数据代入,得 ,解得。‎ 所以函数关系式为y=0.002x2+0.01x(0≤x≤140)。‎ 经检验,表中其他各组数据也符合此关系式。‎ ‎(3)当y=46.5时,0.002x2+0.01x=46.5,‎ 解此方程,得x1=150,x2=-155(舍去)。‎ 所以推测刹车的速度是‎150km/h,因为150>140,所以事故发生时,汽车超速行驶。‎ 解析:解答这类问题时应将表中每一组数据作为点的坐标,在坐标系内描出这些点,画出图象,注意隐含条件。再根据所画的图象,判断出y是x的什么函数,然后用待定系数法求函数关系式。‎ 一、选择题 13‎ ‎1. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是( )‎ A. ‎3m B. ‎6m C. ‎10m D. ‎‎12m ‎2. 某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的。为了牢固起见,每段护栏需要间距‎0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部‎0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )‎ A. ‎240m B. ‎200m C. ‎160m D. ‎‎150m ‎3. 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线,关于y轴对称。AB∥x轴,AB=‎4cm,最低点C在x轴上,高CH=‎1cm,BD=‎2cm。则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为( )‎ A. y=(x+3)2 B. y=-(x+3)2‎ C. y=(x-3)2 D. y=-(x-3)2‎ ‎*4. 如图是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是‎1m,拱桥的跨度为‎10m,桥洞与水面的最大距离是‎5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面‎4m的景观灯。若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中,则两盏景观灯之间的水平距离是( )‎ 13‎ A. ‎3m B. ‎4m C. ‎5m D. ‎‎6m ‎**5. 为了备战世界杯,中国足球队在某次训练中,一队员在距离球门‎12m处的挑射正好射中了‎2.4m高的球门横梁,若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图所示)则下列结论:①a<-,②-<a<0,③a-b+c>0,④0<b<-‎24a,其中正确的结论是( )‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎**6. 一块边缘呈抛物线形的铁片如图放置,测得AB=‎20cm,抛物线的顶点到AB边的距离为‎25cm。现要沿AB边向上依次截取宽度均为‎4cm的矩形铁皮,如图所示。已知截得的铁皮中有一块是正方形,则这块正方形铁皮是( )‎ A. 第七块 B. 第六块 C. 第五块 D. 第四块 二、填空题 ‎7. ‎2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业。比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)。若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-x2+x+,则羽毛球飞出的水平距离为__________米。‎ 13‎ ‎8. 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函数的图象上(如图所示),则6楼房子的价格为__________元/平方米。‎ ‎*9. 如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A、B两点,桥拱最高点C到AB的距离为‎9m,AB=‎36m,D、E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为‎7m,则DE的长为__________m。‎ ‎**10. 甲、乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一颗十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离s(米)与其距地面高度h(米)之间的关系式为h=-s2+s+。如图,已知球网AB距原点‎5米,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为米,设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m的取值范围是__________。‎ 三、解答题 ‎*11. ‎ 13‎ 如图,有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米,抛物线顶点处到边MN的距离是4分米,要在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点B、C落在边MN上,A、D落在抛物线上,问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?‎ ‎*12. 如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面‎2米,喷水水流的轨迹是抛物线,如果要求水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为‎1米,且水流着地点C距离水枪底部B的距离为米,那么水流的最高点距离地面是多少米?‎ ‎*13. 实践应用:下承式混凝土连续拱圈梁组合桥,其桥面上有三对抛物线形拱圈。图(1)是其中一个拱圈的实物照片,据有关资料记载,此拱圈高AB为‎10.0m(含拱圈厚度和拉杆长度),横向分跨CD为‎40.0m。‎ ‎(1)试在示意图(图(2))中建立适当的直角坐标系,求出拱圈外沿抛物线的解析式;‎ ‎(2)在桥面M(BC的中点)处装有一盏路灯(P点),为了保障安全,规定路灯距拱圈的距离PN不得少于‎1.1m,试求路灯支柱PM的最低高度。(结果精确到‎0.1m)‎ ‎**14. 如图,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边DA、AB、BC围成,隧道最大高度为4.‎9米,AB=‎10米,BC=‎2.4米,若有一辆高为‎4米、宽为‎2米的集装箱的汽车要通过隧道,为了使箱顶不碰到隧道顶部,又不违反交通规则(汽车应靠道路右侧行驶,不能超过道路中线),汽车的右侧必须离开隧道右壁几米?‎ ‎**15. 如图所示,足球场守门员在O处开出一高球,球从离地面‎1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点‎6米的B处发现球在自己正上方达到最高点M,距地面约‎4米高,球落地后又一次弹起,据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半。‎ 13‎ ‎(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;‎ ‎(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取4=7)‎ ‎(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?(取2=5)‎ 13‎ 一、选择题 ‎1. C 解析:令函数式y=-(x-4)2+3中,y=0,0=-(x-4)2+3,解得x1=10,x2=-2(舍去),即铅球推出的距离是‎10m。‎ ‎2. A 解析:建立平面直角坐标系,可设抛物线解析式为y=ax2+0.5,∵(1,0)在抛物线上,∴a+0.5=0,解得a=-0.5,∴y=-0.5x2+0.5,当x=0.2时y=0.48,当x=0.6时y=0.32,∴一段防护栏需要不锈钢支柱的总长=2×(0.48+0.32)=‎1.6米,∴所需不锈钢管的总长度为:1.6×150=‎240米。故选A。‎ ‎3. C 解析:∵高CH=‎1cm,BD=‎2cm,而B、D关于y轴对称,∴D点坐标为(1,1),∵AB∥x轴,AB=‎4cm,最低点C在x轴上,∴AB关于直线CH对称,∴左边抛物线的顶点C的坐标为(-3,0),∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3,0),设右边抛物线的解析式为y=a(x-3)2,把D(1,1)代入得1=a×(1-3)2,解得a=,故右边抛物线的解析式为y=(x-3)2。故选C。‎ ‎*4. C 解析:抛物线的顶点坐标为(5,5),且经过点(0,1),设抛物线解析式为y=a(x-5)2+5,把点(0,1)代入得:1=a(0-5)2+5,即a=-,∴抛物线解析式为y=-(x-5)2+5。令y=4,得x1=,x2=,∴盏景观灯之间的水平距离是-=‎5m。‎ ‎**5. B 解析:由抛物线的开口向下知a<0,对称轴为x=->0,∴a、b异号,即b>0。与y轴的交点坐标为(0,2.4),∴c=2.4,把点(12,0)代入解析式,得:‎144a+12b+2.4=0。∴‎144a=-2.4-12b,12b=-2.4-‎144a,由以上两式分别可得‎144a<-2.4,12b<-‎144a,∴a<-,b<-‎12a,∴2b<-‎24a,则b<-‎24a,∴①④正确,②错误。∵此题是实际问题,∴x不能取-1,∴③a-b+c>0错误。故选B。‎ ‎**6. B 解:如图,建立平面直角坐标系。∵AB=‎20cm,抛物线的顶点到AB边的距离为‎25cm,∴此抛物线的顶点坐标为(10,25),图象与x轴的交点坐标为:(0,0),(20,0),∴抛物线的解析式为:y=a(x-10)2+25,解得:0=‎100a+25,a=-,∴y=-(x-10)2+25,现要沿AB边向上依次截取宽度均为‎4cm的矩形铁皮,∴截得的铁皮中有一块是正方形时,正方形边长一定是‎4cm。∴当四边形DEFM是正方形时,DE=EF=MF=DM=‎4cm,∴M点的横坐标为AN-MK=10-2=8,即x=8,代入y=-(x-10)2+25,解得:y=24,∴KN=24,24÷4=6,∴这块正方形铁皮是第六块,故选B。‎ 13‎ 二、填空题 ‎7. 5 解析:当y=0时,0=-x2+x+,解得:x1=-1(舍),x2=5,故羽毛球飞出的水平距离为‎5m。‎ ‎8. 2080 解析:由图可知此二次函数图象的顶点是(4,2200),设其表达式为y=a(x-4)2+2200,又因为它过点(2,2080),所以2080=a(2-4)2+2200,解得a=-30,即y=-30(x-4)2+2200,当x=6时,y=-30(6-4)2+2200=2080(元/平方米)。或利用抛物线的对称性,观察图象可知当x=6时与x=2时的函数值y相等,即6楼的价格也是2080元/平方米。‎ ‎*9. 48 解析:以C为原点建立平面直角坐标系,依题意,得B(18,-9),设抛物线为:y=ax2,将B点坐标代入,得a=-,所以抛物线为y=-x2,E点到x轴距离为9+7=16(米),所以E点纵坐标为y=-16,代入得-16=-x2,解得x=±24,所以DE的长为‎48m。‎ ‎**10. 5<m<4+ 解析:先求乙恰好扣中的情况,当h=时,-m2+m+=,解方程得:m1=4+,m2=4-,但扣球点必须在球网右边,即m>5,∴m2=4-(舍去),由于乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,∴5<m<(4+)。‎ 三、解答题 ‎*11. 解:以MN为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则M(-2,0)、N(2,0),该抛物线顶点坐标为(0,4),所以其解析式可设为y=ax2+4,将M的坐标代入得0=‎4a+4,所以a=-1,即y=-x2+4。设点A的坐标为(m,n),则n=-m2+4,若矩形铁皮的周长为8分米,则2(-m2+4)+‎4m=8,解得m1=0,m2‎ 13‎ ‎=2,均不符合题意,舍去。所以不能截下周长为8分米的矩形。‎ ‎*12. 解:要想求出水流最高点距地面高度,可以先以B为原点,地面为x轴建立直角坐标系,由题目可知水流抛物线过点A(0,2)、C(,0),因为点P的横坐标是1,由抛物线的对称性知它与x轴的另一交点为(-,0),根据这三个点求出抛物线解析式为y=-x2+x+2。当x=1时y=3.6,即最高点P的坐标为(1,3.6),所以水流的最高点距离地面是‎3.6米。‎ ‎*13. 解:(1)如图,以A为坐标原点,BA所在直线为y轴建立直角坐标系xAy,因拱圈外沿所在的抛物线过原点,且以y轴为对称轴,故可设抛物线解析式为:y=ax2,由题意知抛物线过点D(20,-10),代入得:a=-,故拱圈外沿抛物线的解析式为y=-x2。(2)设N(-10,k),则k=-×(-10)2=-2.5,∴MN=10-︱k︱=7.5(m),∴PM=MN+PN≥7.5+1.1=8.6(m)。即路灯支柱PM的最低高度为‎8.6米。‎ ‎**14. 解:如下图,以CD为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,OM=4.9-2.4=‎2.5米,则C(5,0)、D(-5,0)、M(0,2.5),设该抛物线的解析式为y=ax2+2.5,则‎25a+2.5=0,解得a=-0.1,所以y=-0.1x2+2.5,当y=4-2.4=1.6时,-0.1x2+2.5=1.6,解得x=±3,则BH=5-3=‎2米。所以汽车右侧必须离开隧道右壁‎2米以上且不能超过‎3米。‎ ‎**15. 解:(1)设第一次落地前抛物线为y=a(x-6)2+4。∵其过点A(0,1),∴a(0-6)2+4=1,∴a=-。∴抛物线表达式为y1=-(x-6)2+4=-x2+x+1。(2)当y1=0时,有-(x-6)2+4=0,解得x=4+6≈13(米)(取正根)。即第一次落地点C到守门员的距离为‎13米。(3)由(2)得C点(13,0),设抛物线CND的表达式为y2=-(x-k)2+2,当x=13,y2=0时,有-(13-k)2+2=0,解得k=13+2≈18(米)(取正根),∴有y2=-(x-18)2+2。对此当y2=0时,-(x-18)2+2=0,解得x=18+2 13‎ ‎≈23(米)(取正根),∴BD=OD-OB=23-6=17(米)。所以运动员乙应再向前跑‎17米。‎ 13‎

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