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- 2021-11-10 发布
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(分类)专题复习(七)与圆有关的综合(次压轴)
(2019·内蒙古)
(2019·大庆)
(2019·柳州)
(2019·桂林)
(2019·邵阳中考)
23.(2019·仙桃)已知△ABC 内接于⊙O,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D,连接 DB,DC.
(1)如图①,当∠BAC =120°时,请直接写出线段 AB,AC,AD 之间满足的等量关系式:
;
(2)如图②,当∠BAC =90°时,试探究线段 AB,AC,AD 之间满足的等量关系,并证明你的结论;
(3)如图③,若 BC=5,BD=4,求
ACAB
AD
的值.
(2019·哈尔滨)
(2019 河北)
(2019 鄂州)22.(本题满分 10 分)如图,PA 是⊙O 的切线,切点为 A, AC 是⊙O 的直径,连接 OP 交⊙O 于 E.过 A
点作 AB⊥PO 于点 D,交⊙O 于 B,连接 BC,PB.
(1)求证:PB 是⊙O 的切线;
(第 22 题图)
(2)求证:E 为△PAB 的内心;
(3)若 cos∠PAB= 10
10
, BC =1,求 PO 的长.
(2019 广东)如题 24-1 图,在△ABC 中,AB=AC, 0 是△ABC 的外接圆,过点 C 作∠BCD=∠ACB 交 O 于点 D,连接 AD
交 BC 于点 E,延长 DC 至点 F,使 CF=AC,连接 AF
(1)求证:ED=EC;
(2)求证:AF 是 O 的切线;
(3)如题 24-2 图,若点 G 是△ACD 的内心,BC BE=25,求 BG 的长.
解:
(2019 深圳)
(2019 安顺)
(2019 兰州)
(2019 苏州)26.(本题满分 10 分)
如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,D 是弧 BC 的中点,BC 与 AD、OD 分别交于点 E、F
(1)求证:DO//AC;(2)求证: 2DCDADE ;(3)若
2
1tan CAD ,求 CDAsin 的值
(2019 株洲)
(2019 杭州)如图,已知锐角三角形 ABC 内接于圆 O,OD、BC 交于点 D,连接 OA.
(1)若∠BAC=60°,①求证:OD=
2
1 OA;
②当 OA=1 时,求△ABC 面积的最大值.
(2)点 E 在线段 OA 上,OE=OD,连接 DE,设∠ABC=m∠OED,∠ACB=n∠OED(m,n 是正数),若∠ABC<∠ACB,
求证: 02 nm .
(2019 遂宁)
(2019 广安)
(2019 淄博)
(2019 泰州)
24.(1) DE 为
⊙
O 的切线,
理由:连接 OD,
∵AC 为
⊙
O 的直径,D 为弧 AC 的中点,
∴弧 AD=弧 CD,
∴∠AOD=∠COD=90°,
又∵DE∥AC,
∴∠EDO=∠AOD=90°,
∴DE 为
⊙
O 的切线.
(2)解:∵DE∥AC,
∴∠EDO=∠ACD,
∵∠ACD=∠ABD,
∵∠DCE=∠BAD,
∴△DCE∽△BAD,
∴
∵半径为 5,∴AC=10,
∵ D 为弧 AC 的中点,
∴AD=CD=5 2
∴
∴CE=
(2019 扬州)25.(本题满分 10 分)如图,AB 是⊙O 的弦,过点 O 作 OC⊥OA,OC 交于 AB 于 P,
且 CP=CB。
(1)求证:BC 是⊙O 的切线;
(2)已知∠BAO=25°,点 Q 是弧 AmB 上的一点。
①求∠AQB 的度数;
②若 OA=18,求弧 AmB 的长。
解(1)连接 OB
∵CP=CB
∴∠CPB=∠CBP
∵OA⊥OC
∴∠AOC=90°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵∠PAO+∠APO=90°
∴∠ABO+∠CBP=90°
∴∠OBC=90°
AB
DC
AD
CE
8
25
25
CE
4
25
∴BC 是⊙O 的切线
(2)①∵∠BAO=25° OA=OB
∴∠BAO=∠OBA=25°
∴∠AOB=130°∴∠AQB=65°
②∵∠AOB=130° OB=18
∴l 弧 AmB=(360°-130°)π×18÷180=23π
(2019 滨州)25.(13 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的
⊙
O 分别与 BC,AC 交于点 D,E,过点
D 作 DF⊥AC,垂足为点 F.
(1)求证:直线 DF 是
⊙
O 的切线;
(2)求证:BC2=4CF•AC;
(3)若
⊙
O 的半径为 4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.
【分析】(1)如图所示,连接 OD,证明∠CDF+∠ODB=90°,即可求解;
(2)证明△CFD∽△CDA,则 CD2=CF•AC,即 BC2=4CF•AC;
(3)S 阴影部分=S 扇形 OAE﹣S△OAE 即可求解.
【解答】解:(1)如图所示,连接 OD,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,而 OB=OD,∴∠ODB=∠ABC=∠C,
∵DF⊥AC,∴∠CDF+∠C=90°,∴∠CDF+∠ODB=90°,
∴∠ODF=90°,
∴直线 DF 是
⊙
O 的切线;
(2)连接 AD,则 AD⊥BC,则 AB=AC,
则 DB=DC= ,
∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,∴∠CDF=∠DCA,
而∠DFC=∠ADC=90°,∴△CFD∽△CDA,
∴CD2=CF•AC,即 BC2=4CF•AC;
(3)连接 OE,
∵∠CDF=15°,∠C=75°,∴∠OAE=30°=∠OEA,
∴∠AOE=120°,
S△OAE= AE×OEsin∠OEA= ×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA=4 ,
S 阴影部分=S 扇形 OAE﹣S△OAE= ×
π
×42﹣4 = ﹣4 .
(2019 济宁)
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