2019九年级数学下册 第1章1余弦的定义 10页

‎1.1～1.2‎ 一、选择题(每小题4分，共32分)‎ ‎1．cos60°的值等于(　　)‎ A. B．‎1 C. D. ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝8，则AB的长为(　　)‎ A．10 B．‎12 C．14 D．16‎ 图G－5－1‎ ‎3．如图G－5－1，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(　　)‎ A．1 B．‎1.5 C．2 D．3‎ ‎4．在平面直角坐标系中，点P的坐标为(cos30°，tan45°)，则点P关于x轴的对称点P1的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．如图G－5－2所示，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝‎6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为(　　)‎ A.米 B.米 C．6cos52°米 D.米 10‎ 图G－5－2‎ ‎　　图G－5－3‎ ‎6．如图G－5－3，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．一座楼梯的示意图如图G－5－4所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝‎4米，楼梯宽‎1米，则地毯的面积至少需要(　　)‎ A.平方米 B.平方米 C．(4＋)平方米 D．(4＋4tanθ)平方米 图G－5－4‎ ‎　　　图G－5－5‎ ‎8．如图G－5－5，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是(　　)‎ 10‎ A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共32分)‎ ‎9．若α＝30°，则α的余角等于________度，sinα的值为________．‎ ‎10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝2 ，则sinA＝________．‎ ‎11．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，利用此规律比较当0°<α<β<90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα________cosβ.‎ 图G－5－6‎ ‎12．如图G－5－6，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于________．‎ ‎13．已知α是锐角，tanα＝2cos30°，那么α＝________度．‎ ‎14．将一副三角尺如图G－5－7所示叠放在一起，则的值是________．‎ 图G－5－7‎ ‎　　图G－5－8‎ ‎15．如图G－5－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝，则tanB的值为________．‎ 10‎ 图G－5－9‎ ‎16．如图G－5－9，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为________．‎ 三、解答题(共36分)‎ ‎17．(6分)计算：2sin30°＋4cos30°•tan60°－cos245°.‎ ‎18．(8分)王华是一名爱动脑筋的好学生，一天，他到公园锻炼，看到一个三角形的大花坛(如图G－5－10所示)，便产生了用新学的数学知识计算一下花坛面积的想法，他测得∠A＝30°，AB边的长度为‎40 m，AC边的长度为‎30 m．王华同学很快计算出了花坛的面积，请你根据王华测量的结果，也计算一下这个三角形花坛的面积．‎ 图G－5－10‎ 10‎ ‎19．(10分)如图G－5－11所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.‎ ‎(1)求证：CB∥PD；‎ ‎(2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．‎ 图G－5－11‎ ‎20．(12分)如图G－5－12，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠后得到△BFE，点F落在AD边上．‎ ‎(1)求证：△ABF∽△DFE；‎ ‎(2)若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．‎ 10‎ 图G－5－12‎ 10‎ 详解详析 ‎1．D　[解析] 根据余弦的定义及特殊角度的三角函数值，可得cos60°＝.故选D. ‎ ‎2．C　3.C ‎4．C　[解析] 由已知得P(，1)，则P1( ，－1)．‎ ‎5．D　[解析] 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，则cos∠ACB＝，∴AC＝.又BC＝‎6米，∠ACB＝52°，∴AC＝米．‎ ‎6．D　[解析] ∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，‎ ‎∴sinB＝sin∠ACD＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎7．D ‎8．A　[解析] 连结DC.根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°.‎ 根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D.‎ ‎∴sinB＝sinD＝＝.故选A.‎ ‎9．60　　10.　11.>‎ ‎12.　[解析] 连结AB，∵OA＝OB＝AB，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．∴∠AOB＝60°.‎ ‎∴cos∠AOB＝cos60°＝.‎ ‎13．60　[解析] ∵tanα＝2cos30°＝2×＝，‎ ‎∴α＝60°.‎ 10‎ ‎14.　[解析] ∵Rt△BAC中，tanB＝＝tan45°＝1，∴AB＝AC.‎ 在Rt△ACD中，tanD＝＝tan30°＝，‎ ‎∴CD＝AC，CD＝AB.‎ ‎∵∠BAC＝∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠BAC＋∠ACD＝180°，‎ ‎∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎15.　[解析] Rt△AMC中，sin∠CAM＝＝，设MC＝3x，AM＝5x，则AC＝＝4x.∵M是BC的中点，∴BC＝2MC＝6x.‎ 在Rt△ABC中，tanB＝＝＝.‎ ‎16.π　[解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，∴cos30°＝，‎ ‎∴BC＝ABcos30°＝2×＝.‎ ‎∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，‎ ‎∴∠BCB′＝60°，‎ ‎∴点B转过的路径长为＝π.‎ ‎17．解：原式＝2×＋4××－()2‎ ‎＝1＋6－ ‎＝.‎ ‎18．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图所示．‎ 10‎ 在Rt△ACD中，sinA＝，‎ ‎∴CD＝AC·sin30°＝30×＝15(m)，‎ ‎∴S△ABC＝AB·CD＝×40×15＝300(m2)．‎ 答：此三角形花坛的面积为300 m2.‎ ‎19．解：(1)证明：∵∠D＝∠1，∠1＝∠BCD，∴∠D＝∠BCD，‎ ‎∴CB∥PD.‎ ‎(2)连结AC，如图，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，‎ ‎∴∠P＝∠A，∴sinA＝sinP＝.‎ 又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴sinA＝＝，而BC＝3，‎ ‎∴AB＝5，即⊙O的直径为5.‎ ‎20．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.‎ ‎∵△BCE沿BE折叠后得到△BFE，‎ ‎∴∠BFE＝∠C＝90°，‎ ‎∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°.‎ 又∵∠AFB＋∠ABF＝90°，‎ 10‎ ‎∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE.‎ ‎(2)在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，‎ ‎∴设DE＝a，EF＝3a，DF＝＝2 a.‎ ‎∵将△BCE沿BE折叠后得到△BFE，‎ ‎∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF.‎ 又由(1)知△ABF∽△DFE，∴＝＝＝，‎ ‎∴tan∠EBF＝＝，‎ ‎∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝.‎ 10‎