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- 2021-11-10 发布
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教学时间
课题
《二次函数》小结与复习(3)
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
1.使学生掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
过 程
方 法
情 感
态 度
价值观
教学重点
利用二次函数的知识解决实际问题,并对解决问题的策略进行反思。
教学难点
将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策。
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
一、例题精析,引导学法,指导建模
1.何时获得最大利润问题。
例:重庆市某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销 售,区政府对该花木产品每投资x万元,所获利润为P=- (x-30)2+10万元,为了响应我国西部大开发的宏伟决策,区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q=-(50-x)2+ (50-x)+308万元。
(1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少?
(2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?
(3)根据(1)、(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动:投影给出题目后,让学生先自主分析,小组进行讨论。
教师活动:在学生分析、讨论过程中,对学生进行学法引导,引导学生先了解二次函数的基本性质,并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型,借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析:
(1)若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=- (x-30)2+10知道,只需从50万元专款中拿出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为M1=10×10=100万元。
(2)若对该产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是:
P=- (25-30)2+10=9.5(万元)
则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元
设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。
则由Q=- (50-x)+(50-x)+308知,将余下的(50-x万元全部用于外地销售的投资.才有可能获得最大利润; 则后5年的利润是: M3=[-(x-30)2+10]×5+(-
2
x2+x+308)×5=-5(x-20)2+3500 故当x=20时,M3取得最大值为3500万元。
∴ 10年的最大利润为M=M2+M3=3547.5万元
(3)因为3547.5>100,所以该项目有极大的开发价值。
强化练习:某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做—次函数y=kx+b的关系,如图所示。
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式,
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元,①试用销售单价x表示毛利润S;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?
分析:(1)由图象知直线y=kx+b过(600,400)、(700,300)两点,代入可求解析式
为y=-x+1000
(2)由毛利润S=销售总价-成本总价,可得S与x的关系式。
S=xy-500y=x·(-x+1000)-500(-x+100)
=-x2+1500x-500000=-(x-750)2+62500 (500<x<800)
所以,当销售定价定为750元时,获最大利润为62500元。
此时,y=-x+1000=-750+1000=250,即此时销售量为250件。
2.最大面积是多少问题。
例:某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形的边长为x,面积为S平方米。
(1)求出S与x之间的函数关系式;
(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个设计费用;
(3)为了使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料:①当矩形的长是宽与(长+宽)的比例中项时,这样的矩形叫做黄金矩形,②≈2.236)
学生活动:让学生根据已有的经验,根据实际几何问题中的数量关系,建立恰当的二次函数模型,并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。
教师精析:
(1)由矩形面积公式易得出S=x·(6-x)=-x2+6x
(2)确定所建立的二次函数的最大值,从而可得相应广告费的最大值。
由S=-x2+6x=-(x-3)2+9,知当x=3时,即此矩形为边长为3的正方形时,矩形面积最大,为9m2,因而相应的广告费也最多:为9×1000=9000元。
(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积,从而得到广告费用的大小。
设设计的黄金矩形的长为x米,则宽为(6-x)米。
则有x2=6·(6-x)
解得x1=-3-3 (不合题意,舍去),x2=-3+3。
即设计的矩形的长为(3,3)米,宽为(9-3)米时,矩形为黄金矩形。
此时广告费用约为:1000(3-3)(9-3)≈8498(元)
二、课堂小结:让学生谈谈.通过本节课的学习,有哪些体验,如何将实际问题转化为二次函数问题,从而利用二次函数的性质解决最大利润问题,最大面积问题。
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