2021年中考数学压轴题专项训练 二次函数（含解析） 26页

2021 年中考数学压轴题专项训练《二次函数》 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点 A（﹣1，0）， 点 B（3，0），与 y 轴交于点 C． （1）求 a，b 的值； （2）若点 P 为直线 BC 上一点，点 P 到 A，B 两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右） 平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点 P，求新抛物线的顶点坐标． 解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点 A（﹣1，0），点 B（3，0）， ∴ ，解得 ； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，C（3，0）， ∵点 P 到 A，B 两点的距离相等， ∴点 P 在抛物线的对称轴 x＝1 上， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3， 令 x＝1，则 y＝﹣1+3＝2， ∴P（1，2）， 设平移后的新抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣h）2+4， ∵新抛物线经过点 P， ∴2＝﹣（1﹣h）2+4， 解得 h1＝1+ ，h2＝1﹣ ， ∴新抛物线的顶点坐标为（1+ ，4）或（1﹣ ，4）． 2．如图 a，已知抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 经过点 A（4，0）、C（0，2），与 x 轴的另一个交点 为 B． （1）求出抛物线的解析式． （2）如图 b，将△ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180°得到△BAC′，试判断四边形 B C′AC 的 形状．并证明你的结论． （3）如图 a，在抛物线上是否存在点 D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在请说明理由． 解：（1）将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式并解得： b＝1，c＝2， 故：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2； （2）四边形 BC′AC 为矩形． 抛物线 y＝﹣x2+x+2 与 x 轴的另一个交点为：（﹣1，0） 由勾股定理求得：BC＝ ，AC＝2，又 AB＝5， 由勾股定理的逆定理可得：△ABC 直角三角形， 故∠BCA＝90°； 已知，△ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 18 0o 得到△BAC′，则 A、B 互为对应点， 由旋转的性质可得：BC＝AC'，AC＝BC' 所以，四边形 BC′AC 为平行四边形，已证∠BCA＝90°， ∴四边形 BC′AC 为矩形； （3）存在点 D， 使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ABC 全等， 则点 D 与点 C 关于函数对称轴对称， 故：点 D 的坐标为（3，2）． 3．如图，已知二次函数 y＝x2﹣2x+m 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，直线 AC 交二次函数图象的对称轴于点 D，若点 C 为 AD 的中点． （1）求 m 的值； （2）若二次函数图象上有一点 Q，使得 tan∠ABQ＝3，求点 Q 的坐标； （3）对于（2）中的 Q 点，在二次函数图象上是否存在点 P，使得△QBP∽△COA？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）设对称轴交 x 轴于点 E，交对称轴于点 D， 函数的对称轴为：x＝1，点 C 为 AD 的中点，则点 A（﹣1，0）， 将点 A 的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①； （2）tan∠ABQ＝3，点 B（3，0）， 则 AQ 所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②， 联立①②并解得：x＝﹣4 或 3（舍去）或 2， 故点 Q（﹣4，21）或（2，﹣3）； （3）不存在，理由： △QBP∽△COA，则∠QBP＝90° ①当点 Q（2，﹣3）时， 则 BQ 的表达式为：y＝﹣ （x﹣3）…③， 联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣ ，故点 P（﹣ ， ）， 此时 BP：PQ≠OA：OB，故点 P 不存在； ②当点 Q（﹣4，21）时， 同理可得：点 P（﹣ ， ）， 此时 BP：PQ≠OA：OB，故点 P 不存在； 综上，点 P 不存在． 4．如图，已知二次函数 y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象交 x 轴于 A、B 两点（A 在 B 的左侧）， 交 y 轴于点 C．一次函数 y＝﹣ x+b 的图象经过点 A，与 y 轴交于点 D（0，﹣3），与这 个二次函数的图象的另一个交点为 E，且 AD：DE＝3：2． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点 M 为 x 轴上一点，求 MD+ MA 的最小值． 解：（1）把 D（0，﹣3）代入 y＝﹣ x+b 得 b＝﹣3， ∴一次函数解析式为 y＝﹣ x﹣3， 当 y＝0 时，﹣ x﹣3＝0，解得 x＝﹣6，则 A（﹣6，0）， 作 EF⊥x 轴于 F，如图， ∵OD∥EF， ∴ ＝ ＝ ， ∴OF＝ OA＝4， ∴E 点的横坐标为 4， 当 x＝4 时，y＝﹣ x﹣3＝﹣5， ∴E 点坐标为（4，﹣5）， 把 A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入 y＝ax2+4ax+c 得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣ x2﹣ x+ ； （2）作 MH⊥AD 于 H，作 D 点关于 x 轴的对称点 D′，如图，则 D′（0，3）， 在 Rt△OAD 中，AD＝ ＝3 ， ∵∠MAH＝∠DAO， ∴Rt△AMH∽Rt△ADO， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴MH＝ AM， ∵MD＝MD′， ∴MD+ MA＝MD′+MH， 当点 M、H、D′共线时，MD+ MA＝MD′+MH＝D′H，此时 MD+ MA 的值最小， ∵∠D′DH＝∠ADO， ∴Rt△DHD′∽Rt△DOA， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 D′H＝ ， ∴MD+ MA 的最小值为 ． 5．如图 1，已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，直线 AD：y＝ x+1 与 y 轴交于点 D，P 点是 x 轴上一个动点，过点 P 作 PG ∥y 轴，与抛物线交于点 G，与直线 AD 交于点 H，当点 C、D、H、G 四个点组成的四边形 是平行四边形时，求此时 P 点坐标． （3）如图 3，连接 AC 和 BC，Q 点是抛物线上一个动点，连接 AQ，当∠QAC＝∠BCO 时， 求 Q 点的坐标． 解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）， 故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①； （2）直线 AD：y＝ x+1 与 y 轴交于点 D，则点 D（0，1），则 CD＝2； 设点 P（x，0），则点 H（x， x+1）、点 G（x，﹣x2﹣2x+3）， 则 GH＝CD＝2，即| x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2， 解得：x＝﹣ 或 ， 故点 P（﹣ ，0）或（ ，0）或（ ，0）； （3）设直线 AQ′交 y 轴于点 H，过点 H 作 HM⊥AC 交于点 M，交 AQ 于点 H′， 设：MH＝x＝MC，∠QAC＝∠BCO，则 tan∠CAH＝ ，则 AM＝3x， 故 AC＝AM+CM＝4x＝3 ，解得：x＝ ，则 CH＝ x＝ ， OH＝OC﹣CH＝ ， 故点 H（0， ），同理点 H′（﹣ ，3）， 由 点 AH 坐标得，直线 AH 的表达式为：y＝ （x+3）…②， 同理直线 AH′的表达式为：y＝2（x+3）…③， 联立①②并解得：x＝﹣3（舍去）或 ； 联立①③并解得：x＝﹣3（舍去）或﹣1； 故点 Q 的坐标为：（ ， ）或（﹣1，4）． 6．在平面直角坐标系中，直线 y＝ x﹣2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二 次函数 y ＝ x2+bx+c 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A． （1）直接写出：b 的值为 ﹣ ；c 的值为 ﹣2 ；点 A 的坐标为 （﹣1，0） ； （2）点 M 是线段 BC 上的一动点，动点 D 在直线 BC 下方的二次函数图象上．设点 D 的横 坐标为 m． ①如图 1，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，求线段 DM 关于 m 的函数关系式，并求线段 DM 的最 大值； ②若△CDM 为等腰直角三角形，直接写出点 M 的坐标 1 ． 解：（1）直线 y＝ x﹣2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C， 则点 B、C 的坐标为：（4，0）、（0，﹣2）， 将点 B、C 的坐标代入抛物线表达式并解得：b ＝﹣ ，c＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x﹣2…①，点 A（﹣1，0）； 故答案为：﹣ ，﹣2，（﹣1，0）； （2）①如图 1，过点 D 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 设点 D（m， m2﹣ m﹣2），点 H（m， m﹣2）， 则∠MDH＝∠OBC＝α，tan∠OBC＝ ＝tanα，则 cos ； MD＝DHcos∠MDH＝ （ m﹣2﹣ m2+ m+2）＝ （﹣m2+4m）， ∵ ＜0，故 DM 有最大值 ； 设点 M、D 的坐标分别为：（s， s﹣2），（m，n），n＝ m2﹣ m﹣2； ②（Ⅰ）当∠CDM＝90°时，如图 2 左图， 过点 M 作 x 轴的平行线交过点 D 于 x 轴的垂线于点 F，交 y 轴于点 E， 则△MEC≌△DFM（AAS）， ∴ME＝FD，MF＝CE， 即 s﹣2＝2＝m﹣s，s＝ s﹣2﹣n， 解得：s＝ ， 故点 M（ ，﹣ ）； （Ⅱ）当∠MDC＝90°时，如图 2 右图， 同理可得：s＝ ， 故点 M（ ，﹣ ）； （Ⅲ）当∠MCD＝90°时， 则直线 CD 的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②， 联立①②并解得：x＝0 或﹣1， 故点 D（﹣1，0），不在线段 BC 的下方，舍去； 综上，点 M 坐标为：（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）． 7．如图，抛物线 y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1 ）求线段 OC 的长度； （2）设直线 BC 与 y 轴交于点 D，点 C 是 BD 的中点时，求直线 BD 和抛物线的解析式， （3）在（2）的条件下，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一点，过 P 作 PE⊥BC 于点 E，作 PF∥AB 交 BD 于点 F，是否存在一点 P，使得 PE+PF 最大，若存在，请求出该最大值；若 不存在，请说明理由． 解：（1）a（x﹣1）（x﹣3）＝0， x1＝1，x2＝3， 则点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（3，0）， ∴OA＝1，OB＝3， ∵△OCA∽△OBC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，OC＝ ； （2）在 Rt△BOD 中，点 C 是 BD 的中点， ∴BD＝2OC＝2 ， 由勾股定理得，OD＝ ＝ ＝ ， ∴点 D 的坐标为（0，﹣ ） 设直线 BD 的解析式为：y＝kx+b ， 则 ， 解得， ， 则直线 BD 的解析式为：y＝ x﹣ ， ∵点 B 的坐标为（3，0），点 D 的坐标为（0，﹣ ），点 C 是 BD 的中点， ∴点 C 的坐标为（ ，﹣ ）， ∴﹣ ＝a（ ﹣1）（ ﹣3）， 解得，a＝ ， ∴抛物线的解析式：y＝ （x﹣1）（x﹣3），即 y＝ x2﹣ x+2 ； （3）作 PG⊥OB 交 BD 于 G， tan∠OBD＝ ＝ ， ∴∠OBD＝30°， ∵PF∥AB， ∴∠PFG＝∠OBD＝30°， ∴PF＝ PG， ∵PE⊥BC，PF⊥PG， ∴∠EPG＝∠PFG＝30°， ∴PE＝ PG， ∴PE+PF＝ PG+ PG＝ PG， 设点 P 的坐标为（m， m2﹣ m+2 ），点 G 的坐标为（m， m﹣ ）， ∴PG＝ m﹣ ﹣（ m2﹣ m+2 ） ＝﹣ m2+3 m﹣3 ∴PE+PF＝ PG ＝﹣3m2+ m﹣ ＝﹣3（m﹣ ）2+ ， 则 PE+PF 的最大值为 ． 8．已知抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A（﹣2，0），B（3，0），与 y 轴负半轴交于点 C，且 OC ＝OB． （1）求抛物线的解析式； （2）在 y 轴负半轴上存在 一点 D，使∠CBD＝∠ADC，求点 D 的坐标； （3）点 D 关于直线 BC 的对称点为 D′，将抛物线 y＝ax2+bx+c 向下平移 h 个单位，与线 段 DD′只有一个交点，直接写出 h 的取值范围． 解：（1）OC＝OB，则点 C（0，﹣3）， 抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6）， ﹣6a＝﹣3，解得：a＝ ， 故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x﹣3； （2）设：CD＝m，过点 D 作 DH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H， 则 CH＝HD＝ m， tan∠ADC＝ ＝tan∠DBC＝ ＝ ，解得：m＝3 或﹣4（舍去﹣4）， 故点 D（0，﹣6）； （3）过点 C 作 x 轴的平行线交 DH 的延长线于点 D′，则 D′（﹣3，﹣3）； 平移后抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x﹣3﹣h， 当平移后的抛物线过点 C 时，抛物线与线段 DD′有一个公共点，此时，h＝3； 当平移后的抛物线过点 D′时，抛物线与线段 DD′有一个公共点， 即﹣3＝ 9 ﹣h，解得：h＝15， 故 3≤h≤15． 9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2 的对称轴为直线 l，将直线 l 绕着点 P（0， 2）顺时针旋转∠α的度数后与该抛物线交于 AB 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 Q 是该抛 物线上一点 （1）若∠α＝45°，求直线 AB 的函数表达式； （2）若点 p 将线段分成 2：3 的两部分，求点 A 的坐标 （3）如图②，在（1）的条件下，若点 Q 在 y 轴左侧，过点 p 作直线 l∥x 轴，点 M 是直 线 l 上一点，且位于 y 轴左侧，当以 P，B，Q 为顶点的三角形与△PAM 相似时，求 M 的坐 标． 解：（1）∵∠α＝45°，则直线的表达式为：y＝x+b， 将（0，2）代入上式并解得：b＝2， 故直线 AB 的表达式为：y＝x+2； （2）①AP：PB＝2：3， 设 A（﹣2a，4a2）B（3a，9a2）， ， 解得： ， （舍去）， ∴ ； ②AP：PB＝3：2， 设 A（﹣3a，9a2），B（2a，4a2）， ， 解得： ， （舍去）， ∴ ， 综上 或 ； （3）∠MPA＝45°，∠QPB≠45°A（﹣1，1），B（2，4）， ①∠QBP＝45°时， 此时 B，Q 关于 y 轴对称， △PBQ 为等腰直角三角形， ∴M1（﹣1，2）M2（﹣2，2）， ②∠BQP＝45°时， 此时 Q（﹣2，4）满足，左侧还有 Q'也满足， ∵BQP＝∠BQ'P， ∴Q'，B，P，Q 四点共圆，则圆心为 BQ 中点 D（0，4）； 设 Q'（x，x2），（x＜0）， Q'D＝BD， ∴（x﹣0）2+（x2﹣4）2＝22（x2﹣4）（x2﹣3）＝0， ∵x＜0 且不与 Q 重合， ∴ ， ∴ ，Q'P＝2， ∵Q'P＝DQ'＝DP ＝2， ∴△DPQ'为正三角形， 则 ， 过 P 作 PE⊥BQ'， 则 ， ， ∴ ， 当△Q'BP～△PMA 时， ， ， 则 ， 故点 ； 当△Q'PB～△PMA 时， ， ， 则 ， 故点 ； 综上点 M 的坐标：（﹣1，2），（﹣2，2）， ， ． 10．如图，Rt△FHG 中，∠H＝90°，FH∥x 轴， ＝0.6，则称 Rt△FHG 为准黄金直角三角 形（G 在 F 的右上方）．已知二次函数 y1＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 E（0，﹣3），顶点为 C（1，﹣4），点 D 为二次函数 y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4 （m＞0）图象的顶点． （1）求二次函数 y1 的函数关系式； （2）若准黄金直角三角形的顶点 F 与点 A 重合、G 落在二次函数 y1 的图象上，求点 G 的 坐标及△FHG 的面积； （3）设一次函数 y＝mx+m 与函数 y1、y2 的图象对称轴右侧曲线分别交于点 P、Q．且 P、 Q 两点分别与准黄金直角三角形的顶点 F、G 重合，求 m 的值，并判断以 C、D、Q、P 为顶 点的四边形形状，请说明理由． 解：（1）设二次函数 y1 的函数关系式为 y1＝a（x﹣1）2﹣4， 将 E（0，﹣3）代入得 a﹣4＝﹣3， 解得 a＝1， ∴y1＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）设 G[a，0.6（a+1）]，代入函数关系式，得，（a﹣1）2﹣4＝0.6（a+1）， 解得 a1＝3.6，a2＝﹣1（舍去）， 所以点 G 坐标为（3.6，2.76）． 由 x2﹣2x﹣3＝0 知 x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0）、B（3，0）， 则 AH＝4.6，GH＝2.76， ∴S△FHG＝ ×4.6×2.76＝6.348； （3）∵y＝mx+m＝m（x+1）， ∴当 x＝﹣1 时，y＝0， ∴直线 y＝mx+m 过点 A， 延长 QH，交 x 轴于点 R， 由平行线的性质得，QR⊥x 轴． ∵FH∥x 轴， ∴∠QPH＝∠QAR， ∴∠PHQ＝∠ARQ＝90°， ∴△AQR∽△PHQ， ∴ ＝ ＝0.6， 设 Q[n，0.6（n+1）]， 代入 y＝mx+m 中，得 mn+m＝0.6（n+1）， 整理，得：m（n+1）＝0.6（n+1）， ∵n+1≠0， ∴m＝0.6． 四边形 CDPQ 为平行四边形， 理由如下： 连接 CD，并延长交 x 轴于点 S，过点 D 作 DK⊥x 轴于点 K，延长 KD，过点 C 作 CT 垂直 KD 延长线，垂足为 T， ∵y2＝（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4， ∴点 D 由点 C 向右平移 m 个单位，再向上平移 0.6m 个单位所得， ∴ ＝ ＝0.6， ∴tan∠KSD＝tan∠QAR， ∴∠KSD＝∠QAR， ∴AQ∥CS，即 CD∥PQ． ∵AQ∥CS， 由抛物线平移的性质可得，CT＝PH，DT＝QH， ∴PQ＝CD， ∴四边形 CDPQ 为平行四边形． 11．如图，点 P 是二次函数 y＝﹣ +1 图象上的任意一点，点 B（1，0）在 x 轴上． （1）以点 P 为圆心，BP 长为半径作⊙P． ①直线 l 经过点 C（0，2）且与 x 轴平行，判断⊙P 与直线 l 的位置关系，并说明理由． ②若⊙P 与 y 轴相切，求出点 P 坐标； （ 2 ） P1 、 P2 、 P3 是 这 条 抛 物 线 上 的 三 点 ， 若 线 段 BP1 、 BP2 、 BP3 的 长 满 足 ，则称 P2 是 P1、P3 的和谐点，记做 T（P1，P3）．已知 P1、P3 的横坐 标分别是 2，6，直接写出 T（P1，P3）的坐标 （1 ，﹣ ） ． 解：（1）①⊙P 与直线相切． 过 P 作 PQ⊥直线，垂足为 Q，设 P（m，n）． 则 PB2＝（m﹣1）2+n2，PQ2＝（2﹣n）2 ∵ ，即：（m﹣1）2＝4﹣4n， ∴PB2＝（m﹣1）2+n2＝4﹣4n+n2＝（2﹣n）2＝PQ2 ∴PB＝PQ， ∴⊙P 与直线相切； ②当⊙P 与 y 轴相切时 PD＝PB＝PQ ∴|m|＝2﹣n，即：n＝2±m 代入（m﹣1）2＝4﹣4n 得：m2﹣6m+5＝0 或 m2+2m+5＝0． 解得：m1＝1，m2＝5． ∴P（1，1）或 P（5，﹣3）； （2）∵ ，则 BP2＝ （BP1+BP2）， P1、P3 的横坐标分别是 2，6，则点 P1、P2 的坐标分别为：（2， ）、（6，﹣ ）， BP2＝ （BP1+BP2）＝ （ + ）＝ ， 设点 P2 的坐标为：（m，n），n＝﹣ （m﹣1）2+1， 则（m﹣1）2+（n）2＝（ ）2， 解得：m＝1± ， 故点 P2 的坐标，即 T（P1，P3）的坐标为： 或 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0）， B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 B，C，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离． （1）解：（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+2， 可得 ， ， ∴ ； （2）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形， 由题得，B（3，0），C（0，2），设 N（1，n），M（x，y）， ①四边形 CMNB 是平行四边形时， ，∴x＝﹣2， ∴ ； ②四边形 CNBM 时平行四边形时， ，∴x＝2， ∴M（2，2）； ③四边形 CNNB 时平行四边形时， ，∴x＝4， ∴ ； 综上所述：M（2，2）或 或 ； （3）解法一：过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点． ∵BH∥OC ∴∠OCB＝∠HBC 又∠OCB＝∠BCP ∴∠PCB＝∠HBC ∴HC＝HB 又 OC⊥OB ∴HB⊥OB 故可设 H（3，m），即 HB＝HC＝m 过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N 在 Rt△HCN 中，则 m2＝32+（m﹣2）2 解得 ∴ 由点 C、P 的坐标可得，设直线 CP 的解析式为 ； 故 解得 x1＝0（舍去）， 即点 P 到 y 轴的距离是 解法二、过点 B 作 CP 的垂线，垂足为 M，过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 N，再过点 B 作 DN 的垂线，垂足为 D，（以下简写） 可得△BOC≌△BMC 得 BM＝BC＝3，OC＝CM＝2 设点 M（m，n） 得 BD＝n，CN＝n﹣2，MN＝m，MD＝3﹣m 可证△BDM∽△MNC 所以 得 解得 ， 则 同解法一直线 CP 的解析式 故 解得 x1＝0（舍去）， 即点 P 到 y 轴的距离是 13．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（3，3）、B（4，0）和原点 O，P 为直线 OA 上方抛物线上的一个动点． （1）求直线 OA 及抛物线的解析式； （2）过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，并与直线 OA 交于点 C，当△PCO 为等腰三角形时， 求 D 的坐标； （3）设 P 关于对称轴的点为 Q，抛物线的顶点为 M，探索是否存在一点 P，使得△PQM 的 面积为 ，如果存在，求出 P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）设直线 OA 的解析式为 y1＝kx， 把点 A 坐标（3，3）代入得：k＝1， 直线 OA 的解析式为 y＝x； 再设 y2＝ax（x﹣4）， 把点 A 坐标（3，3）代入得：a＝﹣1， 函数的解析式为 y＝﹣x2+4x， ∴直线 OA 的解析式为 y＝x，二次函数的解析式是 y＝﹣x2+4x． （2）设 D 的横坐标为 m，则 P 的坐标为（m，﹣m2+4m）， ∵P 为直线 OA 上方抛物线上的一个动点， ∴0＜m＜3． 此时仅有 OC＝PC， ， ∴ ，解得 ， ∴ ； （3）函数的解析式为 y＝﹣x2+4x， ∴对称轴为 x＝2，顶点 M（2，4）， 设 P（n，﹣n2+4n）， 则 Q（4﹣n，﹣n2+4n），M 到直线 PQ 的距离为 4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2， 要使△PQM 的面积为 ， 则 ，即 ， 解得： 或 ， ∴ 或 ． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+mx+n 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧）． （1）如图 1，若抛物线的对称轴为直线 x＝﹣3，AB＝4． ①点 A 的坐标为（ ﹣5 ， 0 ），点 B 的坐标为（ ﹣1 ， 0 ）； ②求抛物线的函数表达式； （2）如图 2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移 后的抛物线经过点 O，且与 x 正半轴交于点 C，记平移后的抛物线顶点为 P，若△OCP 是 等腰直角三角形，求点 P 的坐标． 解：（1）①∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣3，AB＝4， ∴点 A 的坐标为（﹣5，0），点 B 的坐标为（﹣1，0）， 故答案为：﹣5；0﹣1；0； ②∵抛物线经过（﹣5，0），（﹣1，0）， ∴ ， 解得， ， 则抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣6x﹣5； （2）如图 2，作 PD⊥OC 于 D， ∵△OCP 是等腰直角三角形， ∴PD＝ OC＝OD， 设点 P 的坐标为（a，a）， 设抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣a）2+a， ∵抛物线经过原点， ∴﹣（0﹣a）2+a＝0， 解得，a1＝0（不合题意），a2＝1， ∴△OCP 是等腰直角三角形时，点 P 的坐标为（1，1）． 15．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点为 A（﹣3， 0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣3），顶点为 D，其对称轴与 x 轴交于点 E． （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 为第三象限内抛物线上一点，△APC 的面积记为 S，求 S 的最大值及此时点 P 的坐标． 解：（1）∵二次函数过 A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴设二次函数解析式为 y＝a（x+3）（x﹣1）， ∵二次函数过 C 点（0，﹣3）， ∴﹣3＝a（0+3）（0﹣1）， 解得，a＝1， ∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3 即二次函数解析式为 y＝x2+2x﹣3； （2）设直线 AC 解析式为：y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴ ， 解得， ， ∴直线 AC 的解析式为 y＝﹣x﹣3， 过点 P 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G，设点 P 的坐标为（x，x2+2x﹣3）， 则 G（x，﹣x﹣3）， ∵点 P 在第三象限， ∴PG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴当 时， ，点 P（﹣ ，﹣ ）．， 即 S 的最大值是 ，此时点 P 的坐标是（﹣ ，﹣ ）．