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  • 2021-11-10 发布

决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题03一元二次方程及应用试题

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专题03一元二次方程及应用 ‎【考点1】一元二次方程的根的求值问题 ‎【例1】(2019•兰州)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=(  )‎ A.﹣2 B.﹣3 C.﹣1 D.﹣6‎ ‎【答案】A ‎【解析】把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0,‎ 所以a+2b=﹣1,‎ 所以2a+4b=2(a+2b)=2×(﹣1)=﹣2.‎ 故选:A.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.‎ ‎【变式1-1】(2019•遂宁)已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0有一个根为x=0,则a的值为(  )‎ A.0 B.±1 C.1 D.﹣1‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+a2﹣1=0有一个根为x=0,‎ ‎∴a2﹣1=0,且a﹣1≠0,‎ 则a的值为:a=﹣1.‎ 故选:D.‎ 点睛:此题主要考查了一元二次方程的解,注意二次项系数不能为零.‎ ‎【变式1-2】(2019•甘肃)若一元二次方程x2﹣2kx+k2=0的一根为x=﹣1,则k的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1或﹣1 D.2或0‎ ‎【答案】A ‎【解析】把x=﹣1代入方程得:1+2k+k2=0,‎ 解得:k=﹣1,‎ 故选:A.‎ 点睛:此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.‎ ‎【考点2】配方法解一元二次方程 ‎【例2】(2019•南通)用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是(  )‎ A.(x+4)2=﹣9 B.(x+4)2=﹣7 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=7‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程x2+8x+9=0,整理得:x2+8x=﹣9,‎ 配方得:x2+8x+16=7,即(x+4)2=7,‎ 故选:D.‎ 点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.‎ ‎【变式2-1】(2019•金华)用配方法解方程x2﹣6x﹣8=0时,配方结果正确的是(  )‎ A.(x﹣3)2=17 B.(x﹣3)2=14 C.(x﹣6)2=44 D.(x﹣3)2=1‎ ‎【答案】A ‎【解析】用配方法解方程x2﹣6x﹣8=0时,配方结果为(x﹣3)2=17,‎ 故选:A.‎ 点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.‎ ‎【考点3】因式分解法解一元二次方程 ‎【例3】(2019•桂林)一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=0的根是   .‎ ‎【答案】x1=3,x2=2‎ ‎【解析】x﹣3=0或x﹣2=0,‎ 所以x1=3,x2=2.‎ 故答案为x1=3,x2=2.‎ 点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.‎ ‎【变式3-1】(2019•十堰)对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2﹣(a﹣b)2.若(m+2)◎(m﹣3)=24,则m=   .‎ ‎【答案】﹣3或4‎ ‎【解析】根据题意得[(m+2)+(m﹣3)]2﹣[(m+2)﹣(m﹣3)]2=24,‎ ‎(2m﹣1)2﹣49=0,‎ ‎(2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)=0,‎ ‎2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0,‎ 所以m1=﹣3,m2=4.‎ 故答案为﹣3或4.‎ 点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.‎ ‎【变式3-2】(2019•扬州)一元二次方程x(x﹣2)=x﹣2的根是  .‎ ‎【答案】x1=2,x2=1.‎ ‎【解析】x(x﹣2)=x﹣2,‎ x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0,‎ ‎(x﹣2)(x﹣1)=0,‎ x﹣2=0,x﹣1=0,‎ x1=2,x2=1,‎ 故答案为:x1=2,x2=1.‎ 点睛:本题考查了解一元二次方程的应用,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.‎ ‎【考点4】一元二次方程的判别式问题 ‎【例4】(2019•铁岭)若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是  .‎ ‎【答案】a<4且a≠0 ‎ ‎【解析】由题意可知:△=64﹣16a>0,‎ ‎∴a<4,‎ ‎∵a≠0,‎ ‎∴a<4且a≠0,‎ 故答案为:a<4且a≠0‎ 点睛:本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型.‎ ‎【变式4-1】(2019•宁夏)已知一元二次方程3x2+4x﹣k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围  .‎ ‎【答案】k.‎ ‎【解析】∵方程3x2+4x﹣k=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△>0,即42﹣4×3×(﹣k)>0,‎ 解得k,‎ 故答案为:k.‎ 点睛:本题考查根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.‎ ‎【变式4-2】(2019•黄石)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根.‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)若该方程的两个实数根为x1、x2,且|x1﹣x2|=4,求m的值.‎ ‎【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根,‎ ‎∴△=(﹣6)2﹣4×1×(4m+1)≥0,‎ 解得:m≤2.‎ ‎(2)∵方程x2﹣6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1、x2,‎ ‎∴x1+x2=6,x1x2=4m+1,‎ ‎∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=42,即32﹣16m=16,‎ 解得:m=1.‎ 点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有实数根”;(2)利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|=4,找出关于m的一元一次方程.‎ ‎【考点5】一元二次方程的根与系数的关系问题 ‎【例5】(2019•十堰)已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5=0有两个不相等的实数根x1,x2.‎ ‎(1)求a的取值范围;‎ ‎(2)若x12+x22﹣x1x2≤30,且a为整数,求a的值.‎ ‎【答案】(1) a<2;(2) ﹣1,0,1.‎ ‎【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5=0有两个不相等的实数根x1,x2,‎ ‎∴△>0,即(﹣6)2﹣4(2a+5)>0,‎ 解得a<2;‎ ‎(2)由根与系数的关系知:x1+x2=6,x1x2=2a+5,‎ ‎∵x1,x2满足x12+x22﹣x1x2≤30,‎ ‎∴(x1+x2)2﹣3x1x2≤30,‎ ‎∴36﹣3(2a+5)≤30,‎ ‎∴a,∵a为整数,‎ ‎∴a的值为﹣1,0,1.‎ 点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式,利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键,注意方程根的定义的运用.‎ ‎【变式5-1】(2019•绥化)已知关于x的方程kx2﹣3x+1=0有实数根.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.‎ ‎【答案】(1) k的取值范围为k ‎(2) k的值为1.‎ ‎【解析】(1)当k=0时,原方程为﹣3x+1=0,‎ 解得:x,‎ ‎∴k=0符合题意;‎ 当k≠0时,原方程为一元二次方程,‎ ‎∵该一元二次方程有实数根,‎ ‎∴△=(﹣3)2﹣4×k×1≥0,‎ 解得:k.‎ 综上所述,k的取值范围为k.‎ ‎(2)∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1=0的两个根,‎ ‎∴x1+x2,x1x2.‎ ‎∵x1+x2+x1x2=4,‎ ‎∴4,‎ 解得:k=1,‎ 经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意.‎ ‎∴k的值为1.‎ 点睛:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程,解题的关键是:(1)分k=0及k≠0两种情况,找出k的取值范围;(2)利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2=4,找出关于k的分式方程.‎ ‎【考点6】一元二次方程的增长率问题 ‎【例6】(2019•大连)某村2016年的人均收入为20000元,2018年的人均收入为24200元 ‎(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率;‎ ‎(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年村该村的人均收入是多少元?‎ ‎【答案】(1) 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%‎ ‎(2) 预测2019年村该村的人均收入是26620元 ‎【解析】(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x,‎ 根据题意得:20000(1+x)2=24200,‎ 解得:x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去).‎ 答:2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.‎ ‎(2)24200×(1+10%)=26620(元).‎ 答:预测2019年村该村的人均收入是26620元.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.‎ ‎【变式6-1】(2019•贺州)2016年,某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元,通过政府产业扶持,发展了养殖业后,到2018年,家庭年人均纯收入达到了3600元.‎ ‎(1)求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率;‎ ‎(2)若年平均增长率保持不变,2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元?‎ ‎【答案】(1) 该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%‎ ‎(2) 2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元 ‎【解析】(1)设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,‎ 依题意,得:2500(1+x)2=3600,‎ 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去).‎ 答:该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.‎ ‎(2)3600×(1+20%)=4320(元),‎ ‎4320>4200.‎ 答:2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.‎ ‎【考点7】一元二次方程的面积问题 ‎【例7】(2019•徐州)如图,有一块矩形硬纸板,长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2?‎ ‎【答案】当剪去正方形的边长为cm时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2.‎ ‎【解析】设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为(30﹣2x)cm,宽为(20﹣2x)cm,高为xcm,‎ 依题意,得:2×[(30﹣2x)+(20﹣2x)]x=200,‎ 整理,得:2x2﹣25x+50=0,‎ 解得:x1,x2=10.‎ 当x=10时,20﹣2x=0,不合题意,舍去.‎ 答:当剪去正方形的边长为cm时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.‎ ‎【变式7-1】(2019•襄阳)改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(AD)16m ‎,宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽应为多少?‎ ‎【答案】小路的宽应为1m.‎ ‎【解析】设小路的宽应为xm,‎ 根据题意得:(16﹣2x)(9﹣x)=112,‎ 解得:x1=1,x2=16.‎ ‎∵16>9,‎ ‎∴x=16不符合题意,舍去,‎ ‎∴x=1.‎ 答:小路的宽应为1m.‎ 点睛:本题考查一元二次方程的应用,弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键.‎ ‎【考点8】一元二次方程的销售问题 ‎【例8】(2019•东营)为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?‎ ‎【答案】这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.‎ ‎【解析】设降价后的销售单价为x元,则降价后每天可售出[300+5(200﹣x)]个,‎ 依题意,得:(x﹣100)[300+5(200﹣x)]=32000,‎ 整理,得:x2﹣360x+32400=0,‎ 解得:x1=x2=180.‎ ‎180<200,符合题意.‎ 答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.‎ ‎【变式8-1】(2019•‎ 安顺)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?‎ ‎【答案】商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元.‎ ‎【解析】(1)设一次函数解析式为:y=kx+b 当x=2,y=120;当x=4,y=140;‎ ‎∴,‎ 解得:,‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100;‎ ‎(2)由题意得:‎ ‎(60﹣40﹣x)(10 x+100)=2090,‎ 整理得:x2﹣10x+9=0,‎ 解得:x1=1.x2=9,‎ ‎∵让顾客得到更大的实惠,‎ ‎∴x=9,‎ 答:商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用;由题意列出方程组或方程是解题的关键.‎ ‎1.(2019•滨州)用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1=0时,下列变形正确的是(  )‎ A.(x﹣2)2=1 B.(x﹣2)2=5 C.(x+2)2=3 D.(x﹣2)2=3‎ ‎【答案】D ‎【解析】x2﹣4x+1=0,‎ x2﹣4x=﹣1,‎ x2﹣4x+4=﹣1+4,‎ ‎(x﹣2)2=3,‎ 故选:D.‎ 点睛:本题考查了解一元二次方程,能正确配方是解此题的关键.‎ ‎2.(2019•营口)若关于x的方程kx2﹣x0有实数根,则实数k的取值范围是(  )‎ A.k=0 B.k且k≠0 C.k D.k ‎【答案】C ‎【解析】当k≠0时,△=1+4k1+3k≥0,‎ ‎∴k,‎ ‎∴k且k≠0,‎ 当k=0时,‎ 此时方程为﹣x0,满足题意,‎ 故选:C.‎ 点睛:本题考查一元二次方程,解题的关键是正确理解根的判别式,本题属于基础题型.‎ ‎3.(2019•丹东)等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,则k的值是(  )‎ A.8 B.9 C.8或9 D.12‎ ‎【答案】B ‎【解析】当等腰三角形的底边为2时,‎ 此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的有两个相等实数根,‎ ‎∴△=36﹣4k=0,‎ ‎∴k=9,‎ 此时两腰长为3,‎ ‎∵2+3>3,‎ ‎∴k=9满足题意,‎ 当等腰三角形的腰长为2时,‎ 此时x=2是方程x2﹣6x+k=0的其中一根,‎ ‎∴4﹣12+k=0,‎ ‎∴k=8,‎ 此时另外一根为:x=4,‎ ‎∵2+2=4,‎ ‎∴不能组成三角形,‎ 综上所述,k=9,‎ 故选:B.‎ 点睛:本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质,本题属于中等题型.‎ ‎4.(2019•包头)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,则m的值是(  )‎ A.34 B.30 C.30或34 D.30或36‎ ‎【答案】A ‎【解析】当a=4时,b<8,‎ ‎∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,‎ ‎∴4+b=12,‎ ‎∴b=8不符合;‎ 当b=4时,a<8,‎ ‎∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,‎ ‎∴4+a=12,‎ ‎∴a=8不符合;‎ 当a=b时,‎ ‎∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,‎ ‎∴12=2a=2b,‎ ‎∴a=b=6,‎ ‎∴m+2=36,‎ ‎∴m=34;‎ 故选:A.‎ 点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系;根据等腰三角形的性质进行分类讨论,结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键.‎ ‎5.(2019•荆州)若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限,则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是(  )‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 ‎ C.无实数根 D.无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限,‎ ‎∴k>0,b≤0,‎ ‎∴△=k2﹣4b>0,‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根.‎ 故选:A.‎ 点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.也考查了一次函数的性质.‎ ‎6.(2019•遵义)一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1,x2,则x12+3x2+x1x2﹣2的值是(  )‎ A.10 B.9 C.8 D.7‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1=0的根,‎ ‎∴x12﹣3x1+1=0,‎ ‎∴x12=3x1﹣1,‎ ‎∴x12+3x2+x1x2﹣2=3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2=3(x1+x2)+x1x2﹣3,‎ 根据题意得x1+x2=3,x1x2=1,‎ ‎∴x12+3x2+x1x2﹣2=3×3+1﹣3=7.‎ 故选:D.‎ 点睛:本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2,x1x2.‎ ‎7.(2019•鸡西)某校“研学”‎ 活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【答案】C ‎【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支,‎ 依题意,得:1+x+x2=43,‎ 解得:x1=﹣7(舍去),x2=6.‎ 故选:C.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.‎ ‎8.(2019•朝阳)一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况是(  )‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 ‎ C.没有实数根 D.无法判断 ‎【答案】A ‎【解析】∵△=(﹣1)2﹣4×(﹣1)=5>0,‎ ‎∴方程有两个不相等的两个实数根.‎ 故选:A.‎ 点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.‎ ‎9.(2019•湘潭)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,则c=(  )‎ A.4 B.2 C.1 D.﹣4‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,‎ ‎∴△=(﹣4)2﹣4×1×c=16﹣4c=0,‎ 解得:c=4.‎ 故选:A.‎ 点睛:本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键.‎ ‎10.(2019•资阳)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2﹣2a的值是  .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵a是方程2x2=x+4的一个根,‎ ‎∴2a2﹣a=4,‎ ‎∴4a2﹣2a=2(2a2﹣a)=2×4=8.‎ 故答案为:8.‎ 点睛:此题主要考查了一元二次方程的解,正确将原式变形是解题关键.‎ ‎11.(2019•济宁)已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,则方程的另一个根是  .‎ ‎【答案】﹣2‎ ‎【解析】∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,‎ ‎∴x1x22,‎ ‎∴1×x2=﹣2,‎ 则方程的另一个根是:﹣2,‎ 故答案为﹣2.‎ 点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.‎ ‎12.(2019•抚顺)若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根,则k的取值范围是   .‎ ‎【答案】k≠0且k≤1‎ ‎【解析】由题意可知:△=4﹣4k≥0,‎ ‎∴k≤1,‎ ‎∵k≠0,‎ ‎∴k≠0且k≤1,‎ 故答案为:k≠0且k≤1;‎ 点睛:本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式,本题属于基础题型.‎ ‎13.(2019•青海)某种药品原价每盒60元,由于医疗政策改革,价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元,则平均每次下调的百分率为   .‎ ‎【答案】10%‎ ‎【解析】设平均每次降价的百分比是x,根据题意得:‎ ‎60(1﹣x)2=48.6,‎ 解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去),‎ 答:平均每次降价的百分比是10%;‎ 故答案为:10%.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.‎ ‎14.某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作,去年已投入5亿元资金,并计划投入资金逐年增长,明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设,则这两年投入资金的年平均增长率为   .‎ ‎【答案】20%‎ ‎【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x,由题意得:‎ ‎5(1+x)2=7.2,‎ 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意舍去).‎ 答:这两年中投入资金的平均年增长率约是20%.‎ 故答案是:20%.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量.‎ ‎15.(2019•呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x﹣6)=16的实数根.‎ ‎【答案】x1,x2.‎ ‎【解析】原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34=0,‎ x2x=17,‎ x2x17,‎ ‎(x)2,‎ x±,‎ 所以x1,x2.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.‎ ‎16.(2019•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0有两个不相等的实数根x1,x2.‎ ‎(1)若a为正整数,求a的值;‎ ‎(2)若x1,x2满足x12+x22﹣x1x2=16,求a的值.‎ ‎【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2(a﹣1)x+a2﹣a﹣2=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=[﹣2(a﹣1)]2﹣4(a2﹣a﹣2)>0,‎ 解得:a<3,‎ ‎∵a为正整数,‎ ‎∴a=1,2;‎ ‎(2)∵x1+x2=2(a﹣1),x1x2=a2﹣a﹣2,‎ ‎∵x12+x22﹣x1x2=16,‎ ‎∴(x1+x2)2﹣3x1x2=16,‎ ‎∴[2(a﹣1)]2﹣3(a2﹣a﹣2)=16,‎ 解得:a1=﹣1,a2=6,‎ ‎∵a<3,‎ ‎∴a=﹣1.‎ 点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式,先判断出a的取值范围,再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键.‎ ‎17(2019•贵港)为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.‎ ‎(1)求这两年藏书的年均增长率;‎ ‎(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?‎ ‎【解析】(1)设这两年藏书的年均增长率是x,‎ ‎5(1+x)2=7.2,‎ 解得,x1=0.2,x2=﹣2.2(舍去),‎ 答:这两年藏书的年均增长率是20%;‎ ‎(2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有(7.2﹣5)×20%=0.44(万册),‎ 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是:100%=10%,‎ 答:到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.‎ 点睛:本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用方程的知识解答,这是一道典型的增长率问题.‎ ‎18.(2019•南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?‎ ‎【解析】设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm,‎ 依题意得:3x•2x•100+30(3x•2x﹣50×40)=642000‎ 解得x1=30,x2=﹣30(舍去).‎ 所以3x=90,2x=60,‎ 答:扩充后广场的长为90m,宽为60m.‎ 点睛:题考查了列二元一次方程解实际问题的运用,总价=单价×数量的运用,解答时找准题目中的数量关系是关键.‎ ‎19.(2019•长沙)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.‎ ‎(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;‎ ‎(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?‎ ‎【解析】(1)设增长率为x,根据题意,得 ‎2(1+x)2=2.42,‎ 解得x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%.‎ 答:增长率为10%.‎ ‎(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).‎ 答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.‎ ‎20.(2019•衡阳)关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有实数根.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.‎ ‎【解析】(1)根据题意得△=(﹣3)2﹣4k≥0,‎ 解得k;‎ ‎(2)k的最大整数为2,‎ 方程x2﹣3x+k=0变形为x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,‎ ‎∵一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根,‎ ‎∴当x=1时,m﹣1+1+m﹣3=0,解得m;‎ 当x=2时,4(m﹣1)+2+m﹣3=0,解得m=1,‎ 而m﹣1≠0,‎ ‎∴m的值为.‎ 点睛:本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根. ‎

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