中考数学全程复习方略第八讲一元二次方程课件 55页

第八讲 　 一元二次方程 考点一　一元二次方程的概念和解法 【 主干必备 】 一元二次方程的概念及解法 概念 只含有 _________ 个未知数 , 且未 知数的最高次数是 ________ 的整 式方程 , 叫做一元二次方程 .  一 2 一般形式 一般形式 :______________________.  其中 ax 2 是 _____________,a 是 __________ ________,bx 是 _____________,b 是 ______ ____________,c 是 _____________.  解法 解一元二次方程的基本思想是 _________, 主要方法有 : 直接开平方法、 _________ 法、公式法、 _______________ 法等 .  ax 2 +bx+c=0(a≠0) 二次项 二次项 系数 一次项 一 次项系数 常数项 降次 配方 因式分解 【 微点警示 】 (1) 必备三要素 : ① 整式方程 ; ② 只含有一个未知数 ; ③ 未知数的最高次数是 2. (2) 一般判别方法 : 判断一个方程是不是一元二次方程 , 不能只看形式 , 要根据整理后的结果确定 . (3) 特殊判别方法 : 二次项系数含有字母时 , 若字母取值不明确 , 不一定是一元二次方程 . (4) 隐含条件应用 : 若明确指出方程 ax 2 +bx+c=0 是关于 x 的一元二次方程 , 那么就隐含了 a≠0 这一重要条件 . 【 核心突破 】 【 例 1】 (1)(2019· 兰州中考 )x=1 是关于 x 的一元二次 方程 x 2 +ax+2b=0 的解 , 则 2a+4b= ( 　 　 ) A.-2 　　 B.-3 　　 C.-1 　　 D.-6 A (2)(2019· 威海中考 ) 一元二次方程 3x 2 =4-2x 的解是 ______________________.  【 明 · 技法 】 一元二次方程的解法最优选择 解法 形式 备注 直接开 平方法 x 2 =p(p≥0) 应用于特殊结构的方程 (mx+n) 2 =p(p≥0,m≠0) 配方法 (x-m) 2 =n(n≥0) 最基本的方法 解法 形式 备注 公式法 ax 2 +bx+c=0 (a≠0,b 2 -4ac≥0) 最通用的方法 , 适合所有方程 因式分 解法 (x-x 1 )(x-x 2 )=0 适用于方程一边等于 0, 另一边易因式分解的情况 【 题组过关 】 1.(2019· 广东模拟 ) 关于 x 的一元二次方程 (m-2)x 2 +3x+m 2 -4=0 有一个根是 0, 则 m 的值为 世纪金榜导 学号 ( 　 　 ) A.2 　　　 B.-2 　　　 C.-2 或 2 　　　 D.0 B 2.(2019· 资阳中考 )a 是方程 2x 2 =x+4 的一个根 , 则代数 式 4a 2 -2a 的值是 ________.  3.(2019· 南京秦淮区期中 ) 关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a,b,c 是常数 ,a≠0) 配方后为 (x+1) 2 =d(d 为常数 ), 则 =________. 世纪金榜导学号  8 1 4.(2019· 襄阳襄州区期末 ) 解方程 (1)(x-2)(x+4)=6. (2)(2019· 安徽模拟 )(2x+3) 2 -81=0. 【 解析 】 (1)x 2 +2x-14=0, x 2 +2x+1=15,(x+1) 2 =15,x+1=± 所以 x 1 =-1+ ,x 2 =-1- . (2)(2x+3) 2 =81,2x+3=±9, 解得 :x 1 =-6,x 2 =3. 考点二　一元二次方程根的判别式 【 主干必备 】 根的判别式 关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的根的判别式为 Δ=____________.  b 2 -4ac 判别式与根的关系 (1)b 2 -4ac>0⇔ 一元二次方程 ________ ____________ 的实数根 .  (2)b 2 -4ac=0⇔ 一元二次方程 ________ __________ 的实数根 .  (3)b 2 -4ac<0⇔ 一元二次方程 ________ 实数根 .  有两 个不相等 有两 个相等 没有 【 微点警示 】 (1) 判别式使用前提 : 先把方程化为一般形式 , 以便正确找出 a,b,c 的值 , 以防出错 . (2) 认知误区 : 一元二次方程有两个相等的实数根时 , 不要误认为只有一个实数根 . (3) 一元二次方程有实数根的含义 :① 有两个相等的实数根 ;② 有两个不相等的实数根 . 此时隐含条件为 : 二次项系数不为 0, 且 b 2 -4ac≥0. 【 核心突破 】 【 例 2】【 原型题 】 (2018· 菏泽中考 ) 关于 x 的一元二 次方程 (k+1)x 2 -2x+1=0 有两个实数根 , 则 k 的取值范围 是 ( 　 　 ) A.k≥0 　　　　　　　 B.k≤0 C.k<0 且 k≠-1 D.k≤0 且 k≠-1 D 【 变形题 1】 ( 变换结论 ) 关于 x 的一元二次方程 (k+1)x 2 -2x+1=0 有两个实数根 , 当 k 取最大整数值时 , 判断方程 (k-1)x 2 +2x+1=0 的根的情况 . 【 解析 】 根据题意得 k+1≠0 且 Δ =(-2) 2 -4(k+1)≥0, 解得 k≤0 且 k≠-1. ∴ k 的最大整数值是 0, ∴ 当 k=0 时 , 方程 (k-1)x 2 +2x+1=0 为 -x 2 +2x+1=0,Δ=2 2 -4×1×(-1)=8>0,∴ 方程 -x 2 +2x+1=0 有两个不相等的实数根 . 【 变形题 2】 ( 变换条件 ) 已知关于 x 的方程 (k+1)x 2 -2x+1=0 有实数根 , 求 k 的取值范围 . 【 解析 】 当 k+1=0, 即 k=-1 时 , 方程为 -2x+1=0, 解得 x= 当 k+1≠0, 即 k≠-1 时 ,Δ=(-2) 2 -4(k+1)≥0, 解得 k≤0 且 k≠-1. 综上所述 ,k 的取值范围是 k≤0. 【 明 · 技法 】 根据 b 2 -4ac 判断根的情况的“三步骤” (1) 将方程化为一般形式 , 确定 a,b,c 的值 . (2) 求出 b 2 -4ac 的值 . (3) 根据 b 2 -4ac 的值与 0 的大小关系判断一元二次方程根的情况 . 【 题组过关 】 1.(2019· 安徽模拟 ) 关于 x 的一元二次方程 x 2 -(2k-1)x +k 2 +1=0 有实数根 , 则 k 的取值范围是 ( 　 　 ) A.k≤ 　　　　　 B.k> C.k≥ D.k< A 2.(2019· 齐齐哈尔克东期末 ) 当 k>5 时 , 关于 x 的一元 二次方程 x 2 +4x+k=0 的根的情况是 ( 　 　 ) 世纪金榜导学号 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 D C. 有两个实数根 D. 没有实数根 3.(2019· 枣庄中考 ) 已知关于 x 的方程 ax 2 +2x-3=0 有两 个不相等的实数根 , 则 a 的取值范围是 _____________.  4.(2019· 连云港中考 ) 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 +2x+2-c=0 有两个相等的实数根 , 则 +c 的值等于 ________. 世纪金榜导学号  2 考点三　一元二次方程的应用 【 主干必备 】 1. 传播问题 若 a 表示传播之前的人数 ,x 表示每轮每人传播的人数 , n 表示传播的轮数 ,b 表示最终的总人数 , 则 ___________.  a(1+x) n =b 2. 增长 ( 降低 ) 率问题 有关公式 增长数 = 基数 × 增长率 ; 实际数 = 基数 + 增长数 . (1) 两次增长 , 且增长率相等的问题的基本等量关系式 为 : 原来的 ×_________________= 后来的 .  (1+ 增长率 ) 2 (2) 两次下降 , 且下降率相等的问题的基本等量关系式 为 : 原来的 ×_________________= 后来的 .  (1- 下降率 ) 2 【 微点警示 】 (1) 增长率的取值范围为 x≥0. (2) 降低率的取值范围为 0≤x<1. (3) 求解后一定不要忘记检验所求结果是否满足这个条件 . 【 核心突破 】 【 例 3】 (1)(2018· 绵阳中考 ) 在一次酒会上 , 每两人都 只碰一次杯 , 如果一共碰杯 55 次 , 则参加酒会的人数为 ( 　 　 ) A.9 人 B.10 人 C.11 人 D.12 人 C (2)(2019· 长沙中考 ) 近日 , 长沙市教育局出台 《 长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 》, 鼓励教师参与志愿辅导 , 某区率先示范 , 推出名师公益大课堂 , 为学生提供线上线下免费辅导 , 据统计 , 第一批公益课受益学生 2 万人次 , 第三批公益课受益学生 2.42 万人次 . ① 如果第二批 , 第三批公益课受益学生人次的增长率相同 , 求这个增长率 ; ② 按照这个增长率 , 预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次 ? 【 自主解答 】 ① 设增长率为 x, 根据题意 , 得 2(1+x) 2 =2.42, 解得 x 1 =-2.1( 舍去 ),x 2 =0.1=10%. 答 : 增长率为 10%. ②2.42×(1+0.1)=2.662( 万人次 ). 答 : 预计第四批公益课受益学生将达 a 到 2.662 万人次 . 【 明 · 技法 】 列一元二次方程解决实际应用题的一般步骤 (1) 审题 : 仔细阅读题目、分析题意 , 明确题目要求 , 弄清已知量、未知量及它们之间的等量关系 . (2) 设未知数 : 有直接设未知数和间接设未知数两种 , 因题而异 . (3) 列方程 : 根据题意 , 找出能表示应用题全部含义的一个等量关系 , 用含有未知数的代数式表示出有关的未知量 , 列出方程 . (4) 解方程 : 利用配方法、公式法、因式分解法等方法求出所列方程的解 . (5) 检验 : 检验未知数的值是否符合所列方程 , 以及是否使实际问题有意义 . (6) 答 : 根据题意 , 写出合理的答案 . 【 题组过关 】 1.(2019· 武汉蔡甸区期中 ) 有一个人收到短信后 , 再用 手机转发短信 , 每人只转发一次 , 经过两轮转发后共有 133 人收到短信 , 问每轮转发中平均一个人转发给多少 个人 . ( 　 　 ) A.9 B.10 C.11 D.12 C 2.(2019· 山西中考 ) 如图 , 在一块长 12 m, 宽 8 m 的矩形 空地上 , 修建同样宽的两条互相垂直的道路 ( 两条道路 各与矩形的一条边平行 ), 剩余部分栽种花草 , 且栽种花 草的面积为 77 m 2 , 设道路的宽为 x m, 则根据题意 , 可列 方程为 _____________________. 世纪金榜导学号  (12-x)(8-x)=77 3.(2019· 深圳二模 ) 某超市去年 12 月份的销售额为 100 万元 , 今年 2 月份的销售额比今年 1 月份的销售额多 24 万元 , 若去年 12 月份到今年 2 月份每个月销售额增长的百分数相同 . 求 : (1) 这个相同的百分数 . (2)2 月份的销售额 . 【 解析 】 (1) 设这个相同的百分数为 x, 由题意得 100(x+1) 2 =100(x+1)+24, 解得 :x 1 =-1.2( 不合题意舍去 ),x 2 =0.2=20%. 答 : 这个相同的百分数为 20%. (2)2 月份的销售额 100×1.2 2 =144( 万元 ). 答 : 2 月份的销售额为 144 万元 . 4.(2019· 南昌一模 ) 淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动 . 甲网店销售的 A 商品的成本为 30 元 / 件 , 网上标价为 80 元 / 件 . 世纪金榜导学号 (1)“ 双十一”购物活动当天 , 甲网店连续两次降价销售 A 商品吸引顾客 , 问该店平均每次降价率为多少时 , 才能使 A 商品的售价为 39.2 元 / 件 ? (2) “ 双十一”活动之前 , 乙网店销售 A 商品的成本、 网上标价与甲网店一致 , 一周可售出 1 000 件 A 商品 . 在 “双十一”购物活动当天 , 乙网店先将 A 商品的网上标 价提高 a%, 再推出五折促销活动 , 吸引了大量顾客 , 乙网 店在“双十一”购物活动当天卖出的 A 商品数量相比 原来一周增加了 2a%,“ 双十一”活动当天乙网店的利润达到了 3 万元 , 求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价 . 【 解析 】 (1) 设平均每次降价率为 x, 才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元 , 根据题意得 :80(1-x) 2 =39.2, 解得 :x 1 =0.3=30%,x 2 =1.7( 不合题意 , 舍去 ). 答 : 平均每次降价率为 30%, 才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元 . (2) 根据题意得 :[0.5×80(1+a%)-30]×1 000(1+2a%) =30 000, 整理得 :a 2 +75a-2 500=0, 解得 :a 1 =25,a 2 =-100( 不合题意 , 舍去 ), ∴80(1+a%)=80×(1+25%)=100. 答 : 乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100 元 .