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- 2021-11-10 发布
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北京市西城区2009年抽样测试
初三数学试卷 2009.6
考生须知
1.本试卷共4页,共五道大题,25道小题,满分120分,考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称和姓名。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。
4.考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
1.-5的绝对值等于
A.5 B.-5 C. D.-
2.27的平方根等于
A.3 B.3 C.±3 D.±3
3.若两圆的半径分别为1cm和5cm,圆心距为4cm,则这两圆的位置关系是
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
4.用配方法将代数式a2+4a-5变形,结果正确的是
A.(a+2)2-1 B.(a+2)2-5 C.(a+2)2+4 D.(a+2)2-9
5.若圆锥的底面半径为3cm,母线为6cm,则圆锥的侧面积等于
A.36πcm2 B.27πcm2 C.18πcm2 D.9πcm2
6.如图,⊙O中,弦AB的长为2,OC⊥AB于C,OC=1.若从⊙O外一点P作⊙O的两条切线,切点恰好分别为A、B,则∠APB的度数等于
A.120° B.90° C.60° D.45°
7.如图,菱形ABCD中,∠A=30°,AD=2,若菱形FBCE与菱形ABCD关于BC所在直线对称,则平行线AD与FE间的距离等于
A.2 B.3 C.2 D.4
8.已知关于x的一次函数y=(k-)x+,其中实数k满足0<k<1.当自变量x在1≤x≤2的范围内变化时,此函数的最大值为
A. B.2 C.k D.2k-
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.若分式的值为0,则x的值为________.
10.如图,矩形ABCD中,两条对角线的交点为O,若OA=5,AB=6,则AD=________.
11.在函数y=中,自变量x的取值范围是________.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,B1(0,1),B2(0,3),B3(0,6),B4(0,10),…,以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2,以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3,以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4,…,如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上,且BnBn+1的长度依次增加1个单位,顶点An都在第一象限内(n≥1,且n为整数),那么A1的纵坐标为________;用n的代数式表示An的纵坐标:________.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.先化简,再求值:,其中x=-3,y=2.
14.解二元一次方程组
15.已知关于x的一元二次方程2x2-7x+3m=0(其中m为实数)有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为正整数,求此方程的根.
16.如图,矩形ABCD中,E、F点分别在BC、AD边上,∠DAE=∠BCF.
求证:△ABE≌△CDF.
17.已知直线y=mx+n经过抛物线y=ax2+bx+c的顶点P(1,7),与抛物线的另一个交点为M(0,6),求直线与抛物线的解析式.
18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,∠A=60°.将△ABC沿AB
边所在直线向右平移,记平移后它的对应三角形为△DEF.
(1)若将△ABC沿直线AB向右平移3cm,求此时梯形CAEF的面积;
(2)若使平移后得到的△CDF是直角三角形,则△ABC平移的距离应为________cm.
四、解答题(本题共20分,第19题6分,第20题5分,第21题5分,第22题4分)
19.某地一商场贴出“五一”期间的促销海报,内容如图所示.某校一个课外实践活动小组的同学在商场促销活动期间,在该商场门口随机调查了参与促销活动的部分顾客抽奖的情况,以下是根据其中200人次的抽奖情况画出的统计图的一部分:
(1)补全获奖情况频数统计图;
(2)求所调查的200人次抽奖的中奖率;
(3)如果促销活动期间商场每天约有2 000人次抽奖,请根据调查情况估计,该商场一天送出的购物券的总金额是多少元?
20.列方程解应用题:
某城市在道路改造过程中,需要铺设一条长为1 500米的管道,为了尽量减少施工对交通造成的影响,实际施工时,工作效率比原计划提高了20%,结果提前2天完成了任务.求实际每天铺设了多少米管道.
21.如图,等腰△ABC中,AC=BC,⊙O为△ABC的外接圆,D为上一点,CE⊥AD于E.
求证:AE=BD+DE.
22.以下两图是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF,要求把它们分别分割成三个三角形,使分得的三个三角形互相没有重叠部分,并且△ABC中分得的三个小三角形和△DEF中分得的三个小三角形分别相似.请画出两个三角形中的分割线,标出分割得到的小三角形中两个角的度数.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)
23.如图,正方形ABCD的边长为4,E为CD的中点,F为AD边上一点,且不与点D重合,AF=a.
(1)判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值,若存在,求出最大或最小值;若不存在,请说明理由;
(2)若∠BFE=∠FBC,求tan∠AFB的值;
(3)在(2)的条件下,若将“E为CD的中点”改为“CE=k·DE”,其中k为正整数,其它条件不变,请直接写出tan∠AFB的值.
(用k的代数式表示)
24.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(0,1),与x轴的一个交点B的坐标为(2,0).点P在抛物线上,它的横坐标为2n(0<n<1),作PC⊥x轴于C,PC交射线AB于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)用n的代数式表示CD、PD的长,并通过计算说明与的大小关系;
(3)若将原题中“0<n<1”的条件改为“n>1”,其它条件不变,请通过计算说明(2)中的结论是否仍然成立.
25.△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若0°<∠PBC<180°,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA,
(1)当BP与BA重合时(如图1),∠BPD=________°;
(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;
(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数,并画出相应的图形.
图1 图2
北京市西城2009年抽样测试
初三数学试卷答案及评分参考 2009.6
阅卷须知:
1.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
2.若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分。
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
D
C
B
C
C
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
题号
9
10
11
12
答案
-2
8
x≥2
2
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.解:
……………………………………………………………1分
…………………………………………………………………………2分
…………………………………………………………………………3分
.…………………………………………………………………………………4分
当x=-3,y=2时,x+y=-,x-y=-5,.
……………………………………………………………………………………………5分
14.解:
由①得y=3x-7.③………………………………………………………………………1分
把③代入②,得5x+2(3x-7)=8.
解得x=2.…………………………………………………………………………………3分
把x=2代入③,得y=-1.……………………………………………………………4分
∴原方程组的解为……………………………………………………………5分
15.解:(1)∵关于x的一元二次方程2x2-7x+3m=0(其中m为实数)有实数根,
△=(-7)2-4×2×3m=49-24m,
∴49-24m≥0.…………………………………………………………………1分
解得m≤.……………………………………………………………………2分
(2)当m为正整数时,m=1或m=2.……………………………………………3分
当m=1时,原方程化为2x2-7x+3=0,解得x1=,x2=3;……………4分
当m=2时,原方程化为2x2-7x+6=0,解得x1=,x2=2.……………5分
16.证明:如图1.
图1
∵矩形ABCD,
∴AB=CD,………………………………………………………………………………1分
∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°.…………………………………………………2分
∵∠DAE=∠BCF,
∴∠BAD-∠DAE=∠BCD-∠BCF,
即∠BAE=∠DCF.………………………………………………………………………3分
在△ABE和△CDF中,
………………………………………………………………………4分
∴△ABE≌△CDF.………………………………………………………………………5分
17.解:(1)∵直线y=mx+n经过点P(1,7)、M(0,6),
……………………………………………………………………1分
解得
∴直线的解析式为y=x+6.…………………………………………………2分
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P(1,7),
∴ y=a(x-1)2+7.…………………………………………………………3分
∵抛物线经过点M(0,6),
∴a(0-1)2+7=6.解得a=-1.……………………………………………4分
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+6.………………………………………5分
18.解:(1)如图2,作CG⊥AB于G.……………………………………………………1分
图2
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,∠A=60°,
,CG=AC·sin 60°=(cm).…………………2分
∵△DEF是将△ABC沿AB边所在直线向右平移3cm得到,
∴AD=CF=BE=3(cm),AE=AB+BE=7(cm).
.…………………3分
(2)△ABC平移的距离应为1或4cm.……………………………………………5分
四、解答题(本题共20分,第19题6分,第20题5分,第21题5分,第22题4分)
19.解:(1)答案见右图;……………………………………………………………………2分
(2)所调查的200人次抽奖的中奖率为.……………………4分
(3)
=13350(元).…………………………………………………………………6分
答:根据调查情况估计,该商场一天送出的购物券的总金额是13350元.
20.解:设原计划每天铺设了x米管道.……………………………………………………1分
则实际每天铺设了(1+20%)x米管道.
由题意得.…………………………………………………2分
整理,得.
解得x=125.…………………………………………………………………………3分
经检验,x=125是原方程的解.……………………………………………………4分
所以(米).
答:实际每天铺设了150米管道.………………………………………………………5分
21.证明:如图3,在AE上截取AF=BD,连结CF、CD.
图3
在△ACF和△BCD中,
………………………………………………………………1分
∴△ACF≌△BCD.………………………………………………………………2分
∴CF=CD.………………………………………………………………………3分
∵CE⊥AD于E,
∴EF=DE.………………………………………………………………………4分
∴AE=AF+EF=BD+DE.……………………………………………………5分
22.答案不唯一,以下四个答案供参考:
答案一: 答案二:
答案三: 答案四:
说明:各图中第一对相似三角形画正确得2分,三对相似三角形全部画正确得4分
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)
23.解:(1)如图4,S四边形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF=
=12-a.……………………………………………………1分
图4
∵F为AD边上一点,且不与点D重合,
∴0≤a<4.
∴当点F与点A重合时,a=0,S四边形BCEF存在最大值12;…………………2分
S四边形BCEF不存在最小值.………………………………………………………3分
(2)如图5,延长BC、FE交于点P.……………………………………………4分
图5
∵正方形ABCD,
∴AD∥BC.
∴△DEF∽△CEP.
∵E为CD的中点,
,PE=2EF.
∵∠BFE=∠FBC,
∴PB=PF.
∵AF=a,
∴PC=DF=4-a,PB=PF=8-a,.
∵Rt△DEF中,EF2=DE2+DF2,
整理,得3a2-16a+16=0.
解得a1=,a2=4.……………………………………………………………5分
∵F点不与D点重合,
∴a=4不成立,a=,.……………………………6分
(3)tan∠AFB=2k+1.(k为正整数) ……………………………………………7分
24.解:(1)如图6.
图6
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(0,1),经过(2,0)点,
∴y=ax2+1,……………………………………………………………………1分
又4a+1=0.
解得a=-.
∴抛物线的解析式为y=-x2+1.…………………………………………2分
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b.
∵A(0,1),B(2,0),
解得
∴直线AB的解析式为y=-x+1.…………………………………………3分
∵点P在抛物线上,它的横坐标为2n(0<n<1),
∴点P的坐标为(2n,1-n2),且点P在第一象限.
又∵PC⊥x轴于C,PC交射线AB于点D,
∴xD=OC=2n,yD=×2n+1=1-n,且点D在第一象限.
∴CD=1-n.……………………………………………………………………4分
PD=yP-yD=(1-n2)-(1-n)=n-n2=n(1-n).………………………5分
∵0<n<1,
.
,
.……………………………………………………………………6分
(3)当n>1时,P、D两点在第四象限,且P点在D点下方(如图7),yD>yp.
点P的坐标为(2n,1-n2).
图7
∵xD=OC=2n,
∴yD=-×2n+1=1-n.
∵D点在第四象限,
∴CD=-yD=n-1,
PD=yD-yP=(1-n)-(1-n2)=n(n-1).……………………………………7分
∵n>1,
.
,
仍然成立.…………………………………………………………8分
25.解:(1)∠BPD=30°;……………………………………………………………………1分
(2)如图8,连结CD.………………………………………………………………2分
图8
解一:∵点D在∠PBC的平分线上,
∴∠1=∠2.
∵△ABC是等边三角形,
∴BA=BC=AC,∠ACB=60°.
∵BP=BA,
∴BP=BC.
∵BD=BD,
∴△PBD≌△CBD.
∴∠BPD=∠3.……………………………………………………………3分
∵DB=DA,BC=AC,CD=CD,
∴△BCD≌△ACD.
∴∠3=∠4=∠ACB=30°.……………………………………………4分
∴∠BPD=30°.……………………………………………………………5分
解二:∵△ABC是等边三角形,
∴BA=BC=AC.
∵DB=DA,
∴CD垂直平分AB.
∴∠3=∠4=∠ACB=30°.……………………………………………3分
∵BP=BA,
∴BP=BC.
∵点D在∠PBC的平分线上,
∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称.
∴∠BPD=∠3.……………………………………………………………4分
∴∠BPD=30°.……………………………………………………………5分
(3)∠BPD=30°或150°.
图形见图9、图10.…………………………………………………………………7分
说明:①两种情况各得1分;
②图9中,BD在∠ABC内部或外部的情况只需画出一种即可.
或
图9 图10