2019年全国中考数学真题分类汇编：与圆有关的计算与证明 35页

（分类）滚动小专题（十二）与圆有关的计算与证明 类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明 类型 2 与圆的切线有关的计算与证明 类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明 （2019·河南） 23．（2019·绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点 C为 的中点，CF为⊙O的弦，且 CF⊥AB，垂足为 E，连接 BD 交 CF于点 G，连接 CD，AD，BF． （1）求证：△BFG≌△CDG； （2）若 AD＝BE＝2，求 BF的长． 【解答】证明：（1）∵C是 的中点， ∴ ， ∵AB是⊙O的直径，且 CF⊥AB， ∴ ， ∴ ， ∴CD＝BF， 在△BFG和△CDG中， ∵ ， ∴△BFG≌△CDG（AAS）； （2）解法一：如图，连接 OF，设⊙O的半径为 r， Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即 BD2＝（2r）2﹣22， Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即 EF2＝r2﹣（r﹣2）2， ∵ ， ∴ ， ∴BD＝CF， ∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2， 即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]， 解得：r＝1（舍）或 3， ∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12， ∴BF＝2 ； 解法二：如图，过 C作 CH⊥AD于 H，连接 AC、BC， ∵ ， ∴∠HAC＝∠BAC， ∵CE⊥AB， ∴CH＝CE， ∵AC＝AC， ∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL）， ∴AE＝AH， ∵CH＝CE，CD＝CB， ∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL）， ∴DH＝BE＝2， ∴AE＝AH＝2+2＝4， ∴AB＝4+2＝6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠BEC＝90°， ∵∠EBC＝∠ABC， ∴△BEC∽△BCA， ∴ ， ∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12， ∴BF＝BC＝2 ． 解法三：如图，连接 OC，交 BD于 H， ∵C是 的中点， ∴OC⊥BD， ∴DH＝BH， ∵OA＝OB， ∴OH＝ AD＝1， ∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°， ∴△COE≌△BOH（AAS）， ∴OH＝OE＝1， ∴CE＝EF＝ ＝2 ， ∴BF＝ ＝ ＝2 ． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第 二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （2019 宿迁）24.（本题满分 10 分）在 RtΔABC 中，∠C=90°. （1）如图①，点 O 在斜边 AB 上，以点 O 为圆心,OB 长为半径的圆交 AB 于点 D，交 BC 于点 E,与边 AC 相切于点 F。 求证：∠1=∠2； （2）在图②中作圆 M,使它满足以下条件： ①圆心在边 AB 上；②经过点 B。③与边 AC 相切。（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 解： （2019 陇南、武威） （2019 安徽）.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘 了筒车的工作原理.如图 2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得 的弦 AB 长为 6 米，∠OAB=41.3°，若点 C 为运行轨道的最高点（C，O 的连线垂直于 AB），求点 C 到弦 AB 所在直 线的距离. （参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 19.解：6.64 米 （2019 自贡）（本题满分 8分）如图，⊙O中，弦 AB与 CD相交于点 E，AB=CD，连接 AD，BC.求证：（1） AD BC ； （2）AE=CE； 证明：（1）如图，连接 AC.∵AB=CD，∴ AB CD ，∴   AB AC CD AC   ，即 AD BC （2）∵ AD BC ，∴∠ACD=∠BAC，∴AE=CE （2019南京） （2019 怀化） （2019福建）24. (本小题满分 12分) 如图，四边形 ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为 E，点 F在 BD的延长线上，且 DF=DC，连接 AF、 CF. (1)求证：∠BAC=2∠DAC； (2)若 AF＝10，BC＝4 5，求 tan∠BAD的值. 解： (1)∵BD⊥AC，CD=CD， ∴∠BAC=2∠CBD=2∠CAD; (2)∵DF=DC， ∴∠BFC= 2 1 ∠BDC= 2 1 ∠BAC=∠FBC, ∴CB=CF, 又 BD⊥AC， ∴AC是线段 BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10. 又 BC＝4 5， 设 AE＝x, CE=10－x, AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6 ∴AE=6,BE=8,CE=4,("1,2, 5 ";"3,4,5";Rt△组合) ∴DE= BE CEAE  = 8 46 =3, 作 DH⊥AB，垂足为 H，则 DH=BD·sin∠ABD=11× 5 3 = 5 33 , BH= BD·cos∠ABD=11× 5 4 = 5 44 ∴AH=10－ 5 44 ＝ 5 6 ∴tan∠BAD= AH DH = 6 33 = 2 11 类型 2 与圆的切线有关的计算与证明 （2019 黔东南）22.(12 分)如图,点 P 在⊙O 外,PC 是⊙O 的切线,C 为切点,直线 PO 与⊙O 相交于点 A、B. (1)若∠A=30°求证 PA=3PB (2)小明发现,∠A 在一定范围内变化时,始终有 成立.请你写出推理过程. （2019广东）在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为 1,每个小正方形的顶点叫格 点,△ABC的三个顶点均在格点上,以点 A为圆心的 与 BC相切于点 D,分别交 AB、AC 于点 E、F. (1)求△ABC三边的长: (2)求图中由线段 EB、BC、CF及 所围成的阴影部分的面积. 解： （2019 天水）24.（10 分）如图，AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作⊙O 的切线与 OD 的 延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F. （1）求证：PC 是⊙O 的切线； A B P C ·O （2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段 CF 的长. （2019 东营） （2019 菏泽）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点 E作⊙O的切线，交 CB的延长线于点 G，过点 B作 BF⊥GE于点 F，交 CE的延长线于点 A． （1）求证：∠ABG＝2∠C； （2）若 GF＝3 ，GB＝6，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接 OE， ∵EG是⊙O的切线， ∴OE⊥EG， ∵BF⊥GE， ∴OE∥AB， ∴∠A＝∠OEC， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠C， ∴∠A＝∠C， ∵∠ABG＝∠A+∠C， ∴∠ABG＝2∠C； （2）解：∵BF⊥GE， ∴∠BFG＝90°， ∵GF＝3 ，GB＝6， ∴BF＝ ＝3， ∵BF∥OE， ∴△BGF∽△OGE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴OE＝6， ∴⊙O的半径为 6． （2019攀枝花）如图 1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心 O（保留作图痕迹，不写作法）． 如图 2，设 AB是该残缺圆⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAB的角平分线 AD交⊙O于点 D，过 D作⊙O的切线 交 AC的延长线于点 E． （1）求证：AE⊥DE； （2）若 DE＝3，AC＝2，求残缺圆的半圆面积． 解：图 1 做图题作法： ①在残缺的圆上取两条不平行的弦 PQ和TS； ②以点P为圆心大于 PQ一半长为半径在 PQ两侧作圆弧； ③以点Q为圆心，同样长的半径在 PQ两侧作圆弧与②中的 圆弧交于M ， N 两点； ④作直线MN即为线段 PQ的垂直平分线； ⑤以同样的方法做线段TS的垂直平分线 LK与直线MN交于点O即为该残缺圆的圆心 （2019 聊城） （2019 资阳） ∴ 2BC CH 四边形CEDH 为矩形 ∴ 3CH ED  ∴ 6BC  ∵ 2AC  ∴ 2 10AB  ∴ 10AO  ∴ 21= 5 2 S AO 半圆 图 2 解答过程： （1）证明：连接OD交BC于H ∵DE为 O 的切线 ∴OD DE ∵ AD平分 CAB ∴ CAD DAB  ∵OD OA ∴ DAB ODA CAD   ∴OD∥ AE ∴ AE DE （2）解： ∵ AB是 O 的直径 ∴ 90ACB   ∵OD∥ AE ∴OD BC （2019 江西省） （2019 盐城） 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的⊙O 分 别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E (1)若⊙O 的半径为 2 5 ，AC＝6，求 BN 的长； (2)求证：NE 与⊙O 相切. （2019 衡阳） 23.(1)证明：连接 OB交 AC于 E，由 30 60BCA AOB     ，在∆AOE中， 30 90OAC OEA     ， 所以 ,OB AC BD AC OB BD    ，而 B在圆上，所以 BD为圆的切线 (2)由半径为 8，所以 OA=OB=8，在∆AOC中， 30 , 120 8 3OAC OCA COA AC         由 30BCA OAC OA BC      ，而 8 3BD AC ACBD BD    因此∆OBD 的面积为 1 8 8 3 32 3 2    ，扇形 OAB的面积为 21 328 6 3    所以阴影部分的面积为 3232 3 3   。 （2019 陇南、武威） （2019 衢州）21.（本题满分 8分）如图，在等腰 ABC 中， AB AC ，以 AC为直径作 O交 BC于点D，过 点D作DE AB ，垂足为 E . （1）求证：DE是 O的切线. （2）若 3DE  ， 30C   ,求AD的长. （2019 金华）如图，在 OABC，以 O为图心，OA 为半径的圆与 C 相切于点 B，与 OC 相交于点 D． （1）求 的度数。 （2）如图，点 E在⊙O 上，连结 CE 与⊙O交于点 F。若 EF=AB，求∠OCE 的度数． （2019 达州） （2019 枣庄） （2019 南充） （2019 凉山州）22．（8 分）如图，点 D是以 AB为直径的⊙O上一点，过点 B作⊙O的切线，交 AD的延长线于 点 C，E是 BC的中点，连接 DE并延长与 AB的延长线交于点 F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若 OB＝BF，EF＝4，求 AD的长． 解：（1）如图，连接 OD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， 在 Rt△BDC中，∵BE＝EC， ∴DE＝EC＝BE， ∴∠1＝∠3， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠4＝90°， 又∵∠2＝∠4， ∴∠1+∠2＝90°， ∴DF为⊙O的切线； （2）∵OB＝BF， ∴OF＝2OD， ∴∠F＝30°， ∵∠FBE＝90°， ∴BE＝ EF＝2， ∴DE＝BE＝2， ∴DF＝6， ∵∠F＝30°，∠ODF＝90°， ∴∠FOD＝60°， ∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ADO＝ BOD＝30°， ∴∠A＝∠F， ∴AD＝DF＝6． （2019 临沂）23.（9 分）如图，AB 是 Oe 的直径，C 是 Oe 上一点，过点 O 作OD AB^ ,交 BC 的延长线于 D，交 AC 于点 E,F 是 DE 的中点，连接 CF。 （1）求证：CF 是 Oe 的切线。 （2）若∠A=22.5°，求证：AC=DC。 （2019 天津） （2019 绍兴） （2019 温州） （2019 乐山）24.如图13，直线 l与⊙O相离， lOA  于点 A，与⊙O相交于点 P， 5OA .C是直线 l上一点， 连结CP并延长交⊙O于另一点 B，且 ACAB  . （1）求证： AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，求线段 BP的长. 24. 证明：(1)如图，连结OB，则 OBOP  ，  CPAOPBOBP  ， ……………………1 分  ACAB  ， ABCACB  ，……………………2 分 而 lOA  ，即  90OAC ，  90CPAACB ， 即  90OBPABP ，  90ABO ， ……………………4 分 ABOB  ， 故 AB是⊙O的切线； ……………………5 分 (2)由(1)知：  90ABO ， 而 5OA ， 3 OPOB ， 由勾股定理，得： 4AB ， ……………………6 分 过O作 PBOD  于D，则 DBPD  ，………………7 分 在 ODP 和 CAP 中， CPAOPD  ，  90CAPODP ， ODP ∽ CAP ， ……………………8 分 CP OP PA PD  ，……………………10 分 又 4 ABAC ， 2 OPOAAP ， 5222  APACPC ， 5 5 3    CP PAOPPD ， 5 5 62  PDBP . （2019·武汉）21．（本题 8分）已知 AB是⊙O的直径，AM和 BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点 E，分别交 AM、BN于 D、C两点 (1) 如图 1，求证：AB2＝4AD·BC (2) 如图 2，连接 OE并延长交 AM于点 F，连接 CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积 图 13 （2019 常德） （2019·黄石） （2019·随州） （2019·襄阳） 23.（2019·孝感）如图，点 I 是△ABC 的内心，BI 的延长线与△ABC 的外接圆⊙O 交于点 D，与 AC 交于点 E，延 长 CD、BA 相交于点 F，∠ADF 的平分线交 AF 于点 G. （1）求证：DG∥CA；（4 分） （2）求证：AD=ID；（3 分） （3）若 DE=4，BE=5,求 BI 的长.（3 分） （2019·宜昌） （2019·呼和浩特） （2019·烟台） （2019·山西） （2019·荆门） 25.（2019·湘西）如图，△ABC 内接于 AC=BC，CD 是的直 径， 与 AB 相交于点 C，过点 D作 EF∥AB，分别交 CA、CB 的延长线于点 E、F，连接 BD. （1）求证：EF是 的切线； （2）求证：BD2=AC·BF. （2019·广元） 21. （2019·张家界）（缺图）如图，AB 为⊙O的直径，且 AB= 34 ,点 C 是 AB 上的一动点(不与 A,B 重合），过点 B 作⊙O的切线交 AC 的延长线于点 D，点 E 是 BD 的中点，连接 EC. (1) 求证：EC 是⊙O的切线； (2) 当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积. （2019·贵港） （2019·河池） （2019·绥化） （2019·铁岭） （2019·长春） （2019·本兮） （2019·通辽） （2019·贵阳）