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- 2021-11-10 发布
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1
第 21 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·盐城)若 x-2 有意义,则 x 的取值范围是( A )
A.x≥2 B.x≥-2 C.x>2 D.x>-2
2.(2019·河南)下列计算正确的是( D )
A.2a+3a=6a B.(-3a)2=6a2 C.(x-y)2=x2-y2 D.3 2 - 2 =2 2
3.设实数 a,b 在数轴上对应的位置如图所示,化简 a2 +|a+b|的结果是( D )
A.-2a+b B.2a+b C.-b D.b
4.(聊城中考)计算(5 1
5
-2 45 )÷(- 5 )的结果为( A )
A.5 B.-5 C.7 D.-7
5.在根式① a2+b2 ;② x
5
;③ x2-xy ;④ 27abc 中,最简二次根式是( C )
A.①② B.③④ C.①③ D.①④
6.已知 n 是一个正整数, 180n 是整数,则 n 的最小值是( B )
A.3 B.5 C.15 D.25
7.当 1<a<2 时,代数式 (a-2)2 +|1-a|的值是( B )
A.-1 B.1 C.2a-3 D.3-2a
8.已知实数 x,y 满足|x-4|+ y-8 =0,则以 x,y 的值为两边长的等腰三角形的
周长是( B )
A.20 或 16 B.20 C.16 D.以上选项都不正确
9.若 (x-4)(5-x) = x-4 · 5-x ,则 x 可取的整数值有( B )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
10.(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法,如:2+ 3
2- 3
=
(2+ 3)(2+ 3)
(2- 3)(2+ 3)
=7+4 3 ,除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简
一些有特点的无理数,如:对于 3+ 5 - 3- 5 ,设 x= 3+ 5 - 3- 5 ,易知
3+ 5 > 3- 5 ,故 x>0,由 x2 =( 3+ 5 - 3- 5 )2 =3+ 5 +3- 5 -
2 (3+ 5)(3- 5) =2,解得 x= 2 ,即 3+ 5 - 3- 5 = 2 ,根据以上方法,
化简 3- 2
3+ 2
+ 6-3 3 - 6+3 3 后的结果为( D )
A.5+3 6 B.5+ 6 C.5- 6 D.5-3 6
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·黄冈)计算( 3 )2+1 的结果是__4__.
12.(2019·菏泽)已知 x= 6 + 2 ,那么 x2-2 2 x 的值是__4__.
13.我们赋予“※”一个实际含义,规定 a※b= a · b + a
b
,计算 3※5=
2
__6
5
15 __.
14.(2019·枣庄)观察下列各式:
1+1
12+1
22 =1+ 1
1×2
=1+(1-1
2
),
1+1
22+1
32 =1+ 1
2×3
=1+(1
2
-1
3
),
1+1
32+1
42 =1+ 1
3×4
=1+(1
3
-1
4
),
……
请利用你发现的规律,计算:
1+1
12+1
22 + 1+1
22+1
32 + 1+1
32+1
42 +…+ 1+ 1
20182+ 1
20192 其结果为
__20182018
2019
__.
15.(莱芜中考)如图,正三角形和矩形具有一条公共边,矩形内有一个正方形,其四个
顶点都在矩形的边上,正三角形和正方形的面积分别是 2 3 和 2,则图中阴影部分的面积
是__2__.
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)计算:
(1) 2 ( 2 + 1
2
)- 18- 8
2
; (2) (大连中考)( 3 +2)2- 48 +2-2.
解:2 解:29
4
17.(9 分)若 a,b,c 是△ABC 的三边,化简: (a-b-c)2 -|b-c-a|+
(c-a-b)2 .
解:-a+3b-c
18.(9 分)已知 a=2 3-b + 3b-9 +2,求 ab-1
a+b
÷ a · b 的值.
解:∵
3-b≥0,
3b-9≥0,
∴b=3,∴a=2,∴ab=6,a+b=5,∴原式= 5
5
÷ 2 × 3
=1
2
6
3
19.(9 分)(2019·襄阳)先化简,再求值:( x
x-1
-1)÷x2+2x+1
x2-1
,其中 x= 2 -1.
解:原式=( x
x-1
-x-1
x-1
)÷x2+2x+1
x2-1
= 1
x-1
×(x+1)(x-1)
(x+1)2 = 1
x+1
,当 x=
2 -1 时,原式= 1
2-1+1
= 2
2
20.(9 分)已知矩形的长 a=1
2
32 ,宽 b=1
3
18 .
(1)求矩形的周长;
(2)求与矩形等面积的正方形的周长,并比较与矩形周长的大小关系.
解:(1)矩形周长=2(a+b)=6 2
(2)设正方形边长为 x,由 x2=1
2
32 ×1
3
18 ,得 x=2,∴正方形的周长=8<6 2 ,
∴正方形的周长小于矩形的周长
21.(10 分)已知 a= 2 -1,b= 2 +1.
求:(1)a2b+ab2 的值;(2)b
a
+a
b
的值.
解:∵ab=1,a+b=2 2 ,∴(1)a2b+ab2=ab(a+b)=2 2 (2)b
a
+a
b
=(a+b)2
ab
-2=(2 2 )2-2=6
4
22.(10 分)已知 9+ 11 与 9- 11 的小数部分分别为 a,b,求 ab-3a+4b-7 的值.
解:∵3< 11 <4,∴9+ 11 的小数部分为 11 -3,即 a= 11 -3,9- 11 的小
数部分为 4- 11 ,即 b=4- 11 ,∴ab-3a+4b-7=( 11 -3)(4- 11 )-3( 11 -
3)+4(4- 11 )-7=-5
23.(11 分)在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如 3
5
, 2
3
, 2
3+1
一样的式
子,其实我们还可以将其进一步化简:
3
5
= 3× 5
5× 5
=3
5
5 ;(一)
2
3
= 2×3
3×3
= 6
3
;(二)
2
3+1
= 2×( 3-1)
( 3+1)( 3-1)
=2( 3-1)
( 3)2-12
= 3 -1;(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2
3+1
还可以用以下方法化简:
2
3+1
= 3-1
3+1
=( 3)2-12
3+1
=( 3+1)( 3-1)
3+1
= 3 -1.(四)
请用不同的方法化简 2
5+ 3
.
(1)①参照(三)式得 2
5+ 3
=__________;
②参照(四)式得 2
5+ 3
=__________;
(2)化简: 1
3+1
+ 1
5+ 3
+ 1
7+ 5
+…+ 1
2n+1+ 2n-1
.
解:(1)① 2( 5- 3)
( 5+ 3)( 5- 3)
= 2( 5- 3)
( 5)2-( 3)2
= 5 - 3 ② 5-3
5+ 3
=
( 5)2-( 3)2
5+ 3
=( 5+ 3)( 5- 3)
5+ 3
= 5 - 3 (2)原式= 3-1
2
+ 5- 3
2
+…+ 2n+1- 2n-1
2
=
3-1+ 5- 3+…+ 2n+1- 2n-1
2
=-1+ 2n+1
2
5
第 22 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.若(n-2)xn2-2+x-1=0 是一元二次方程,则 n 的值为( C )
A.2 或-2 B.2 C.-2 D.0
2.(2019·怀化)一元二次方程 x2+2x+1=0 的解是( C )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1
C.x1=x2=-1 D.x1=-1,x2=2
3.(2019·湘西州)一元二次方程 x2-2x+3=0 根的情况是( C )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
4.(2019·滨州)用配方法解一元二次方程 x2-4x+1=0 时,下列变形正确的是( D )
A.(x-2)2=1 B.(x-2)2=5
6
C.(x+2)2=3 D.(x-2)2=3
5.(2019·自贡)关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 无实数根,则实数 m 的取值范围
是( D )
A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1
6.(2019·通辽)一个菱形的边长是方程 x2-8x+15=0 的一个根,其中一条对角线长
为 8,则该菱形的面积为( B )
A.48 B.24 C.24 或 40 D.48 或 80
7.(2019·广东)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2-2x=0 的两个实数根,下列结论错误
的是( D )
A.x1≠x2 B.x1
2-2x1=0
C.x1+x2=2 D.x1·x2=2
8.(2019·广西)扬帆中学有一块长 30 m,宽 20 m 的矩形空地,计划在这块空地上划
出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为 x m,
则可列方程为( D )
A.(30-x)(20-x)=3
4
×20×30
B.(30-2x)(20-x)=1
4
×20×30
C.30x+2×20x=1
4
×20×30
D.(30-2x)(20-x)=3
4
×20×30
9.某商店购进一种商品,单价为 30 元.试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每
件的销售价 x(元)满足关系:P=100-2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元
的利润,根据题意,下面所列方程正确的是( A )
A.(x-30)(100-2x)=200 B.x(100-2x)=200
C.(30-x)(100-2x)=200 D.(x-30)(2x-100)=200
10.如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根,且其中一个根为另一个
根的三倍,则称这样的方程为“3 倍根方程”,以下说法不正确的是( B )
A.方程 x2-4x+3=0 是 3 倍根方程
B.若关于 x 的方程(x-3)(mx+n)=0 是 3 倍根方程,则 m+n=0
C.若 m+n=0 且 m≠0,则关于 x 的方程(x-3)(mx+n)=0 是 3 倍根方程
D.若 3m+n=0 且 m≠0,则关于 x 的方程 x2+(m-n)x-mn=0 是 3 倍根方程
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·资阳)a 是方程 2x2=x+4 的一个根,则代数式 4a2-2a 的值是__8__.
12.(2019·西藏)一元二次方程 x2-x-1=0 的根是__x1=1+ 5
2
,x2=1- 5
2
__.
13.(2019·吉林)若关于 x 的一元二次方程(x+3)2=c 有实数根,则 c 的值可以为__5(答
7
案不唯一,只要 c≥0 即可)__(写出一个即可).
14.(2019·宜宾)某产品每件的生产成本为 50 元,原定销售价为 65 元,经市场预测,
从现在开始的第一季度销售价格将下降 10%,第二季度又将回升 5%.若要使半年以后的销售
利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为 x,根据题意可列方程是__65×(1-
10%)×(1+5%)-50(1-x)2=65-50__.
15.(2019·宁夏)你知道吗,对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法
呢!以方程 x2+5x-14=0 即 x(x+5)=14 为例加以说明.数学家赵爽(公元 3~4 世纪)在
其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x
+x+5)2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即 4×14+52,据此易
得 x=2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上)中,
能够说明方程 x2-4x-12=0 的正确构图是__②__.(只填序号)
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)解下列方程:
(1)(徐州中考)2x2-x-1=0; (2)(x-2)2=(2x+5)2.
解:x1=-1
2
,x2=1 解:x1=-1,x2=-7
17.(9 分)(2019·呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16 的实数根.
解:原方程化为一般形式为 2x2-9x-34=0,x2-9
2
x=17,x2-9
2
x+81
16
=17+81
16
,
(x-9
4
)2=353
16
,x-9
4
=± 353
4
,所以 x1=9+ 353
4
,x2=9- 353
4
18.(9 分)(2019·大连)某村 2016 年的人均收入为 20000 元,2018 年的人均收入为24200
元.
(1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测 2019
年村该村的人均收入是多少元?
解:(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x,根据题意得 20000(1
+x)2=24200,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去),答:2016 年到 2018 年该
村人均收入的年平均增长率为 10% (2)24200×(1+10%)=26620(元),答:预测 2019 年村
该村的人均收入是 26620 元
19.(9 分)(2019·衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2-3x+k=0 有实数根.
(1)求 k 的取值范围;
8
(2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0 与方程 x2-
3x+k=0 有一个相同的根,求此时 m 的值.
解:(1)根据题意得Δ=(-3)2-4k≥0,解得 k≤9
4
(2)k 的最大整数为 2,方程 x2-
3x+k=0 变形为 x2-3x+2=0,解得 x1=1,x2=2,∵一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0
与方程 x2-3x+k=0 有一个相同的根,∴当 x=1 时,m-1+1+m-3=0,解得 m=3
2
;当
x=2 时,4(m-1)+2+m-3=0,解得 m=1,而 m-1≠0,∴m 的值为3
2
20.(9 分)(2019·南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长 50 m,宽
40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米 30 元,扩
建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用每平方米 100 元.如果计划总费用
642000 元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
解:设扩充后广场的长为 3x m,宽为 2x m,依题意得 3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)
=642000,解得 x1=30,x2=-30(舍去).所以 3x=90,2x=60,答:扩充后广场的长为 90
m,宽为 60 m
21.(10 分)(2019·鄂州)已知关于 x 的方程 x2-2x+2k-1=0 有实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)设方程的两根分别是 x1,x2,且x2
x1
+x1
x2
=x1·x2,试求 k 的值.
解:(1)∵原方程有实数根,∴b2-4ac≥0,∴(-2)2-4(2k-1)≥0,∴k≤1 (2)∵x1,
x2 是方程的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=2,x1 ·x2 =2k-1,又
∵x2
x1
+x1
x2
=x1·x2,∴x1
2+x2
2
x1·x2
=x1·x2,∴(x1+x2)2-2x1 x2 =(x1 ·x2)2,∴22-2(2k-1)
=(2k-1)2 ,解得 k1= 5
2
,k2=- 5
2
.∵k≤1,∴k=- 5
2
9
22.(10 分)某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤,第一个月以单价 80 元销售,
售出了 200 件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出 200 件,批发商为增加销售量,决定
降价销售,根据市场调查,单价每降低 1 元,可多售出 10 件,但最低单价应高于购进的价
格;第二个月结束后,批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售,清仓时单价为 40 元,设第
二个月单价降低 x 元.
(1)填表(不需化简):
时 间 第一个月 第二个月 清仓时
单 价(元) 80 40
销售量(件) 200
(2)如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元,那么第二个月的单价应是多少元?
解:(1)第二个月上面从下到下依次填:80-x;200+10x;清仓时的下面填:800-200
-(200+10x) (2)依题意得 80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]
-50×800=9000,解得 x1=x2=10,当 x=10 时,80-x=70>50,即第二个月的单价应是
70 元
23.(11 分)(2019·重庆)某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅,50 平方
米住宅套数是 80 平方米住宅套数的 2 倍.物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费,
该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费.
(1)该小区每月可收取物管费 90000 元,问该小区共有多少套 80 平方米的住宅?
(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司 5 月初推出活动一:“垃圾分类送礼
物”,50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动.为提离大家的积扱
性,6 月份准备把活动一升级为活动二:“拉圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调
査与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活动二的住户会大幅增加,这样,6
月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 2a%,
每户物管费将会减少 3
10
a%;6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户
型户数的基础上将增加 6a%,每户物管费将会减少 1
4
a%.这样,参加活动的这部分住户 6 月
份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 5
18
a%,求 a 的值.
(1)解:设该小区有 x 套 80 平方米住宅,则 50 平方米住宅有 2x 套,由题意得:2(50×2x
+80x)=90000,解得 x=250,答:该小区共有 250 套 80 平方米的住宅
(2)参与活动一:50 平方米住宅每户所交物管费为 100 元,有 500×40%=200(户)参与
活动一,80 平方米住宅每户所交物管费为 160 元,有 250×20%=50(户)参与活动一;参与
活动二:50 平方米住宅每户所交物管费为 100(1- 3
10
a%)元,有 200(1+2a%)户参与活动二;
10
80 平方米住宅每户所交物管费为 160(1-1
4
a%)元,有 50(1+6a%)户参与活动二.由题意得
100(1- 3
10
a%)·200(1+2a%)+160(1-1
4
a%)·50(1+6a%)=[200(1+2a%)×100+50(1+
6a%)×160](1- 5
18
a%),令 t=a%,化简得 t(2t-1)=0,∴t1=0(舍去),t2=1
2
,∴a=50,
答:a 的值为 50
第 23 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·黄冈)已知点 A 的坐标为(2,1),将点 A 向下平移 4 个单位长度,得到的点
A′的坐标是( D )
A.(6,1) B.(-2,1) C.(2,5) D.(2,-3)
2.(2019·西藏)如图,在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 边上的中点,则△ADE 与△ABC
的面积之比是( A )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.2∶1
11
第 2 题图 第 5 题图 第 6 题图
第 7 题图
3.已知 x∶y=3∶2,则下列各式中不正确的是( D )
A.x+y
y
=5
2
B.x-y
y
=1
2
C. x
x+y
=3
5
D. x
y-x
=3
1
4.(重庆中考)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 5
cm,6 cm 和 9 cm,另一个三角形的最短边长为 2.5 cm,则它的最长边为( C )
A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
5.(2019·赤峰)如图,D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 上的点,∠ADE=∠ACB,若 AD=2,
AB=6,AC=4,则 AE 的长是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2019·盘锦)如图,点 P(8,6)在△ABC 的边 AC 上,以原点 O 为位似中心,在第一
象限内将△ABC 缩小到原来的1
2
,得到△A′B′C′,点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐
标为( A )
A.(4,3) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,4)
7.(绍兴中考)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置,
已知 AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为 B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆 C 端应下
降的垂直距离 CD 为( C )
A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m
8.(2019·海南)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点 P 是边 AC 上一动
点,过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q,D 为线段 PQ 的中点,当 BD 平分∠ABC 时,AP 的长度为( B )
A. 8
13
B.15
13
C.25
13
D.32
13
第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图
9.(2019·贵港)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 边上,DE∥BC,∠ACD=
∠B,若 AD=2BD,BC=6,则线段 CD 的长为( C )
A.2 3 B.3 2 C.2 6 D.5
12
10.(2019·鸡西)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,AB=AC,过点 A 作边
BC 的垂线 AF 交 DC 的延长线于点 E,点 F 是垂足,连接 BE,DF,DF 交 AC 于点 O.则下列结
论:①四边形 ABEC 是正方形;②CO∶BE=1∶3;③DE= 2 BC;④S 四边形 OCEF=S△AOD,正确的
个数是( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·淮安)如图,l1∥l2∥l3,直线 a,b 与 l1,l2,l3 分别相交于点 A,B,C 和
点 D,E,F.若 AB=3,DE=2,BC=6,则 EF=__4__.
第 11 题图 第 13 题图 第 14 题图
第 15 题图
12.(2019·抚顺)如果把两条直角边长分别为 5,10 的直角三角形按相似比3
5
进行缩小,
得到的直角三角形的面积是__9__.
13.(2019·百色)如图,△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,
若点 A(2,2),B(3,4),C(6,1),B′(6,8),则△A′B′C′的面积为__18__.
14.(岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,
股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为 5 步,股
(长直角边)长为 12 步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答
案是__60
17
__步.
15.(2019·宜宾)如图,△ABC 和△CDE 都是等边三角形,且点 A,C,E 在同一直线上,
AD 与 BE,BC 分别交于点 F,M,BE 与 CD 交于点 N.下列结论正确的是__①③④__(写出所有
正确结论的序号).
①AM=BN;②△ABF≌△DNF;③∠FMC+∠FNC=180°;④ 1
MN
= 1
AC
+ 1
CE
.
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)(原创题)已知线段 a,b,c 满足a
3
=b
2
=c
6
,且 a+2b+c=26.
(1)判断 a,2b,c,b2 是否成比例;
(2)若实数 x 为 a,b 的比例中项,求 x 的值.
解:(1)成比例 (2)x=±2 6
13
17.(9 分)如图,已知 AB∥CD,AD,BC 相交于点 E,F 为 EC 上一点,且∠EAF=∠C.
求证:AF2=FE·FB.
解:∵AB∥CD,∴∠C=∠B.又∵∠EAF=∠C,∴∠EAF=∠B.又∵∠AFE=∠BFA,∴△
AFE∽△BFA,∴AF
EF
=FB
AF
,∴AF2=FE·FB
18.(9 分)(安徽中考)如图,在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 10×10 网格
中,已知点 O,A,B 均为网格线的交点.
(1)在给定的网格中,以点 O 为位似中心,将线段 AB 放大为原来的 2 倍,得到线段 A1B1(点
A,B 的对应点分别为 A1,B1),画出线段 A1B1;
(2)将线段 A1B1 绕点 B1 逆时针旋转 90°得到线段 A2B1,画出线段 A2B1;
(3)以 A,A1,B1,A2 为顶点的四边形 AA1B1A2 的面积是____个平方单位.
题图 答图
解:(1)如图所示,线段 A1B1 即为所求 (2)如图所示,线段 A2B1 即为所求 (3)由图可
得,四边形 AA1B1A2 为正方形,∴四边形 AA1B1A2 的面积是( 22+42 )2=( 20 )2=20.故答案
为:20
19.(9 分)(陕西中考)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测
量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点 A,在他们所在的岸边选择了点
B,使得 AB 与河岸垂直,并在 B 点竖起标杆 BC,再在 AB 的延长线上选择点 D,竖起标杆 DE,
使得点 E 与点 C,A 共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测
量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽 AB.
14
解:∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴BC
DE
=AB
AD
,∴ 1
1.5
= AB
AB+8.5
,∴AB=17(m),经
检验,AB=17 是分式方程的解,答:河宽 AB 的长为 17 米
20.(9 分)(2019·张家界)如图,在平行四边形 ABCD 中,连结对角线 AC,延长 AB 至点
E,使 BE=AB,连结 DE,分别交 BC,AC 交于点 F,G.
(1)求证:BF=CF;
(2)若 BC=6,DG=4,求 FG 的长.
(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,
∴△EBF∽△EAD,∴BF
AD
=EB
EA
=1
2
,∴BF=1
2
AD=1
2
BC,∴BF=CF (2)解:∵四边形
ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴△FGC∽△DGA,∴FG
DG
=FC
AD
,即FG
4
=1
2
,解得 FG=2
21.(10 分)(眉山中考)如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点,连结 DE,过
顶点 B 作 BF⊥DE,垂足为 F,BF 分别交 AC 于点 H,交 CD 于点 G.
(1)求证:BG=DE;
(2)若点 G 为 CD 的中点,求HG
GF
的值.
解:(1)∵BF⊥DE,∴∠GFD=90°,∵∠BCG=90°,∠BGC=∠DGF,∴∠CBG=∠CDE,
在△BCG 和△DCE 中,
∠CBG=∠CDE,
BC=DC,
∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE(ASA),∴BG=DE (2)设 CG=1,
∵G 为 CD 的中点,∴GD=CG=1,由(1)可知:△BCG≌△DCE(ASA),∴CG=CE=1,∴由勾
股定理可知:DE=BG= 5 .∵∠DFG=∠DCE,∠FDG=∠CDE,∴△DFG∽△DCE,∴CE
DE
=GF
GD
,
∴GF= 5
5
.∵AB∥CG,∴△ABH∽△CGH,∴AB
CG
=BH
GH
=2
1
,∴BH=2
3
5 ,GH=1
3
5 ,∴
HG
GF
=5
3
22.(10 分)(2019·梧州)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,AF 平分∠DAC,分别
交 DC,BC 的延长线于点 E,F;连结 DF,过点 A 作 AH∥DF,分别交 BD,BF 于点 G,H.
15
(1)求 DE 的长;
(2)求证:∠1=∠DFC.
(1)解:∵矩形 ABCD 中,AD∥CF,∴∠DAF=∠AFC,∵AF 平分∠DAC,∴∠DAF=∠CAF,
∴∠FAC=∠AFC,∴AC=CF,∵AB=4,BC=3,∴AC= AB2+BC2 = 32+42 =5,∴CF=5,
∵AD∥CF,∴△ADE∽△FCE,∴AD
CF
=DE
CE
,设 DE=x,则3
5
= x
4-x
,解得 x=3
2
,∴DE=3
2
(2)∵AD∥FH,AH∥DF,∴四边形 ADFH 是平行四边形,∴AD=FH=3,∴CH=2,BH=5,
∵AD∥BH,∴△ADG∽△HBG,∴DG
BG
=AD
BH
,∴ DG
5-DG
=3
5
,∴DG=15
8
,∵DE=3
2
,∴DE
DG
=
DC
DB
=4
5
,∴EG∥BC,∴∠1=∠AHC,又∵DF∥AH,∴∠AHC=∠DFC,∴∠1=∠DFC
23.(11 分)(东营中考)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图①,
在△ABC 中,点 O 在线段 BC 上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3 3 ,BO∶CO=1∶3,
求 AB 的长.经过社团成员讨论发现,过点 B 作 BD∥AC,交 AO 的延长线于点 D,通过构造
△ABD 就可以解决问题(如图②).
请回答:∠ADB=________,AB=________;
(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图③,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交
于点 O,AC⊥AD,AO=3 3 ,∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求 DC 的长.
题图 答图
解:(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°.∵∠BOD=∠COA,∴△BOD∽△COA,∴OD
OA
=
OB
OC
=1
3
.又∵AO=3 3 ,∴OD=1
3
AO= 3 ,∴AD=AO+OD=4 3 .∵∠BAD=30°,∠ADB
=75°,∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB,∴AB=AD=4 3 .故答案为:75°;
4 3 (2)过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E,如图所示.∵AC⊥AD,BE∥AD,∴∠DAC=∠BEA
=90°.∵∠AOD=∠EOB,∴△AOD∽△EOB,∴BO
DO
=EO
AO
=BE
DA
.∵BO∶OD=1∶3,∴EO
AO
=BE
DA
=1
3
.∵AO=3 3 ,∴EO= 3 ,∴AE=4 3 .∵∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,AB
=AC,∴AB=2BE.在 Rt△AEB 中,BE2+AE2=AB2,即(4 3 )2+BE2=(2BE)2,解得 BE=4,∴
16
AB=AC=8,AD=12.在 Rt△CAD 中,AC2+AD2=CD2,即 82+122=CD2,解得 CD=4 13
第 24 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.(大庆中考)2cos 60°=( A )
A.1 B. 3 C. 2 D.1
2
2.河堤横断面如图所示,堤高 BC=5 米,迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3 (坡比是坡面的铅
直高度 BC 与水平宽度 AC 之比),则 AC 的长是( A )
A.5 3 米 B.10 2 米 C.15 米 D.10 米
第 2 题图 第 3 题图 第 6 题图
3.(2019·宜昌)如图,在 5×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,△ABC
17
的顶点都在这些小正方形的顶点上,则 sin ∠BAC 的值为( D )
A.4
3
B.3
4
C.3
5
D.4
5
4.在△ABC 中,若 sin A= 3
2
,tan B=1,则这个三角形是( A )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.式子 2cos30°-tan45°- (1-tan60°)2 的值是( B )
A.2 3 -2 B.0 C.2 3 D.2
6.如图,在矩形 ABCD 中,DE⊥AC 于 E,设∠ADE=α,且 cos α=3
5
,AB=4,则 AC
的长为( C )
A.3 B.16
5
C.20
3
D.16
3
7.(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动
中对此开展测量活动.如图,在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为α,大
桥主架的顶端 D 的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离 AB=a,则此时大桥主架顶
端离水面的高 CD 为( C )
A.a sin α+a sin β B.a cos α+a cos β C.a tan α+a tan β
D. a
tan α
+ a
tan β
第 7 题图 第 8 题图 第 10 题图
8.(2019·营口)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,AD∥BC,BC=1
2
AD,AC 与 BD
交于点 E,AC⊥BD,则 tan ∠BAC 的值是( C )
A.1
4
B. 2
4
C. 2
2
D.1
3
9.(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船,于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°
方向,继续向南航行 30 海里到达 C 点时,测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向,那么海岛
B 离 此 航 线 的 最 近 距 离 是 ( 结 果 保 留 小 数 点 后 两 位 )( 参 考 数 据 : 3 ≈1.732 ,
2 ≈1.414)( B )
A.4.64 海里 B.5.49 海里 C.6.12 海里 D.6.21 海里
10.(2019·重庆)如图,AB 是垂直于水平面的建筑物.为测量 AB 的高度,小红从建筑
物底端 B 点出发,沿水平方向行走了 52 米到达点 C,然后沿斜坡 CD 前进,到达坡顶 D 点处,
DC=BC.在点 D 处放置测角仪,测角仪支架 DE 高度为 0.8 米,在 E 点处测得建筑物顶端 A
点的仰角∠AEF 为 27°(点 A,B,C,D,E 在同一平面内).斜坡 CD 的坡度(或坡比)i=1∶2.4,
那么建筑物 AB 的高度约为(参考数据 sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈
0.51)( B )
A.65.8 米 B.71.8 米 C.73.8 米 D.119.8 米
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
18
11.若α为锐角,cos α=3
5
,则 sin α=__4
5
__,tan α=__4
3
__.
12.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,tan A= 5
12
,△ABC 的周长为 18,则 S△ABC=__54
5
__.
13.在△ABC 中,若|2cos A-1|+( 3 -tan B)2=0,则∠C=__60°__.
14.(2019·天门)如图,为测量旗杆 AB 的高度,在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的
仰角为 60°,在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°,点 C 与点 B 在同一水平线上.已
知 CD=9.6 m,则旗杆 AB 的高度为__14.4__m.
第 14 题图 第 15 题图
15.(2019·辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速,他们将观测点设
在一段笔直的公路旁且距公路 100 米的点 A 处,如图所示,直线 l 表示公路,一辆小汽车由
公路上的 B 处向 C 处匀速行驶,用时 5 秒,经测量,点 B 在点 A 北偏东 45°方向上,点 C
在点 A 北偏东 60°方向上,这段公路最高限速 60 千米/小时,此车__没有超速__(填“超速”
或“没有超速”).(参考数据: 3 ≈1.732)
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)解下列各题:
(1)先化简,再求代数式(1
x
+x+1
x
)÷x+2
x2+x
的值,其中 x= 3 cos30°+1
2
;
解:x=2,原式=x+1=3
(2)已知α是锐角,且 sin (α+15°)= 3
2
.计算 8 -4cos α-(π-3.14)0+tan
α+(1
3
)-1 的值.
解:α=45°,原式=3
17.(9 分)(2019·十堰)如图,拦水坝的横断面为梯形 ABCD,AD=3 m,坝高 AE=DF=
6 m,坡角α=45°,β=30°,求 BC 的长.
解:由图得,AE,DF 为高,则四边形 AEFD 是矩形,有 AE=DF=6,AD=EF=3,∵坡角
α=45°,β=30°,∴BE=AE=6,CF= 3 DF=6 3 ,∴BC=BE+EF+CF=6+3+6 3
=9+6 3 ,答:BC 的长(9+6 3 )m
18.(9 分)(2019·梧州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 为 BC 上一点,AB=5,BD
=1,tan B=3
4
.
(1)求 AD 的长;
(2)求 sin α的值.
19
题图 答图
解:(1)∵tan B=3
4
,可设 AC=3x,得 BC=4x,∵AC2+BC2=AB2,∴(3x)2+(4x)2=52,
解得 x=-1(舍去)或 x=1,∴AC=3,BC=4,∵BD=1,∴CD=3,∴AD= CD2+AC2 =3 2
(2)如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,∵tan B=3
4
,可设 DE=3y,则 BE=4y,∵BE2+DE2
=BD2,∴(4y)2+(3y)2=12,解得 y=-1
5
(舍)或 y=1
5
,∴DE=3
5
,∴sin α=DE
AD
= 1
10
2
19.(9 分)(2019·遵义)某地为打造宜游环境,对旅游道路进行改造.如图是风景秀美
的观景山,从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道,为方便游客登顶观景,欲从 D 到 A 修建
电动扶梯,经测量,山高 AC=154 米,步行道 BD=168 米,∠DBC=30°,在 D 处测得山顶
A 的仰角为 45°.求电动扶梯 DA 的长(结果保留根号).
题图 答图
解:作 DE⊥BC 于 E,则四边形 DECF 为矩形,∴FC=DE,DF=EC,在 Rt△DBE 中,∠DBC
=30°,∴DE=1
2
BD=84,∴FC=DE=84,∴AF=AC-FC=154-84=70,在 Rt△ADF 中,
∠ADF=45°,∴AD= 2 AF=70 2 ,答:电动扶梯 DA 的长为 70 2 米
20.(9 分)(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱 AB,CD 均垂直于地面,
点 E 在线段 BD 上,在 C 点测得点 A 的仰角为 30°,点 E 的俯角也为 30°,测得 B,E 间的
距离为 10 米,立柱 AB 高 30 米.求立柱 CD 的高.(结果保留根号)
题图 答图
解:如图,作 CH⊥AB 于 H,则四边形 HBDC 为矩形,∴BD=CH,由题意得,∠ACH=30°,
∠CED=30°,设 CD=x 米,则 AH=(30-x)米,在 Rt△AHC 中,HC= AH
tan ∠ACH
= 3 (30
-x),则 BD=CH= 3 (30-x),∴ED= 3 (30-x)-10,在 Rt△CDE 中,CD
DE
=tan ∠CED,
即 x
30 3- 3x-10
= 3
3
,解得 x=15-5
3
3 ,答:立柱 CD 的高为(15-5
3
3 )米
21.(10 分)(2019·随州)在一次海上救援中,两艘专业救助船 A,B 同时收到某事故渔
20
船的求救讯息,已知此时救助船 B 在 A 的正北方向,事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°
方向上,在救助船 B 的西南方向上,且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里.
(1)求收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离;
(2)若救助船 A,B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往
事故渔船 P 处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.
题图 答图
解:(1)如图所示:作 PC⊥AB 于 C,则∠PCA=∠PCB=90°,由题意得 PA=120 海里,
∠A=30°,∠BPC=45°,∴PC=1
2
PA=60 海里,△BCP 是等腰直角三角形,∴BC=PC=60
海里,PB= 2 PC=60 2 海里,答:收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为
60 2 海里
(2)∵PA=120 海里,PB=60 2 海里,救助船 A,B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小
时的速度同时出发,∴救助船 A 所用的时间为120
40
=3(小时),救助船 B 所用的时间为60 2
30
=2 2 (小时),∵3>2 2 ,∴救助船 B 先到达
22.(10 分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动,我市某校在教学
楼顶部新建了一块大型宣传牌,如下图.小明同学为测量宣传牌的高度 AB,他站在距离教
学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处,测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60°,同时测得教学楼窗
户 D 处的仰角为 30°(A,B,D,E 在同一直线上).然后,小明沿坡度 i=1∶1.5 的斜坡从 C
走到 F 处,此时 DF 正好与地面 CE 平行.
(1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号);
(2)若小明在 F 处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°,求宣传牌的高度 AB(结果精确到
0.1 米, 2 ≈1.41, 3 ≈1.73).
题图 答图
解:(1)过点 F 作 FG⊥EC 于 G,依题意知 FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°,∴四边形 DEGF
是矩形,∴FG=DE,在 Rt△CDE 中,DE=CE·tan ∠DCE=6×tan 30°=2 3 (米),∴点 F
到地面的距离为 2 3 米 (2)∵斜坡 CF 的坡度为 i=1∶1.5,∴在 Rt△CFG 中,CG=1.5FG
=2 3 ×1.5=3 3 ,∴FD=EG=3 3 +6.在 Rt△BCE 中,BE=CE·tan ∠BCE=6×tan
60°=6 3 .∴AB=AD+DE-BE=3 3 +6+2 3 -6 3 =6- 3 ≈4.3 (米),答:宣传
牌的高度约为 4.3 米
23.(11 分)(赤峰中考)阅读下列材料:
21
如图①,在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,可以得到:S△ABC=1
2
ab
sin C=1
2
ac sin B=1
2
bc sin A.证明:过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D.在 Rt△ABD 中,sin B
=AD
c
,∴AD=c·sin B,∴S△ABC=1
2
a·AD=1
2
ac sin B,同理:S△ABC=1
2
ab sin C,S△ABC
=1
2
bc sin A,∴S△ABC=1
2
ab sin C=1
2
ac sin B=1
2
bc sin A.
(1)通过上述材料证明: a
sin A
= b
sin B
= c
sin C
;
(2)运用(1)中的结论解决问题:如图②,在△ABC 中,∠B=15°,∠C=60°,AB=20 3 ,
求 AC 的长度;
(3)如图③,为了开发公路旁的城市荒地,测量人员选择 A,B,C 三个测量点,在 B 点
测得 A 在北偏东 75°方向上,沿笔直公路向正东方向行驶 18 km 到达 C 点,测得 A 在北偏
西 45°方向上,根据以上信息,求 A,B,C 三点围成的三角形的面积.(本题参考数值:sin
15°≈0.3,sin 120°≈0.9, 2 ≈1.4,结果取整数)
解:(1)∵1
2
ab sin C=1
2
ac sin B,∴b sin C=c sin B,∴ b
sin B
= c
sin C
,同理
得, a
sin A
= c
sin C
,∴ a
sin A
= b
sin B
= c
sin C
(2)由题意,得∠B=15°,∠C=60°,
AB=20 3 ,∴ AB
sin C
= AC
sin B
,即 20 3
sin 60°
= AC
sin 15°
,∴
20 3
3
2
= AC
0.3
,∴AC=40×0.3
=12 (3)由题意,得∠ABC=90°-75°=15°,∠ACB=90°-45°=45°,∠A=180°
-15°-45°=120°,由 a
sin A
= b
sin B
= c
sin C
,得 18
sin 120°
= AC
sin 15°
,∴AC=6
km,∴S△ABC=1
2
AC×BC×sin ∠ACB=1
2
×6×18×0.7≈38(km2)
22
第 25 章检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·广西)下列事件为必然事件的是( B )
A.打开电视机,正在播放新闻 B.任意画一个三角形,其内角和是 180°
C.买一张电影票,座位号是奇数号 D.掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
2.(2019·海南)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒,绿灯亮 25 秒,黄灯亮 5 秒,
当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是( D )
A.1
2
B.3
4
C. 1
12
D. 5
12
3.(2019·泰州)小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表:
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为 1000,则“正面朝上”的频数最接近( C )
A.20 B.300 C.500 D.800
23
4.(镇江中考)小明将如图所示的转盘分成 n(n 是正整数)个扇形,并使得各个扇形的面
积都相等,然后他在这些扇形区域内分别标连续偶数数字 2,4,6,…,2n(每个区域内标
注 1 个数字,且各区域内标注的数字互不相同),转动转盘 1 次,当转盘停止转动时,若事
件“指针所落区域标注的数字大于 8”的概率是5
6
,则 n 的取值为( C )
A.36 B.30 C.24 D.18
5.有三张正面分别写有数字-1,1,2 的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片
背面朝上洗匀后,随机抽取一张,以其正面的数字作为 a 的值,然后再从剩余的两张卡片中
随机抽取一张,以其正面的数字作为 b 的值,则点(a,b)在第二象限的概率是( B )
A.1
6
B.1
3
C.1
2
D.2
3
6.(武汉中考)一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片,把它们分别标上数字 1,2,
3,4.随机抽取一张卡片,然后放回,再随机抽取一张卡片,则两次抽取的卡片上数字之积
为偶数的概率是( C )
A.1
4
B.1
2
C.3
4
D.5
6
7.(2019·柳州)小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳
的手指数之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为( A )
A.13
25
B.12
25
C. 4
25
D.1
2
8.(2019·随州)如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 的中点,BD,AE 交于点 O,若
随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为( B )
A. 1
16
B. 1
12
C.1
8
D.1
6
9.(2019·荆门)投掷一枚质地均匀的骰子两次,向上一面的点数依次记为 a,b.那么
方程 x2+ax+b=0 有解的概率是( D )
A.1
2
B.1
3
C. 8
15
D.19
36
10.(2019·德州)甲、乙是两个不透明的纸箱,甲中有三张标有数字1
4
,1
2
,1 的卡片,
乙中有三张标有数字 1,2,3 的卡片,卡片除所标数字外无其他差别,现制定一个游戏规则:
从甲中任取一张卡片,将其数字记为 a,从乙中任取一张卡片,将其数字记为 b.若 a,b 能
使关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获胜.则
乙获胜的概率为( C )
A.2
3
B.5
9
C.4
9
D.1
3
24
二、细心填一填(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·遵义)小明用 0~9 中的数字给手机设置了六位开机密码,但他把最后一位
数字忘记了,小明只输入一次密码就能打开手机的概率是__ 1
10
__.
12.(2019·扬州)扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下:
抽取的毛绒玩
具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数 m 19 47 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率
m
n
0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中,任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是__0.92__.(精确
到 0.01)
13.(2019·重庆)一枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数.连续
掷两次骰子,在骰子向上的一面上,第二次出现的点数是第一次出现的点数的 2 倍的概率是
__ 1
12
__.
14.(2019·娄底)如图,随机闭合开关 S1,S2,S3 中的两个,能让灯泡发光的概率是__2
3
__.
15.(娄底中考)从 2018 年高中一年级学生开始,湖南省全面启动高考综合改革,学生
学习完必修课程后,可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势,从思想政
治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中,自主选择 3 个科目参加等级考试.学生 A
已选物理,还从思想政治、历史、地理 3 个文科科目中选 1 科,再从化学、生物 2 个理科科
目中选 1 科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等,选化学、生物的可能性相等,则
选修地理和生物的概率为__1
6
__.
三、用心做一做(共 75 分)
16.(8 分)在一个不透明的袋子中,装有 9 个大小和形状一样的小球,其中 3 个红球,
3 个白球,3 个黑球,它们已在口袋中被搅匀,现在有一个事件:从口袋中任意摸出 n 个球,
在这 n 个球中,红球、白球、黑球至少各有一个.
(1)当 n 为何值时,这个事件必然发生?
(2)当 n 为何值时,这个事件不可能发生?
(3)当 n 为何值时,这个事件可能发生?
解:(1)当 n=7 或 8 或 9 时,这个事件必然发生 (2)当 n=1 或 2 时,这个事件不可能
发生 (3)当 n=3 或 4 或 5 或 6 时,这个事件可能发生
17.(9 分)(2019·玉林)某校有 20 名同学参加市举办的“文明环保,从我做起”征文
比赛,成绩分别记为 60 分,70 分,80 分,90 分,100 分,为方便奖励,现统计出 80 分,
90 分,100 分的人数,制成如图不完整的扇形统计图,设 70 分所对扇形圆心角为α.
25
(1)若从这20份征文中,随机抽取一份,则抽到试卷的分数为低于80分的概率是__2
5
__;
(2)当α=108°时,求成绩是 60 分的人数;
(3)设 80 分为唯一众数,求这 20 名同学的平均成绩的最大值.
解:(1)低于 80 分的征文数量为 20×(1-30%-20%-10%)=8,则抽到试卷的分数为低
于 80 分的概率是 8
20
=2
5
,故答案为:2
5
(2)当α=108°时,成绩是 70 分的人数为
20×108
360
=6(人),则成绩是 60 分的人数 20-6-20×(10%+20%+30%)=2(人) (3)∵80
分的人数为:20×30%=6(人),且 80 分为成绩的唯一众数,所以当 70 分的人数为 5 人时,
这个班的平均数最大,∴最大值为:(20×10%×100+20×20%×90+20×30%×80+5×70
+3×60)÷20=78.5(分)
18.(9 分)(淮安中考)一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球,球面上分
别标有数字 1,-2,3,搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回),记下数字作为点 A 的横
坐标,再从余下的两个小球中任意摸出一个小球,记下数字作为点 A 的纵坐标.
(1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果;
(2)求点 A 落在第四象限的概率.
解:(1)列表得:
1 -2 3
1 (1,-2) (1,3)
-2 (-2,1) (-2,3)
3 (3,1) (3,-2)
(2)由表可知,共有 6 种等可能结果,其中点 A 落在第四象限的有 2 种结果,所以点 A
落在第四象限的概率为2
6
=1
3
18.(9 分)已知在一个不透明的口袋中有 4 个形状、大小、材质完全相同的球,其中 1
个红色球,3 个黄色球.
(1)从口袋中随机取出一个球(不放回),接着再取出一个球,请用画树状图或列表的方
法求取出的两个都是黄色球的概率;
(2)小明往该口袋中又放入红色球和黄色球若干个,一段时间后他记不清具体放入红色
球和黄色球的个数,只记得放入一种球的个数比另一种的个数多 1,且从口袋中取出一个黄
色球的概率为2
3
,请问小明又放入该口袋中红色球和黄色球各多少个?
解:(1)图表略,P(两个都是黄色球)= 6
12
=1
2
(2)①若小明又放入红色球 m 个,则黄
色球(m+1)个,∴袋中球的总数为 5+2m,于是有 4+m
5+2m
=2
3
,则 m=2;②若小明又放入红
26
色球(m+1)个,则黄色球 m 个,∴ 3+m
5+2m
=2
3
,则 m=-1(舍去).故小明又放入该口袋中 2
个红色球和 3 个黄色球
19.(9 分)(2019·孝感)一个不透明的袋子中装有四个小球,上面分别标有数字-2,
-1,0,1,它们除了数字不同外,其它完全相同.
(1)随机从袋子中摸出一个小球,摸出的球上面标的数字为正数的概率是__1
4
__;
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标;
然后放回搅匀,接着小明从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为点 M 的纵坐标.如图,
已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(-2,0),B(0,-2),C(1,0),D(0,1),请
用画树状图或列表法,求点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率.
解:(1)在-2,-1,0,1 中正数有 1 个,∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是1
4
,
故答案为:1
4
(2)列表如下:
-2 -1 0 1
-2 (-2,-2) (-1,-2) (0,-2) (1,-2)
-1 (-2,-1) (-1,-1) (0,-1) (1,-1)
0 (-2,0) (-1,0) (0,0) (1,0)
1 (-2,1) (-1,1) (0,1) (1,1)
由表知,共有 16 种等可能结果,其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)
的有:(-2,0),(-1,-1),(-1,0),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)
这 8 个,所以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率为1
2
20.(10 分)(2019·广州)某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调
查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
频数分布表
组别 时间/小时 频数/人数
A 组 0≤t<1 2
B 组 1≤t<2 m
C 组 2≤t<3 10
D 组 3≤t<4 12
E 组 4≤t<5 7
27
F 组 t≥5 4
题图 答图
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)求频数分布表中 m 的值;
(2)求 B 组,C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数,并补全扇形统计图;
(3)已知 F 组的学生中,只有 1 名男生,其余都是女生,用列举法求以下事件的概率:
从 F 组中随机选取 2 名学生,恰好都是女生.
解:(1)m=40-2-10-12-7-4=5 (2)B 组的圆心角=360°× 5
40
=45°,C 组的圆
心角=360°×10
40
=90°.补全扇形统计图如图所示
(3)画树状图如图:
共有 12 个等可能的结果,恰好都是女生的结果有 6 个,∴恰好都是女生的概率为 6
12
=
1
2
21.(10 分)某校九年级举行毕业典礼,需要从九(1)班的 2 名男生 1 名女生、九(2)班
的 1 名男生 1 名女生共 5 人中选出 2 名主持人.
(1)用树状图或列表法列出所有可能的情形;
(2)求 2 名主持人来自不同班级的概率;
(3)求 2 名主持人恰好是 1 男 1 女的概率.
解:(1)图表略 (2)P(不同班级)=3
5
(3)P(1 男 1 女)=3
5
23.(11 分)如图是甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘,甲转盘被分成 3 个面积相
等的扇形,乙转盘被分成 4 个面积相等的扇形,每一个扇形都标有相应的数字,同时转动两
个转盘,当转盘停止后,设甲转盘中指针所指区域内的数字为 m,乙转盘中指针所指区域内
的数字为 n(若指针指在边界线上时,重转一次,直到指针都指向一个区域为止).
(1)请你用画树状图或列表的方法求出|m+n|>1 的概率;
28
(2)直接写出点(m,n)落在函数 y=-1
x
图象上的概率.
解:(1)图表略,所有等可能的结果有 12 种,其中|m+n|>1 的情况有 5 种,所以|m+n|>
1 的概率为 P1= 5
12
(2)点(m,n)在函数 y=-1
x
上的概率为 P2= 3
12
=1
4