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- 2021-11-10 发布
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题型突破(五)
圆中的有关计算与证明
类型一 圆中求弧长、面积
(
2017,22/2014,20/2013,24
)
例
1
[2019·
邵阳改编
]
在等腰三角形
ABC
中
,
∠
BAC
=120°,
AD
是∠
BAC
的平分线
,
且
AD
=6
.
(1)
求
BC
的长
;
(2)
如图
Z5-1,
以点
D
为圆心的半圆与两腰
AB
,
AC
分别切于
M
,
N
两点
,
求弧
MN
的长
;
图
Z5-1
(3)
变式
1:
以点
A
为圆心
,
AD
长为半径画弧
EF
,
交
AB
于点
E
,
交
AC
于点
F.
求由弧
EF
及线段
FC
,
CB
,
BE
围成图形
(
图中阴影部分
)
的面积
;
(4)
变式
2:
将变式
1
中阴影部分剪掉
,
余下扇形
AEF
,
将扇形
AEF
围成一个圆锥的侧面
,
AE
与
AF
正好重合
,
圆锥侧面无重叠
,
求这个圆锥的高
h.
图
Z5-3
图
Z5-2
例
1
[2019·
邵阳改编
]
在等腰三角形
ABC
中
,
∠
BAC
=120°,
AD
是∠
BAC
的平分线
,
且
AD
=6
.
(2)
如图
Z5-1,
以点
D
为圆心的半圆与两腰
AB
,
AC
分别切于
M
,
N
两点
,
求弧
MN
的长
;
图
Z5-1
例
1
[2019·
邵阳改编
]
在等腰三角形
ABC
中
,
∠
BAC
=120°,
AD
是∠
BAC
的平分线
,
且
AD
=6
.
(3)
变式
1:
以点
A
为圆心
,
AD
长为半径画弧
EF
,
交
AB
于点
E
,
交
AC
于点
F.
求由弧
EF
及线段
FC
,
CB
,
BE
围成图形
(
图中阴影部分
)
的面积
;
图
Z5-2
例
1
[2019·
邵阳改编
]
在等腰三角形
ABC
中
,
∠
BAC
=120°,
AD
是∠
BAC
的平分线
,
且
AD
=6
.
(4)
变式
2:
将变式
1
中阴影部分剪掉
,
余下扇形
AEF
,
将扇形
AEF
围成一个圆锥的侧面
,
AE
与
AF
正好重合
,
圆锥侧面无重叠
,
求这个圆锥的高
h.
图
Z5-3
|
题型精练
|
图
Z5-4
解
:(1)
证明
:
如图
,
连接
OP
,
则
OD
=
OP
,
∴∠
OPD
=
∠
ODP.
∵∠
APC
=
∠
AOD
,
∴∠
OPD
+
∠
APC
=
∠
ODP
+
∠
AOD.
又∵
PD
⊥
BE
,
∴∠
ODP
+
∠
AOD
=90°,
∴∠
OPD
+
∠
APC
=90°,
即∠
APO
=90°,
∴
OP
⊥
AP
,
∴
AP
是☉
O
的切线
.
图
Z5-4
图
Z5-5
图
Z5-5
例
2
如图
Z5-6,△
ABC
内接于☉
O
,
CD
平分∠
ACB
,
与
AB
,
☉
O
分别交于点
G
,
D
,
过点
D
作
EF
∥
AB
,
分别交
CA
,
CB
的延长线于点
E
,
F
,
连接
BD.
(1)
求证
:
EF
是☉
O
的切线
;
(2)
如图
Z5-7,
若
AC
=
BC
,
求证
:
BD
2
=
AC
·
BF
;
类型二 圆中证线段关系
图
Z5-7
图
Z5-6
(3)
变式
1:
如图
Z5-8,
若
AC
≠
BC
,
CG
=3
GD
,
求证
:
CE
=2
ED
;
(4)
变式
2:
如图
Z5-9,
∠
ABC
的平分线交
CD
于点
I
,
求证
:
DI
2
=
DG
·
DC.
图
Z5-8
图
Z5-9
图
Z5-6
证明
:(1)
连接
OD
,
∵
CD
平分∠
ACB
,
∴∠
ACD
=
∠
BCD
,
∴弧
AD
=
弧
BD
,
∴
OD
⊥
AB
(
垂径定理推论
),
∵
EF
∥
AB
,
∴半径
OD
⊥
EF
,
∴
EF
是☉
O
的切线
.
例
2
如图
Z5-6,△
ABC
内接于☉
O
,
CD
平分∠
ACB
,
与
AB
,
☉
O
分别交于点
G
,
D
,
过点
D
作
EF
∥
AB
,
分别交
CA
,
CB
的延长线于点
E
,
F
,
连接
BD.
(2)
如图
Z5-7,
若
AC
=
BC
,
求证
:
BD
2
=
AC
·
BF
;
图
Z5-7
图
Z5-6
例
2
如图
Z5-6,△
ABC
内接于☉
O
,
CD
平分∠
ACB
,
与
AB
,
☉
O
分别交于点
G
,
D
,
过点
D
作
EF
∥
AB
,
分别交
CA
,
CB
的延长线于点
E
,
F
,
连接
BD.
(3)
变式
1:
如图
Z5-8,
若
AC
≠
BC
,
CG
=3
GD
,
求证
:
CE
=2
ED
;
图
Z5-8
图
Z5-6
例
2
如图
Z5-6,△
ABC
内接于☉
O
,
CD
平分∠
ACB
,
与
AB
,
☉
O
分别交于点
G
,
D
,
过点
D
作
EF
∥
AB
,
分别交
CA
,
CB
的延长线于点
E
,
F
,
连接
BD.
(4)
变式
2:
如图
Z5-9,
∠
ABC
的平分线交
CD
于点
I
,
求证
:
DI
2
=
DG
·
DC.
图
Z5-9
图
Z5-6
1
.
[2019·
娄底
]
如图
Z5-10,
点
D
在以
AB
为直径的☉
O
上
,
AD
平分∠
BAC
,
DC
⊥
AC
,
过点
B
作☉
O
的切线交
AD
的延长线于点
E.
(1)
求证
:
直线
CD
是☉
O
的切线
;
(2)
求证
:
CD
·
BE
=
AD
·
DE.
图
Z5-10
|
题型精练
|
证明
:(1)
如图
,
连接
OD
,
∵在☉
O
中
,
OA
=
OD
,
∴∠
OAD
=
∠
ODA.
又∵
AD
平分∠
BAC
,
∴∠
OAD
=
∠
CAD
,
∴∠
ODA
=
∠
CAD.
∵
DC
⊥
AC
,
∴∠
ADC
+
∠
CAD
=90°,
∴∠
ADC
+
∠
ADO
=90°,
∴∠
ODC
=90°,
即
OD
⊥
CD
,
∴直线
CD
是☉
O
的切线
.
1
.
[2019·
娄底
]
如图
Z5-10,
点
D
在以
AB
为直径的☉
O
上
,
AD
平分∠
BAC
,
DC
⊥
AC
,
过点
B
作☉
O
的切线交
AD
的延长线于点
E.
(2)
求证
:
CD
·
BE
=
AD
·
DE.
图
Z5-10
2
.
[2019·
怀化
]
如图
Z5-11,
A
,
B
,
C
,
D
,
E
是☉
O
上的
5
等分点
,
连接
AC
,
CE
,
EB
,
BD
,
DA
,
得到一个五角星图形和五边形
MNFGH.
(1)
计算∠
CAD
的度数
;
(2)
连接
AE
,
证明
:
AE
=
ME
;
(3)
求证
:
ME
2
=
BM
·
BE.
图
Z5-11
2
.
[2019·
怀化
]
如图
Z5-11,
A
,
B
,
C
,
D
,
E
是☉
O
上的
5
等分点
,
连接
AC
,
CE
,
EB
,
BD
,
DA
,
得到一个五角星图形和五边形
MNFGH.
(2)
连接
AE
,
证明
:
AE
=
ME
;
图
Z5-11
解
:(2)
证明
:
由
(1)
知∠
CAD
=
∠
EBD
=
∠
ACE
=
∠
BDA
=
∠
CEB
=36°,
∵∠
AEB
=
∠
BDA
,
∠
DAE
=
∠
EBD
,
∴∠
MAE
=
∠
CAD
+
∠
DAE
=72°,
∠
AEB
=36°,
∴∠
MAE
=
∠
AME
=72°,
∴
AE
=
ME.
2
.
[2019·
怀化
]
如图
Z5-11,
A
,
B
,
C
,
D
,
E
是☉
O
上的
5
等分点
,
连接
AC
,
CE
,
EB
,
BD
,
DA
,
得到一个五角星图形和五边形
MNFGH.
(3)
求证
:
ME
2
=
BM
·
BE.
图
Z5-11
例
3
[2018·
湘潭改编
]
已知
AB
是☉
O
的直径
,
半径
CO
⊥
AO
,
点
M
是☉
O
上的动点
,
且不与点
A
,
C
,
B
重合
.
(1)
如图
Z5-12,
点
M
在弧
AC
上时
,
直线
AM
交
OC
延长线于点
D
,
连接
OM
,
若☉
O
的半径为
10,
∠
AOM
=60°,
求
DM
的长
.
类型三 圆中求线段长或线段比
(
2019,21/2018,21/2016,21/2015,22
)
图
Z5-12
(2)
如图
Z5-13,
点
M
在弧
BC
上时
,
线段
AM
交
OC
于点
D
,
连接
OM
,
若☉
O
的半径为
10,
AM
=15,
求
DM
的长
.
(3)
变式
1:
如图
Z5-14,
点
M
在
AB
下方的圆弧上运动
,
连接
CM
交
OB
于点
F
,
连接
AM
,
BM
,
若
OF
∶
OB
=1
∶
3,
求
cos
∠
MCB
的值
.
图
Z5-13
图
Z5-14
图
Z5-15
解
:(1)
当∠
AOM
=60°
时
,
∵
OM
=
OA
,
∴
△
AMO
是等边三角形
,
∴∠
A
=
∠
MOA
=60°,
∴∠
MOD
=30°,
∠
D
=30°,
∴
DM
=
OM
=10
.
例
3
[2018·
湘潭改编
]
已知
AB
是☉
O
的直径
,
半径
CO
⊥
AO
,
点
M
是☉
O
上的动点
,
且不与点
A
,
C
,
B
重合
.
(2)
如图
Z5-13,
点
M
在弧
BC
上时
,
线段
AM
交
OC
于点
D
,
连接
OM
,
若☉
O
的半径为
10,
AM
=15,
求
DM
的长
.
图
Z5-13
例
3
[2018·
湘潭改编
]
已知
AB
是☉
O
的直径
,
半径
CO
⊥
AO
,
点
M
是☉
O
上的动点
,
且不与点
A
,
C
,
B
重合
.
(3)
变式
1:
如图
Z5-14,
点
M
在
AB
下方的圆弧上运动
,
连接
CM
交
OB
于点
F
,
连接
AM
,
BM
,
若
OF
∶
OB
=1
∶
3,
求
cos
∠
MCB
的值
.
图
Z5-14
图
Z5-15
|
题型精练
|
图
Z5-16
解
:(1)
证明
:
∵
PA
是☉
O
的切线
,
AB
是直径
,
∴∠
PAO
=90°,
∠
C
=90°,
∴∠
PAC
+
∠
BAC
=90°,
且∠
B
+
∠
BAC
=90°,
∴∠
PAC
=
∠
B.
又∵
OP
⊥
AC
,
∴∠
ADP
=
∠
C
=90°,
∴
△
PAD
∽△
ABC
,
∴
AP
∶
AB
=
AD
∶
BC.
在☉
O
中
,
∵
AC
⊥
OD
,
∴
AD
=
CD
,
∴
AP
∶
AB
=
CD
∶
BC
,
∴
AP
·
BC
=
AB
·
CD.
图
Z5-16
2
.
[2019·
广东
]
如图
Z5-17
①
,
在
△
ABC
中
,
AB
=
AC
,
☉
O
是
△
ABC
的外接圆
,
过点
C
作∠
BCD
=
∠
ACB
交☉
O
于点
D
,
连接
AD
交
BC
于点
E
,
延长
DC
至点
F
,
使
CF
=
AC
,
连接
AF.
(1)
求证
:
ED
=
EC
;
(2)
求证
:
AF
是☉
O
的切线
;
(3)
如图②
,
若点
G
是
△
ACD
的内心
,
BC
·
BE
=25,
求
BG
的长
.
①
②
图
Z5-17
解
:(1)
证明
:
∵
AB
=
AC
,
∴∠
ABC
=
∠
ACB.
又∵∠
ACB
=
∠
BCD
,
∠
ABC
=
∠
ADC
,
∴∠
BCD
=
∠
ADC.
∴
ED
=
EC.
2
.
[2019·
广东
]
如图
Z5-17
①
,
在
△
ABC
中
,
AB
=
AC
,
☉
O
是
△
ABC
的外接圆
,
过点
C
作∠
BCD
=
∠
ACB
交☉
O
于点
D
,
连接
AD
交
BC
于点
E
,
延长
DC
至点
F
,
使
CF
=
AC
,
连接
AF.
(2)
求证
:
AF
是☉
O
的切线
;
①
②
图
Z5-17
2
.
[2019·
广东
]
如图
Z5-17
①
,
在
△
ABC
中
,
AB
=
AC
,
☉
O
是
△
ABC
的外接圆
,
过点
C
作∠
BCD
=
∠
ACB
交☉
O
于点
D
,
连接
AD
交
BC
于点
E
,
延长
DC
至点
F
,
使
CF
=
AC
,
连接
AF.
(3)
如图②
,
若点
G
是
△
ACD
的内心
,
BC
·
BE
=25,
求
BG
的长
.
①
②
图
Z5-17