2019年山东东营中考数学试题（解析版） 20页

‎{来源}2019•山东省东营市市初中学业水平考试数学试题 ‎（总分120分 考试时间120分钟）‎ ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019•山东省东营市市初中学生学业考试数学试题 ‎ 第I卷（选择题 共30分）‎ ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．‎ ‎{题目}1. （2019•山东省东营市，1）－2019的相反数是（ ）‎ A.-2019 B.2019 C. D.‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了相反数的定义，∵负数的相反数是正数，∴-2019的相反数是2019.‎ 因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2.（2019•山东省东营市，2） 下列运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}选项A考查了整式加减，系数相加，字母和字母指数不变，答案错误；选项B考查了单项式除以单项式，答案为2x2，答案错误；选项C考查了分式的约分，首先把分母因式分解问哦y(x-y)，然后分式的分子和分母同时约去因数y，答案正确；选项D不是同类二次根式，不能运算，答案错误．因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-2-2]整式的加减}‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法} ‎ ‎{章节:[1-15-1]分式}‎ ‎{章节:[1-16-1]二次根式}‎ ‎{考点:合并同类项}‎ ‎{考点:单项式除法}‎ ‎{考点:约分}‎ ‎{考点:二次根式的加减法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3.（2019•山东省东营市，3）将一副三角板（∠A=30°，∠E=45°） 按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）‎ A．75° B．90° C．105° D．115°‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，∵BA∥EF，∴∠OCF=∠A=30°．所以∠AOF=∠F+∠OCF=∠F+∠A=45°+30°=75°．‎ 因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}‎ ‎{考点:两直线平行内错角相等}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}4.（2019•山东省东营市，4）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了轴对称图形的定义．选项A、B、C沿某直线对折，折线两旁的部分不能完全重合，选项D符合要求.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-1]轴对称}‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5.（2019•山东省东营市，5）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了二元一次方程组模型的应用，∵某队参与了10场比赛，可列方程x+y=10；而该队在比赛中共得16分，可得2x+y=16，∴可得方程组．因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-8-3]实际问题与二元一次方程组}‎ ‎{考点:简单的列二元一次方程组应用题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}6.（2019•山东省东营市，6）从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则＞19的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了随即事件发生的概率，列表如下：‎ a a2+b2‎ b ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎20‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎25‎ ‎4‎ ‎17‎ ‎20‎ ‎25‎ 从表格可以看到，12种结果中，只有4种符合要求，所以概率为．因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7.（2019•山东省东营市，7）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF，若AC=3，CG=2，则CF的长为（ ）‎ A． B．3 C．2 D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}由作图可知，DE是边BC的垂直平分线，那么BC=2CG=4，在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AB=5.因为∠ACB=90°，所以DE∥AC，因为G为BC中点，所以F为AB中点，所以CF=AB=．因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}‎ ‎{章节:[1-17-1]勾股定理}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:直角三角形斜边上的中线}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8.（2019•山东省东营市，8）甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图像如图所示，请你根据图像判断，下列说法正确的是（ ）‎ A．乙队率先到达终点 ‎ B．甲队比乙两队多走了126米 C．在47.8秒时，两队所走路程相等 ‎ D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢 ‎{答案}C ‎{解析}从图像上可知，甲先到达终点，故选项A错误；甲、乙两队比赛的路程都是300米，所以选项B错误；从图像上可看出，在47.8秒时，甲、乙两队的路程都是174米，故选项C正确；由图像可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的图像在乙队的下方，所以在相同的时间，乙队行驶的路程比甲队长，那么此时乙队速度快，选项D错误.因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}‎ ‎{考点:距离时间图象}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9.（2019•山东省东营市，9）如图所示时一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ )‎ A． B． C．3 D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了圆锥侧面图的知识，如图，将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程，条件得，∠BAB/=120°，C为弧BB/中点，所以BD=AB=×6=（厘米）.‎ 因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:圆锥侧面展开图}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度3-中等难度}‎ ‎{题目}10.（2019•山东省东营市，10）如图，在正方形ABCD中，点O时对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2=OG·OC．其中正确的是（ ）‎ A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④‎ ‎{答案}B ‎{解析}因为正方形ABCD，所以OC=OD，∠OCE=∠ODC=90°，∠COD=90°．因为∠EOF=90°，所以∠DOF=∠COE，所以△COE≌△DOF，①对；由△COE≌△DOF，得OE=OF，所以∠OEF=45°，所以∠OEF=∠OCF．因为∠OGE∠CGF，可得△OGE∽△FGC所以②正确；由△COE≌△DOF，得△COE与△DOF面积相等，所以四边形CEOF的面积=△COE的面积+△COF面积=△DON+△COF=△COD的面积=为正方形ABCD面积的，所以③正确；④①②③④．因为∠OEG=∠OCE=45°，∠EOG=∠COE，所以△OGE∽△OEC，所以OE:OC=OG:OE，所以OE2=OG·OC．因为OE2+OF2=EF2=CE2+CF2，又因为OE=OF，DF=CE，CF=BE，所以2OE2=DF2+BE2=2OG·OC．所以④错误．故正确的是①②③．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:三角形的全等与相似的综合}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ 第‖卷（非选择题 共90分）‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，其中11—14题每小题3分，15—18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．‎ ‎{题目}11．（2019•山东省东营市，11）2019年11月12日，“五指山”舰正式服役，是我国第六艘01型综合登陆舰艇，满载排水量超过20000吨，20000用科学记数法表示为 ．‎ ‎{答案}2×104‎ ‎{解析}本题考查了科学记数法，20000=2×104.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-3]相反数}‎ ‎{考点:相反数的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12.（2019•山东省东营市，12）因式分解：x(x-3)-x+3= ．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了多项式的因式分解，因为x(x-3)-x+3=x(x-3)-(x-3)=(x-3)(x-1)．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}13.（2019•山东省东营市，3）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是 小时.‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了中位数的定义，∵学生有52人，把52人的阅读时间从小到大排列后，处于最中间的两个时间数是1和1，∴学生阅读时间的中位数是1.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}14.（2019•山东省东营市，14）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为，则它的周长是 ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了锐角三角函数的定义或勾股定理．过等腰三角形的顶点作底边的垂线，设底边为2a，那么cos30°=，所以a=3，所以周长=6+4.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}15.（2019•山东省东营市，15）不等式组的解集是 .‎ ‎{答案}-7x＜1‎ ‎{解析}本题考查了解不等式组，∵不等式x-3(x-2)＞4的解集为x＜1，不等式的解集是x-7，∴不等式组的解集为-7x＜1.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:解一元一次不等式组}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}16.（2019•山东省东营市，16）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是 .‎ ‎ 第16题图 ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了圆的有个性质以及三角形中位线定义，因为当MN最大时，AB也最大，此时AB为⊙O的直径，那么△ABC为等腰直角三角形，由锐角三角函数或勾股定理，求得AB=AC=5．因为点M、N分别是AC、BC的中点，那么由三角形中位线定理，求得MN=AB=.‎ ‎{分值4‎ ‎{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}‎ ‎{考点:直径所对的圆周角}‎ ‎{考点:三角形中位线}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度3-中等难度}‎ ‎{题目}2.（2019•山东省东营市，17）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC=2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标 是．‎ ‎ 第17题图 ‎{答案}（，0）‎ ‎{解析}本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形、勾股定理等，设CE交x轴于点F，因为△ACE是等边三角形，所以∠CAD=30°，那么CF=AC=1．由勾股定理求得AF=.因为 CD2=DF2+CF2，CD=2DF，所以可求得DF=.由“HL”定理易知△ABO与△DCF全等，所以AO=DF.所以OD=AF-AO-DF=，即点D坐标为（，0）.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}‎ ‎{考点:含30度角的直角三角形}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定HL}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度3-中等难度}‎ ‎{题目}18.（2019•山东省东营市，18）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点A1（1，）作x轴的垂线交于点A2,过点A2作y轴的垂线交于点A3，过点A3作x轴的垂线交于点A4…，一次进行下去，则点的横坐标为 .‎ ‎{答案}-31009‎ ‎{解析}本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律：A1（1，），A2（1，），A3（-3，），A4（-3，），A5（9，），A6（9，），A7（-27，），……A2n+1[(-3)n，3×(-3)n]（n为自然数），2019=1009×2+1，所以A2019的横坐标为：(-3)1009=-31009.‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}‎ ‎{考点:坐标与图形的性质}‎ ‎{考点:规律探究型问题：代数填空压轴}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 7 小题，共 62 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎{题目}19.(2019·山东省东营市，19) （1）计算： +（3.14 -pp） 0+|-|+ 2 sin 45ο -；‎ ‎{解析}（1）题考查了实数的有关运算，解决问题的关键在于掌握负整指数、零次幂、特殊角的三角函数值、开方运算以及绝对值的定义，解决此题时，可先求出、（3.14 -pp） 0、|-|、sin 45ο、的值；‎ ‎{答案}解：（1）原式= 2019+1+-+2 ´-=2020；‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}19.(2019·山东省东营市，19)（2）化简求值：，当 a = -1 时，请你选择一个适当的数作为b 的值，代入求值.‎ ‎{解析}（2）本题考查了分式的化简与求值．正确化简分式是解题的关键，熟练掌握整式的因式分解是化简的基础．将a的值代入化简后的代数式进行求值．‎ ‎{答案}解： （2）原式===.‎ ‎{分值}8 ‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}20.(2019·山东省东营市，20) 为庆祝建国 70 周年，东营市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；‎ ‎（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．‎ 绘画 声乐 ‎17.5%‎ 书法 ‎10%‎ 舞蹈 ‎ ‎25%‎ 器乐 ‎{解析}本题考查了统计条形统计图、扇形统计图与概率．（1）利用书法人数和所占百分数直接计算求出总人数；（2）求出绘画、舞蹈人数补全条形统计图；（3）根据求出“声乐”类对应扇形圆心角的度数；（4）小提琴、单簧管、钢琴、电子琴分别用 A、B、C、D 表示列出所有可能性表，根据概率公式求解即可．‎ ‎{答案}解：（1）被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有 20 人，占整个被抽到学生总数的10%，‎ 所以抽取学生的总数为 20÷10%=200（人）．‎ ‎（2）被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为 200×17.5%=35 人，报名“舞蹈”类的人数为 ‎200×25%=50 人.‎ 直方图如下:‎ ‎（3）被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为 70 人，‎ ‎∴扇形统计图中 “声乐”类对应扇形圆心角的度数为=126°.‎ ‎（4）小提琴、单簧管、钢琴、电子琴分别用 A、B、C、D 表示，列表如下：‎ 小颖 小东 A B C D A ‎（A，A）‎ ‎（A，B）‎ ‎（A，C）‎ ‎（A，D）‎ B ‎（B，A）‎ ‎（B，B）‎ ‎（B，C）‎ ‎（B，D）‎ C ‎（C，A）‎ ‎（C，B）‎ ‎（C，C）‎ ‎（C，D）‎ D ‎（D，A）‎ ‎（D，B）‎ ‎（D，C）‎ ‎（D，D）‎ ‎（树状图略）‎ 由列表可以看出，一共有 16 种结果，并且它们出现的可能性相等，同一种乐器的结果有 4种，所以 P（同一乐器） ==.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:统计的应用问题}‎ ‎{考点:两步事件放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}21.(2019·山东省东营市，21) 如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 是 AB 延长线上的一点，点 C 在⊙O 上，且 AC＝CD，∠ACD＝120°.‎ ‎（1）求证：CD 是⊙O 的切线；‎ ‎（2）若⊙O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积.‎ ‎{解析}本题考查了切线的判定以及阴影部分面积的求法．（1）连接OC，证明DC⊥CO即可；（2）S阴影=S△OCD－ S扇形OBC.‎ ‎{答案}（1）证明：如图，连接OC ．‎ ‎∵AC=CD，∠ACD=120°，‎ ‎∴∠A＝∠D＝30°.‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠ACO＝∠A＝30°，‎ ‎∴∠DCO＝∠ACD－∠ACO＝90°，即 DC⊥CO，‎ ‎∵点 C 在⊙O 上，‎ ‎∴CD 是⊙O 的切线．‎ ‎（2）解：∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，‎ ‎∴ S扇形OBC =.‎ 在 Rt△OCD 中, CD＝ OC ×tan 60o =3 ，‎ S△OCD= OC × CD=´ 3´ 3=，‎ ‎∴ S△OCD－ S扇形OBC=.‎ ‎∴图中阴影部分的面积为.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}22.(2019·山东省东营市，22) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx 与双曲线 y =相交于 A（－2，a））、B 两点，BC⊥x 轴，垂足为 C，△AOC 的面积是 2.‎ ‎（1）求 m、n 的值；‎ ‎（2）求直线 AC 的解析式．‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，解决问题的关键是由两种函数关于原点成中心对称由点A的坐标得到点B的横坐标为2．（1）先由函数关于原点成中心对称得点B的横坐标为2，从而OC=2，再根据△AOC 的面积为 2，求出点A的坐标，把坐标代入解析式从而确定出m、n的值；（2）由待定系数法直接求出直线AC 的解析式．‎ ‎{答案}解：（1）∵直线 y=mx 与双曲线y =相交于A（－2，a）、B 两点，‎ ‎∴点 B 横坐标为 2，‎ ‎∵BC⊥x 轴，‎ ‎∴点 C 的坐标为（2，0），‎ ‎∵△AOC 的面积为 2，‎ ‎∴´ 2a = 2 ，∴a=2‎ ‎∴点 A 的坐标为（－2，2），‎ 将 A（－2，2）代入 y=mx，y =，‎ ‎∴ -2m = 2，，‎ ‎∴m=－1，n=－4；‎ ‎（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，‎ ‎∵y=kx+b 经过点 A（－2，2）、C（2，0），‎ ‎∴‎ 解得 k = -，b = 1．‎ ‎∴直线 AC 的解析式为 y = -+1.‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:中心对称}‎ ‎{考点:反比例函数与一次函数的综合}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}23.(2019·山东省东营市，23) 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为 200 元时，每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 5 个．已知每个电子产品的固定成本为 100 元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 32000 元？‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程应用中的营销问题.根据等量关系“利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润与销售单价的方程求解，求解结果符合题意即可．‎ ‎{答案}解：设降价后的销售单价为 x 元，根据题意得：‎ ( x -100) éë300+5(200 - x)ùû = 32000 ．‎ 整理得： ( x -100)(1300 - 5x) = 32000.‎ 即： x2 - 360x + 32400 = 0.‎ 解得： x1 = x2 = 180，‎ x = 180 < 200 ，符合题意．‎ 答：这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时，公司每天可获利 32000 元．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{考点:中心对称}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—商品利润问题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}24.(2019·山东省东营市，24) 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接 DE．将△CDE 绕点 C 逆时针方向旋转，记旋转角为 α．‎ ‎ ‎ ‎（1）问题发现 ‎①当 α =0°时， ；②当 α = 180°时， .‎ ‎（2）拓展探究 试判断：当 0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明．‎ ‎(3)问题解决 ‎△CDE 绕点 C 逆时针旋转至 A、B、E 三点在同一条直线上时，求线段 BD 的长．‎ ‎{解析}本题属于旋转的综合题．考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少；②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可；（2）首先判断出∠ ACE ＝∠ BCD ，再根据，判断出△ ACE ∽△BCD ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情况分析，A、B、E三点所在直线与DC不相交和与DC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．‎ ‎{答案}解：（1）；.‎ ‎（2）的大小无变化．‎ 证明：如图 1，‎ ‎∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，‎ ‎∴ AC === 2，‎ ‎∵点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，‎ ‎∴ CE =AC =，CD =BC =1．‎ ‎ ‎ 如图 2，∵∠ DCE ＝∠ BCA ，‎ ‎∴∠ ACE ＋∠ DCA ＝∠ BCD ＋∠ DCA ，‎ ‎∴∠ ACE ＝∠ BCD ，‎ ‎∵‎ ‎∴△ ACE ∽△BCD ，‎ ‎∴，即的大小无变化．‎ ‎ ‎ ‎（3）第一种情况（如图 3）：‎ 在 Rt△BCE 中，CE=，BC=2，BE===1，‎ ‎∴ AE=AB + BE = 5 ，‎ 由（2）得，‎ ‎∴ BD=.‎ ‎ ‎ 第二种情况（如图 4）：由第一种情况知：BE=1．‎ ‎∴AE=AB - BE = 3 ，‎ 由（2）得，‎ ‎∴ BD=.‎ 综上所述，线段 BD 的长为或.‎ ‎ ‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{考点:平行线分线段成比例}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:由平行判定相似}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}25.(2019·山东省东营市，25) 已知抛物线 y = ax2 + bx - 4 经过点 A （2，0）） B （-4，0））与 y 轴交于点C .‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图 1，点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P 的坐标；‎ ‎（3）如图 2，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，在直线 DE 上是否存在一点 G，使△CMG 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎{解析}本题属于二次函数的的综合题、压轴题．（1）已知抛物线 y = ax2 + bx - 4 经过直接把点 A （2，0）） B （-4，0））代入y = ax2 + bx - 4可求解析式；（2）连接 OP,设点 P(x，x2 + x - 4)，其中-4 < x < 0 ，四边形 ABPC 的面积为S,则S = S△AOC + S△OCP + S△OBP= -（x+2） 2 +16 ，再再根据根据二次函数的性质性质求求的最大值最大值时P点的坐标；（3）连接 AM 交直线 DE 于点 G，此时，△CMG 的周长最小，确定出AM、DE的解析式，然后联立求得点G的坐标．‎ ‎{答案}解：（1）∵抛物线 y = ax2 + bx - 4 经过点 A （2，0））、B （-4，0）），‎ ‎∴，解得 ‎∴这条抛物线的解析式为y =x2 + x - 4.‎ ‎（2）如图 1，连接 OP,设点 P(x，x2 + x - 4)，其中-4 < x < 0 ，四边形 ABPC 的面积为S, 由题意得 C(0，-4)，‎ ‎∴ S = S△AOC + S△OCP + S△OBP ‎=´ 2 ´ 4 +´ 4 ´(-x) +´ 4 ´（-x2 - x+ 4）‎ =4- 2x - x2 - 2x + 8‎ = -x2 - 4x +12‎ = -（x+2） 2 +16 ，‎ ‎∵-1＜0，开口向下，S 有最大值.‎ ‎∴当 x=-2 时，四边形 ABPC 的面积最大，‎ 此时， y =x2 + x - 4= - 4 ，即 P（-2，-4）‎ 因此当四边形 ABPC 的面积最大时，点 P 的坐标为（-2，-4）.‎ ‎ ‎ ‎（3） y =x2 + x - 4=（x+1）2-，‎ ‎∴顶点 M（-1，-），‎ 如图 2，连接 AM 交直线 DE 于点 G，此时，△CMG 的周长最小，‎ 设直线 AM 的函数解析式为 y=kx+b，且过点 A （2，0），M（-1，-），‎ 根据题意，得，解得 ‎∴直线 AM 的函数解析式为 y = x - 3，‎ 在 Rt△AOC 中， AC ===，‎ ‎∵D 为 AC 的中点，‎ ‎∴ AD =AC =，‎ ‎∵△ADE∽△AOC，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∴ AE = 5 ，‎ ‎∴ OE = AE - AO = 5 - 2 = 3 ，‎ ‎∴ E （-3， 0）.‎ ‎ ‎ 由图可知 D（1，-2），‎ 设直线 DE 的函数解析式为 y=mx+n，且过 D（1，-2）， E （-3，0），‎ 根据题意，得，解得，‎ ‎∴直线 DE 的函数解析式为 y =-x-. 由，得，‎ ‎∴ G（，）.‎ 因此在直线 DE 上存在一点 G，使△CMG 的周长最小，此时G（，）.‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎ ‎{考点:几何图形最大面积问题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎