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- 2021-11-10 发布
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江苏省无锡市
2013届高三上学期期末考试
数 学 试 题
命题单位:江阴市教研室 制卷单位:无锡市教育科学研究院
注意事项:本卷考试时间为120分钟,全卷满分为160分.
一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)
1.设全集U=R,集合A=,则集 。
2.已知i是虚数单位,则等于 。
3.某中学高中一年级有400人,高中二年级有320人,高中三年级有280人,现从中抽取一个容量为200人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 。
4.右边的程序语句运行后,输出的S为 。
5.在△ABC中,∠A=45o,∠C=105o,BC=,则AC的长度为 .
6.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|la+b|不超过5,则k的取值范围是 .
7.已知P:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为 .
8.已知变量x,y满足约束条件,表示平面区域M,若-4≤a≤t时,动直线x+y=a所经过的平面区域M的面积为7.则t= .
9.已知圆Cl:,圆C2与圆C1关于直线x-y-l =0对称,则圆C2的方程为
.
10.等差数列{an}的公差为-2,且a1,a3,a4成等比数列,则a20=__ .
11.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线L交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 。
12.设函数.若是奇函数,则 .
13.定义一个对应法则f:P(rn,n)→(m,2|n|).现有直角坐标平面内的点A(-2,6)与点B(6,-2),点M是线段AB上的动点,按定义的对应法则f:M→M'.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B时,点M的对应点M'经过的路线的长度为 。
14.已知关于x的函数y=(f∈R)的定义域为D,存在区间[a,b]D,f(x)的值域也是[a,b].当t变化时,b-a的最大值= 。
二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
已知向量,向量,函数·。
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;
(Ⅱ)若不等式f(x)-t=0在上有解,求实数t的取值范围.
16.(本小题满分14分)
如图,四棱锥P-A BCD中,底面ABCD为菱形,BD⊥面PAC,A C=10,PA=6,cos∠PCA=,M是PC的中点.
(Ⅰ)证明PC⊥平面BMD;
(Ⅱ)若三棱锥M-BCD的体积为14,求菱形ABCD的边长.
17.(本小题满分14分)
要制作一个如图的框架(单位:米),要求所围成的总面积为19.5(米2),其中ABCD是一个矩形,EFCD是一个等腰梯形,梯形高h=AB, tan ∠FED=,设AB=x米,BC=y米.
(Ⅰ)求y关于x的表达式;
(Ⅱ)如何设计x,y的长度,才能使所用材料最少?
18.(本题满分16分)
如图,已知椭圆C:=1的离心率为,过椭圆C上一点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于点A、B,直线AB与x轴交于点M,与y轴负半轴交于点N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=,求直线AB的方程.
19.(本小题满分16分)
已知数列{an}中,a1=2,n∈N+,an>0,数列{an}的前n项和Sn,且满足。
(Ⅰ)求{Sn}的通项公式;
(Ⅱ)设{bk}是{Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列。
(1)求b3;
(2)存在N(N∈N+),当n≤N时,使得在{Sn}中,数列{bk
}有且只有20项,求N的范围.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中a>0,b>0.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P为切点),
求a,b的值;
(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[],求:
(1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);
(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a的取值范围。
数学(加试)
命题单位:江阴市教研室 制卷单位:无锡市教育科学研究院
注意事项:本卷考试时间为30分钟,全卷满分为40分.
21.[选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交圆O于点D,DE ⊥AC且交AC的延长线于点E.
求证:DE是圆O的切线.
B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)
已知,点A在变换T:作用后,再绕原点逆时针旋转90o,得到点、B.若点B的坐标为(-3,4),求点A的坐标.
C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
已知在极坐标系下,圆C:p= 2cos()与直线l:sin()=,点M为圆C上的动点.求点M到直线l距离的最大值.
D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|。
22.(本小题满分10分)
某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:
类别
A类
B类
C类
D类
顾客数(人)
20
30
40
10
时间t(分钟/人)
2
3
4
6
注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率.
(Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;
(Ⅱ)用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
23.(本小题满分10分)
已知函数f(x)= x2+1nx.
(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:.