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- 2021-11-10 发布
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第二十七讲 动态几何问题透视
春去秋来,花开花落,物转星移,世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互
转化中,事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来.
动态几何问题,是指以几何知识和图形为背景,渗入运动变化观点的一类问题,常见的
形式是:点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等,解这类问题的基本策略是:
1.动中觅静
这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中
的不变性.
2.动静互化
“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,动静互化就是抓住“静”的瞬间,
使一般情形转化为特殊问题,从而找到“动”与“静”的关系.
3.以动制动
以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系,通过研究运动函数,用联系发展的观
点来研究变动元素的关系.
注:几何动态既是一类问题,也是一种观点与思维方法,运用几何动态的观点,可以把表面
看来不同的定理统一起来,可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法;更一般情况是,
对于一个数学问题,努力去发掘更多结论,不同解法,通过弱化或强化条件来探讨结论的状
况等,这就是常说的“动态思维”.
【例题求解】
【例 1】 如图,把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在定直线上,按顺时针方向在l 上转动两
次,使它转到 A″B″C″的位置,设 BC=1,AC= 3 ,则顶点 A 运动到点 A″的位置时,点 A
经过的路线与直线 所围成的面积是 .
思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割.RtΔ ABC 的两次转动,顶点 A 所经过
的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为 120°和 90°,半径分别为 2 和 3 ,但该路线与直
线 所围成的面积不只是两个扇形面积之和.
【例 2】如图,在⊙O 中,P 是直径 AB 上一动点,在 AB 同侧作 AA′⊥AB,BB′⊥AB,且
AA′=AP,BB′=BP,连结 A′B′,当点 P 从点 A 移到点 B 时,A′B′的中点的位置( )
A.在平分 AB 的某直线上移动 B.在垂直 AB 的某直线上移动
C.在 AmB 上移动 D.保持固定不移动
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思路点拨 画图、操作、实验,从中发现规律.
【例 3】 如图,菱形 OABC 的长为 4 厘米,∠AOC=60°,动点 P 从 O 出发,以每秒 1 厘
米的速度沿 O→A→B 路线运动,点 P 出发 2 秒后,动点 Q 从 O 出发,在 OA 上以每秒 1
厘米的速度,在 AB 上以每秒 2 厘米的速度沿 O→A→B 路线运动,过 P、Q 两点分别作对
角线 AC 的平行线.设 P 点运动的时间为 x 秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的
阴影部分)的周长为 y 厘米,请你回答下列问题:
(1)当 x =3 时, y 的值是多少?
(2)就下列各种情形:
①0≤ ≤2;②2≤ ≤4;③4≤ ≤6;④6≤ ≤8.求 y 与 之间的函数关系式.
(3)在给出的直角坐标系中,用图象表示(2)中的各种情形下 y 与 的关系.
思路点拨 本例是一个动态几何问题,又是一个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将
各段分别讨论、画图、计算.
注:动与静是对立的,又是统:一的,无论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现
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实世界中数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是一种
重要的解题策略.
建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题,许多相关问题就转化为求函数值
或自变量的值.
【例 4】 如图,正方形 ABCD 中,有一直径为 BC 的半圆,BC=2cm,现有两点 E、F,分
别从点 B、点 A 同时出发,点 E 沿线段 BA 以 1m/秒的速度向点 A 运动,点 F 沿折线 A
—D—C 以 2cm/秒的速度向点 C 运动,设点 E 离开点 B 的时间为 2 (秒).
(1)当 t 为何值时,线段 EF 与 BC 平行?
(2)设 1< t <2,当 为何值时,EF 与半圆相切?
(3)当 1≤ <2 时,设 EF 与 AC 相交于点 P,问点 E、F 运动时,点 P 的位置是否发生变
化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求 AP:PC 的值.
思路点拨 动中取静,根据题意画出不同位置的图形,然后分别求解,这是解本例的基本策
略,对于(1)、(2),运用相关几何性质建立关于 的方程;对于(3),点 P 的位置是否发生变
化,只需看
PC
AP 是否为一定值.
注:动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规
律,而把特定的运动状态,通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想.
【例 5】 ⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点;如图(1),连结 O2 O1 并延长交⊙O1 于 P 点,连结
PA、PB 并分别延长交⊙O2 于 C、D 两点,连结 C O2 并延长交⊙O2 于 E 点.已知⊙O2 的半
径为 R,设∠CAD= .
(1)求:CD 的长(用含 R、 的式子表示);
(2)试判断 CD 与 PO1 的位置关系,并说明理由;
(3)设点 P′为⊙O1 上(⊙O2 外)的动点,连结 P′A、P′B 并分别延长交⊙O2 于 C′、D′,请你
探究∠C′AD′是否等于 ? C′D′与 P′Ol 的位置关系如何?并说明理由.
思路点拨 对于(1)、(2),作出圆中常见辅助线;对于(3),P 点虽为 OOl 上的一个动点,但⊙
O1、⊙O2 一些量(如半径、AB)都是定值或定弧,运用圆的性质,把角与孤联系起来.
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学力训练
1.如图, Δ ABC 中,∠C=90°,AB=12cm,∠ABC=60°,将Δ ABC 以点 B 为中心顺时
针旋转,使点 C 旋转到 AB 延长线上的 D 处,则 AC 边扫过的图形的面积是 cm (π
=3.14159…,最后结果保留三个有效数字).
2.如图,在 RtΔ ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,AC= 3 cm,将Δ ABC 绕点 B 旋转至
Δ A'BC'的位置,且使A、B、C'三点在同一条直线上,则点A 经过的最短路线的长度是 cm.
3.一块等边三角形的木板,边长为 l,现将木板沿水平线翻滚,那么 B 点从开始至结束走
过的路径长度为( )
A.
2
3 B.
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4 C.4 D.
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4.把Δ ABC 沿 AB 边平移到Δ A'B'C'的位置,它们的重叠部分的面积是Δ ABC 的面积的一
半,若 AB= 2 ,则此三角形移动的距离 AA'是( )
A. 12 B.
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2 C.1 D.
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5.如图,正三角形 ABC 的边长为 6 3 厘米,⊙O 的半径为 r 厘米,当圆心 O 从点 A 出发,
沿着线路 AB—BC—CA 运动,回到点 A 时,⊙O 随着点 O 的运动而移动.
(1)若 r= 3 厘米,求⊙O 首次与 BC 边相切时 AO 的长;
(2)在 O 移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的情况?写出不同的情况下,
r 的取值范围及相应的切点个数;
(3)设 O 在整个移动过程中,在Δ ABC 内部,⊙O 未经过的部分的面积为 S,在 S>0 时,
求关于 r 的函数解析式,并写出自变量 r 的取值范围.
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6.已知:如图,⊙O 韵直径为 10,弦 AC=8,点 B 在圆周上运动(与 A、C 两点不重合),
连结 BC、BA,过点 C 作 CD⊥AB 于 D.设 CB 的长为 x ,CD 的长为 y .
(1)求 y 关于 x 的函数关系式;当以 BC 为直径的圆与 AC 相切时,求 y 的值;
(2)在点 B 运动的过程中,以 CD 为直径的圆与⊙O 有几种位置关系,并求出不同位置时
的取值范围;
(3)在点 B 运动的过程中,如果过 B 作 BE⊥AC 于 E,那么以 BE 为直径的圆与⊙O 能内
切吗?若不能,说明理由;若能,求出 BE 的长.
7.如图,已知 A 为∠POQ 的边 OQ 上一点,以 A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线 OP
于 M、N 两点,且∠MAN=∠POQ= ( 为锐角).当∠MAN 以点 A 为旋转中心,AM 边从
与 AO 重合的位置开始,按逆时针方向旋转(∠MAN 保持不变)时,M、N 两点在射线 OP 上
同时以不同的速度向右平移移动.设 OM= x ,ON= ( y > x ≥0),Δ AOM 的面积为 S,若 cos 、
OA 是方程 0252 2 zz 的两个根.
(1)当∠MAN 旋转 30°(即∠OAM=30°)时,求点 N 移动的距离;
(2)求证:AN2=ON·MN;
(3)求 y 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围;
(4)试写出 S 随 变化的函数关系式,并确定 S 的取值范围.
8.已知:如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD=3cm,∠C=60°,BD⊥CD.
(1)求 BC、AD 的长度;
(2)若点 P 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运动,点 Q 从点 C 开始沿 CD
边向点 D 以 1cm/s 的速度运动,当 P、Q 分别从 B、C 同时出发时,写出五边形 ABPQD
的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围(不包含点 P 在 B、C
两点的情况);
(3)在(2)的前提下,是否存在某一时刻t ,使线段 PQ 把梯形 ABCD 分成两部分的面积比为
1:5?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
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9.已知:如图①,E、F、G、H 按照 AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n 是正整数)的关系,分
别在两邻边长 a 、 na 的矩形 ABCD 各边上运动.
设 AE= x ,四边形 EFGH 的面积为 S.
(1)当 n=l、2 时,如图②、③,观察运动情况,写出四边形 EFGH 各顶点运动到何位置,
使?
(2)当 n=3 时,如图④,求 S 与 之间的函数关系式(写出自变量 的取值范围),探索 S
随 增大而变化的规律;猜想四边形 EFGH 各顶点运动到何位置,使 ABCDSS 矩形2
1 ;
(3)当 n=k (k≥1)时,你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由.
10.如图 1,在直角坐标系中,点 E 从 O 点出发,以 1 个单位/秒的速度沿 x 轴正方向运动,
点 F 从 O 点出发,以 2 个单位/秒的速度沿 y 轴正方向运动,B(4,2),以 BE 为直径作⊙
O1.
(1)若点 E、F 同时出发,设线段 EF 与线段 OB 交于点 G,试判断点 G 与⊙O1 的位置关
系,并证明你的结论;
(2)在(1)的条件下,连结 FB,几秒时 FB 与⊙O1 相切?
(3)如图 2,若 E 点提前 2 秒出发,点 F 再出发,当点 F 出发后,E 点在 A 点左侧时,
设 BA⊥ x 轴于 A 点,连结 AF 交⊙O1 于点 P,试问 PA·FA 的值是否会发生变化?若不变,
请说明理由,并求其值;若变化,请求其值的变化范围.
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参考答案
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