2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数y=a(x减h)2加k 7页

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：二次函数 y=a(x-h)2+k 1．不论 m 取任何实数，抛物线 y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( ) A．在 y=x 直线上 B．在直线 y=－x 上 C．在 x 轴上 D．在 y 轴上 【答案】B 【解析】【分析】 直接利用配方法可求顶点坐标为（-m，m），即可判断顶点所在直线． 【详解】 ∵抛物线的解析式为 y=a(x+m)2+m(a≠0)， ∴顶点坐标为（-m，m）， ∴顶点在直线 y=-x 上． 故选 B. 【点评】本题主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标的方法．熟练掌握二次函数解析式顶点式：y=a（x-h） 2+k 的表达形式是解题关键. 2．若所求的二次函数图象与抛物线 2241yxx 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而 增大，在对称轴的右侧， 随 的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ） A． 2 25y x x    B． 2 2 3( 0)y ax ax a a     C． 2245yxx  D． 2 23(0)yaxaxaa 【答案】D 【解析】【分析】 先求解 2y 2 4 1xx   的顶点，则所求二次函数的顶点可知；再由增减性可判断所求二次函数的开口方向， 由顶点和开口方向可进行判断. 【详解】 由二次函数顶点公式求解 22 4 1y x x   顶点： 4x124 b a      ， 24816y348 acb a  ， 则顶点坐标为（1，-3）， 令所求函数为 y=a(x-1)2-3，由题意可知 a＜0， 展开所求函数得： 2 23(0)yaxaxaa 故选择 D. 【点评】熟练运用二次函数顶点公式、理解函数增减性与开口方向的关系是解答本题的关键. 3．若二次函数 2 6yxmx 配方后为 22y x k  （ ） ，则 m，k 的值分别为 A．0，6 B．0，2 C．4，6 D．4，2 【答案】D 【解析】∵ 2 2 22 4 4 4 4y x k x x k x x k          （ ） （ ）， ， ∴ 224 4 6x x k x mx     （ ） ， ∴-4=-m，4+k=6， ∴m=4，k=2． 故选 D． 4．已知 y=ax2+k 的图象上有三点 A(-3,y1)，B(1，y2)，C(2，y3),且 y20 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0 【答案】A 【解析】∵点 A（-3，y1）， B（1，y2）， C（2，y3）在抛物线 y=ax2+k 上， ∴y1=a•（-3）2+k=9a+k，y2=a•12+k=a+k，y3=a•22+k=4a+k， ∵y2＜y3＜y1， ∴a+k＜4a+k＜9a+k， ∴a＞0． 故选 A． 5．在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c 和二次函数 y＝a(x＋c)2 的图象大致为() A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项 A，由图象可知二次函数开口向下，可得 a＜0，对称轴在 y 轴的右侧，可得 c＜0；一次函数 经过一、二、三象限，可得 a＞0，c＞0，所以 A 选项错误；选项 B，由图象可知二次函数开口向下，可得 a＜0，对称轴在 y 轴的左侧，可得 c＞0；一次函数经过一、二、四象限，可得 a＞0，c＞0，所以 B 选项正 确；选项 C，由图象可知二次函数开口向上，可得 a＞0，对称轴在 y 轴的左侧，可得 c＞0；一次函数经过 一、三、四象限，可得 a＞0，c＜0，所以 C 选项错误；选项 C，由图象可知二次函数开口向上，可得 a＞0， 对称轴在 y 轴的右侧，可得 c＜0；一次函数经过一、二、四象限，可得 a＞0，c＞0，所以 D 选项错误；故 选 B. 【点评】本题考查了二次函数及一次函数的图象的性质，所用到的知识点：二次函数和一次函数的常数项 是图象与 y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于 0，图象经过一、三象限；小于 0，经过二、四象 限；二次函数的二次项系数大于 0，图象开口向上；二次项系数小于 0，图象开口向下． 6．若一个函数图象的对称轴是 y 轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数： ①y=2x；②y= 6 x ；③y=x2；④y=（x﹣1）2+2 中，属于偶函数的是______（只填序号）． 【答案】③ 【解析】①y=2x，是正比例函数，函数图象的对称轴不是 y 轴，错误； ②y= 6 x 是反比例函数，函数图象的对称轴不是 y 轴，错误； ③y=x2 是抛物线，对称轴是 y 轴，是偶函数，正确； ④y=（x﹣1）2+2 对称轴是 x=1，错误． 故答案为③． 7．若函数 2211()2 mmymx  是二次函数，则 m＝______． 【答案】－1 【解析】解：由二次函数的定义可知： 2 1 02 212 m mm     ，解得：m=-1．故答案为：-1． 【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于 0 的条件不能漏． 8．将抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为______； 将抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 绕原点旋转 180°后得到抛物线的解析式为______． 【答案】y=2（x+1）2+1 y=2（x﹣1）2﹣1 【解析】（1）∵将抛物线绕其顶点旋转 180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有开口方 向变了， ∴将抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 绕其顶点旋转 180°后得到抛物线的解析式为： 22(1)1yx ； （2）∵抛物线绕原点旋转 180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，新抛物线 对称轴和原抛物线的对称轴关于 y 轴对称，开口方向和原来开口方向相反， ∴将抛物线 y=﹣2（x+1）2+1 绕原点旋转 180°后得到的新抛物线的解析式为： 2y2(x1)1 . 【点评】（1）抛物线 2()y a x h k   关于其顶点对称的抛物线的解析式为： 2()y a x h k    ； （2）抛物线 关于原点对称的抛物线的解析式： 2()y a x h k    . 9．如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线   2y = a x 3 + k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另 一点，且 AB∥x 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 . 【答案】18。 【解析】根据二次函数的性质，抛物线 的对称轴为 x=3。 ∵A 是抛物线 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一 点，且 AB∥x 轴。 ∴A，B 关于 x=3 对称。∴AB=6。 又∵△ABC 是等边三角形，∴以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 6×3=18。 10．已知二次函数 y＝(x－2a)2＋(a－1)(a 为常数)，当 a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图 分别是当 a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2 时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ____________________． 【答案】y=0.5x-1 【解析】【分析】 已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用 x、y 代表顶点的横坐标、纵坐标，消去 a 得出 x、y 的关系式． 【详解】 解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a-1）， 设 x=2a①，y=a-1②， ①-②×2 ，消去 a 得，x-2y=2， 即 y= 1 2 x-1． 故答案填 y= x-1． 【点评】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想． 11．已知二次函数 y=﹣ (x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是 ； （2）当 x 时，函数 y 的值随 x 的增大而减小； （3）设此函数图象与 x 轴的交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，连接 AC 及 BC，试求△ ABC 的面积． 【答案】（1）（﹣1，2）；（2）x＞﹣1（或 x≥﹣1）；（ 3）3. 【解析】【分析】 （1）根据二次函数顶点式的形式解答即可；（2）根据二次函数的性质，图像的开口方向及对称轴解答即可； （3）先求出 A、B、C 三点坐标，再求出 AB 的距离，即可求出△ ABC 的面积； 【详解】 （1）二次函数 y=﹣ 21 ( 1)2 x  +2 的顶点坐标是（﹣1，2）． 故答案是：（﹣1，2）； （2）因为二次函数 y=﹣ +2 的开口方向向下，且对称轴是直线 x=﹣1， 所以当 x＞﹣1（或 x≥﹣1）时，函数 y 的值随 x 的增大而减小． 故答案是：x＞﹣1（或 x≥﹣1）； （3）令 x=0 时，易求： y= 3 2 ， ∴点 C 的坐标为（0， ）即：OC= 令 y=0 时，易求：x1=1，x2=﹣3 易求：AB=4． ∴ ABC 13422S  =3． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键.