二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质　　导学案 4页

‎22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(1)‎ ‎1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．‎ ‎2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．‎ ‎3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．‎ 重点：会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．‎ 难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：自学课本P37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空．‎ 总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；‎ 用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，则h＝－，k＝；则二次函数的图象的顶点坐标是(－，)，对称轴是x＝－；当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大(最小)值，当a<0时，函数y有最大值，当a>0时，函数y有最小值．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)‎ ‎1．求二次函数y＝x2＋2x－1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．‎ 点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)‎ 探究1　将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．‎ ‎(1)y＝x2－3x＋21；(2)y＝－3x2－18x－22.‎ 解：(1)y＝x2－3x＋21‎ ‎＝(x2－12x)＋21‎ ‎＝(x2－12x＋36－36)＋21‎ 4‎ ‎＝(x－6)2＋12‎ ‎∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6.‎ ‎(2)y＝－3x2－18x－22‎ ‎＝－3(x2＋6x)－22‎ ‎＝－3(x2＋6x＋9－9)－22‎ ‎＝－3(x＋3)2＋5‎ ‎∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3.‎ 点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．‎ 探究2　用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？‎ ‎(1)S与l有何函数关系？‎ ‎(2)举一例说明S随l的变化而变化？‎ ‎(3)怎样求S的最大值呢？‎ 解：S＝l(30－l)‎ ‎＝－l2＋30l(0＜l＜30)‎ ‎＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225‎ 画出此函数的图象，如图．‎ ‎∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．‎ 点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)‎ ‎1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1．‎ ‎2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．‎ ‎3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是(，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．‎ 点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种．‎ 注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标．‎ 4‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ ‎22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)‎ 能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．‎ 重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 自学：自学课本P39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．‎ 总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y＝a(x－h)2＋k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设函数的关系式为y＝a(x－x1)(x－x2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)‎ ‎1．二次函数y＝4x2－mx＋2，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为22．‎ 点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值．‎ ‎2．抛物线y＝－x2＋6x＋2的顶点坐标是(3，11)．‎ ‎3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是(　D　)‎ A．a<0　　B．b>0　　C．c>0　　D．ac>0‎ ‎　 第3题图　　　第4题图　　　第5题图 ‎4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为(　A　)‎ A．0 B．－1 C．1 D．2‎ 点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值．‎ ‎5．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是－1．‎ 点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向．‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)‎ 探究1　已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，‎ 4‎ 求函数的关系式和对称轴．‎ 解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有 解得 ‎∴函数的解析式为y＝x2－2x－3，其对称轴为x＝1.‎ 探究2　已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．‎ 解：设解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，则有 a(2－3)(2＋1)＝9，‎ ‎∴a＝－3，‎ ‎∴此函数的解析式为y＝－3x2＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)．‎ 点拨精讲：因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)‎ ‎1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x轴 交点的坐标．‎ ‎2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，且关于直线x＝对称，那么它的图象还必定经过原点．‎ ‎3．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式；‎ ‎(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．‎ 点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y＝ax2＋bx＋c；2.顶点式y＝a(x－h)2＋k；3.交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ 学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)‎ 4‎