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1
2013 年中考数学复习专题讲座七:归纳猜想型问题(一)
一、中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数
字,分析归纳,直观地发现共同特征,或者发展变化的趋势,据此去预测估计它的规律或者
其他相关结论,使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合,必要时可以进行验证或者
证明,依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高,经常以填空等形式出现,解题时要善
于从所提供的数字或图形信息中,寻找其共同之处,这个存在于个例中的共性,就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式,体现了总结归纳的数学思想,这也正是人
类认识新生事物的一般过程。相对而言,猜想结论型问题的难度较大些,具体题目往往是直
观猜想与科学论证、具体应用的结合,解题的方法也更为灵活多样:计算、验证、类比、比
较、测量、绘图、移动等等,都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法,也是人们探索发现新知的重要手段,非常有利
于培养创造性思维能力,所以备受命题专家的青睐,逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲
考点一:猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式,然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是
先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比
较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式。
例 1 (2012•沈阳)有一组多项式:a+b
2,a
2﹣b
4,a
3
+b
6,a
4﹣b
8,…,请观察它们的构成
规律,用你发现的规律写出第 10 个多项式为 .
考点: 多项式。810360
专题: 规律型。
分析: 首先观察归纳,可得规律:第 n 个多项式为:a
n
+(﹣1)n+1
b
2n,然后将 n=10 代入,
即可求得答案.
解答: 解:∵第 1 个多项式为:a
1
+b
2×1,
第 2 个多项式为:a
2﹣b
2×2,
第 3 个多项式为:a
3
+b
2×3,
第 4 个多项式为:a
4﹣b
2×4,
…
∴第 n 个多项式为:a
n
+(﹣1)n+1
b
2n,
∴第 10 个多项式为:a
10﹣b
20.
故答案为:a
10﹣b
20.
点评: 此题考查的知识点是多项式,此题难度不大,注意找到规律第 n 个多项式为:a
n
+
(﹣1)n+1
b
2n是解此题的关键.
例 2 (2012•珠海)观察下列等式:
12×231=132×21,
13×341=143×31,
23×352=253×32,
34×473=374×43,
62×286=682×26,
…
2
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有
相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:
①52× = ×25;
② ×396=693× .
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为 a,个位数字为 b,且 2≤a+b≤9,写出表示“数字
对称等式”一般规律的式子(含 a、b),并证明.
考点: 规律型:数字的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: (1)观察规律,左边,两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字,
十位数字变为个位数字,两个数字的和放在十位;右边,三位数与左边的三位数字百位与个
位数字交换,两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘,根据此规律进行填空即
可;
(2)按照(1)中对称等式的方法写出,然后利用多项式的乘法进行证明即可.
解答: 解:(1)①∵5+2=7,
∴左边的三位数是 275,右边的三位数是 572,
∴52×275=572×25,
②∵左边的三位数是 396,
∴左边的两位数是 63,右边的两位数是 36,
63×369=693×36;
故答案为:①275,572;②63,36.
(2)∵左边两位数的十位数字为 a,个位数字为 b,
∴左边的两位数是 10a+b,三位数是 100b+10(a+b)+a,
右边的两位数是 10b+a,三位数是 100a+10(a+b)+b,
∴一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a),
证明:左边=(10a+b)×[100b+10(a+b)+a],
=(10a+b)(100b+10a+10b+a),
=(10a+b)(110b+11a),
=11(10a+b)(10b+a),
右边=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a),
=(100a+10a+10b+b)(10b+a),
=(110a+11b)(10b+a),
=11(10a+b)(10b+a),
左边=右边,
所以“数字对称等式”一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)
+b]×(10b+a).
点评: 本题是对数字变化规律的考查,根据已知信息,理清利用左边的两位数的十位数字
与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键.
考点二:猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律,从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中,以图形
3
为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律,需要把图形中的有关数量关系列式表达出来,
再对所列式进行对照,仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例 3 1.(2012•重庆)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个
图形一共有 2 个五角星,第②个图形一共有 8 个五角星,第③个图形一共有 18 个五角星,…,
则第⑥个图形中五角星的个数为( )
A. 50 B. 64 C. 68 D. 72
考点: 规律型:图形的变化类。810360
分析: 先根据题意求找出其中的规律,即可求出第⑥个图形中五角星的个数.
解答: 解:第①个图形一共有 2 个五角星,
第②个图形一共有:2+(3×2)=8 个五角星,
第③个图形一共有 8+(5×2)=18 个五角星,
…
第 n 个图形一共有:
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2(2n﹣1)
=2[1+3+5+…+(2n﹣1)],
=[1+(2n﹣1)]×n
=2n
2,
则第(6)个图形一共有:
2×6
2
=72 个五角星;
故选 D.
点评: 本题考查了图形变化规律的问题,把五角星分成三部分进行考虑,并找出第 n 个图
形五角星的个数的表达式是解题的关键.
例 4 (2012•绍兴)在一条笔直的公路边,有一些树和路灯,每相邻的两盏灯之间有 3 棵
树,相邻的树与树,树与灯间的距离是 10cm,如图,第一棵树左边 5cm 处有一个路牌,则
从此路牌起向右 510m~550m 之间树与灯的排列顺序是( )
A.
B.
C.
D.
考点: 规律型:图形的变化类。810360
4
分析: 根据题意可得,第一个灯的里程数为 10 米,第二个灯的里程数为 50,第三个灯的
里程数为 90 米…第 n 个灯的里程数为 10+40(n﹣1)=40n﹣30 米,从而可计算出 530 米处
哪个里程数是灯,也就得出了答案.
解答: 解:根据题意得:第一个灯的里程数为 10 米,
第二个灯的里程数为 50,
第三个灯的里程数为 90 米
…
第 n 个灯的里程数为 10+40(n﹣1)=(40n﹣30)米,
故当 n=14 时候,40n﹣30=530 米处是灯,
则 510 米、520 米、540 米处均是树,
故应该是树、树、灯、树,
故选 B.
点评: 本题考查了图形的变化类问题,解决本题的关键是从原图中找到规律,并利用规律
解决问题.
例 5 (2012•荆门)已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图①;再顺次连
接菱形各边的中点,得到一个新的矩形,如图②;然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到
一个新的菱形,如图③;如此反复操作下去,则第 2012 个图形中直角三角形的个数有( )
A. 8048 个 B. 4024 个 C. 2012 个 D. 1066 个
考点: 规律型:图形的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: 写出前几个图形中的直角三角形的个数,并找出规律,当 n 为奇数时,三角形的个
数是 2(n+1),当 n 为偶数时,三角形的个数是 2n,根据此规律求解即可.
解答: 解:第 1 个图形,有 4 个直角三角形,
第 2 个图形,有 4 个直角三角形,
第 3 个图形,有 8 个直角三角形,
第 4 个图形,有 8 个直角三角形,
…,
依次类推,当 n 为奇数时,三角形的个数是 2(n+1),当 n 为偶数时,三角形的个数是 2n
个,
所以,第 2012 个图形中直角三角形的个数是 2×2012=4024.
故选 B.
点评: 本题主要考查了图形的变化,根据前几个图形的三角形的个数,观察出与序号的关
系式解题的关键.
考点三:猜想坐标变化
例 6 (2012•德州)如图,在一单位为 1 的方格纸上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…,
都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2,4,6,…的等腰直角三角形.若△A1A2A3 的顶点坐
标分别为 A1(2,0),A2(1,﹣1),A3(0,0),则依图中所示规律,A2012的坐标为 .
5
考点: 等腰直角三角形;点的坐标。810360
专题: 规律型。
分析: 由于 2012 是 4 的倍数,故 A1﹣﹣A4;A5﹣﹣﹣A8;…每 4 个为一组,可见,A2012
在 x 轴上方,横坐标为 2,再根据纵坐标变化找到规律即可解答.
解答: 解:∵2012 是 4 的倍数,
∴A1﹣﹣A4;A5﹣﹣﹣A8;…每 4 个为一组,
∴A2012在 x 轴上方,横坐标为 2,
∵A4、A8、A12 的纵坐标分别为 2,4,6,
∴A12的纵坐标为 2012× =1006.
故答案为(2,1006).
点评: 本题考查了等腰直角三角形、点的坐标,主要是根据坐标变化找到规律,再依据规
律解答.
例 7 (2012•鸡西)如图,在平面直角坐标系中有一边长为 1 的正方形 OABC,边 OA、
OC 分别在 x 轴、y 轴上,如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1,再以对角线 OB1
为边作第三个正方形 OB1B2C2,照此规律作下去,则点 B2012 的坐标为 .
考点: 正方形的性质;坐标与图形性质。810360
专题: 规律型。
分析: 首先求出 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标,找出这些坐标的之间的
规律,然后根据规律计算出点 B2012 的坐标.
解答: 解:∵正方形 OABC 边长为 1,
∴OB= ,
∵正方形 OBB1C1 是正方形 OABC 的对角线 OB 为边,
6
∴OB1=2,
∴B1点坐标为(0,2),
同理可知 OB2=2 ,B2 点坐标为(﹣2,2),
同理可知 OB3=4,B3 点坐标为(﹣4,0),
B4 点坐标为(﹣4,﹣4),B5 点坐标为(0,﹣8),
B6(8,﹣8),B7(16,0)
B8(16,16),B9(0,16 ),
由规律可以发现,每经过 9 次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的
边长变为原来的 倍,
∵2012÷9=223…5,
∴B2012 的纵横坐标符号与点 B4 的相同,纵横坐标都是负值,
∴B2012 的坐标为(﹣2
1006,﹣2
1006).
故答案为(﹣2
1006,﹣2
1006).
点评: 本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点,解答本题的关键是由点
坐标的规律发现每经过 9 次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边
长变为原来的 倍,此题难度较大.
四、中考真题演练
一、选择题
1.(2012•烟台)一个由小菱形组成的装饰链,断去了一部分,剩下部分如图所示,则断去
部分的小菱形的个数可能是( )
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
考点: 规律型:图形的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: 答案中断去的菱形个数均为较小的正整数,由所示的图形规律画出完整的装饰链,
可得断去部分的小菱形的个数.
解答: 解:
如图所示,断去部分的小菱形的个数为 5,
故选 C.
点评: 考查图形的变化规律;按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键.
7
2.(2012•铜仁地区)如图,第①个图形中一共有 1 个平行四边形,第②个图形中一共有 5
个平行四边形,第③个图形中一共有 11 个平行四边形,…则第⑩个图形中平行四边形的个
数是( )
A. 54 B. 110 C. 19 D. 109
考点: 规律型:图形的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: 得到第 n 个图形在 1 的基础上如何增加 2 的倍数个平行四边形即可.
解答: 解:第①个图形中有 1 个平行四边形;
第②个图形中有 1+4=5 个平行四边形;
第③个图形中有 1+4+6=11 个平行四边形;
第④个图形中有 1+4+6+8=19 个平行四边形;
…
第 n 个图形中有 1+2(2+3+4+…+n)个平行四边形;
第⑩个图形中有 1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109 个平行四边形;
故选 D.
点评: 考查图形的变化规律;得到第 n 个图形中平行四边形的个数在第①个图形中平行四
边形的个数 1 的基础上增加多少个 2 是解决本题的关键.
4.(2012•永州)如图,一枚棋子放在七角棋盘的第 0 号角,现依逆时针方向移动这枚棋子,
其各步依次移动 1,2,3,…,n 个角,如第一步从 0 号角移动到第 1 号角,第二步从第 1
号角移动到第 3 号角,第三步从第 3 号角移动到第 6 号角,….若这枚棋子不停地移动下去,
则这枚棋子永远不能到达的角的个数是( )
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
考点: 规律型:图形的变化类。810360
分析: 因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+…+k= k(k+1),然后根据题目中所
给的第 k 次依次移动 k 个顶点的规则,可得到不等式最后求得解.
8
解答: 解:因棋子移动了 k 次后走过的总格数是 1+2+3+…+k= k(k+1),应停在第 k(k+1)
﹣7p 格,
这时 P 是整数,且使 0≤ k(k+1)﹣7p≤6,分别取 k=1,2,3,4,5,6,7 时,
k(k+1)﹣7p=1,3,6,3,1,0,0,发现第 2,4,5 格没有停棋,
若 7<k≤10,设 k=7+t(t=1,2,3)代入可得, k(k+1)﹣7p=7m+ t(t+1),
由此可知,停棋的情形与 k=t 时相同,
故第 2,4,5 格没有停棋,
即:这枚棋子永远不能到达的角的个数是 3.
故选 D.
点评: 本题考查理解题意能力,关键是知道棋子所停的规则,找到规律,然后得到不等式
求解.
5.(2012•扬州)大于 1 的正整数 m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和,如 2
3
=3+5,
3
3
=7+9+11,4
3
=13+15+17+19,…若 m
3 分裂后,其中有一个奇数是 2013,则 m 的值是( )
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
考点: 规律型:数字的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: 观察规律,分裂成的数都是奇数,且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的
积再加上 1,奇数的个数等于底数,然后找出 2013 所在的奇数的范围,即可得解.
解答: 解:∵2
3
=3+5,3
3
=7+9+11,4
3
=13+15+17+19,
…
∴m
3 分裂后的第一个数是 m(m﹣1)+1,共有 m 个奇数,
∵45×(45﹣1)+1=1981,46×(46﹣1)+1=2071,
∴第 2013 个奇数是底数为 45 的数的立方分裂后的一个奇数,
∴m=45.
故选 C.
点评: 本题是对数字变化规律的考查,找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题
的关键.
6.(2012•盐城)已知整数 a1,a2,a3,a4,…满足下列条件:a1=0,a2=﹣|a1+1|,a3=﹣|a2+2|,
a4=﹣|a3+3|,…,依次类推,则 a2012的值为( )
A.﹣1005 B. ﹣1006 C. ﹣1007 D. ﹣2012
考点: 规律型:数字的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: 根据条件求出前几个数的值,再分 n 是奇数时,结果等于﹣ ,n 是偶数时,
结果等于﹣ ,然后把 n 的值代入进行计算即可得解.
9
解答: 解:a1=0,
a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1,
a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1,
a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2,
a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2,
…,
所以,n 是奇数时,an=﹣ ,n 是偶数时,an=﹣ ,
a2012=﹣ =﹣1006.
故选 B.
点评: 本题是对数字变化规律的考查,根据所求出的数,观察出 n 为奇数与偶数时的结果
的变化规律是解题的关键.
二.填空题
9.(2012•泰州)根据排列规律,在横线上填上合适的代数式:x,3x
2,5x
3, ,9x
5,….
考点: 单项式。810360
专题: 规律型。
分析: 本题规律比较明显,先观察得出系数为 7,然后再推算 x 的次数.
解答: 解:由题意得,系数的变化规律为:1、3、5、7、9…;
x 的次数的变化规律为:1、2、3、4…;
故可得中间的空需要填:7x
4.
故答案为:7x
4.
点评: 此题考查了单项式的知识,属于基础题,解答本题关键是依次寻找系数及 x 的次数
的变化规律.
10.(2012•肇庆)观察下列一组数: , , , , ,…,它们是按一定规律排列的,那
么这一组数的第 k 个数是 .
考点: 规律型:数字的变化类。810360
分析: 根据已知得出数字分母与分子的变化规律,分子是连续的偶数,分母是连续的奇数,
进而得出第 k 个数分子的规律是 2k,分母的规律是 2k+1,进而得出这一组数的第 k 个数的
值.
解答: 解:因为分子的规律是 2k,分母的规律是 2k+1,
所以第 k 个数就应该是: ,
故答案为: .
点评: 本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应
找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.解题的关键是把数据的分子分母分别用
组数 k 表示出来.
10
11.(2012•云南)观察下列图形的排列规律(其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五
角星).若第一个图形是三角形,则第 18 个图形是 .(填图形的名称)
▲■★■▲★▲■★■▲★▲…
考点: 规律型:图形的变化类。810360
分析: 本题是循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案.
解答: 解:根据题意可知,每 6 个图形一个循环,第 18 个图形经过了 3 个循环,且是第
3 个循环中的最后 1 个,
即第 18 个图形是五角星.
故答案为:五角星.
点评: 此题考查了图形的变化类,是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对
于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,主要培养学生的
观察能力和归纳总结能力.
12.(2012•岳阳)图中各圆的三个数之间都有相同的规律,据此规律,第 n 个圆中,m= 用
含 n 的代数式表示).
考点: 规律型:图形的变化类;规律型:数字的变化类。810360
分析: 根据 8=2×4,5×7=35,8×10=80,得出 2,5,8…第 n 个数为:2+3(n﹣1),4,7,
10,…第 n 个数为:4+3(n﹣1)即可得出第 n 个圆中,m 的值.
解答: 解:∵2×4=8,
5×7=35,
8×10=80,
…
∴2,5,8…第 n 个数为:2+3(n﹣1),
4,7,10,…第 n 个数为:4+3(n﹣1),
∴第 n 个圆中,m=[2+3(n﹣1)]×[4+3(n﹣1)]=(3n+1)(3n﹣1)=9n
2﹣1.
故答案为:9n
2﹣1.
点评: 此题主要考查了数字变化规律,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用
发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.
13.(2012•宿迁)按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖,则第 14 个图案中黑色小正
方形地砖的块数是 .
11
考点: 规律型:图形的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: 观察图形可知,黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方,而黑色地砖比白
色地砖多 1 个,求出第 n 个图案中的黑色与白色地砖的和,然后求出黑色地砖的块数,再把
n=14 代入进行计算即可.
解答: 解:第 1 个图案只有 1 块黑色地砖,
第 2 个图案有黑色与白色地砖共 3
2
=9,其中黑色的有 5 块,
第 3 个图案有黑色与白色地砖共 5
2
=25,其中黑色的有 13 块,
…
第 n 个图案有黑色与白色地砖共(2n﹣1)2,其中黑色的有 [(2n﹣1)2
+1],
当 n=14 时,黑色地砖的块数有 [(2×14﹣1)2
+1]= ×730=365.
故答案为:365.
点评: 本题是对图形变化规律的考查,观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号
之间的关系是解题的关键,还要注意奇数块地砖,一种比另一种多一块的求法.
14.(2012•山西)如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,
则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 .
考点: 规律型:图形的变化类。810360
分析: 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
解答: 解:由图可知:第一个图案有阴影小三角形 2 个.第二图案有阴影小三角形 2+4=6
个.第三个图案有阴影小三角形 2+8=10 个,那么第 n 个就有阴影小三角形 2+4(n﹣1)=4n
﹣2 个,
故答案为:4n﹣2(或 2+4(n﹣1))
点评: 本题是一道找规律的题目,注意由特殊到一般的分析方法,此题的规律为:第 n
个就有正三角形 4n﹣2 个.这类题型在中考中经常出现.
15.(2012•三明)填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律,根据此规律,a 的值
是 .
12
考点: 规律型:图形的变化类;规律型:数字的变化类。810360
分析: 根据已知数据即可得出,最下面一行数字变化规律,进而得出答案.
解答: 解:根据下面一行数字变化规律为:
1×4=4,
4×9=36,
9×16=144,
16×25=400,
25×36=a=900,
故答案为:900.
点评: 此题主要考查了数字变化规律,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首
先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
16.(2012•青海)观察下列一组图形:
它们是按一定规律排列的,依照此规律,第 n 个图形中共有 个★.
考点: 规律型:图形的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: 把五角星分成两部分,顶点处的一个不变,其它的分三条线,每一条线上后一个图
形比前一个图形多一个,根据此规律找出第 n 个图形中五角星的个数的关系式.
解答: 解:观察发现,第 1 个图形五角星的个数是:1+3=4,
第 2 个图形五角星的个数是:1+3×2=7,
第 3 个图形五角星的个数是:1+3×3=10,
第 4 个图形五角星的个数是:1+3×4=13,
…
依此类推,第 n 个图形五角星的个数是:1+3×n=3n+1.
故答案为:3n+1.
点评: 本题考查了图形变化规律的问题,把五角星分成两部分进行考虑,并找出第 n 个图
形五角星的个数的表达式是解题的关键.
17.(2012•黔东南州)如图,第(1)个图有 2 个相同的小正方形,第(1)个图有 2 个相同
的小正方形,第(2)个图有 6 个相同的小正方形,第(3)个图有 12 个相同的小正方形,
第(4)个图有 20 个相同的小正方形,…,按此规律,那么第(n)个图有 个相
同的小正方形.
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考点: 规律型:图形的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: 观察不难发现,每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大 1 的数,根
据此规律解答即可.
解答: 解:第(1)个图有 2 个相同的小正方形,2=1×2,
第(2)个图有 6 个相同的小正方形,6=2×3,
第(3)个图有 12 个相同的小正方形,12=3×4,
第(4)个图有 20 个相同的小正方形,20=4×5,
…,
按此规律,第(n)个图有 n(n+1)个相同的小正方形.
故答案为:n(n+1).
点评: 本题是对图形变化规律的考查,发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题的
关键,此类题目对同学们的能力要求较高,在平时的学习中要不断积累.
18.(2012•潍坊) 如图中每一个小方格的面积为 1,则可根据面积计算得到如下算式:
1+3+5+7+…+(2n﹣1)= (用 n 表示,n 是正整数)
考点: 规律型:图形的变化类;规律型:数字的变化类。810360
专题: 数形结合。
分析: 根据图形面积得出,第 2 个图形面积为 2
2,第 3 个图形面积为 3
2,第 4 个图形面
积为 4
2,…第 n 个图形面积为 n
2,即可得出答案.
解答: 解:利用每个小方格的面积为 1,可以得出:
1+3=4=2
2,
1+3+5=9=3
2,
1+3+5+7=16=4
2,…
1+3+5+7+…+(2n﹣1)=n
2.
故答案为:n
2.
点评: 此题主要考查了数字变化规律以及图形变化规律,根据图形面积得出变化规律是解
题关键,这也是中考中考查重点.
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19.(2012•南宁)有若干张边长都是 2 的四边形纸片和三角形纸片,从中取一些纸片按如图
所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形),可以组成一个大的平行四边形或一个大的
梯形.如果所取的四边形与三角形纸片数的和是 5 时,那么组成的大平行四边形或梯形的周
长是 ;如果所取的四边形与三角形纸片数的和是 n,那么组成的大平行四边形或梯
形的周长是 .
考点: 规律型:图形的变化类。810360
分析: 第 1 张纸片的周长为 8,由 2 张纸片所组成的图形的周长比第 1 张纸片的周长增加
了 2.由 3 张纸片所组成的图形的周长比前 2 张纸片所组成的图形的周长增加了 4,按此规
律可知:
①纸张张数为 1,图片周长为 8=3×1+5;纸张张数为 3,图片周长为 8+2+4=3×3+5;纸张张
数为 5,图片周长为 8+2+4+2+4=3×5+5;…;当 n 为奇数时,组成的大平行四边形或梯形的
周长为 3n+5;
②纸张张数为 1,图片周长为 8+2=3×2+4;纸张张数为 4,图片周长为 8+2+4+2=3×4+4;纸
张张数为 6,图片周长为 8+2+4+2+4+2=3×6+4;…;当 n 为偶数时,组成的大平行四边形或
梯形的周长为 3n+4.
解答: 解:从图形可推断:
纸张张数为 5,图片周长为 8+2+4+2+4=3×5+5=20;
当 n 为奇数时,组成的大平行四边形或梯形的周长为:8+2+4+…+2+4=3n+5;
当 n 为偶数时,组成的大平行四边形或梯形的周长为:8+2+…+4+2=3n+4.
综上,组成的大平行四边形或梯形的周长为 3n+5 或 3n+4.
故答案为:20,3n+5 或 3n+4.
点评: 本题考查了规律型:图形的变化,解题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行
讨论,得出组成的大平行四边形或梯形的周长.
20.(2012•梅州)如图,连接在一起的两个正方形的边长都为 1cm,一个微型机器人由点 A
开始按 ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动.①第一次到达 G 点时移动了
cm;②当微型机器人移动了 2012cm 时,它停在 点.
考点: 规律型:图形的变化类。810360
专题: 规律型。
分析: ①结合图形,找出第一次到达 G 点时走过的正方形的边长数即可得解;
②根据移动一圈的路程为 8cm,用 2012 除以 8,余数是几就落在从 A 开始所走的距离,然
后即可找出最后停的点.
解答: 解:①由图可知,从 A 开始,第一次移动到 G 点,共经过 AB、BC、CD、DE、
EF、FC、CG 七条边,
所以共移动了 7cm;
②∵机器人移动一圈是 8cm,
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2012÷8=251…4,
∴移动 2012cm,是第 251 圈后再走 4cm 正好到达 E 点.
故答案为:7,E.
点评: 本题考查的是循环的规律,要注意所求的值经过了几个循环,然后便可得出结论.
21.(2012•娄底)如图,如图所示的图案是按一定规律排列的,照此规律,在第 1 至第 2012
个图案中“♣”,共 个.
考点: 规律型:图形的变化类。810360
分析: 本题的关键是要找出 4 个图形一循环,然后再求 2012 被 4 整除,从而确定是共第
503♣.
解答: 解:根据题意可知梅花是 1,2,3,4 即 4 个一循环.所以 2012÷4=503.
所以共有 503 个♣.
故选答案为 503.
点评: 主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目
首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律
后直接利用规律求解.
22.(2012•六盘水)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的,称为“杨辉三角”.它的发现比
西方要早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三
角”中有许多规律,如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n(n 为非负整数)的展开式中 a
按次数从大到小排列的项的系数.例如,(a+b)2
=a
2
+2ab+b
2展开式中的系数 1、2、1 恰好
对应图中第三行的数字;再如,(a+b)3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3展开式中的系数 1、3、3、1 恰好
对应图中第四行的数字.请认真观察此图,写出(a+b)4 的展开式,(a+b)4
= .
考点: 规律型:数字的变化类;完全平方公式。810360
专题: 规律型。
分析: 由(a+b)=a+b,(a+b)2
=a
2
+2ab+b
2,(a+b)3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3 可得(a+b)n的各
项展开式的系数除首尾两项都是 1 外,其余各项系数都等于(a+b)n﹣1 的相邻两个系数的和,
由此可得(a+b)4的各项系数依次为 1、4、6、4、1.
解答: 解:(a+b)4
=a
4
+4a
3
b+6a
2
b
2
+4ab
3
+b
4.
故答案为:a
4
+4a
3
b+6a
2
b
2
+4ab
3
+b
4.
点评: 本题考查了完全平方公式,学生的观察分析逻辑推理能力,读懂题意并根据所给的
式子寻找规律,是快速解题的关键.
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三.解答题(共 13 小题)
23.(2012•益阳)观察图形,解答问题:
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格:
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×(﹣1)×2=﹣2 (﹣3)×(﹣4)×(﹣5)=﹣60
三个角上三个数的和 1+(﹣1)+2=2 (﹣3)+(﹣4)+(﹣5)=﹣12
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1,
(2)请用你发现的规律求出图④中的数 y 和图⑤中的数 x.
考点: 规律型:数字的变化类。810360
分析: (1)根据图形和表中已填写的形式,即可求出表中的空格;
(2)根据图①②③可知,中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商,列出方程,即可求
出 x、y 的值.
解答: 解:(1)图②:(﹣60)÷(﹣12)=5,
图③:(﹣2)×(﹣5)×17=170,
(﹣2)+(﹣5)+17=10,
170÷10=17.
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×(﹣1)×2=﹣2 (﹣3)×(﹣4)×(﹣5)=
﹣60 (﹣2)×(﹣5)×17=170
三个角上三个数的和 1+(﹣1)+2=2 (﹣3)+(﹣4)+(﹣5)=
﹣12 (﹣2)+(﹣5)+17=17
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1, (﹣60)÷(﹣12)=5, 170÷10=17
(2)图④:5×(﹣8)×(﹣9)=360,
5+(﹣8)+(﹣9)=﹣1,
y=360÷(﹣12)=﹣30,
图⑤: =﹣3,
解得 x=﹣2;.
点评: 此题考查了数字的变化类,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现
的规律解决问题是应该具备的基本能力.
24.(2012•宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:
(1)第 5 个图形有多少黑色棋子?
(2)第几个图形有 2013 颗黑色棋子?请说明理由.
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考点: 规律型:图形的变化类。810360
分析: (1)根据图中所给的黑色棋子的颗数,找出其中的规律,即可得出答案;
(2)根据(1)所找出的规律,列出式子,即可求出答案.
解答: 解:(1)第一个图需棋子 6,
第二个图需棋子 9,
第三个图需棋子 12,
第四个图需棋子 15,
第五个图需棋子 18,
…
第 n 个图需棋子 3(n+1)枚.
答:第 5 个图形有 18 颗黑色棋子.
(2)设第 n 个图形有 2013 颗黑色棋子,
根据(1)得 3(n+1)=2013
解得 n=670,
所以第 670 个图形有 2013 颗黑色棋子.
点评: 此题考查了图形的变化类,是一道关于数字猜想的问题,关键是通过归纳与总结,
得到其中的规律.