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- 2021-11-10 发布
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扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测
高三数学试题
2013.01
全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分160分,考试时间120分钟),第二部分为选修物理考生的加试部分(满分40分,考试时间30分钟).
注意事项:
1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.
2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.
3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.
第 一 部 分
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)
1.若集合,,则M∩N= ▲ .
2.将复数(是虚数单位)写成,则 ▲ .
3.已知向量,若,则k等于 ▲ .
4.已知函数,则 ▲ .
5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为,,则的概率为 ▲ .
6.设满足约束条件,则的最大值是 ▲ .
7.如图所示的流程图,若输出的结果是15,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ .
8.已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切,则圆的标准方程为 ▲ .
9.设是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列四个命题
①若,则, ②若,则,
③若 ④若,则,
其中正确的命题序号是 ▲ .
10.在中,角所对边的长分别为,且,则 ▲ .
11.已知函数()在区间上取得最小值4,则 ▲ .
12. 如图所示:矩形的一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点的坐标为),矩形的周长记为,则 ▲ .
13.已知椭圆的离心率,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为、,则= ▲ .
14.数列满足,,且 =2,则的最小值为 ▲ .
二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
已知向量,,函数.
(Ⅰ)求的最大值,并求取最大值时的取值集合;
(Ⅱ)已知、、分别为内角、、的对边,且,,成等比数列,角为锐角,且,求的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,⊥平面, 于。
(Ⅰ)证明:平面⊥平面;
(Ⅱ)设为线段上一点,若,求证:平面
17.(本小题满分15分)
已知数列的前项和为.
(Ⅰ)若数列是等比数列,满足, 是,的等差中项,求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在等差数列,使对任意都有?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分15分)
轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内),D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系,轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:米.
(Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程;
(Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在4米到6米之间(包括4米和6米),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?
(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)
19.(本小题满分16分)
如图,已知椭圆方程为,圆方程为,过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C.
(Ⅰ)若时,恰好为线段AC的中点,试求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若椭圆的离心率=,为椭圆的右焦点,当时,求的值;
(Ⅲ)设D为圆上不同于A的一点,直线AD的斜率为,当时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
记函数的导函数为,已知.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)设函数,试问:是否存在正整数使得函数有且只有一个零点?若存在,请求出所有的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若实数和(,且)满足:,试比较与的大小,并加以证明.
第二部分(加试部分)
21.B 选修4 - 2:矩阵与变换(本题满分10分)
若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵.
…………………10分
21.C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分10分)
已知椭圆:与正半轴、正半轴的交点分别为,动点是椭圆上任一点,求面积的最大值。
22.(本题满分10分)
在四棱锥中,侧面底面,,底面是直角梯形,,,,.设为侧棱上一点,,试确定的值,使得二面角为45°.
23.(本题满分10分)
已知数列是等差数列,且是展开式的前三项的系数.
(Ⅰ)求展开式的中间项;
(Ⅱ)当时,试比较与的大小.
扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题
高 三 数 学 参 考 答 案
2013.01
第 一 部 分
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)
1.;2.;3.;4.;5.; 6.;7.49; 8.;
9.③④;10.;11.;12. 216;13.;14.
二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)
.……… 3分
故,此时,得,
∴取最大值时的取值集合为. ………………… 7分
(Ⅱ),,,
,. …………………………… 10分
由及正弦定理得于是
. ……………………………………14分
16.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证:因为平面,
平面,…………………2分
又,是平面内的两条相交直线,
平面, …………………4分
而平面,所以平面⊥平面 …………………6分
(Ⅱ)证:,,和为平面内
两相交直线,平面, …………………8分
连接,平面,, …………………10分
⊥平面,平面,,
又共面,, …………………12分
又平面,平面,平面 …………………14分
17.(本小题满分15分)
解:(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为,
依题意,有即……3分
由 得 ,解得或.
当时,不合题意舍;
当时,代入(2)得,所以, . …………………7分
(Ⅱ)假设存在满足条件的数列,设此数列的公差为,则
方法1: ,得
对恒成立,
则 …………………10分
解得或此时,或.
故存在等差数列,使对任意都有.其中,
或. …………………15分
方法2:令,,得,
令,得, …………………9分
①当时,得或,
若,则,,,对任意都有;
若,则,,,不满足.
…………………12分
②当时,得或,
若,则,,,对任意都有;
若,则,,,不满足.
综上所述,存在等差数列,使对任意都有.其中,或. …………………15分
18.(本小题满分15分)
解:(Ⅰ)设助跑道所在的抛物线方程为,
依题意: …………………3分
解得,,,,
∴助跑道所在的抛物线方程为. …………………7分
(Ⅱ)设飞行轨迹所在抛物线为(),
依题意:得解得…………………9分
∴,
令得,,∵,∴,…11分
当时,有最大值为,
则运动员的飞行距离, ………………13分
飞行过程中距离平台最大高度,
依题意,,得,
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间.………………15分
19.(本小题满分16分)
解:(Ⅰ)当时,点C在轴上,且,则,由点B在椭圆上,
得, …………………2分
∴,,∴. …………………4分
(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,由椭圆定义知,,
∴,则点B在线段的中垂线上,∴,…………6分
又,∴,,∴,
代入椭圆方程得=,∴=.…………9分
(Ⅲ)法一:由得,
∴,或,
∵,∴,则.……11分
由得,
得,或,同理,得,,……13分
当时,,,
,∴ BD⊥AD,∵为圆,
∴ ∠ADB所对圆的弦为直径,从而直线BD过定点(a,0). ……………16分
法二:直线过定点, …………………10分
证明如下:
设,,则:
,
所以,又
所以三点共线,即直线过定点。. …………………16分
20.(本小题满分16分)
解:(Ⅰ),由得. …………………3分
(Ⅱ),,………………5分
∵,令得,
当时,,是增函数;
当时,,是减函数.
∴当时,有极小值,也是最小值,,……7分
当时,;
当时(可取体验),.
当时,,函数有两个零点;
当时,,函数有两个零点;
当时,,函数有且只有一个零点,
综上所述,存在使得函数有且只有一个零点. …………………9分
(Ⅲ),∵,∴,
得, …………………11分
则,
当时,,设,
则(当且仅当时取等号),
∴在上是减函数,
又∵,∴,∴,∴.…………………14分
当时,,设,
则(当且仅当时取等号),
∴在上是增函数,
又∵,∴,∴,∴.
综上所述,当时 ,当时………………………………16分
第二部分(加试部分)
21.B 选修4 - 2:矩阵与变换(本题满分10分)
解.设,由 …………………3分
得,即,,
所以 …………………10分
21.C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分10分)
解:依题意,,,直线:,即
设点的坐标为,则点到直线的距离是
, …………………4分
当时,, …………………6分
所以面积的最大值是 …………………10分
22.(本题满分10分)
解:因为侧面底面,平面平面,,
所以平面,所以,即三直线两两互相垂直。
如图,以为坐标原点,分别为轴建立直角坐标系,
则平面的一个法向量为, …………………2分
,所以
,设平面的一个法向量为,由,,
得,
所以 …………………6分
所以,即
注意到,解得. …………………10分
23.(本题满分10分)
解:(Ⅰ)依题意,,,由可得(舍去),或 …………………2分
所以展开式的中间项是第五项为:;…………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
当时,
当时,
猜测:当时, …………………6分
以下用数学归纳法加以证明:
①时,结论成立,
②设当时,,
则时,
由可知,
即
综合①②可得,当时, …………………10分