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  • 2021-11-10 发布

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第30讲 从创新构造入手

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1 第三十讲 从创新构造入手 有些数学问题直接求解比较困难,可通过创造性构造转化问题而使问题获解. 所谓构造法,就是综合运用各种知识和方法,依据问题的条件和结论给出的信息,把问题作 适当的加工处理.构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而沟通解题思路的方 法.构造法是一种创造性思维,是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的. 构造法的基本形式是以已知条件为“原料”,以所求结论为“方向”,构造一种新的数学 形式,初中阶段常用的构造解题的基本方法有: 1.构造方程; 2.构造函数; 3.构造图形; 4.对于存在性问题,构造实例; 5.对于错误的命题,构造反例; 6.构造等价命题等. 【例题求解】 【例 1】 设 1a 、 2a 、 1b 、 2b 都为实数, 21 aa  ,满足 ))(())(( 22122111 babababa  , 求证: 1))(())(( 22211211  babababa . 思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试.仔细观察已知等式 特点, 、 可看作方程 1))(( 21  bxbx 的两根,则 ))((1))(( 2121 axaxbxbx  , 通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律,解题思路新颖而深刻. 注:一般说来,构造法包含下述两层意思:利用抽象的普遍性,把实际问题转化为数学模型; 利用具体问题的特殊性,给所解决的问题设计一个框架,强调数学应用的数学建模是前一层 意思的代表,而后一层意思的“框架”含义更为广泛,如方程、函数、图形、“抽屉”等. 【例 2】 求代数式 13422 22  xxxx 的最小值. 思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值. 222222 )30()2()10()1(13422  xxxxxx ,于是问题转化为:在 x 轴上求一点 C(1,0),使它到两点 A(一 1,1)和 B(2,3)的距离和(CA+CB)最小,利用对称性 可求出 C 点坐标.这样,通过构造图形而使问题获解. 2 【例 3】 已知 b 、 c 为整数,方程 05 2  cbxx 的两根都大于 1 且小于 0,求 和 c 的值. 思路点拨 利用求根公式,解不等式组求出 、 的范围,这是解本例的基本思路,解法繁 难.由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系,构造函数,令 cbxxy  25 ,从讨论抛 物线与 x 轴交点在 1 与 0 之间所满足的约束条件入手. 【例 4】 如图,在矩形 ABCD 中,AD= a ,AB= b ,问:能否在 Ab 边上找一点 E,使 E 点 与 C、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到,这样的 E 点有几个?若不能 找到,请说明理由. 思路点拨 假设在 AB 边上存在点 E,使 Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD,又设 AE= ,则 BC BE AE AD  ,即 a xb x a  ,于是将问题转化为关于 x 的一元二次方程是否有实根,在一定条 件下有几个实根的研究,通过构造方程解决问题. 【例 5】 试证:世界上任何 6 个人,总有 3 人彼此认识或者彼此不认识. 思路点拨 构造图形解题,我们把“人”看作“点”,把 2 个人之间的关系看作染成颜色的 线段.比如 2 个人彼此认识就把连接 2 个人的对应点的线段染成红色;2 个人彼此不认识, 就把相应的线段染成蓝色,这样,有 3 个人彼此认识就是存在一个 3 边都是红色的三角形, 否则就是存在一个 3 边都是蓝色的三角形,这样本题就化作: 已知有 6 个点,任何 3 点不共线,每 2 点之间用线段连结起来,并染上红色或蓝色, 并且一条边只能染成一种颜色.证明:不管怎么染色,总可以找出三边同色的三角形. 注:“数缺形时少直观,形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法,主要体现在: (1)几何问题代数化; (2)利用图形图表解代数问题; (3)构造函数,借用函数图象探讨方程的解. 利用代数法解几何题,往往是以较少的量的字母表示相关的几何量,根据几何图形性质 列出代数式或方程(组),再进行计算或证明. 特别地,证明几何存在性的问题可构造方程,利用一元二次方程必定有解的的的代数模型 求证;应用为韦达定理,讨论几何图形位置的可能性. 有些问题可通过改变形式或换个说法,构造等价命题或辅助命题,使问题清晰且易于把 握. 3 对于存在性问题,可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象,即所谓的存在性 问题的“构造性证明”. 学历训练 1.若关于 x 的方程 012)1( 22  mxxm 的所有根都是比 1 小的正实数,则实数 m 的取值范 围是 . 2.已知 a 、 b 、 c 、 d 是四个不同的有理数,且 1))((  daca , 1))((  dbcb ,那么 ))(( cbca  的值是 . 3.代数式 9)12(4 22  xx 的最小值为 . 4.A、B、C、D、E、F 六个足球队单循环赛,已知 A、B、C、D、E 五个队已经分别比赛 了 5、4、3、2、1 场,则还未与 B 队比赛的球队是 . 5.若实数 、 满足 122  baba ,且 22 baabt  ,则t 的取值范围是 . 6.设实数分别 s 、 分别满足 019919 2  ss , 019992  tt ,并且 1st ,求 t sst 14  的 值. 7.已知实数 、 、 满足 0))((  cbaca ,求证: )(4)( 2 cbaacb  . 8.写出 10 个不同的自然数,使得它们中的每个是这 10 个数和的一个约数,并说明写出的 10 个自然数符合题设条件的理由. 9.求所有的实数 x ,使得 xxxx 111  . 10.若是不全为零且绝对值都小于 106 的整数.求证: 2110 132  cba . 11.已知关于 的方程 kxx  1322 有四个不同的实根,求 k 的取值范围. 12.设 10  zyx ,, 0,求证 1)1()1()1(  xzzyyx . 13.从自然数 l,2,3,…354 中任取 178 个数,试证:其中必有两个数,它们的差为 177. 14.已知 、 、 、 、 e 是满足 8 edcba , 162222  edcba 的实数,试 确定 的最大值. 15.如图,已知一等腰梯形,其底为 和 ,高为 h . (1)在梯形的对称轴上求作点 P,使从点 P 看两腰的视角为直角; (2)求点 P 到两底边的距离; (3)在什么条件下可作出 P 点? 4 参考答案 5 6

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